放射分布関数

Description of particle density in statistical mechanics

計算 ${\displaystyle g(r)}$

におけるレナード・ジョーンズモデル流体の動径分布関数。 ${\displaystyle \textstyle T^{*}=0.71,\;n^{*}=0.844}$

統計力学では、粒子（原子、分子、コロイドなど）のシステムにおける動径分布関数（または対相関関数）は、基準粒子からの距離の関数として密度がどのように変化するかを説明します。 ${\displaystyle g(r)}$

与えられた粒子が原点Oにあると仮定し、 が粒子の平均数密度であるとすると、Oからの距離における局所的な時間平均密度は となる。この簡略化された定義は、均質かつ等方性の系に当てはまる。以下では、より一般的なケースを検討する。 ${\displaystyle \rho =N/V}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \rho g(r)}$

最も簡単に言えば、これは理想気体の場合の粒子の確率を基準として、ある基準粒子からある距離にある粒子が存在する確率を測る尺度です。一般的なアルゴリズムは、ある粒子からある距離以内にある粒子とある距離外にある粒子の数を決定することです。この一般的なテーマは右側に描かれており、赤い粒子は基準粒子、青い粒子はオレンジ色の点で示された円形の殻の中に中心がある粒子です。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r+dr}$

動径分布関数は通常、すべての粒子対間の距離を計算し、それらをヒストグラムにまとめることによって決定されます。次に、このヒストグラムは理想気体に対して正規化されます。理想気体では、粒子ヒストグラムは完全に無相関です。3次元の場合、この正規化は系の数密度に球殻の体積を乗じたもので、記号的には と表すことができます。 ${\displaystyle (\rho )}$ ${\displaystyle \rho \,4\pi r^{2}dr}$

ポテンシャルエネルギー関数が与えられれば、モンテカルロ法などのコンピュータシミュレーション手法、あるいはパーカス・イェヴィック近似やハイパーネット連鎖理論などの近似閉包関係を用いたオルンシュタイン・ゼルニケ方程式のいずれかを用いて、動径分布関数を計算することができる。また、放射散乱法や、十分に大きな（マイクロメートルサイズ）粒子については、従来の顕微鏡法や共焦点顕微鏡法を用いて直接可視化することで、実験的に決定することもできる。

ラジアル分布関数は、カークウッド・バフ解理論を用いて微視的詳細と巨視的特性を結び付けることができるため、根本的に重要である。さらに、カークウッド・バフ理論の逆変換により、巨視的特性からラジアル分布関数の微視的詳細を得ることが可能である。ラジアル分布関数を逆変換することで、オルンシュタイン・ゼルニケ方程式や構造最適化ポテンシャル精密化を用いてポテンシャルエネルギー関数を予測することもできる。^[1]

意味

体積（平均数密度）で温度 （ も定義する。 はボルツマン定数 ）にある粒子系を考える。粒子座標は、 である。粒子間の相互作用による位置エネルギーは であり、外部から印加される場は考慮しない。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \rho =N/V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \textstyle \beta ={\frac {1}{kT}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \textstyle i=1,\,\ldots ,\,N}$ ${\displaystyle \textstyle U_{N}(\mathbf {r} _{1}\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{N})}$

適切な平均は正準集団 において取られ、配置積分は粒子の位置のあらゆる可能な組み合わせについて取られる。基本配置、すなわち粒子1が、粒子2が、などに存在する確率は次のように与えられる。 ${\displaystyle (N,V,T)}$ ${\displaystyle \textstyle Z_{N}=\int \cdots \int \mathrm {e} ^{-\beta U_{N}}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\cdots \mathrm {d} \mathbf {r} _{N}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathrm {d} \mathbf {r} _{1}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathrm {d} \mathbf {r} _{2}}$

${\displaystyle P^{(N)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})\,\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\cdots \mathrm {d} \mathbf {r} _{N}={\frac {\mathrm {e} ^{-\beta U_{N}}}{Z_{N}}}\,\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\cdots \mathrm {d} \mathbf {r} _{N}\,}$。

1

粒子の総数は膨大であるため、それ自体はあまり有用ではない。しかし、 において粒子の位置のみが固定され、残りの粒子には制約がない、縮小配置の確率を求めることもできる。そのためには、( 1 )を残りの座標上で積分する必要がある。 ${\displaystyle P^{(N)}}$ ${\displaystyle n<N}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbf {r} _{1}\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{n}}$ ${\displaystyle N-n}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{n+1}\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{N}}$

${\displaystyle P^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{n})={\frac {1}{Z_{N}}}\int \cdots \int \mathrm {e} ^{-\beta U_{N}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{n+1}\cdots \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{N}\,}$。

粒子が相互作用しない場合、つまり各粒子の位置エネルギーが他の粒子に依存しない場合は、分割関数は因数分解され、基本構成の確率は独立した引数で単一粒子確率の積に分解されます。 ${\textstyle U_{N}(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N})=\sum _{i=1}^{N}U_{1}(\mathbf {r} _{i})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{N}&=\prod _{i=1}^{N}\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{i}e^{-\beta U_{1}}=Z_{1}^{N}\\P^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{n})&=P^{(1)}(\mathbf {r} _{1})\cdots P^{(1)}(\mathbf {r} _{n})\end{aligned}}}$$

相互作用しない粒子の場合、確率は引数に関して対称となることに注意してください。これは一般には当てはまらず、位置が の引数スロットを占める順序が重要です。位置の集合が与えられた場合、粒子がそれらの位置を占める方法はです。それらの位置が占められる確率は、粒子がそれぞれの場所にあるすべての配置について合計することによって求められます。これは、オブジェクト の対称群 のすべての順列、を取ってと書くことで実行できます。位置が少ない場合は、無関係な引数について積分し、過剰カウントを防ぐ補正係数を含めます。この量はn 粒子密度関数と呼ばれます。区別できない粒子の場合は、基本配置 の確率を変えずに、すべての粒子の位置 を並べ替えることができるため、n 粒子密度関数は に簡約されます。n粒子密度を積分すると、順列係数が得られ、これは全粒子から位置に配置する粒子を順番に選択する方法の数を数えます。ここで、 のさまざまな値に対してこの関数をどのように解釈するかを見てみましょう。 ${\displaystyle P^{(n)}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N!}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S_{N}}$ ${\textstyle \sum _{\pi \in S_{N}}P^{(N)}(\mathbf {r} _{\pi (1)},\ldots ,\mathbf {r} _{\pi (N)})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{n})&={\frac {1}{(N-n)!}}\left(\prod _{i=n+1}^{N}\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{i}\right)\sum _{\pi \in S_{N}}P^{(N)}(\mathbf {r} _{\pi (1)},\ldots ,\mathbf {r} _{\pi (N)})\\\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \forall i,\mathbf {r} _{i}\rightarrow \mathbf {r} _{\pi (i)}}$ ${\displaystyle P(\mathbf {r} _{\pi (1)},\dots ,\mathbf {r} _{\pi (N)})=P(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{n})&={\frac {N!}{(N-n)!}}P^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{n})\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle _{N}P_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n}$

の場合、一粒子密度は次式で表される。結晶の場合、これは格子点で鋭い極大値を持つ周期関数である。相互作用しない気体の場合、これは位置に依存せず、系全体の数密度 に等しい。まず、気体が占める体積では であり、それ以外の場所では 0 であることに注意する。この場合の分配関数は ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbf {r} _{1}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle U_{N}=\infty }$

${\displaystyle Z_{N}=\prod _{i=1}^{N}\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{i}\ 1=V^{N}}$

定義によって望ましい結果が得られる

${\displaystyle \rho ^{(1)}(\mathbf {r} )={\frac {N!}{(N-1)!}}{\frac {1}{V^{N}}}\prod _{i=2}^{N}\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{i}1={\frac {N}{V}}=\rho .}$

実際、この特殊なケースでは、すべての n 粒子密度は座標に依存せず、明示的に計算できます。の場合、相互作用しない n 粒子密度は近似的に です。^[2]これを踏まえて、n 点相関関数は、相互作用しない寄与を因数分解することによって定義されます^[要出典]。 明示的に、この定義では、n点相関関数が無次元であることが明らかです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{n})&={\frac {N!}{(N-n)!}}{\frac {1}{V^{N}}}\prod _{i=n+1}^{N}\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{i}1\\&={\frac {N!}{(N-n)!}}{\frac {1}{V^{n}}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle N\gg n}$ ${\displaystyle \rho _{\text{non-interacting}}^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N})=\left(1-n(n-1)/2N+\cdots \right)\rho ^{n}\approx \rho ^{n}}$ ${\displaystyle g^{(n)}}$ $${\displaystyle \rho ^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\,\mathbf {r} _{n})=\rho _{\text{non-interacting}}^{(n)}g^{(n)}(\mathbf {r} _{1}\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{n})}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}g^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\,\mathbf {r} _{n})&={\frac {V^{N}}{N!}}\left(\prod _{i=n+1}^{N}{\frac {1}{V}}\!\!\int \!\!\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{i}\right){\frac {1}{Z_{N}}}\sum _{\pi \in S_{N}}e^{-\beta U(\mathbf {r} _{\pi (1)},\ldots ,\,\mathbf {r} _{\pi (N)})}\end{aligned}}}$$

関係グラム（r）

構造因子

2次相関関数は系の構造因子と直接関係しており（フーリエ変換を介して） 、 X線回折や中性子回折を用いて実験的に決定できるため、特に重要である。^[3] ${\displaystyle g^{(2)}(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})}$

系が球対称の粒子で構成されている場合、 はそれらの相対距離 のみに依存します。ここでは添え字 と上付き文字 は省略します。粒子 0 を座標の原点に固定すると、 は位置 の周囲の体積内に存在する（残りの 個の）粒子の平均数です。 ${\displaystyle g^{(2)}(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{12}=\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}}$ ${\displaystyle \textstyle g(\mathbf {r} )\equiv g^{(2)}(\mathbf {r} _{12})}$ ${\displaystyle \textstyle \rho g(\mathbf {r} )d^{3}r=\mathrm {d} n(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle N-1}$ ${\displaystyle \textstyle d^{3}r}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbf {r} }$

これらの粒子を正式に数えて平均をとると、式 となり、集団平均は次のようになります。 ${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} n(\mathbf {r} )}{d^{3}r}}=\langle \sum _{i\neq 0}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})\rangle }$ ${\displaystyle \textstyle \langle \cdot \rangle }$

${\displaystyle g(\mathbf {r} )={\frac {1}{\rho }}\langle \sum _{i\neq 0}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})\rangle =V{\frac {N-1}{N}}\left\langle \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1})\right\rangle }$

5

ここで、2番目の等式は粒子の等価性を要求します。上記の式は、によって定義される静的構造因子 と関連付けるのに役立ちます。なぜなら、 ${\displaystyle \textstyle 1,\,\ldots ,\,N-1}$ ${\displaystyle g(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle S(\mathbf {q} )}$ ${\displaystyle \textstyle S(\mathbf {q} )=\langle \sum _{ij}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})}\rangle /N}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S(\mathbf {q} )&=1+{\frac {1}{N}}\langle \sum _{i\neq j}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})}\rangle =1+{\frac {1}{N}}\left\langle \int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} \,\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \mathbf {r} }\sum _{i\neq j}\delta \left[\mathbf {r} -(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})\right]\right\rangle \\&=1+{\frac {N(N-1)}{N}}\int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} \,\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \mathbf {r} }\left\langle \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1})\right\rangle ,\end{aligned}}}$

そしてこうなります:

${\displaystyle S(\mathbf {q} )=1+\rho \int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} \,\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \mathbf {r} }g(\mathbf {r} )}$、これは上で述べたフーリエの関係を証明しています。

この式は、正規化されていないため、分布の意味でのみ有効です。つまり、 は体積 とともに発散し、構造因子の原点にディラックピークが生じます。この寄与は実験的に測定できないため、上記の式から差し引いて構造因子を正規関数として再定義することができます。 ${\displaystyle g(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \textstyle \lim _{r\rightarrow \infty }g(\mathbf {r} )=1}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} g(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle S'(\mathbf {q} )=S(\mathbf {q} )-\rho \delta (\mathbf {q} )=1+\rho \int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} \,\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \mathbf {r} }[g(\mathbf {r} )-1]}$。

最後に、名前を変更し、システムが液体の場合はその等方性を呼び出すことができます。 ${\displaystyle S(\mathbf {q} )\equiv S'(\mathbf {q} )}$

${\displaystyle S(q)=1+\rho \int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} \,\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \mathbf {r} }[g(r)-1]=1+4\pi \rho {\frac {1}{q}}\int \mathrm {d} r\,r\,\mathrm {sin} (qr)[g(r)-1]}$。

6

圧縮率方程式

（6）を評価し、等温圧縮率と原点における構造因子の関係を用いると、圧縮率方程式が得られる。 ${\displaystyle q=0}$ ${\displaystyle \textstyle \chi _{T}}$

${\displaystyle \rho kT\chi _{T}=kT\left({\frac {\partial \rho }{\partial p}}\right)=1+\rho \int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} \,[g(r)-1]}$。

7

平均力のポテンシャル

^[4]によれば、ラジアル分布関数は平均力の 2粒子ポテンシャルと次のように関係していることがわかる。 ${\displaystyle w^{(2)}(r)}$

${\displaystyle g(r)=\exp \left[-{\frac {w^{(2)}(r)}{kT}}\right]}$。

8

希薄極限では、平均力のポテンシャルは、平衡点構成が所定の を持つ正確な対ポテンシャルです。 ${\displaystyle g(r)}$

エネルギー方程式

粒子が同一の対ポテンシャルを介して相互作用する場合：、粒子あたりの平均内部エネルギーは：^{[5] ：第2.5節} ${\displaystyle \textstyle U_{N}=\sum _{i>j=1}^{N}u(\left|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}\right|)}$

${\displaystyle {\frac {\left\langle E\right\rangle }{N}}={\frac {3}{2}}kT+{\frac {\left\langle U_{N}\right\rangle }{N}}={\frac {3}{2}}kT+{\frac {\rho }{2}}\int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} \,u(r)g(r,\rho ,T)}$。

9

圧力状態方程式

ビリアル方程式を展開すると、圧力状態方程式が得られます。

${\displaystyle p=\rho kT-{\frac {\rho ^{2}}{6}}\int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} \,rg(r,\rho ,T){\frac {\mathrm {d} u(r)}{\mathrm {d} r}}}$。

10

3Dにおける熱力学的特性

放射分布関数は、位置エネルギーや圧力などのいくつかの重要な熱力学的特性を計算できるため、重要な尺度です。

粒子が対ポテンシャルを介して相互作用する3次元システムの場合、システムの位置エネルギーは次のように計算できます。^[6]

${\displaystyle PE={\frac {N}{2}}4\pi \rho \int _{0}^{\infty }r^{2}u(r)g(r)dr,}$

ここで、Nはシステム内の粒子の数、は数密度、は対ポテンシャル です。 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle u(r)}$

系の圧力は、第2ビリアル係数を に関連付けることによっても計算できます。圧力は次のように計算できます。^[6] ${\displaystyle g(r)}$

${\displaystyle P=\rho kT-{\frac {2}{3}}\pi \rho ^{2}\int _{0}^{\infty }dr{\frac {du(r)}{dr}}r^{3}g(r)}$。

計算には平均化が含まれるため、位置エネルギーと圧力の結果は、これらの特性を直接計算した場合ほど正確ではないことに注意してください。 ${\displaystyle g(r)}$

近似値

希薄系（例えば気体）の場合、粒子の位置の相関は、間接的な影響を無視すれば、参照粒子によって生じるポテンシャルのみによるものである。したがって、第一近似では、ボルツマン分布の法則によって単純に与えられる。 ${\displaystyle g(r)}$ ${\displaystyle u(r)}$

${\displaystyle g(r)=\exp \left[-{\frac {u(r)}{kT}}\right]}$。

11

が全てに対してゼロの場合、つまり粒子が互いに影響を与えない場合、全てとの場合、平均局所密度は平均密度 と等しくなります。つまり、 Oに粒子が存在しても、その周囲の粒子分布には影響がなく、気体は理想状態となります。が有意な距離の場合、平均局所密度は平均密度 と異なり、その値は の符号に依存します（相互作用エネルギーが負の場合は高く、正の場合は低くなります）。 ${\displaystyle u(r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle g(r)=1}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle u(r)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle u(r)}$ ${\displaystyle u(r)}$

気体の密度が増加するにつれて、低密度極限はますます不正確になります。なぜなら、 に位置する粒子は、 Oに位置する粒子だけでなく、基準粒子の影響を受ける他の隣接粒子とも相互作用するからです。この媒介相互作用は、相互作用する隣接粒子の数が増えるため、密度とともに増大します。 の密度展開は、ビリアル方程式に似た形で表すのが物理的に理にかなっています。 ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle g(r)}$

${\displaystyle g(r)=\exp \left[-{\frac {u(r)}{kT}}\right]y(r)\quad \mathrm {with} \quad y(r)=1+\sum _{n=1}^{\infty }\rho ^{n}y_{n}(r)}$。

12

この類似性は偶然ではありません。実際、上記の関係式に（ 12 ）を熱力学パラメータ（式7、9、10 ）に代入すると、対応するビリアル展開が得られます。^[7]補助関数はキャビティ分布関数として知られています。^{[5] ：表4.1}固定密度と固​​定正温度の古典流体の場合、平衡状態で与えられたを生成する有効対ポテンシャルは、もし存在するならば、加法定数を除いて一意であることが示されている。^[8] ${\displaystyle y(r)}$ ${\displaystyle g(r)}$

近年、格子やネットワークなどの空間的に離散的なデータに対するペア相関関数の開発に注目が集まっている。^[9]

実験的

中性子散乱またはX線散乱データを用いて、間接的に（構造因子との関係を介して）決定することができます。この手法は非常に短い長さスケール（原子レベルまで^[10] ）で使用できますが、かなりの空間平均化と時間平均化（それぞれサンプルサイズと取得時間にわたって）を伴います。このようにして、液体金属^[11]から荷電コロイド^[12]に至るまで、様々な系の動径分布関数が決定されています。実験値からへの変換は容易ではなく、解析は非常に複雑になる場合があります。^[13] ${\displaystyle g(r)}$ ${\displaystyle S(q)}$ ${\displaystyle S(q)}$ ${\displaystyle g(r)}$

従来の顕微鏡や共焦点顕微鏡から粒子の位置を抽出することによって直接計算することも可能です。 ^[14]この技術は、光学的に検出できる大きさの粒子（マイクロメートル単位）に限定されますが、時間分解可能であるという利点があり、静的情報の他に、動的パラメータ（例えば、拡散定数^[15]）にもアクセスできます。また、空間分解（個々の粒子レベル）も可能なため、コロイド結晶^[16]、ガラス^{[17] [18]}ゲル^{[19] [20]}、流体力学的相互作用における局所構造の形態とダイナミクスを明らかにすることができます。^[21] ${\displaystyle g(r)}$

2次元分子気体の場合、走査トンネル顕微鏡によって完全な（距離依存および角度依存）対相関関数の直接可視化が達成された。 ^[22]

高次相関関数

ラジアル分布関数だけでは構造情報を特徴付けるのに不十分であることが指摘されている。異なる点過程が同一の、あるいは実質的に区別できないラジアル分布関数を持つ場合があり、これは縮退問題として知られている。^{[23] [24]}このような場合、構造をさらに記述するためには、より高次の相関関数が必要となる。

高次分布関数は、系の熱力学において一般的にそれほど重要ではないため、あまり研究されていません。また、従来の散乱技術ではアクセスできません。しかし、コヒーレントX線散乱によって測定することができ、無秩序系における局所的な対称性を明らかにできるという点で興味深いものです。^[25] ${\displaystyle \textstyle g^{(k)}}$ ${\displaystyle \textstyle k>2}$

参照

• オルンシュタイン・ゼルニケ方程式
• 構造因子

参考文献

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