リー代数の根号

リー理論という数学の分野では、リー代数の根号は^[1]の最大の解けるイデアルである。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$

で表される根号は、次の数列に正確に当てはまる。 ${\displaystyle {\rm {rad}}({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle 0\to {\rm {rad}}({\mathfrak {g}})\to {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\rm {rad}}({\mathfrak {g}})\to 0}$。

ここでは半単純である。基底体が特性零で有限次元を持つとき、レヴィの定理によれば、この正確な列は分解する。すなわち、商写像の制限によって半単純商と同型となる の（必然的に半単純な）部分代数が存在する。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\rm {rad}}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\rm {rad}}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\rm {rad}}({\mathfrak {g}}).}$

同様の概念にボレル部分代数があり、これは（必ずしも一意ではない）最大限に解ける部分代数です。

意味

を体とし、を上の有限次元リー代数とする。以下の理由により、根基と呼ばれる唯一の最大可解イデアルが存在する。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle k}$

まず、とを の2つの可解イデアルとします。するとは再び のイデアルとなり、によるの拡張であるため可解となります。次に、 のすべての可解イデアルの和を考えます。 は可解イデアルであるため、これは空でなく、先ほど導出した和の性質により可解イデアルとなります。明らかに、これは唯一の最大可解イデアルです。 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}})/{\mathfrak {a}}\simeq {\mathfrak {b}}/({\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \{0\}}$

関連概念

• リー代数は、その根号が である場合に限り、半単純である。 ${\displaystyle 0}$
• リー代数は、その根号がその中心に等しい場合にのみ簡約的です。

参照

• レヴィ分解

参考文献

1. Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, VV (2010), Algebras, Rings and Moduls: Lie Algebras and Hopf Algebras, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 168, Providence, RI: American Mathematical Society, p. 15, doi :10.1090/surv/168, ISBN 978-0-8218-5262-0、MR  2724822。

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