スペクトル半径

数学において、正方行列のスペクトル半径は、その固有値の絶対値の最大値である。^{[1]より一般的には、}有界線型作用素のスペクトル半径は、そのスペクトルの要素の絶対値の上限である。スペクトル半径はしばしばと表記される。 $\rho (\cdot )$

意味

行列

$λ 1, ..., λ n$ を行列 $A \in C n \times n$ の固有値とする。A のスペクトル半径は次のように定義される $。$

\rho (A)=\max \left\{|\lambda _{1}|,\dotsc ,|\lambda _{n}|\right\}.

スペクトル半径は、行列のすべてのノルムの下限値と考えることができます。実際、一方では、すべての自然な行列ノルムに対してが成り立ち、他方では、ゲルファンドの公式によればとなります。これらの結果は両方とも以下に示すとおりです。 $\rho (A)\leqslant \|A\|$ $\|\cdot \|$ $\rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k}$

しかし、スペクトル半径は、任意のベクトルに対して必ずしも成り立つわけではない。その理由を理解するために、任意のベクトルを仮定し、行列 $\|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|$ $\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}$ $r>1$

C_{r}={\begin{pmatrix}0&r^{-1}\\r&0\end{pmatrix}}

。

の特性多項式はなので、その固有値はとなり、したがってとなる。しかし、となる。結果として、 $C_{r}$ $\lambda ^{2}-1$ $\{-1,1\}$ $\rho (C_{r})=1$ $C_{r}\mathbf {e} _{1}=r\mathbf {e} _{2}$

\|C_{r}\mathbf {e} _{1}\|=r>1=\rho (C_{r})\|\mathbf {e} _{1}\|.

ゲルファンドの式の例として、が偶数の場合は、が奇数の場合はとなることに注意してください。 $\|C_{r}^{k}\|^{1/k}\to 1$ $k\to \infty$ $C_{r}^{k}=I$ $k$ $C_{r}^{k}=C_{r}$ $k$

がエルミート行列でユークリッドノルムであるとき、すべてのに対してとなる特別なケースがあります。これは、任意のエルミート行列がユニタリ行列で対角化可能であり、ユニタリ行列はベクトルの長さを保存するためです。結果として、 $\|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|$ $\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}$ $A$ $\|\cdot \|$

\|A\mathbf {v} \|=\|U^{*}DU\mathbf {v} \|=\|DU\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|U\mathbf {v} \|=\rho (A)\|\mathbf {v} \|.

有界線形演算子

バナッハ空間上の有界線型作用素 $A$ の文脈においては、固有値は作用素のスペクトルの元、すなわちが単射でない値に置き換える必要がある。スペクトルを次のように表記する。 $\lambda$ $A-\lambda I$

\sigma (A)=\left\{\lambda \in \mathbb {C} :A-\lambda I\;{\text{is not bijective}}\right\}

スペクトル半径は、スペクトルの要素の大きさの上限として定義されます。

\rho (A)=\sup _{\lambda \in \sigma (A)}|\lambda |

ゲルファンドの公式はスペクトル半径公式としても知られ、有界線型作用素に対しても成り立つ。作用素ノルムをとすると、 $\|\cdot \|$

\rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}=\inf _{k\in \mathbb {N} ^{*}}\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.

複素ヒルベルト空間上の有界作用素は、そのスペクトル半径が数値半径と一致するとき、スペクトラロイド作用素と呼ばれる。このような作用素の例としては、正規作用素が挙げられる。

グラフ

有限グラフのスペクトル半径は、その隣接行列のスペクトル半径として定義されます。

この定義は、頂点の次数が有限である無限グラフ（つまり、グラフのすべての頂点の次数が $Cより小さいような実数$ $C$ が存在する）の場合にも拡張されます。この場合、グラフ $G$ に対して以下を定義します。

\ell ^{2}(G)=\left\{f:V(G)\to \mathbf {R} \ :\ \sum \nolimits _{v\in V(G)}\left\|f(v)^{2}\right\|<\infty \right\}.

$γ を$ $G$ の隣接演算子とします。

{\begin{cases}\gamma :\ell ^{2}(G)\to \ell ^{2}(G)\\(\gamma f)(v)=\sum _{(u,v)\in E(G)}f(u)\end{cases}}

$G$ のスペクトル半径は、有界線形演算子 $γ$ のスペクトル半径として定義されます。

上限

行列のスペクトル半径の上限

次の命題は、行列のスペクトル半径のシンプルだが有用な上限を与えます。

命題。スペクトル半径 $ρ$ $($ $A$ $)$ と部分乗法行列ノルム $||\cdot||を持つ$ $A \in C n \times n$ とする。各整数に対して: $k\geqslant 1$

\rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.

証拠

$(v, λ)$ を行列Aの固有ベクトルと固有値のペアとします。行列ノルムの乗法性より、以下の式が得られます。

|\lambda |^{k}\|\mathbf {v} \|=\|\lambda ^{k}\mathbf {v} \|=\|A^{k}\mathbf {v} \|\leq \|A^{k}\|\cdot \|\mathbf {v} \|.

$v \neq 0$ なので、

|\lambda |^{k}\leq \|A^{k}\|

そしてそれゆえ

\rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.

証明を終える。

グラフのスペクトル半径の上限

グラフのスペクトル半径には、頂点数nと辺数mに関して多くの上限があります。例えば、

{\frac {(k-2)(k-3)}{2}}\leq m-n\leq {\frac {k(k-3)}{2}}

ここで整数の場合、^[2] $3\leq k\leq n$

\rho (G)\leq {\sqrt {2m-n-k+{\frac {5}{2}}+{\sqrt {2m-2n+{\frac {9}{4}}}}}}

対称行列

実数値行列の場合、特に不等式は成立する。ここではスペクトルノルムを表す。が対称の場合、この不等式は厳密に成立する。 $A$ $\rho (A)\leq {\|A\|}_{2}$ ${\|\cdot \|}_{2}$ $A$

定理。対称とすると、 $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ $A=A^{T}.$ $\rho (A)={\|A\|}_{2}.$

証拠

Aの固有対をとする。A の対称性により、すべてのおよびは実数値であり、固有ベクトルはで直交する。スペクトルノルムの定義により、となるが存在する。固有ベクトルはの基底を形成するので、となる因子が存在し、これは次を意味する。 $(v_{i},\lambda _{i})_{i=1}^{n}$ $v_{i}$ $\lambda _{i}$ $v_{i}$ $x\in \mathbb {R} ^{n}$ ${\|x\|}_{2}=1$ ${\|A\|}_{2}={\|Ax\|}_{2}.$ $v_{i}$ $\mathbb {R} ^{n},$ $\delta _{1},\ldots ,\delta _{n}\in \mathbb {R} ^{n}$ $\textstyle x=\sum _{i=1}^{n}\delta _{i}v_{i}$

Ax=\sum _{i=1}^{n}\delta _{i}Av_{i}=\sum _{i=1}^{n}\delta _{i}\lambda _{i}v_{i}.

固有ベクトルの直交性から次の式が得られる。 $v_{i}$

{\|Ax\|}_{2}=\|\sum _{i=1}^{n}\delta _{i}\lambda _{i}v_{i}\|_{2}=\sum _{i=1}^{n}{|\delta _{i}|}\cdot {|\lambda _{i}|}\cdot {\|v_{i}\|}_{2}=\sum _{i=1}^{n}{|\delta _{i}|}\cdot {|\lambda _{i}|}

そして

{\|x\|}_{2}=\|\sum _{i=1}^{n}\delta _{i}v_{i}\|_{2}=\sum _{i=1}^{n}{|\delta _{i}|}\cdot {\|v_{i}\|}_{2}=\sum _{i=1}^{n}{|\delta _{i}|}.

は最大化しつつ満たすように選ばれるので、の値は最大化しつつ満たすように選ばれなければならない。これは、をに、そうでなければをに設定することで実現され、 $x$ ${\|Ax\|}_{2}$ ${\|x\|}_{2}=1,$ $\delta _{i}$ $\textstyle \sum _{i=1}^{n}{|\delta _{i}|}\cdot {|\lambda _{i}|}$ $\textstyle \sum _{i=1}^{n}{|\delta _{i}|}=1.$ $\delta _{k}=1$ $k=\mathrm {arg\,max} _{i=1}^{n}{|\lambda _{i}|}$ $\delta _{i}=0$ ${\|Ax\|}_{2}={|\lambda _{k}|}=\rho (A).$

電源シーケンス

スペクトル半径は行列のべき乗列の収束の挙動と密接に関係しており、次の定理で示されます。

定理。スペクトル半径 $ρ$ $($ $A$ $)を持つ$ $A\inCn \times n と$ する $。ρ$ $($ $A$ $)<1と$ $なる$ のは $、$

\lim _{k\to \infty }A^{k}=0.

一方、 $ρ (A)>1$ の場合には、 $Cn$ $\times$ $n$ 上の行列ノルムの任意の選択に対してこのステートメントが成立し $ます$ 。 $\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|=\infty$

証拠

$が$ 無限大に近づくにつれてがゼロに近づくと $仮定する。ρ ( A ) < 1 であることを示す。 ($ v $,$ $λ$ $)$ をA $の$ $固有ベクトル$ $と$ $固有値$ $の$ ペアとする。A k v = $λ$ $k$ $v$ $で$ $ある$ $ので$ 、 $A^{k}$ $k$

{\begin{aligned}0&=\left(\lim _{k\to \infty }A^{k}\right)\mathbf {v} \\&=\lim _{k\to \infty }\left(A^{k}\mathbf {v} \right)\\&=\lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\mathbf {v} \\&=\mathbf {v} \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\end{aligned}}

仮定により $v \neq0$ なので、

\lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}=0,

これはを意味します。これは任意の固有値に対して成り立つはずなので、 $ρ$ $($ $A$ $) < 1$ と結論付けることができます。 $|\lambda |<1$ $\lambda$

$ここで、 A$ の半径が $1$ 未満であると仮定します。ジョルダン正規形定理より、任意のA∈Cn×nに対して $、 V が$ $非特異$ $で$ J $がブロック対角となるV、J\inCn$ $\times$ n $が存在$ $し$ $、$ $以下$ $の$ 式 $を$ $満たす$ $こと$ がわかります。

A=VJV^{-1}

と

J={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}

どこ

J_{m_{i}}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}&1&0&\cdots &0\\0&\lambda _{i}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}&1\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}\end{bmatrix}}\in \mathbf {C} ^{m_{i}\times m_{i}},1\leq i\leq s.

それは簡単にわかる

A^{k}=VJ^{k}V^{-1}

そして、 $J$ はブロック対角なので、

J^{k}={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}^{k}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}^{k}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}^{k}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}^{k}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}

さて、ジョルダンブロックの $k$ 乗に関する標準的な結果は、次のようになります。 $m_{i}\times m_{i}$ $k\geq m_{i}-1$

J_{m_{i}}^{k}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&{k \choose 2}\lambda _{i}^{k-2}&\cdots &{k \choose m_{i}-1}\lambda _{i}^{k-m_{i}+1}\\0&\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&\cdots &{k \choose m_{i}-2}\lambda _{i}^{k-m_{i}+2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}^{k}\end{bmatrix}}

したがって、すべての $i$ に対してが成り立つ。したがって、すべての $i$ に対して、次が成り立つ。 $\rho (A)<1$ $|\lambda _{i}|<1$

\lim _{k\to \infty }J_{m_{i}}^{k}=0

これは

\lim _{k\to \infty }J^{k}=0.

したがって、

\lim _{k\to \infty }A^{k}=\lim _{k\to \infty }VJ^{k}V^{-1}=V\left(\lim _{k\to \infty }J^{k}\right)V^{-1}=0

一方、の場合、 $k$ が増加しても境界が維持されない要素が $J$ 内に少なくとも 1 つ存在するため、ステートメントの 2 番目の部分が証明されます。 $\rho (A)>1$

ゲルファンドの公式

イスラエル・ゲルファンドにちなんで名付けられたゲルファンドの公式は、スペクトル半径を行列ノルムの極限として与えます。

定理

任意の行列ノルム $||\cdot||に対して、$ [ ^3]

\rho (A)=\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}

。

さらに、一貫性のある行列の場合、ノルムは上から近づきます（実際、その場合、すべてのに対して）。 $\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}$ $\rho (A)$ $\rho (A)\leq \left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}$ $k$

証拠

$任意のε > 0$ に対して、次の2つの行列を定義します。

A_{\pm }={\frac {1}{\rho (A)\pm \varepsilon }}A.

したがって、

\rho \left(A_{\pm }\right)={\frac {\rho (A)}{\rho (A)\pm \varepsilon }},\qquad \rho (A_{+})<1<\rho (A_{-}).

まず、 $A +$ に冪列の極限に関する前述の定理を適用します。

\lim _{k\to \infty }A_{+}^{k}=0.

$これは、すべてのk$ $\geq$ $N$ $+$ に対して、 $N + \in N$ が存在することを示しています。

\left\|A_{+}^{k}\right\|<1.

したがって、

\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon .

同様に、冪数列の定理は、が有界ではないこと、および、任意の $k$ $\geq$ $N$ $-に対して、$ $N$ $-$ $\in$ $N$ が存在することを意味する。 $\|A_{-}^{k}\|$

\left\|A_{-}^{k}\right\|>1.

したがって、

\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}>\rho (A)-\varepsilon .

$N = max{N +, N -$ }とします。すると、

\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbf {N} \quad \forall k\geq N\quad \rho (A)-\varepsilon <\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon ,

つまり、

\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}=\rho (A).

これで証明は終わりです。

推論

ゲルファンドの公式は、可換行列の積のスペクトル半径の上限を与える。すなわち、すべての可換行列が積である場合、 $A_{1},\ldots ,A_{n}$

\rho (A_{1}\cdots A_{n})\leq \rho (A_{1})\cdots \rho (A_{n}).

数値例

マトリックスを考えてみましょう

A={\begin{bmatrix}9&-1&2\\-2&8&4\\1&1&8\end{bmatrix}}

固有値は $5, 10, 10$ であり、定義により $ρ (A) = 10 で$ ある。次の表には、最もよく使われる4つのノルムに対するの値が、k のいくつかの増加する値に対してリストされている（この行列の特殊な形式により、である点に注意）。 $\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}$ $\|.\|_{1}=\|.\|_{\infty }$

注釈と参考文献

^ Gradshteĭn, IS (1980).積分、級数、積の表. IM Ryzhik, Alan Jeffrey (Corr. and enl. ed.). ニューヨーク: Academic Press. ISBN 0-12-294760-6. OCLC 5892996。
^ Guo, Ji-Ming; Wang, Zhi-Wen; Li, Xin (2019). 「グラフのスペクトル半径の鋭い上限境界」.離散数学. 342 (9): 2559– 2563. doi : 10.1016/j.disc.2019.05.017 . S2CID 198169497.
^ この式は任意のバナッハ代数に対して成り立つ。Dunford & Schwartz 1963 および Lax 2002, pp. 195–197 の Lemma IX.1.8 を参照。

参考文献

Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob (1963)、「線形演算子 II. スペクトル理論: ヒルベルト空間における自己随伴演算子」、Interscience Publishers, Inc.
ラックス、ピーター・D.（2002）、機能分析、ワイリー・インターサイエンス、ISBN 0-471-55604-1

参照

パワー反復
スペクトルギャップ
ジョイントスペクトル半径は、スペクトル半径を行列のセットに一般化したものです。
行列のスペクトル
スペクトル横軸

[1] Gradshteĭn, IS (1980).積分、級数、積の表. IM Ryzhik, Alan Jeffrey (Corr. and enl. ed.). ニューヨーク: Academic Press. ISBN 0-12-294760-6. OCLC 5892996。

[2] Guo, Ji-Ming; Wang, Zhi-Wen; Li, Xin (2019). 「グラフのスペクトル半径の鋭い上限境界」.離散数学. 342 (9): 2559– 2563. doi : 10.1016/j.disc.2019.05.017 . S2CID 198169497.

[3] この式は任意のバナッハ代数に対して成り立つ。Dunford & Schwartz 1963 および Lax 2002, pp. 195–197 の Lemma IX.1.8 を参照。

v t e スペクトル理論と^* -代数
基本概念	反転/-代数バナッハ代数 B-代数 C-代数非可換位相投影値測定スペクトラム C-代数のスペクトルスペクトル半径オペレータ空間
主な結果	ゲルファンド・マズール定理ゲルファンド・ナイマルク定理ゲルファンド表現極性分解特異値分解スペクトル定理正規C*-代数のスペクトル理論
特殊要素/演算子	等スペクトル通常の演算子エルミート/自己随伴演算子ユニタリ演算子ユニット
スペクトラム	クライン・ルートマン定理正規固有値 C*-代数のスペクトルスペクトル半径スペクトルの非対称性スペクトルギャップ
分解	スペクトルの分解連続ポイント残留おおよそのポイント圧縮直積分離散スペクトル横軸
スペクトル定理	ボレル関数計算最小最大定理正の演算子値測度投影値測定リースプロジェクターリグドヒルベルト空間スペクトル定理コンパクト作用素のスペクトル理論正規C*-代数のスペクトル理論
特殊代数	従順なバナッハ代数おおよその同一性バナッハ関数代数円板代数核C*代数均一代数フォン・ノイマン代数富田・竹崎理論
有限次元	アロン・ボッパナ方面バウアー・ファイクの定理数値範囲シュール・ホーンの定理
一般化	ディラックスペクトル必須スペクトル擬似スペクトル構造空間（シロフ境界）
その他	抽象索引グループバナッハ代数コホモロジーコーエン・ヒューイットの因数分解定理対称演算子の拡張フレドホルム理論吸収制限原理作用素環に対するシュレーダー・ベルンシュタインの定理シャーマン・武田定理無制限演算子
例	ウィーナー代数
アプリケーション	ほぼマシュー演算子コロナ定理太鼓の形を聞く（ディリクレ固有値）熱核クズネツォフの痕跡式ラックスペア原始値関数ラマヌジャングラフレイリー・フェイバー・クラーン不等式スペクトル幾何学スペクトル法常微分方程式のスペクトル理論シュトゥルム・リウヴィル理論超強近似転送オペレータ変換理論ワイルの法則ウィーナー・ヒンチンの定理