Approximation technique in integral calculus
曲線の下の面積を近似する4つの方法。 左法 と 右 法は、それぞれ各小区間の左端と右端を用いて近似値を求めます。 上法 と 下 法は、それぞれ各小区間の最大値と最小値の端点を用いて近似値を求めます。小区間が左上から右下に向かって半分に減っていくにつれて、合計値は収束します。 数学 において 、 リーマン和とは、 有限和による積分の 近似 の一種です。19世紀のドイツの数学者 ベルンハルト・リーマン にちなんで名付けられました。非常に一般的な応用の一つは 数値積分 、すなわちグラフ上の関数や直線の面積を近似することです。この分野では、リーマン和は 長方形則 とも呼ばれます。また、曲線の長さやその他の近似にも適用できます。
合計は、測定対象領域と相似な領域を形成する 形状（ 長方形 、 台形 、 放物線 、または 立方体 など、場合によっては 無限小）に領域 を分割し 、それぞれの形状の面積を計算し、最後にこれらの小さな領域をすべて加算することによって計算されます。このアプローチは、 微積分の基本定理によって 閉形式の解を 求めることが容易でない 場合でも、 定積分 の数値近似値を求めるために使用できます。
小さな図形で囲まれた領域は通常、測定対象領域と全く同じ形状ではないため、リーマン和は測定対象領域の面積と異なります。この誤差は、領域をより細かく分割し、より小さな図形を用いることで軽減できます。図形が小さくなるにつれて、和は リーマン積分 に近づきます。
定義 を実数 の 閉区間 上で定義された関数 とし、 の 分割 として 、つまり とする。 上の の分割を持つリーマン和は、 および として 定義 さ れる 。
[ 1 ] のど の を選択する
かによって、異なるリーマン和が生じる可能性がある 。最終的には、関数が リーマン積分可能 で、被加数の差または幅が ゼロに近づく
場合、これは問題にならない f : [ a , b ] → R {\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} } [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} R {\displaystyle \mathbb {R} } P = ( x 0 , x 1 , … , x n ) {\displaystyle P=(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} a = x 0 < x 1 < x 2 < ⋯ < x n = b . {\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n}=b.} S {\displaystyle S} f {\displaystyle f} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} P {\displaystyle P} S = ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) Δ x i , {\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\,\Delta x_{i},} Δ x i = x i − x i − 1 {\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}} x i ∗ ∈ [ x i − 1 , x i ] {\displaystyle x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]} x i ∗ {\displaystyle x_{i}^{*}} Δ x i {\displaystyle \Delta x_{i}}
リーマン和の種類 異なるタイプのリーマン和を与える 具体的な選択肢: x i ∗ {\displaystyle x_{i}^{*}}
すべての i に対して 、この方法は 左則 [2] [3]であり、 左リーマン和 を与える 。 x i ∗ = x i − 1 {\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i-1}} すべての i に対して 、この方法は 正しい規則 [2] [3]であり、 正しいリーマン和 を与える 。 x i ∗ = x i {\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i}} すべての i に対して 、この方法は 中点則 [2] [3]であり、 中位のリーマン和 を与える 。 x i ∗ = ( x i + x i − 1 ) / 2 {\displaystyle x_{i}^{*}=(x_{i}+x_{i-1})/2} （つまり、を 超える の 上限 ）の場合 、この方法は 上則であり、 上リーマン和 または 上ダルブー和 を与えます 。 f ( x i ∗ ) = sup f ( [ x i − 1 , x i ] ) {\displaystyle f(x_{i}^{*})=\sup f([x_{i-1},x_{i}])} f {\textstyle f} [ x i − 1 , x i ] {\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]} （つまり、 上の f の 最小値 ）の場合 、この方法は 下側の規則であり、 下側のリーマン和 または 下側のダルブー和 を与えます 。 f ( x i ∗ ) = inf f ( [ x i − 1 , x i ] ) {\displaystyle f(x_{i}^{*})=\inf f([x_{i-1},x_{i}])} [ x i − 1 , x i ] {\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]} これらのリーマン和法はすべて、数値積分 を行うための最も基本的な方法の一つです 。大まかに言えば、関数が リーマン積分可能で あるとは、分割が「どんどん細かくなる」につれてすべてのリーマン和が収束することを意味します。
リーマン和として導出されるわけではありませんが、左右のリーマン和の平均をとることは 台形則 であり、台形和 を与えます。これは、加重平均を用いて積分を近似する非常に一般的な方法のうち、最も単純なものの一つです。複雑なものとしては 、シンプソン則 と ニュートン・コーツの公式が 挙げられます 。
与えられた分割上の任意のリーマン和（つまり、 と の間の任意の選択に対して）は、下側のダルブー和と上側のダルブー和の間に含まれる。これは ダルブー積分 の基礎となり 、これは最終的にリーマン積分と等価である。 x i ∗ {\displaystyle x_{i}^{*}} x i − 1 {\displaystyle x_{i-1}} x i {\displaystyle x_{i}}
リーマン和法 4つのリーマン和法は、通常、等しい大きさの部分区間を用いるのが最適です。したがって、区間 [ a , b ] は、それぞれの長さの部分区間 に分割されます n {\displaystyle n} Δ x = b − a n . {\displaystyle \Delta x={\frac {b-a}{n}}.}
パーティション内のポイントは a , a + Δ x , a + 2 Δ x , … , a + ( n − 2 ) Δ x , a + ( n − 1 ) Δ x , b . {\displaystyle a,\;a+\Delta x,\;a+2\Delta x,\;\ldots ,\;a+(n-2)\Delta x,\;a+(n-1)\Delta x,\;b.}
左規則 4つの部分区間を 用いた[0, 2]上の x↦x3 の左 リーマン 和 左ルールでは、関数は部分区間の左端における値で近似されます。これにより、底辺 Δ x 、高さ f ( a + i Δ x )の複数の長方形が得られます。これを i = 0, 1, ..., n − 1 について行い、得られた面積を合計すると、次の式が得られます 。 S l e f t = Δ x [ f ( a ) + f ( a + Δ x ) + f ( a + 2 Δ x ) + ⋯ + f ( b − Δ x ) ] . {\displaystyle S_{\mathrm {left} }=\Delta x\left[f(a)+f(a+\Delta x)+f(a+2\Delta x)+\dots +f(b-\Delta x)\right].}
左リーマン和は、 f がこの区間で 単調減少する 場合には過大評価となり、 単調増加する 場合には過小評価となる。この式の誤差は となる
。 ここでは 区間における の 絶対値 の最大値である。 | ∫ a b f ( x ) d x − S l e f t | ≤ M 1 ( b − a ) 2 2 n , {\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-S_{\mathrm {left} }\right\vert \leq {\frac {M_{1}(b-a)^{2}}{2n}},} M 1 {\displaystyle M_{1}} f ′ ( x ) {\displaystyle f^{\prime }(x)}
右リーマン則 4つの部分区間を用いた[0, 2]上の x↦x3 の 右 リーマン 和 右則の場合、関数は部分区間の右端における値で近似されます。これにより、底辺 Δ x 、高さ f ( a + i Δ x )の長方形が複数生成されます。これを i = 1, ..., n について行い 、得られた面積を合計すると、
次の式が得られます。 S r i g h t = Δ x [ f ( a + Δ x ) + f ( a + 2 Δ x ) + ⋯ + f ( b ) ] . {\displaystyle S_{\mathrm {right} }=\Delta x\left[f(a+\Delta x)+f(a+2\Delta x)+\dots +f(b)\right].}
右リーマン和は、 f が 単調減少 の 場合は過小評価となり、 単調増加 の場合は過大評価となります。この式の誤差は となります。 ここでは 区間 における の 絶対値 の最大値です。 | ∫ a b f ( x ) d x − S r i g h t | ≤ M 1 ( b − a ) 2 2 n , {\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-S_{\mathrm {right} }\right\vert \leq {\frac {M_{1}(b-a)^{2}}{2n}},} M 1 {\displaystyle M_{1}} f ′ ( x ) {\displaystyle f^{\prime }(x)}
中点規則 4つの部分区間を 用いた[0, 2]上の x↦x3 の 中点リーマン 和 中点則では、関数は部分区間の中点における値で近似されます。 最初の部分区間では f ( a + Δ x /2) 、次の部分区間では f ( a + 3Δ x /2) となり、これを f ( b − Δ x /2) まで繰り返します。得られた面積を合計すると、 S m i d = Δ x [ f ( a + Δ x 2 ) + f ( a + 3 Δ x 2 ) + ⋯ + f ( b − Δ x 2 ) ] . {\displaystyle S_{\mathrm {mid} }=\Delta x\left[f\left(a+{\tfrac {\Delta x}{2}}\right)+f\left(a+{\tfrac {3\Delta x}{2}}\right)+\dots +f\left(b-{\tfrac {\Delta x}{2}}\right)\right].}
この式の誤差は、 区間における の 絶対値 の
最大 値です。この誤差は台形和の誤差の半分です。したがって、中位リーマン和はリーマン和への最も正確なアプローチです。 | ∫ a b f ( x ) d x − S m i d | ≤ M 2 ( b − a ) 3 24 n 2 , {\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-S_{\mathrm {mid} }\right\vert \leq {\frac {M_{2}(b-a)^{3}}{24n^{2}}},} M 2 {\displaystyle M_{2}} f ′ ′ ( x ) {\displaystyle f^{\prime \prime }(x)}
一般化中点則 一般化中点則の公式は、拡張中点積分としても知られ、 次のように与えられます。 ここで 、は区間の数であり、偶数微分を表します ∫ 0 1 f ( x ) d x = 2 ∑ k = 1 n ∑ m = 0 ∞ 1 ( 2 n ) 2 m + 1 ( 2 m + 1 ) ! f ( 2 m ) ( k − 1 / 2 n ) {\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)\,dx=2\sum _{k=1}^{n}{\sum _{m=0}^{\infty }{{\frac {1}{{\left(2n\right)^{2m+1}}\left({2m+1}\right)!}}f^{(2m)}\left({\frac {k-1/2}{n}}\right)}}} n {\displaystyle n} f ( 2 m ) {\displaystyle f^{(2m)}}
区間 上で定義された関数の 積分は となる。 したがって、 と仮定することで、この一般化された中点積分公式を適用することができる。この公式は、被積分関数が 高度に振動する関数である 場合の数値積分に特に有効である。 g ( t ) {\displaystyle g(t)} ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} ∫ a b g ( t ) d t = ∫ 0 b − a g ( τ + a ) d τ = ( b − a ) ∫ 0 1 g ( ( b − a ) x + a ) d x . {\displaystyle \int _{a}^{b}g(t)\,dt=\int _{0}^{b-a}g(\tau +a)\,d\tau =(b-a)\int _{0}^{1}g((b-a)x+a)\,dx.} f ( x ) = ( b − a ) g ( ( b − a ) x + a ) {\displaystyle f(x)=(b-a)\,g((b-a)x+a)} f ( x ) {\displaystyle f(x)}
台形則 4つ の部分区間を用いた [0, 2] 上の x↦x↦3 の 台形 和 台形則の場合、関数は部分区間の左右の端点における値の平均で近似されます。 平行辺 b 1 と b 2 、高さ hの 台形 の面積公式を用い 、得られた面積を合計すると、 1 2 h ( b 1 + b 2 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}h(b_{1}+b_{2})} S t r a p = 1 2 Δ x [ f ( a ) + 2 f ( a + Δ x ) + 2 f ( a + 2 Δ x ) + ⋯ + f ( b ) ] . {\displaystyle S_{\mathrm {trap} }={\tfrac {1}{2}}\Delta x\left[f(a)+2f(a+\Delta x)+2f(a+2\Delta x)+\dots +f(b)\right].}
この式の誤差は、 の絶対値の最大値で あるになります 。 | ∫ a b f ( x ) d x − S t r a p | ≤ M 2 ( b − a ) 3 12 n 2 , {\displaystyle \left\vert \int _{a}^{b}f(x)\,dx-S_{\mathrm {trap} }\right\vert \leq {\frac {M_{2}(b-a)^{3}}{12n^{2}}},} M 2 {\displaystyle M_{2}} f ″ ( x ) {\displaystyle f''(x)}
関数の台形和で得られる近似値は、その関数の左側の和と右側の和の平均と同じです。
積分との関連 領域上の1次元リーマン和について 、部分区間の最大サイズがゼロに縮小する（つまり、部分区間のノルムの極限がゼロになる）と、一部の関数ではすべてのリーマン和が同じ値に収束します。この極限値が存在する場合、それは関数の領域上の定リーマン積分として定義されます [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} ∫ a b f ( x ) d x = lim ‖ Δ x ‖ → 0 ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) Δ x i . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{\|\Delta x\|\rightarrow 0}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\,\Delta x_{i}.}
有限サイズの領域において、部分区間の最大サイズがゼロに縮小すると、部分区間の数は無限大になります。有限分割の場合、リーマン和は常に極限値の近似値となり、この近似値は分割が細かくなるほど向上します。以下のアニメーションは、部分区間の数を増やす（最大部分区間サイズを小さくする）ことで、曲線の下の「面積」をより良く近似できることを示しています。
ここで赤い関数は 滑らかな関数 であると仮定されているため、部分区間の数が無限大になるほど、3つのリーマン和はすべて同じ値に収束します
例 たとえば、曲線 y = x 2 上の [0, 2] の下の面積は、リーマン法を使用して手順的に計算できます。
まず、区間[0, 2]を n 個の部分区間に分割し、それぞれの部分区間の幅を とする 。これらはリーマン長方形（以下、「ボックス」）の幅である。正しいリーマン和を用いるため、 ボックスの x 座標の順序は となる。したがって、ボックスの高さの順序は となる 。重要な事実として 、 、 、 である 。 2 n {\displaystyle {\tfrac {2}{n}}} x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}} x 1 2 , x 2 2 , … , x n 2 {\displaystyle x_{1}^{2},x_{2}^{2},\ldots ,x_{n}^{2}} x i = 2 i n {\displaystyle x_{i}={\tfrac {2i}{n}}} x n = 2 {\displaystyle x_{n}=2}
各ボックスの面積は 、したがって n 番目の右リーマン和は次のようになります。 2 n × x i 2 {\displaystyle {\tfrac {2}{n}}\times x_{i}^{2}} S = 2 n ( 2 n ) 2 + ⋯ + 2 n ( 2 i n ) 2 + ⋯ + 2 n ( 2 n n ) 2 = 8 n 3 ( 1 + ⋯ + i 2 + ⋯ + n 2 ) = 8 n 3 ( n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 ) = 8 n 3 ( 2 n 3 + 3 n 2 + n 6 ) = 8 3 + 4 n + 4 3 n 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {2}{n}}\left({\frac {2}{n}}\right)^{2}+\dots +{\frac {2}{n}}\left({\frac {2i}{n}}\right)^{2}+\dots +{\frac {2}{n}}\left({\frac {2n}{n}}\right)^{2}\\[1ex]&={\frac {8}{n^{3}}}\left(1+\dots +i^{2}+\dots +n^{2}\right)\\[1ex]&={\frac {8}{n^{3}}}\left({\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\right)\\[1ex]&={\frac {8}{n^{3}}}\left({\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}\right)\\[1ex]&={\frac {8}{3}}+{\frac {4}{n}}+{\frac {4}{3n^{2}}}.\end{aligned}}}
n → ∞の極限を考えると 、ボックスの数が増えるにつれて、近似値は曲線の下の面積の実際の値に近づくことがわかります。したがって、 lim n → ∞ S = lim n → ∞ ( 8 3 + 4 n + 4 3 n 2 ) = 8 3 . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }S=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {8}{3}}+{\frac {4}{n}}+{\frac {4}{3n^{2}}}\right)={\frac {8}{3}}.}
この方法は、より機械的な方法で計算された定積分と一致します。 ∫ 0 2 x 2 d x = 8 3 . {\displaystyle \int _{0}^{2}x^{2}\,dx={\frac {8}{3}}.}
関数は区間全体で連続かつ単調増加であるため、右リーマン和は積分を最も過大評価します（一方、左リーマン和は積分を最も過小評価します）。この事実は図から直感的に明らかであり、関数の性質が積分の推定精度をどのように決定するかを示しています。右リーマン和と左リーマン和は単純ですが、 台形則 や シンプソンの定理 といったより高度な積分推定手法に比べて精度が低い場合が多くあります。
例の関数には簡単に見つけられる原始導関数があるため、リーマン和による積分の推定は主に学術的な演習です。ただし、すべての関数に原始導関数があるわけではないため、和による積分の推定が実用上重要であることを覚えておく必要があります。
高次元 リーマン和の基本的な考え方は、領域を分割によって複数の部分に「分割」し、各部分の「サイズ」にその部分で関数が取る値を乗じ、これらの積をすべて合計することです。これを一般化することで、2次元以上の領域上の関数のリーマン和が可能になります
直感的には、領域を分割するプロセスは簡単に理解できますが、領域をどのように分割するかという技術的な詳細は、1次元の場合よりもはるかに複雑になり、領域の幾何学的形状の側面が関係します。 [4]
二次元 二次元では、領域は となるように 複数の二次元セルに分割できます 。各セルは で表される「面積」を持つと解釈できます 。 [5] 二次元リーマン和 は です A {\displaystyle A} A i {\displaystyle A_{i}} A = ⋃ i A i {\textstyle A=\bigcup _{i}A_{i}} Δ A i {\displaystyle \Delta A_{i}} S = ∑ i = 1 n f ( x i ∗ , y i ∗ ) Δ A i , {\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*},y_{i}^{*})\,\Delta A_{i},} ( x i ∗ , y i ∗ ) ∈ A i {\displaystyle (x_{i}^{*},y_{i}^{*})\in A_{i}}
三次元 3次元では、領域は となるように 複数の3次元セルに分割されます 。各セルは で表される「体積」を持つと解釈できます 。3次元リーマン和は [6] で、 となります 。 V {\displaystyle V} V i {\displaystyle V_{i}} V = ⋃ i V i {\textstyle V=\bigcup _{i}V_{i}} Δ V i {\displaystyle \Delta V_{i}} S = ∑ i = 1 n f ( x i ∗ , y i ∗ , z i ∗ ) Δ V i , {\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*},y_{i}^{*},z_{i}^{*})\,\Delta V_{i},} ( x i ∗ , y i ∗ , z i ∗ ) ∈ V i {\displaystyle (x_{i}^{*},y_{i}^{*},z_{i}^{*})\in V_{i}}
任意の次元数 高次元リーマン和も同様のパターンに従います。n 次元 リーマン和は であり、 つまり n 次元セル内の n 次元体積 を 持つ点です 。 S = ∑ i f ( P i ∗ ) Δ V i , {\displaystyle S=\sum _{i}f(P_{i}^{*})\,\Delta V_{i},} P i ∗ ∈ V i {\displaystyle P_{i}^{*}\in V_{i}} V i {\displaystyle V_{i}} Δ V i {\displaystyle \Delta V_{i}}
一般化 高い一般性において、リーマン和は、 集合に含まれる任意の点 、基礎集合上の 測度を 表す 式で表すことができます 。大まかに言えば、測度とは集合の「大きさ」、この場合は集合の大きさを与える関数です 。1次元では長さ、2次元では面積、3次元では体積など、多くの場合、測度は長さとして解釈されます S = ∑ i f ( P i ∗ ) μ ( V i ) , {\displaystyle S=\sum _{i}f(P_{i}^{*})\mu (V_{i}),} P i ∗ {\displaystyle P_{i}^{*}} V i {\displaystyle V_{i}} μ {\displaystyle \mu } V i {\displaystyle V_{i}}
参照
参考文献 ^ ヒューズ＝ハレット、デボラ、マッカラム、ウィリアム・G、他 (2005). 微積分学 （第4版）. Wiley. p. 252 (定義には多くの同等のバリエーションがありますが、この参照はここで示されているものと非常によく似ています。) ^ abc Hughes-Hallett, Deborah; McCullum, William G.; et al. (2005). Calculus (4th ed.). Wiley. p. 340. これまでに、リーマン和を使用して積分を推定する方法は3つあります。1. 左ルールでは、 各サブ区間の左端点を使用します。2. 右ルールでは、 各サブ区間の右端点を使用します。3. 中点ルールでは、 各サブ区間の中点を使用します。 ^ abc Ostebee, Arnold; Zorn, Paul (2002). 図形的、数値的、記号的観点からの微積分学 （第2版）. p. M-33. 左則、右則、中点則による近似和はすべてこの定義に適合する。 ^ スウォコウスキー, アール・W. (1979). 微積分学と解析幾何学 （第2版）. ボストン, MA: プリンドル, ウェーバー & シュミット. pp. 821– 822. ISBN 0-87150-268-2 。 ^ Ostebee, Arnold; Zorn, Paul (2002). 図形・数値・記号論的観点からの微積分 （第2版）. p. M-34. 平面領域 Rを、おそらく大きさや形が異なる m 個の小領域 R 1 , R 2 , R 3 , ..., R m に分割する。部分領域 R i の「大きさ」 は、その 面積 Δ A i と表される。 ^ スウォコウスキー, アール・W. (1979). 微積分学と解析幾何学 （第2版）. ボストン, MA: プリンドル, ウェーバー&シュミット. pp. 857– 858. ISBN 0-87150-268-2 。
外部
![{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b592d102ccd1ba134d401c5b3ea177baaba3ffac)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dafeab86f1179399f11208ee27a15c76434aed3d)
![{\displaystyle f(x_{i}^{*})=\sup f([x_{i-1},x_{i}])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dff7dfd2109629595f3fdf32681f3e6f7009c047)
![{\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09cb12a889d47020c8ce7046a2eb60785e00c0b6)
![{\displaystyle f(x_{i}^{*})=\inf f([x_{i-1},x_{i}])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7b2f108cd78e38003810fff4cdccbdd4d37c77a)
![{\displaystyle S_{\mathrm {left} }=\Delta x\left[f(a)+f(a+\Delta x)+f(a+2\Delta x)+\dots +f(b-\Delta x)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee92846a79e35e6460834d6db91dfe3873cb92b8)
![{\displaystyle S_{\mathrm {right} }=\Delta x\left[f(a+\Delta x)+f(a+2\Delta x)+\dots +f(b)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c88723af8189dfd016402a984f84987cc09702e)
![{\displaystyle S_{\mathrm {mid} }=\Delta x\left[f\left(a+{\tfrac {\Delta x}{2}}\right)+f\left(a+{\tfrac {3\Delta x}{2}}\right)+\dots +f\left(b-{\tfrac {\Delta x}{2}}\right)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0862557c22ad638f37826bab70df2c3385810d76)
![{\displaystyle S_{\mathrm {trap} }={\tfrac {1}{2}}\Delta x\left[f(a)+2f(a+\Delta x)+2f(a+2\Delta x)+\dots +f(b)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cac6e871c8952d9f71165b86d946844777d4d98)
.gif/1280px-Riemann_sum_(leftbox).gif)
.gif/1280px-Riemann_sum_(rightbox).gif)
.gif/1280px-Riemann_sum_(middlebox).gif)
![{\textstyle [0,2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/844f568297641d6065a35efb82e694d97e6e1d4c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {2}{n}}\left({\frac {2}{n}}\right)^{2}+\dots +{\frac {2}{n}}\left({\frac {2i}{n}}\right)^{2}+\dots +{\frac {2}{n}}\left({\frac {2n}{n}}\right)^{2}\\[1ex]&={\frac {8}{n^{3}}}\left(1+\dots +i^{2}+\dots +n^{2}\right)\\[1ex]&={\frac {8}{n^{3}}}\left({\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\right)\\[1ex]&={\frac {8}{n^{3}}}\left({\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}\right)\\[1ex]&={\frac {8}{3}}+{\frac {4}{n}}+{\frac {4}{3n^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b36a93bb60176b89a902852f4925521dafc193b)
.gif){kind=link}
.gif){kind=link}
.gif){kind=link}
