長方形関数

Function whose graph is 0, then 1, then 0 again, in an almost-everywhere continuous way

長方形関数と ${\textstyle T=1}$

矩形関数（矩形関数、rect関数、π関数、ヘヴィサイドπ関数、^[1] ゲート関数、単位パルス、または正規化ボックスカー関数とも呼ばれる）は次のように定義される^[2]。

$${\displaystyle \operatorname {rect} \left({\frac {t}{T}}\right)=\Pi \left({\frac {t}{T}}\right)=\left\{{\begin{array}{rl}0,&{\text{if }}|t|>{\frac {T}{2}}\\{\frac {1}{2}},&{\text{if }}|t|={\frac {T}{2}}\\1,&{\text{if }}|t|<{\frac {T}{2}}.\end{array}}\right.}$$

関数の代替定義では、関数は0、^[3] 1、^{[4] [5]}または未定義と定義されます。曲線の下の面積は、関数の異なる定義によって変化しません。 ${\textstyle \operatorname {rect} \left(t=\pm {\frac {T}{2}}\right)}$ ${\textstyle t=\pm {\frac {T}{2}}}$

矩形関数は矩形波の基礎として使用できます。

歴史

rect関数は1953年にウッドワード^[6]によって「確率と情報理論、レーダーへの応用」^[7]の中で理想的なカットアウト演算子として導入され、 sinc関数^{[8] [9]}とともに理想的な補間演算子として導入されました。また、それらの反対の操作としてそれぞれサンプリング（comb演算子）と複製（rep演算子）が紹介されました。

ボックスカー関数との関係

長方形関数は、より一般的なボックスカー関数の特殊なケースです。

$${\displaystyle \operatorname {rect} \left({\frac {t-X}{Y}}\right)=H(t-(X-Y/2))-H(t-(X+Y/2))=H(t-X+Y/2)-H(t-X-Y/2)}$$

ここではヘヴィサイドのステップ関数である。この関数は を中心とし、 からまでの持続時間を持つ。 ${\displaystyle H(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X-Y/2}$ ${\displaystyle X+Y/2.}$

直交関数のフーリエ変換

正規化された関数 (すなわち) とそのスペクトル周波数成分のプロット。 ${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)}$ ${\displaystyle \operatorname {sinc} (\pi x)}$

直交関数のユニタリフーリエ変換は、通常の周波数f （ sinc関数の正規化された形式^{[10] ）を使用した場合[2]}と、角周波数（sinc関数の非正規化された形式）を使用した場合[3]である。 $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt={\frac {\sin(\pi f)}{\pi f}}=\operatorname {sinc} (\pi f)=\operatorname {sinc} _{\pi }(f),}$$ ${\displaystyle \operatorname {sinc} _{\pi }}$ $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\frac {\sin \left(\omega /2\right)}{\omega /2}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \operatorname {sinc} \left(\omega /2\right),}$$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \operatorname {sinc} }$

の場合、そのフーリエ変換は ${\displaystyle \operatorname {rect} (x/a)}$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} \left({\frac {t}{a}}\right)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=a{\frac {\sin(\pi af)}{\pi af}}=a\ \operatorname {sinc} _{\pi }{(af)}.}$$

長方形関数の自己畳み込み

単位長方形関数 ( ) と、長方形関数とそれ自身との連続的な畳み込みから得られる区分的に定義されたスプライン。 ${\textstyle T=1}$

不連続な矩形関数の自己畳み込みは、連続ではあるが連続的に微分可能ではない区分的に定義されたスプラインである三角関数を生成する。この矩形関数の連続的な畳み込みは、より広く滑らかな、より低い最大値を持つ区分的に定義されたパルスを生成する。「より滑らか」とは、高次の導関数が連続することを意味する。^[11]

不連続な長方形関数をそれ自身と畳み込むと、連続関数である三角関数が得られます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rect(2t/T)} *\operatorname {rect(2t/T)} =\operatorname {tri(t/T)} ={\begin{cases}1+t,&-T<t<0\\1-t,&\,\,\,\,\,0<t<T\\0&\,\,\,\,\,{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\end{aligned}}}$$

2回適用された長方形関数の自己畳み込みにより、連続かつ微分連続な放物線スプラインが生成されます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rect(2t/T)} *\operatorname {rect(2t/T)} *\operatorname {rect(2t/T)} =\operatorname {tri(t/T)} *\operatorname {rect(2t/T)} ={\begin{cases}{\frac {9}{8}}+{\frac {3}{2}}t+{\frac {1}{2}}t^{2},&-{\frac {3}{2}}T<t<-{\frac {1}{2}}T\\{\frac {3}{4}}-t^{2},&-{\frac {1}{2}}T<t<{\frac {1}{2}}T\\{\frac {9}{8}}-{\frac {3}{2}}t+{\frac {1}{2}}t^{2},&\,\,\,\,\,{\frac {1}{2}}T<t<{\frac {3}{2}}T\\0&\,\,\,\,\,{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\end{aligned}}}$$

長方形関数の自己畳み込みを 3 回適用すると、連続した 2 次微分連続 3 次スプラインが生成されます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri(t/T)} *\operatorname {tri(t/T)} ={\begin{cases}{\frac {4}{3}}+{2}t+t^{2}+{\frac {1}{6}}t^{3},&-2T<t<-T\\{\frac {2}{3}}-t^{2}-{\frac {1}{2}}t^{3},&-T<t<0\\{\frac {2}{3}}-t^{2}+{\frac {1}{2}}t^{3},&\,\,\,\,\,0<t<T\\{\frac {4}{3}}-{2}t+t^{2}-{\frac {1}{6}}t^{3},&\,\,\,\,\,T<t<2T\\0&\,\,\,\,\,{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\end{aligned}}}$$

長方形関数の自己畳み込みを 4 回適用すると、連続した 3 次微分連続の 4 次スプラインが生成されます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}4^{th}\,{\text{order spline}}={\begin{cases}{\frac {625}{384}}+{\frac {125}{48}}t+{\frac {25}{16}}t^{2}+{\frac {5}{12}}t^{3}+{\frac {1}{24}}t^{4},&-{\frac {5}{2}}T<t<-{\frac {3}{2}}T\\{\frac {55}{96}}-{\frac {5}{24}}t-{\frac {5}{4}}t^{2}-{\frac {5}{6}}t^{3}-{\frac {1}{6}}t^{4},&-{\frac {3}{2}}T<t<-{\frac {1}{2}}T\\{\frac {115}{192}}-{\frac {5}{8}}t^{2}+{\frac {1}{4}}t^{4},&-{\frac {1}{2}}T<t<{\frac {1}{2}}T\\{\frac {55}{96}}+{\frac {5}{24}}t-{\frac {5}{4}}t^{2}+{\frac {5}{6}}t^{3}-{\frac {1}{6}}t^{4},&\,\,\,\,\,{\frac {1}{2}}T<t<{\frac {3}{2}}T\\{\frac {625}{384}}-{\frac {125}{48}}t+{\frac {25}{16}}t^{2}-{\frac {5}{12}}t^{3}+{\frac {1}{24}}t^{4},&\,\,\,\,\,{\frac {3}{2}}T<t<{\frac {5}{2}}T\\0&\,\,\,\,\,{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\end{aligned}}}$$

長方形関数のフーリエ変換はSinc 関数である ため、畳み込み定理は、長方形関数とそれ自身の連続した畳み込みから得られるパルスのフーリエ変換は、畳み込み関数が適用された回数 + 1 のオーダーの Sinc 関数に過ぎないことを意味します (つまり、三角関数のフーリエ変換は Sinc ²、長方形関数とそれ自身の 2 つの連続した畳み込みから得られる放物線スプラインのフーリエ変換は Sinc ³などです)。

確率での使用

長方形関数を確率密度関数として見ると、それは連続一様分布の特別な場合であり、特性関数は ${\displaystyle a=-1/2,b=1/2.}$

$${\displaystyle \varphi (k)={\frac {\sin(k/2)}{k/2}},}$$

そしてそのモーメント生成関数は

$${\displaystyle M(k)={\frac {\sinh(k/2)}{k/2}},}$$

ここで、は双曲線正弦関数です。 ${\displaystyle \sinh(t)}$

有理近似

パルス関数は有理関数の極限として表現することもできます。

$${\displaystyle \Pi (t)=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}.}$$

妥当性の証明

まず、次の場合を考えます。項は常に整数に対して正であることに注目してください。しかし、大きな整数に対しては0に近づくので、 ${\textstyle |t|<{\frac {1}{2}}.}$ ${\textstyle (2t)^{2n}}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle 2t<1}$ ${\textstyle (2t)^{2n}}$ ${\displaystyle n.}$

結果は次のようになります: $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\frac {1}{0+1}}=1,|t|<{\tfrac {1}{2}}.}$$

次に、項が整数に対して常に正であることに注目してください。しかし、したがって、大きな整数に対しては非常に大きくなります。 ${\textstyle |t|>{\frac {1}{2}}.}$ ${\textstyle (2t)^{2n}}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle 2t>1}$ ${\textstyle (2t)^{2n}}$ ${\displaystyle n.}$

結果は次のようになります: $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\frac {1}{+\infty +1}}=0,|t|>{\tfrac {1}{2}}.}$$

3番目に、次の式を単純に代入する場合を考えます。 ${\textstyle |t|={\frac {1}{2}}.}$

$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{1^{2n}+1}}={\frac {1}{1+1}}={\tfrac {1}{2}}.}$$

これはパルス関数の定義を満たしていることがわかります。したがって、

$${\displaystyle \operatorname {rect} (t)=\Pi (t)=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}|t|>{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\mbox{if }}|t|={\frac {1}{2}}\\1&{\mbox{if }}|t|<{\frac {1}{2}}.\\\end{cases}}}$$

ディラックのデルタ関数

長方形関数はディラックのデルタ関数 を表すために使用できる。^[12]具体的には、関数 の場合、関数の定義域における 0 の周りの幅の平均は次のように計算される。 ${\displaystyle \delta (x)}$ $${\displaystyle \delta (x)=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\operatorname {rect} \left({\frac {x}{a}}\right).}$$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle g_{avg}(0)={\frac {1}{a}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\operatorname {rect} \left({\frac {x}{a}}\right).}$$を得るために、次の極限が適用されます。 ${\displaystyle g(0)}$

$${\displaystyle g(0)=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\operatorname {rect} \left({\frac {x}{a}}\right)}$$これはディラックのデルタ関数を使って次のように表すことができます。ディラックのデルタ関数のフーリエ変換は $${\displaystyle g(0)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\delta (x).}$$ ${\displaystyle \delta (t)}$

$${\displaystyle \delta (f)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} \left({\frac {t}{a}}\right)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=\lim _{a\to 0}\operatorname {sinc} {(af)}.}$$ここでのsinc関数は正規化されたsinc関数です。sinc関数の最初の零点は で、無限大に近づくため、のフーリエ変換は次のようになります。 ${\displaystyle f=1/a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \delta (t)}$

$${\displaystyle \delta (f)=1,}$$ディラックのデルタ関数の周波数スペクトルは無限に広いことを意味します。パルスの時間が短くなるほど、スペクトルは大きくなります。

参照

• フーリエ変換
• 矩形波
• ステップ関数
• トップハットフィルター
• ボックスカー関数

参考文献

1. Wolfram Research (2008). 「HeavisidePi, Wolfram Language function」 . 2022年10月11日閲覧。
2. Weisstein, Eric W.「長方形関数」。MathWorld。
3. 王 瑞 (2012). 『直交変換入門：データ処理・解析への応用』ケンブリッジ大学出版局. pp.  135– 136. ISBN 9780521516884。
4. Tang, KT (2007). エンジニアと科学者のための数学的手法：フーリエ解析、偏微分方程式、変分モデル. Springer. p. 85. ISBN 9783540446958。
5. クマール、A.アナンド (2011). 信号とシステム. PHI Learning Pvt. Ltd. pp.  258– 260. ISBN 9788120343108。
6. Klauder, John R. (1960). 「チャープレーダーの理論と設計」 .ベルシステム技術ジャーナル. 39 (4): 745– 808. doi :10.1002/j.1538-7305.1960.tb03942.x.
7. Woodward, Philipp M. (1953).確率と情報理論、レーダーへの応用. Pergamon Press. p. 29.
8. ヒギンズ、ジョン・ローランド (1996). 『フーリエ解析と信号解析におけるサンプリング理論：基礎』オックスフォード大学出版局 p. 4. ISBN 0198596995。
9. Zayed, Ahmed I (1996).関数と一般化関数変換ハンドブック. CRC Press. p. 507. ISBN 9780849380761。
10. Wolfram MathWorld、https://mathworld.wolfram.com/SincFunction.html
11. Spooner, Chad (2021年1月28日). 「SPTK: 畳み込みと畳み込み定理」
12. Khare, Kedar; Butola, Mansi; Rajora, Sunaina (2023). 「第2.4章 平均化によるサンプリング、分布、デルタ関数」. Fourier Optics and Computational Imaging (第2版). Springer. pp.  15– 16. doi :10.1007/978-3-031-18353-9. ISBN 978-3-031-18353-9。

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