反射的閉鎖

数学において、集合上の二項関係の反射閉包とは、を含む 上の最小の反射関係、つまり集合 のことです。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\cup \{(x,x)\mid x\in X\}}$

たとえば、 が異なる数値の集合であり、「より小さい」を意味する場合、 の反射閉包は「は以下である」という関係です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle xRy}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

意味

集合上の関係の反射閉包は次のように与えられる。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle S=R\cup \{(x,x)\mid x\in X\}}$$

平易な英語で言えば、の反射的閉包は、の恒等関係との和集合である。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X.}$

例

たとえば、 の場合、関係はそれ自体ですでに反射的であるため、その反射閉包と違いはありません。 $${\displaystyle X=\{1,2,3,4\}}$$ $${\displaystyle R=\{(1,1),(1,3),(2,2),(3,3),(4,4)\}}$$ ${\displaystyle R}$

しかし、反射的対のいずれかが欠落している場合は、反射閉包のために挿入されます。例えば、同じ集合にある場合、反射閉包は ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle R=\{(1,1),(1,3),(2,2),(4,4)\}}$$ $${\displaystyle S=R\cup \{(x,x)\mid x\in X\}=\{(1,1),(1,3),(2,2),(3,3),(4,4)\}.}$$

参照

• 対称閉鎖
• 推移閉包 – 与えられた二項関係を含む最小の推移関係

参考文献

• フランツ・バーダー、トビアス・ニプコウ著『Term Rewriting and All That』ケンブリッジ大学出版局、1998年、8ページ

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