正則ホモトピー

位相幾何学の数学分野において、正則ホモトピーとは、ある多様体から別の多様体への浸漬間の特別な種類のホモトピーを指します。このホモトピーは、1パラメータの浸漬族でなければなりません。

ホモトピー類と同様に、2 つの浸漬の間に正則ホモトピーが存在する場合、それらの浸漬は同じ正則ホモトピー類に属すると定義されます。浸漬の正則ホモトピーは埋め込みの同位体と似ており、どちらもホモトピーの制限された種類です。言い換えると、コンパクト開位相が与えられた場合、2 つの連続関数が写像空間 の同じパス成分内の点を表す場合、それらの関数はホモトピックです。浸漬空間は、 で表される浸漬からなる の部分空間です。2 つの浸漬がの同じパス成分内の点を表す場合、それらの関数は正則ホモトピックです。 ${\displaystyle f,g:M\to N}$ ${\displaystyle C(M,N)}$ ${\displaystyle C(M,N)}$ ${\displaystyle \operatorname {Imm} (M,N)}$ ${\displaystyle f,g:M\to N}$ ${\displaystyle \operatorname {Imm} (M,N)}$

例

3 次元空間内の任意の 2 つの結び目は、通常のホモトピーでは同等ですが、アイソトピーでは同等ではありません。

この曲線の全曲率は6 π、回転数は3 です。

ホイットニー・グラウシュタイン定理 円の正則ホモトピー類を平面に分類します。2 つの浸漬が正則ホモトピックとなるのは、それらの回転数が同じである場合(つまり、全曲率が同じである場合) に限ります。また、それらのガウス写像が同じ次数/回転数である場合に限ります。

スメールの球の浸漬の分類は、このモラン面を介して実現できる球の反転が存在することを示しています。

Stephen Smale は、に埋め込まれた k球の正則ホモトピー類を分類しました。これらは、ガウス写像の一般化であるStiefel 多様体のホモトピー群によって分類されます。ここで、 k偏微分はゼロではありません。より正確には、への球の埋め込みの正則ホモトピー類の集合は、群 の要素と 1 対 1 に対応しています。 の場合、が成り立ちます。はパス連結であり、かつBott 周期性定理により、が成り立ち、したがって が成り立ちます。したがって、1 次元以上のユークリッド空間における球と のすべての埋め込みは、正則ホモトピックです。特に、に埋め込まれた球は、 の場合に反転を許します。つまり、これらの球を「裏返し」にすることができます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle I(n,k)}$ ${\displaystyle S^{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \pi _{k}\left(V_{k}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)\right)}$ ${\displaystyle k=n-1}$ ${\displaystyle V_{n-1}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)\cong SO(n)}$ ${\displaystyle SO(1)}$ ${\displaystyle \pi _{2}(SO(3))\cong \pi _{2}\left(\mathbb {R} P^{3}\right)\cong \pi _{2}\left(S^{3}\right)\cong 0}$ ${\displaystyle \pi _{6}(SO(6))\to \pi _{6}(SO(7))\to \pi _{6}\left(S^{6}\right)\to \pi _{5}(SO(6))\to \pi _{5}(SO(7))}$ ${\displaystyle \pi _{6}(SO(6))\cong \pi _{6}(\operatorname {Spin} (6))\cong \pi _{6}(SU(4))\cong \pi _{6}(U(4))\cong 0}$ ${\displaystyle \pi _{5}(SO(6))\cong \mathbb {Z} ,\ \pi _{5}(SO(7))\cong 0}$ ${\displaystyle \pi _{6}(SO(7))\cong 0}$ ${\displaystyle S^{0},\ S^{2}}$ ${\displaystyle S^{6}}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle n=0,2,6}$

これら 2 つの例はどちらも、通常のホモトピーをホモトピーに縮小するものであり、これはその後、ホモトピー原理(またはh原理) アプローチで大幅に一般化されました。

非退化ホモトピー

局所凸閉空間曲線に対して、非退化ホモトピーを定義することもできる。ここで、1パラメータ浸漬族は非退化でなければならない（つまり、曲率が決してゼロにならない）。2つの異なる非退化ホモトピー類が存在する。^[1]非ゼロ捩れのさらなる制約により、4つの異なる同値類が導かれる。^[2]

参照

• アーノルド不変量

参考文献

1. Feldman, EA (1968). 「閉空間曲線の変形」. Journal of Differential Geometry . 2 (1): 67– 75. doi : 10.4310/jdg/1214501138 .
2. リトル、ジョン・A. (1971). 「空間曲線の3次非退化ホモトピー」.微分幾何学ジャーナル. 5 (3): 503– 515. doi : 10.4310/jdg/1214430012 .

• ホイットニー、ハスラー(1937). 「平面上の正則閉曲線について」. Compositio Mathematica . 4 : 276–284 .
• スメール, スティーブン(1959年2月). 「二次元球面の浸漬の分類」(PDF) .アメリカ数学会誌. 90 (2): 281– 290. doi : 10.2307/1993205 . JSTOR  1993205.
• スメール, スティーブン(1959年3月). 「ユークリッド空間における球面の浸漬の分類」(PDF) . Annals of Mathematics . 69 (2): 327– 344. doi :10.2307/1970186. JSTOR  1970186.

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