代数多様体の射

Concept in mathematics

代数幾何学において、代数多様体間の射とは、局所的に多項式で与えられる代数多様体間の関数である。これは正則写像とも呼ばれる。代数多様体からアフィン直線への射も正則関数と呼ばれる。逆写像も正則である正則写像は双正則写像と呼ばれ、双正則写像は代数多様体の同型写像である。正則写像と双正則写像は非常に制限的な条件であるため（射影多様体上に非定数の正則写像は存在しない）、有理写像と双有理写像の概念も広く使用されている。これらは局所的に多項式ではなく有理分数で定義される部分関数である 。

代数多様体は自然に局所環空間の構造を持ちます。代数多様体間の射は、まさに基礎となる局所環空間の射です。

意味

XとYがと の閉部分多様体（つまりアフィン多様体）である場合、正則写像は多項式写像の制限となる。明示的には、次の形をとる：^[1] ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{m}}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}\to \mathbb {A} ^{m}}$

${\displaystyle f=(f_{1},\dots ,f_{m})}$

ここで、 sはXの座標環にあります。 ${\displaystyle f_{i}}$

${\displaystyle k[X]=k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I,}$

ここで、IはXを定義するイデアルです（注：2つの多項式fとg がX上で同じ関数を定義する場合、f  −  g はIに含まれる必要があります）。像f ( X ) はYに含まれるため、Yの定義方程式を満たします。つまり、正則写像は、の定義方程式を成分が満たす多項式写像の制限と同じです。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$

より一般的には、2つの多様体間の写像f  : X → Yが点xにおいて正則であるとは、 xの近傍Uとf ( x )の近傍Vが存在し、 f ( U ) ⊂ Vが成り立ち、かつ制限関数f  : U → V がUとVの何らかのアフィンチャート上の関数として正則であることを意味する。 f がXのすべての点で正則である場合、fは正則と呼ばれる。

• 注: 2 つの定義が一致することはすぐには明らかではありません。X と Y がアフィン多様体である場合、写像f : X  → Yが最初の意味で正則であるためには、2 番目の意味で正則である必要があります。^[a]また、正則性がアフィン チャートの選択に依存するかどうかもすぐには明らかではありません (依存しません。^{[b] ) ただし、正式な定義を採用すると、この種の一貫性の問題は解消されます。正式には、(抽象) 代数多様体は、局所}環空間の特定の種類として定義されます。この定義を使用すると、多様体の射は、局所環空間の射になります。

正則写像の合成もまた正則です。したがって、代数多様体は、射が正則写像である代数多様体のカテゴリを形成します。

 アフィン多様体間の正則写像は、座標環間の代数準同型に反変的に一対一に対応する。f : X → Yがアフィン多様体の写像であれば、代数準同型を定義する。

${\displaystyle f^{\#}:k[Y]\to k[X],\,g\mapsto g\circ f}$

ここで、 XとYの座標環である。はの元における多項式なので明確に定義されている。逆に、が代数準同型ならば、それは射影を誘導する。 ${\displaystyle k[X],k[Y]}$ ${\displaystyle g\circ f=g(f_{1},\dots ,f_{m})}$ ${\displaystyle k[X]}$ ${\displaystyle \phi :k[Y]\to k[X]}$

${\displaystyle \phi ^{a}:X\to Y}$

提供者: 執筆 ${\displaystyle k[Y]=k[y_{1},\dots ,y_{m}]/J,}$

${\displaystyle \phi ^{a}=(\phi ({\overline {y_{1}}}),\dots ,\phi ({\overline {y_{m}}}))}$

ここでは の像です。^[c]および^[d]特に、f がアフィン多様体の同型である場合と、f ^{# が}座標環の同型である場合に限ります。 ${\displaystyle {\overline {y}}_{i}}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle {\phi ^{a}}^{\#}=\phi }$ ${\displaystyle {f^{\#}}^{a}=f.}$

例えば、X がアフィン多様体Yの閉部分多様体であり、f が包含関係にある場合、f ^#はY上の正規関数のXへの制限です。その他の例については、以下の #例 を参照してください。

通常の関数

が に等しい特別な場合、正則写像は正則写像と呼ばれ、微分幾何学で研究される滑らかな関数の代数的類似物です。正則関数の環（つまり座標環、より抽象的には構造層の大域切断の環）は、アフィン代数幾何学における基本的な対象です。射影多様体上の唯一の正則関数は定数です（これは複素解析におけるリウヴィルの定理の代数的類似物と見ることができます）。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {A} ^{1}}$

スカラー関数が点において正則であるとは、 のある開アフィン近傍において、において正則な有理関数である場合である。すなわち、の近くに正則関数 が存在し、およびが で消えないということである。^[e]注意：この条件は一部のペア ( g、h ) に対して適用され、すべてのペア ( g、h )に対して適用されるわけではない。例を参照。 ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f=g/h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle x}$

Xが準射影多様体、すなわち射影多様体の開部分多様体である場合、関数体k ( X ) はXの閉包の関数体と同じであり、したがってX上の有理関数は、の同次座標環における同次元g、hに対してg / h の形をとる（射影多様体#多様体構造を参照）。すると、 X上の有理関数f が点xで正則となるための必要十分条件は、 f = g / hかつhがxでゼロにならないような同次元g、h が存在することである。この特徴付けは、正則関数の定義としてとらえられることがある。^[2] ${\displaystyle {\overline {X}}}$ ${\displaystyle k[{\overline {X}}]}$ ${\displaystyle {\overline {X}}}$ ${\displaystyle k[{\overline {X}}]}$

スキームの射影との比較

とがアフィンスキームである場合、各環準同型は射を決定する。 ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} A}$ ${\displaystyle Y=\operatorname {Spec} B}$ ${\displaystyle \phi :B\rightarrow A}$

${\displaystyle \phi ^{a}:X\to Y,\,{\mathfrak {p}}\mapsto \phi ^{-1}({\mathfrak {p}})}$

素イデアルの原像をとることによって。アフィンスキーム間のすべての射はこの型であり、そのような射を貼り合わせると一般にスキームの射が得られる。

さて、X、Yがアフィン多様体、すなわちA、B が代数的に閉じた体k上の有限生成代数である整域であるとすると、閉点のみを扱うと、上記は定義#で与えられた定義と一致する。（証明：f  : X → Yが射ならば、 と書くと、以下を示す必要がある。 ${\displaystyle \phi =f^{\#}}$

${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{f(x)}=\phi ^{-1}({\mathfrak {m}}_{x})}$

ここで、点xと点f ( x ) に対応する最大イデアルは、つまりです。これは即値です。 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x},{\mathfrak {m}}_{f(x)}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}=\{g\in k[X]\mid g(x)=0\}}$

この事実は、アフィン多様体のカテゴリがk上のアフィンスキームの完全なサブカテゴリと同一視できることを意味します。多様体の射はアフィン多様体の射を貼り合わせることで得られるのと同様に、スキームの射はアフィンスキームの射を貼り合わせることで得られるため、多様体のカテゴリはk上のスキームのカテゴリの完全なサブカテゴリであることが分かります。

詳細については[1]を参照してください。

例

• 上の正規関数はまさに変数の多項式であり、 上の正規関数はまさに定数です。 ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$
• をアフィン曲線とする。すると、は射であり、逆関数 と単射である。も射なので、は多様体の同型である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y=x^{2}}$ $${\displaystyle f:X\to \mathbf {A} ^{1},\,(x,y)\mapsto x}$$ ${\displaystyle g(x)=(x,x^{2})}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$
• をアフィン曲線とする。すると、は射となる。これは環準同型に対応し、これは単射であることが分かる（fは射影的であるため）。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+x^{2}}$ $${\displaystyle f:\mathbf {A} ^{1}\to X,\,t\mapsto (t^{2}-1,t^{3}-t)}$$ $${\displaystyle f^{\#}:k[X]\to k[t],\,g\mapsto g(t^{2}-1,t^{3}-t),}$$
• 前の例に続き、U = A ¹  − {1} とします。U は超平面 t = 1 の補平面なので、Uはアフィンです。この制約は全単射です。しかし、対応する環準同型は包含であり、これは同型ではないため、制約f | _Uも同型ではありません。 ${\displaystyle f:U\to X}$ ${\displaystyle k[X]=k[t^{2}-1,t^{3}-t]\hookrightarrow k[t,(t-1)^{-1}]}$
• X をアフィン曲線x ² + y ² = 1 とし、 とすると、fはX上の有理関数となります。 fはX上の有理関数としてとも書けるため、 という式に反して (0, 1) において正則となります。 $${\displaystyle f(x,y)={1-y \over x}.}$$ ${\displaystyle f(x,y)={x \over 1+y}}$
• X = A ² − (0, 0)とします。すると、Xは代数多様体の開部分集合なので代数多様体になります。f がX上の正則関数であれば、fは 上で正則なので においても正則です。同様に、 f は においても正則です。したがって、次のように書くことができます。ここでg、hはk [ x、y ]の多項式です。しかし、これはgがx ⁿで割り切れることを意味し、したがってfは実際には多項式です。したがって、 X上の正則関数の環はk [ x、y ]です。（これはまた、 X がアフィンではあり得ないことも示しています。もしアフィンであれば、Xはその座標環によって決まり、したがってX = A ²となるからです。） ${\displaystyle D_{\mathbf {A} ^{2}}(x)=\mathbf {A} ^{2}-\{x=0\}}$ ${\displaystyle k[D_{\mathbf {A} ^{2}}(x)]=k[\mathbf {A} ^{2}][x^{-1}]=k[x,x^{-1},y]}$ ${\displaystyle k[x,y,y^{-1}]}$ $${\displaystyle f={g \over x^{n}}={h \over y^{m}}}$$
• 点 ( x : 1) をA ¹上の 点xと同一視し、∞ = (1 : 0) とすると、P 1 の自己同型 σ はσ ( ^x : y) = (y : x) で与えられ、特に σ は 0 と ∞ を交換します。f が P 1 上の有理関数である場合、f^が∞で正則であることと、f (1/ z ) が 0 で正則であることは同値です。 ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}=\mathbf {A} ^{1}\cup \{\infty \}}$ $${\displaystyle \sigma ^{\#}(f)=f(1/z)}$$
• 既約代数曲線Vの関数体 k ( V )をとると、関数体上の関数Fはすべて、 Vからk上の射影直線への射影写像として実現される。^{[明確化が必要]} (cf. #Properties) 像は単一の点、あるいは射影直線全体のいずれかとなる（これは射影多様体の完備性の帰結である）。つまり、Fが実際に定数でない限り、 Vのいくつかの点においてFに∞ の値を帰属させる必要がある。
• 任意の代数多様体X , Yに対して、射影は多様体の射影となる。X と Y がアフィンならば、対応する環準同型は となる。 $${\displaystyle p:X\times Y\to X,\,(x,y)\mapsto x}$$ $${\displaystyle p^{\#}:k[X]\to k[X\times Y]=k[X]\otimes _{k}k[Y],\,f\mapsto f\otimes 1}$$ ${\displaystyle (f\otimes 1)(x,y)=f(p(x,y))=f(x)}$

プロパティ

多様体間の射影は、ソースとターゲット上のザリスキ位相に関して連続です。

多様体間の射の像は、必ずしも開でも閉でもない（例えば、 の像は開でも閉でもない）。しかしながら、次のように言える。fが多様体間の射であるならば、 fの像はその閉包の開稠密部分集合を含む（構成可能集合 を参照）。 ${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}\to \mathbf {A} ^{2},\,(x,y)\mapsto (x,xy)}$

代数多様体の射f : X → Yが稠密像を持つとき、それは優勢写像であると言われる。そのようなfに対して、V がYの空でない開アフィン部分集合ならば、 Xの空でない開アフィン部分集合Uが存在し、f ( U ) ⊂ Vが成り立ち、かつ単射となる。したがって、優勢写像f は函数体のレベルで単射を誘導する。 ${\displaystyle f^{\#}:k[V]\to k[U]}$

${\displaystyle k(Y)=\varinjlim k[V]\hookrightarrow k(X),\,g\mapsto g\circ f}$

ここで、直接極限はYのすべての空でない開アフィン部分集合にわたっています。 （より抽象的に言えば、これはYのジェネリック点の剰余体からXの剰余体への誘導写像です。）逆に、体の包含はすべてXからYへの優勢な有理数写像によって誘導されます。^{[3]したがって、上記の構成は、体}k上の代数多様体のカテゴリとそれらの間の優勢な有理数写像と、 kの有限生成体拡大のカテゴリとの間に反変同値性を決定します。^[4] ${\displaystyle k(Y)\hookrightarrow k(X)}$

X が滑らかな完全曲線（例えばP ¹）であり、 f がXから射影空間P ^mへの有理写像である場合、f は正則写像X → P ^mである。^[5]特に、Xが滑らかな完全曲線のとき、X上の任意の有理関数はX → P ^{1 の}射影として見ることができ、逆に、そのような射影はX上の有理関数として見ることができる。

正規多様体（特に滑らかな多様体）上では、有理関数が正則となるための必要十分条件は、余次元1の極を持たないことである。^{[f]これは、}ハートッグスの拡大定理の代数的類似である。この事実には相対的なバージョンも存在する。[2]を参照のこと。

代数多様体間の射で、基礎となる位相空間間の同相写像は、同型である必要はありません (反例はフロベニウス写像 で示されます)。一方、fが全単射双有理で、 fのターゲット空間が正規多様体である場合、fは双正則です (ザリスキの主定理 を参照)。 ${\displaystyle t\mapsto t^{p}}$

複素代数多様体間の正則写像は正則写像である。（実際には若干の技術的な違いがある。正則写像は特異点が除去可能な有理型写像であるが、この区別は実務上は通常無視される。）特に、複素数への正則写像は、通常の正則関数（複素解析関数）にすぎない。

射影空間への射影

させて

${\displaystyle f:X\to \mathbf {P} ^{m}}$

射影多様体から射影空間への射影写像とする。x をXの点とする。すると、f ( x )のi番目の同次座標が非零となる。簡単のため、 i = 0 とする。すると、連続性により、 xの開アフィン近傍Uが存在し、

${\displaystyle f:U\to \mathbf {P} ^{m}-\{y_{0}=0\}}$

は射であり、y _iは同次座標である。対象空間は同一視によってアフィン空間A ^mとなることに注意されたい。したがって、定義により、制約f | _Uは次のように与えられる。 ${\displaystyle (a_{0}:\dots :a_{m})=(1:a_{1}/a_{0}:\dots :a_{m}/a_{0})\sim (a_{1}/a_{0},\dots ,a_{m}/a_{0})}$

${\displaystyle f|_{U}(x)=(g_{1}(x),\dots ,g_{m}(x))}$

ここでg _iはU上の正則関数である。X は射影的であるため、各g _iはXの同次座標環k [ X ]における同次元の分数である。分数はすべて同じ同次分母、例えばf _{0を持つように並べることができる。すると、} k [ X ]の同次元f _iに対してg _i = f _i / f ₀と書くことができる。したがって、同次座標に戻ると、

${\displaystyle f(x)=(f_{0}(x):f_{1}(x):\dots :f_{m}(x))}$

Uの全てのxに対して、またXの全てのxに対して連続的に、 f _iがxで同時に消滅しない限り、成立する。もし f i がXの点xで同時に消滅するならば、上記の手順により、 xで同時に消滅しない別のf _iの集合を選ぶことができる（本節末尾の注を参照）。

実際、上記の記述は、射影多様体 の開部分多様体である任意の準射影多様体 Xに対して有効です。違いは、f _iが の同次座標環内にあることです。 ${\displaystyle {\overline {X}}}$ ${\displaystyle {\overline {X}}}$

注：上記は、射影多様体から射影空間への射影が単一の多項式集合で与えられるとは述べていません（アフィン写像の場合とは異なります）。例えば、X をP ²の円錐写像とします。すると、2つの写像と はXの開集合に一致し（ であるため）、したがって射影 が定義されます。 ${\displaystyle y^{2}=xz}$ ${\displaystyle (x:y:z)\mapsto (x:y)}$ ${\displaystyle (x:y:z)\mapsto (y:z)}$ ${\displaystyle \{(x:y:z)\in X\mid x\neq 0,z\neq 0\}}$ ${\displaystyle (x:y)=(xy:y^{2})=(xy:xz)=(y:z)}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbf {P} ^{1}}$

射影の繊維

重要な事実は次の通りである: ^[6]

定理— f : X → Y を代数多様体の支配的（つまり稠密な像を持つ）射とし、r = dim X  − dim Yとする。すると

1. Yの任意の既約閉部分集合Wと支配Wの任意の既約成分Zについて、 ${\displaystyle f^{-1}(W)}$

   ${\displaystyle \dim Z\geq \dim W+r.}$

2. Yに空でない開部分集合Uが存在し、(a)および(b)がUと交差するYの任意の既約閉部分集合Wと、交差するZの任意の既約成分Zに対して、 ${\displaystyle U\subset f(X)}$ ${\displaystyle f^{-1}(W)}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$

   ${\displaystyle \dim Z=\dim W+r.}$

系— f : X → Yを代数多様体の射とする。X内の各xに対して、

${\displaystyle e(x)=\max\{\dim Z\mid Z{\text{ an irreducible component of }}f^{-1}(f(x)){\text{ containing }}x\}.}$

このとき、eは上半連続である。つまり、各整数nに対して、集合

${\displaystyle X_{n}=\{x\in X\mid e(x)\geq n\}}$

閉まっています。

マンフォードのレッドブックでは、この定理はノイマンの正規化補題を用いて証明されています。ジェネリック自由度が主要な役割を果たし、「普遍カテナリー環」の概念が証明の鍵となる代数的アプローチについては、アイゼンバッド著「代数幾何学に向けた可換代数」第14章を参照してください。実際、そこでの証明は、fが平坦 である場合、定理の2. における次元の等式が一般に（ジェネリックだけでなく）成立することを示しています。

有限射の次数

f : X → Yを体k上の代数多様体間の有限射影写像とする。定義により、fの次数は関数体k ( X )のf ^* k ( Y ) 上の有限体拡大の次数である。ジェネリック自由性により、 Yには空でない開部分集合Uが存在し、構造層O _Xのf ⁻¹ ( U )への制限はO _Y | _U -加群として自由である。この場合、 fの次数はこの自由加群の階数でもある。

fがエタールであり、 X、Yが完備であれば、Y上の任意の連接層 Fに対して、オイラー標数を χ と書くと、

${\displaystyle \chi (f^{*}F)=\deg(f)\chi (F).}$^[7]

(分岐被覆のリーマン・フルヴィッツの公式は、ここでの「エタール」を省略できないことを示しています。)

一般に、fが有限射影写像で、X、Yが完備で、F がY上の連接層である場合、ルレイスペクトル列 から次の式が得られます。 ${\displaystyle \operatorname {H} ^{p}(Y,R^{q}f_{*}f^{*}F)\Rightarrow \operatorname {H} ^{p+q}(X,f^{*}F)}$

${\displaystyle \chi (f^{*}F)=\sum _{q=0}^{\infty }(-1)^{q}\chi (R^{q}f_{*}f^{*}F).}$

特に、Fが線束のテンソル冪であれば、 q が正であればのサポートは正の余次元を持つため、主要項を比較すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle L^{\otimes n}}$ ${\displaystyle R^{q}f_{*}(f^{*}F)=R^{q}f_{*}{\mathcal {O}}_{X}\otimes L^{\otimes n}}$ ${\displaystyle R^{q}f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle \operatorname {deg} (f^{*}L)=\operatorname {deg} (f)\operatorname {deg} (L)}$

(のジェネリックランクはfの次数であるため)。 ${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$

fがエタールであり、kが代数的に閉じている場合、各幾何学的ファイバーf ⁻¹ ( y )は正確にdeg( f )点で構成されます。

参照

• 代数関数
• 滑らかな射影
• エタール射–局所微分同相写像の代数的類似物。
• 特異点の解決
• 縮約写像

注記

1. 定義が一致することを示す議論はここにあります。明らかに、Y = A ^{1と仮定できます。ここでの問題は、「正則性」をつなぎ合わせることができるかどうかです。答えは「はい」であり、これは}アフィン多様体#構造層で説明されているアフィン多様体の構造層の構成から明らかです。
2. しかし、これをどのように証明するかは明確ではありません。X 、Yが準射影的であれば証明は可能です。準射影的でない場合は、抽象多様体の定義に大きく依存します。
3. gがJの多項式である場合、 gはJにあるので、アプリオリな考え方はアフィン空間への写像であるため、の像はYにあります。 ${\displaystyle \phi ^{a}}$ ${\displaystyle \phi ^{a}}$ ${\displaystyle g\circ \phi ^{a}=g(\phi ({\overline {y_{1}}}),\dots ,\phi ({\overline {y_{m}}}))=\phi ({\overline {g}})=0}$
4. 証明：φは代数準同型なので、 ${\displaystyle {\phi ^{a}}^{\#}(g)=g(\phi ({\overline {y_{1}}}),\dots ,\phi ({\overline {y_{m}}}))=\phi (g)}$ ${\displaystyle f^{\#a}=({\overline {y_{1}}}\circ f,\dots ,{\overline {y_{m}}}\circ f)=f.}$
5. 証明: A をxのそのようなアフィン近傍の座標環とする。f = g / h で、A に g があり、A に非零の h があるとき、fはA [ h −1 ] = k [ D ( h ) ]に包含^される。つまり、 fはD ( h )上の正則関数である。
6. 証明: 多様体がアフィンである場合を考え、ネーター整閉領域が高さ 1 の素イデアルにおけるすべての局所化の交差であるという事実を使用すれば十分です。

引用

1. Shafarevich 2013、25ページ、定義。
2. Hartshorne 1997、第I章、§3.。
3. Vakil, 代数幾何学の基礎、命題6.5.7。
4. Hartshorne 1997、第1章、定理4.4.。
5. Hartshorne 1997、第1章、命題6.8。
6. Mumford 1999、第1章、§8。定理2、3。
7. Fulton 1998、例18.3.9.。

参考文献

• フルトン、ウィリアム（1998年）『交差理論』シュプリンガー・サイエンス社、ISBN 978-0-387-98549-7。
• ハリス、ジョー(1992). 『代数幾何学入門』Springer Verlag . ISBN 978-1-4757-2189-8。
• ハーツホーン、ロビン(1997).代数幾何学.シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 0-387-90244-9。
• ジェームズ・ミルン、『代数幾何学』、旧バージョン v. 5.xx。
• マンフォード、デイヴィッド(1999). 『多様体とスキームのレッドブック：曲線とそのヤコビアンに関するミシガン講義 (1974) を収録』 . 数学講義ノート. 第1358巻 (第2版).シュプリンガー・フェアラーク. doi :10.1007/b62130. ISBN 354063293X。
• Shafarevich, Igor R. (2013). 基礎代数幾何学 1. Springer Science . doi :10.1007/978-3-642-37956-7. ISBN 978-0-387-97716-4。
• シルバーマン、ジョセフ・H. (2009). 『楕円曲線の算術』（第2版）. Springer Verlag . ISBN 978-0-387-09494-6。

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Morphism_of_algebraic_varieties&oldid=1314100666"