通常の条件付き確率

Concept in probability theory

確率論において、正規条件付き確率とは、確率変数の結果に対する条件付けの概念を形式化した概念である。結果として得られる条件付き確率分布は、マルコフ核と呼ばれる、パラメータ化された確率測度の族である。

意味

条件付き確率分布

2つの確率変数を考える。Xが与えられたときのYの条件付き確率分布は2変数関数である。 ${\displaystyle X,Y:\Omega \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \kappa _{Y\mid X}:\mathbb {R} \times {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\to [0,1]}$

確率変数Xが離散的で ある場合

${\displaystyle \kappa _{Y\mid X}(x,A)=P(Y\in A\mid X=x)={\begin{cases}{\frac {P(Y\in A,X=x)}{P(X=x)}}&{\text{ if }}P(X=x)>0\\[3pt]{\text{arbitrary value}}&{\text{ otherwise}}.\end{cases}}}$

確率変数X、Yが密度と連続している場合。 ${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)}$

${\displaystyle \kappa _{Y\mid X}(x,A)={\begin{cases}{\frac {\int _{A}f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm {d} y}{\int _{\mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y)\mathrm {d} y}}&{\text{ if }}\int _{\mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm {d} y>0\\[3pt]{\text{arbitrary value}}&{\text{ otherwise}}.\end{cases}}}$

より一般的な定義は条件付き期待値を 用いて与えることができる。 ${\displaystyle e_{Y\in A}:\mathbb {R} \to [0,1]}$

${\displaystyle e_{Y\in A}(X(\omega ))=\operatorname {E} [1_{Y\in A}\mid X](\omega )}$

ほぼすべての場合において、条件付き確率分布は次のように与えられる 。 ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \kappa _{Y\mid X}(x,A)=e_{Y\in A}(x).}$

条件付き期待値と同様に、これはシグマ代数 の条件付けにさらに一般化できます。その場合、条件付き分布は関数 となります。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \Omega \times {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\to [0,1]}$

${\displaystyle \kappa _{Y\mid {\mathcal {F}}}(\omega ,A)=\operatorname {E} [1_{Y\in A}\mid {\mathcal {F}}](\omega )}$

規則性

を操作する場合、それが規則的であることが重要です。つまり、 次のようになります。 ${\displaystyle \kappa _{Y\mid X}}$

1. ほぼすべてのxに対して、は確率測度である ${\displaystyle A\mapsto \kappa _{Y\mid X}(x,A)}$
2. すべてのAに対して、 は測定可能な関数である ${\displaystyle x\mapsto \kappa _{Y\mid X}(x,A)}$

つまり、マルコフカーネルです。 ${\displaystyle \kappa _{Y\mid X}}$

2番目の条件は自明に成り立つが、1番目の条件の証明はより複雑である。Yがラドン空間Sのランダム元である場合、 1番目の条件を満たすa が存在することが示される。 ^[1]正規な条件付き確率分布が存在しない、より一般的な空間を構築することも可能である。^[2] ${\displaystyle \Omega \to S}$ ${\displaystyle \kappa _{Y\mid X}}$

条件付き期待値との関係

離散確率変数と連続確率変数の場合、条件付き期待値は次のように表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [Y\mid X=x]&=\sum _{y}y\,P(Y=y\mid X=x)\\\operatorname {E} [Y\mid X=x]&=\int y\,f_{Y\mid X}(x,y)\,\mathrm {d} y\end{aligned}}}$

ここで、 Xが与えられたときのYの条件付き密度です。 ${\displaystyle f_{Y\mid X}(x,y)}$

この結果は、正規の条件付き確率分布を使用して理論的な条件付き期待値を測定するように拡張できます。

${\displaystyle \operatorname {E} [Y\mid X](\omega )=\int y\,\kappa _{Y\mid \sigma (X)}(\omega ,\mathrm {d} y).}$

正式な定義

を確率空間とし、 を確率変数とし、からその状態空間へのボレル可測関数として定義する。 を標本空間を に「分解」する方法として考えるとよい。測度論の分解定理を用いると、測度を それぞれ について1つずつ、測度の集合に「分解」することができる。正式には、正規条件付き確率は「遷移確率」と呼ばれる関数として定義される。ここで、 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle T:\Omega \rightarrow E}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \{T^{-1}(x)\}_{x\in E}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle \nu :E\times {\mathcal {F}}\rightarrow [0,1],}$

• 任意の に対して、は 上の確率測度である。したがって、 ごとに 1 つの測度を与える。 ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle \nu (x,\cdot )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x\in E}$
• すべての に対して、（写像）は-測度可能であり、 ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \nu (\cdot ,A)}$ ${\displaystyle E\to [0,1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$
• すべての人のために^[3] ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {E}}}$

${\displaystyle P{\big (}A\cap T^{-1}(B){\big )}=\int _{B}\nu (x,A)\,(P\circ T^{-1})(\mathrm {d} x)}$

ここではランダム要素 の分布の押し出し測度、つまり のサポートです。具体的には、とすると となり、 ${\displaystyle P\circ T^{-1}}$ ${\displaystyle T_{*}P}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {supp} T,}$ ${\displaystyle T_{*}P}$ ${\displaystyle B=E}$ ${\displaystyle A\cap T^{-1}(E)=A}$

${\displaystyle P(A)=\int _{E}\nu (x,A)\,(P\circ T^{-1})(\mathrm {d} x),}$

ここで、 はより一般的な用語を使用して表記することができます。 ${\displaystyle \nu (x,A)}$ ${\displaystyle P(A\ |\ T=x)}$

別の定義

ラドン空間 （ボレルシグマ代数を備えたラドン空間上に定義される確率測度）と実数値確率変数Tを考えてみましょう。上述のように、この場合、 Tに関して正規の条件付き確率が存在します。さらに、確率変数Tの特定の値tが与えられた場合の事象Aに対する正規の条件付き確率を、次のように定義することもできます。 ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle P(A\mid T=t)=\lim _{U\supset \{T=t\}}{\frac {P(A\cap U)}{P(U)}},}$

ここで、この極限は、集合包含 に関してtの開近傍Uの網が小さくなるにつれて、網の上でとられる。この極限は、確率空間がRadonであり、かつ論文で述べられているようにTの台においてのみ定義される。これは、遷移確率を Tの台に制約するものである。この極限過程を厳密に記述すると、次のようになる。

任意の事象{ T  =  t }の開近傍Uが存在し、任意の開Vに対して ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle \{T=t\}\subset V\subset U,}$

${\displaystyle \left|{\frac {P(A\cap V)}{P(V)}}-L\right|<\varepsilon ,}$

限界はどこにあるのでしょうか。 ${\displaystyle L=P(A\mid T=t)}$

参照

• 条件付け（確率）
• 崩壊定理
• 付着点
• 限界点

参考文献

1. Klenke, Achim (2013年8月30日).確率論：総合講座（第2版）. ロンドン. ISBN 978-1-4471-5361-0。{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
2. フェイデン, AM, 1985. 正規条件付き確率の存在：必要条件と十分条件.確率年報, 13(1), pp. 288–298.
3. D. レオ・ジュニア 他通常の条件付き確率、確率の分解、およびラドン空間。プロエクセシオネス。 Vol. 23、No. 1、15–29 ページ、2004 年 5 月、北カトリカ大学、チリ、アントファガスタ PDF

外部リンク

• PlanetMathにおける通常の条件付き確率

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Regular_conditional_probability&oldid=1317223775"