規則性理論

正則性は、ラプラス方程式などの偏微分方程式（PDE）の数学的研究における主題であり、弱解の積分可能性と微分可能性について論じられている。ヒルベルトの第19問題はこの概念に関するものであった。^[1]

この研究の動機は次のとおりです。^[2]偏微分方程式を正規の意味で満たす古典解を構築することは難しいことが多いため、最初に弱解を探索し、次にその弱解が古典解として適格なほど滑らかであるかどうかを調べます。

さまざまなタイプの PDE に対していくつかの定理が提案されています。

楕円正則性理論

をの有界な開集合とし、その境界を、変数をと表記する。PDE をの未知の関数に作用する偏微分演算子として表すと、の形の境界積分方程式が得られる。ここでは与えられた関数であり、楕円演算子はの発散形式である。 $U$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\partial U$ $x=(x_{1},...,x_{n})$ $L$ $u=u(x)$ $x\in U$ $\left\{{\begin{aligned}Lu&=f&&{\text{in }}U\\u&=0&&{\text{on }}\partial U,\end{aligned}}\right.$ $f:U\rightarrow \mathbb {R}$ $f=f(x)$ $u:U\cup \partial U\rightarrow \mathbb {R}$ $L$ $Lu(x)=-\sum _{i,j=1}^{n}(a_{ij}(x)u_{x_{i}})_{x_{j}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(x)u_{x_{i}}(x)+c(x)u(x),$

内部正則性: mが自然数の場合、(2)は弱解であり、U内の任意の開集合Vに対してコンパクト閉包(3)が成り立ち、ここでCはU、V、L、mに依存し、これはソボレフの埋め込み定理によりmが無限大の場合でも成り立つ。 $a^{ij},b^{j},c\in C^{m+1}(U),f\in H^{m}(U)$ $u\in H_{0}^{1}(U)$ $\|u\|_{H^{m+2}(V)}\leq C(\|f\|_{H^{m}(U)}+\|u\|_{L^{2}(U)})$ $u\in H_{loc}^{m+2}(U)$
境界の正則性: (2)は、仮定と合わせて、(3)がVをUに置き換えた後でも成立することを示している。つまり、 mが無限大の場合でも成立する。 $\partial U$ $C^{m+2}$ $u\in H^{m+2}(U)$

放物線型正則性と双曲型正則性理論

放物型偏微分方程式と双曲型偏微分方程式は、空間における楕円型作用素Lと外力fによって支配される量uの時間発展を記述する。U の境界は滑らかであり、楕円型作用素は時間に依存しない滑らかな係数、すなわち u であると仮定する。さらに、 uの境界値は0 とする。 $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ $Lu(t,x)=-\sum _{i,j=1}^{n}{\big (}a_{ij}(x)u_{x_{i}}(t,x){\big )}_{x_{j}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(x)u_{x_{i}}(t,x)+c(x)u(t,x).$

解の正則性は次の表で示される。


方程式	$u_{t}+Lu=f$ （放物線）	$u_{tt}+Lu=f$ （双曲線）
初期条件	$u(0)\in H_{x}^{2m+1}$	$u(0)\in H_{x}^{m+1},\,(\partial _{t}u)(0)\in H_{x}^{m}$
外力	$\partial _{t}^{k}f\in L_{t}^{2}H_{x}^{2(m-k)}\,(k=1,\dots m)$	$\partial _{t}^{k}f\in L_{t}^{2}H_{x}^{m-k}\,(k=1,\dots m)$
解決	$\partial _{t}^{k}u\in L_{t}^{2}H_{x}^{2(m+1-k)},\,(k=1,\dots ,m+1)$	$\partial _{t}^{k}u\in L_{t}^{\infty }H_{x}^{m+1-k},\,(k=1,\dots ,m+1)$

ここで、mは自然数、空間変数、tは時間変数、H ^{s は}二乗積分可能な弱導関数を持つ関数のソボレフ空間、L t _p^Xは積分可能なX値関数のボホナー空間です。 $x\in U$

反例

すべての弱解が滑らかであるとは限らない。例えば、保存則の弱解には衝撃波と呼ばれる不連続性が存在する可能性がある。^[3]

参考文献

^ Fernández-Real, Xavier; Ros-Oton, Xavier (2022-12-06).楕円偏微分方程式の正則性理論. arXiv : 2301.01564 . doi :10.4171/ZLAM/28. ISBN 978-3-98547-028-0. S2CID 254389061。
^ エヴァンス、ローレンス・C. (1998). 偏微分方程式(PDF) . プロビデンス (RI): アメリカ数学協会. ISBN 0-8218-0772-2。
^ スモラー、ジョエル.衝撃波と反応—拡散方程式（第2版）. シュプリンガー・ニューヨーク, NY. doi :10.1007/978-1-4612-0873-0. ISBN 978-0-387-94259-9。

[Elliptic-1] Fernández-Real, Xavier; Ros-Oton, Xavier (2022-12-06).楕円偏微分方程式の正則性理論. arXiv : 2301.01564 . doi :10.4171/ZLAM/28. ISBN 978-3-98547-028-0. S2CID 254389061。

[Evans-2] エヴァンス、ローレンス・C. (1998). 偏微分方程式(PDF) . プロビデンス (RI): アメリカ数学協会. ISBN 0-8218-0772-2。

[Smoller-3] スモラー、ジョエル.衝撃波と反応—拡散方程式（第2版）. シュプリンガー・ニューヨーク, NY. doi :10.1007/978-1-4612-0873-0. ISBN 978-0-387-94259-9。