規制積分

規制関数の積分の定義

数学において、正規積分（せいぞうりつ）とは、階段関数の一様極限として定義される正規関数の積分の定義である。リーマン積分の代わりに正規積分を用いることは、ニコラ・ブルバキとジャン・デュドネによって提唱された。

意味

ステップ関数の定義

[ a , b ] を実数直線R上の固定された閉有界区間とする。実数値関数φ  : [ a ,  b ] → R は、有限分割が存在するときステップ関数と呼ばれる。

${\displaystyle \Pi =\{a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{k}=b\}}$

Πの各開区間( t _i , t _{i +1 )において}φが一定となるような [ a , b ]の定数をc _i ∈ Rとする。ステップ関数φの積分を次のように 定義する。

${\displaystyle \int _{a}^{b}\varphi (t)\,\mathrm {d} t:=\sum _{i=0}^{k-1}c_{i}|t_{i+1}-t_{i}|.}$

この定義は分割の選択とは無関係であることが示されており、Π ₁が [ a ,  b ]の別の分割であり、 φ がΠ ₁の開区間上で一定である場合、 φの積分の数値はΠ ₁の場合も Π の場合も同じです。

規制対象機能への拡張

関数f  : [ a , b ] → Rが [ a , b ]上のステップ関数の列の一様極限である場合、それは規制関数と呼ばれます。

• ステップ関数の列 ( φ _n ) _{n ∈ N}が存在し、 || φ _n − f || _∞ → 0としてn → ∞となる。または、
• すべてのε > 0に対して、ステップ関数φ _εが存在し、|| φ _ε − f || _∞ < εとなる。または、
• fはステップ関数の空間の閉包に属し、ここで閉包はすべての有界関数[ a , b ] → Rの空間でとられ、上限ノルム|| ⋅ || _∞に関してとられる。または同等に、
• 任意のt∈ [ a , b )に対して、右側の極限

  ${\displaystyle f(t+)=\lim _{s\downarrow t}f(s)}$

  が存在し、任意のt∈ ( a , b ]に対して、左側の極限

  ${\displaystyle f(t-)=\lim _{s\uparrow t}f(s)}$

  も存在します。

規制関数fの積分を次のように定義する。

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t:=\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}\varphi _{n}(t)\,\mathrm {d} t,}$

ここで、( φ _n ) _{n ∈ N}はfに均一に収束するステップ関数の任意のシーケンスです。

この限界が存在し、選択されたシーケンスに依存しないことを確認する必要がありますが、これは基本関数解析の連続線型拡張定理から直接導かれる結果です。ノルム線型空間Eの稠密 線型部分空間_{E 0}上_に定義され、バナッハ空間 F に値を取る有界線型演算子 T 0 は、同じ (有限)演算子ノルムを持つ有界線型演算子T  : E → Fに一意に拡張されます。

規制積分の性質

• 積分は線形演算子である。任意の規定関数fとg、定数αとβに対して、

  ${\displaystyle \int _{a}^{b}\alpha f(t)+\beta g(t)\,\mathrm {d} t=\alpha \int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t+\beta \int _{a}^{b}g(t)\,\mathrm {d} t.}$

• 積分は有界演算子でもある。すべての規制関数fは有界であり、すべてのt∈ [ a , b ]に対してm≤f ( t ) ≤Mが成り立つならば、

  ${\displaystyle m|b-a|\leq \int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t\leq M|b-a|.}$

  特に：

  ${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t\right|\leq \int _{a}^{b}|f(t)|\,\mathrm {d} t.}$

• ステップ関数は積分可能であり、積分可能性とリーマン積分の値は均一な極限と互換性があるため、規制積分はリーマン積分の特殊なケースです。

実数直線全体上で定義された関数への拡張

ステップ関数と規制関数、および付随積分の定義を、実数直線上で定義された関数に拡張することは可能です。ただし、いくつかの技術的な点に注意する必要があります。

• ステップ関数が一定であることが要求される開区間の分割は可算集合であっても良いが、離散集合、すなわち極限点を持たない集合でなければならない。
• 一様収束の要件は、コンパクト集合、すなわち閉じた有界区間における一様収束の要件まで緩和されなければならない。
• すべての有界関数が積分可能であるわけではない（例えば、定数値1を持つ関数）。このことから局所積分可能性という概念が生まれる。

ベクトル値関数への拡張

上記の定義は、バナッハ空間X内の値を取る関数の場合にも準用されます。

参照

• ルベーグ積分
• リーマン積分

参考文献

• ベルベリアン, SK (1979). 「規制関数：ブルバキによるリーマン積分の代替」.アメリカ数学月刊. 86 (3). アメリカ数学会誌: 208. doi :10.2307/2321526. JSTOR  2321526.
• ゴードン、ラッセル A. (1994).ルベーグ、デンジョイ、ペロン、ヘンストックの積分.数学大学院研究科, 4. プロビデンス、ロードアイランド州: アメリカ数学会. ISBN 0-8218-3805-9。

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