レグルス（幾何学）

3次元空間における表面

1枚の双曲面の規則を示すための、レグルスとその反対の一部の弦モデル

3 次元空間では、レグルス Rは、すべての点がRの要素と 1 回だけ交差する横断線上にあり、横断線上のすべての点がRの直線上にあるような斜線の集合です。

Rの横断面の集合は、対となるレグルス Sを形成する。和集合R ∪ Sは、1枚の双曲面の線織面である。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

任意の3本の斜めの直線は、レギュラ線のペアを生成する: ^[1]

1. これら3つすべてと交わる直線の集合は、二次曲面を描きます。この二次曲面の線分がレグルスです。
2. ガルッチの定理によれば、レグルス内のすべての直線と交差する直線の集合は、補レグルスまたは関連レグルスと呼ばれます。

レグルスを構成する3本の直線は、補レグルスを生成し、その逆も同様です。レグルス面は、これらの3本の直線を含む唯一の二次曲面です。2本のレグルスは同じ面を描き、二重線織面であることを示しています。

シャーロット・スコットによれば、「レグルスは円錐曲線の性質の非常に単純な証明を提供する...シャスル、ブリアンション、パスカルの定理...」^[2]

有限幾何学PG(3, q )において、レギュラスはq + 1本の直線を持つ。^[3]例えば、1954年にウィリアム・エッジはPG(3,3)において4本の直線からなるレギュラスのペアを記述した。^[4]

ロバート・J・T・ベルは、レグルスが動く直線によってどのように生成されるかを説明した。まず、双曲面は次のように分解される。 ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}\ =\ 1}$

${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}+{\frac {z}{c}}\right)\left({\frac {x}{a}}-{\frac {z}{c}}\right)\ =\ \left(1+{\frac {y}{b}}\right)\left(1-{\frac {y}{b}}\right).}$

すると、λ と μ でパラメータ化された 2 つの直線系は次の式を満たします。

${\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {z}{c}}\ =\ \lambda \left(1+{\frac {y}{b}}\right),\quad {\frac {x}{a}}-{\frac {z}{c}}\ =\ {\frac {1}{\lambda }}\left(1-{\frac {y}{b}}\right)}$そして

${\displaystyle {\frac {x}{a}}-{\frac {z}{c}}\ =\ \mu \left(1+{\frac {y}{b}}\right),\quad {\frac {x}{a}}+{\frac {z}{c}}\ =\ {\frac {1}{\mu }}\left(1-{\frac {y}{b}}\right).}$

最初の直線の集合のどの要素も、2番目の直線の要素とは一致しない。λまたはμが変化すると、双曲面が生成される。2つの集合は、レギュラスとその反対を表す。ベルは解析幾何学を用いて、集合内の2つの生成元は交差しないこと、そして反対のレギュラス内の2つの生成元は交差し、その点で双曲面に接する平面を形成することを証明した。(155ページ) ^[5]

参照

• 広がり（射影幾何学）
• 翻訳平面 § Reguli と通常のスプレッド

参考文献

1. HSM Coxeter (1969)幾何学入門、259ページ、 John Wiley & Sons
2. シャーロット・アンガス・スコット (1905) レグルスによる円錐曲線の基本的扱い、アメリカ数学会報12(1): 1–7
3. Albrecht Beutelspacher & Ute Rosenbaum (1998) Projective Geometry、72ページ、 Cambridge University Press ISBN 0-521-48277-1
4. WL Edge (1954)「GF(3)上の3次元幾何学」、王立協会紀要A 222: 262–86 doi :10.1098/rspa.1954.0068
5. Robert JT Bell (1910) An Elementary Treatise on Co-ordinate Geometry of Three Dimensions、148ページ、インターネットアーカイブより

• HG Forder (1950) 『幾何学』、118 ページ、ハッチンソン大学図書館。

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