グループのプレゼンテーション

Specification of a mathematical group by generators and relations

数学において、表現は群を特定する方法の一つである。群Gの表現は、生成元の集合S （群のすべての元がこれらの生成元の冪乗の積として表せる）と、それらの生成元間の関係の集合Rから構成される。したがって、 Gは表現を持つと言える。

${\displaystyle \langle S\mid R\rangle .}$

非公式には、G がSによって関係Rのみを条件として生成される「最も自由な群」である場合、G は上記の表現を持つとされる。公式には、GがS上の自由群を関係Rによって生成される正規部分群で割った商と同型である場合、G は上記の表現を持つとされる。

簡単な例として、位数nの巡回群は次のように表される。

${\displaystyle \langle a\mid a^{n}=1\rangle ,}$

ここで1は群の単位元である。これは次のようにも書ける。

${\displaystyle \langle a\mid a^{n}\rangle ,}$

これは、等号を含まない項は群の単位元と等しいとみなされるという慣例によるものです。このような項は関係子と呼ばれ、等号を含む関係と区別されます。

どのグループにもプレゼンテーションがあり、実際にはさまざまなプレゼンテーションがあります。プレゼンテーションは、多くの場合、グループの構造を説明する最も簡潔な方法です。^{[引用が必要]}

密接に関連しているが異なる概念は、グループの絶対的なプレゼンテーションです。

背景

集合S上の自由群とは、各要素が次の形式の有限長積として一意に記述できる群である。

${\displaystyle s_{1}^{a_{1}}s_{2}^{a_{2}}\cdots s_{n}^{a_{n}}}$

ここで、s _iはSの要素であり、隣接するs _iは互いに異なり、a _iは非ゼロの整数である（ただしnはゼロでもよい）。より簡潔に言えば、この群は生成元とその逆元に含まれる単語から構成され、生成元は隣接する逆元と相殺されるという条件のみを満たす。

Gが任意のグループであり、SがGの生成部分集合である場合、Gのすべての要素も上記の形式になります。ただし、一般に、これらの積はGの要素を一意に記述するものではありません。

たとえば、位数 16 の二面体群D ₈は位数 8 の回転rと位数 2 の反転fによって生成でき、D ₈の任意の要素は確かにrとfの積になります。

しかし、例えばrfr = f ⁻¹、r ⁷ = r ⁻¹などがあり、このような積はD ₈において一意ではない。このような積の同値性は、次のように恒等式と等価であることで表現できる。

rfrf = 1、

r ⁸ = 1、または

f ^{‍ 2} = 1 です。

非公式には、これらの左辺の積を自由群F = ⟨ r , f  ⟩の元とみなし、R = ⟨ rfrf , r ⁸ , f ^{‍ 2} ⟩とすることができる。つまり、Rをrfrf , r ⁸ , f ^{‍ 2}という文字列によって生成される部分群とし、これらの文字列はそれぞれ D ₈の積として考えると 1 となる。

ここで、Rのすべての共役元x ⁻¹ Rxによって生成されるFの部分群をNとすると、定義により、Nのすべての元はそのような共役元の有限積x ₁ ⁻¹ r ₁ x ₁ ... x _m ⁻¹ r _m x _mとなる。したがって、Nの各元は、 D ₈の積として考えると 1 となる。したがって、NはFの正規部分群である。したがって、 D _8は商群F / Nと同型である。したがって、 D ₈は表示

${\displaystyle \langle r,f\mid r^{8}=1,f^{2}=1,(rf)^{2}=1\rangle .}$

ここで、生成元集合はS = { r , f  }、関係集合はR = { r ⁸ = 1, f ² = 1, ( rf ) ² = 1}である。Rはしばしば省略形として用いられ、次のように表される 。

${\displaystyle \langle r,f\mid r^{8}=f^{2}=(rf)^{2}=1\rangle .}$

さらに短縮した形では、等号と単位元記号を省略し、関係詞の集合{ r ⁸ , f ² , ( rf ) ² }のみを列挙する。こうすると、

${\displaystyle \langle r,f\mid r^{8},f^{2},(rf)^{2}\rangle .}$

これら 3 つのプレゼンテーションはすべて同等です。

表記

この記事で使用されている⟨ S | R ⟩という表記は現在では最も一般的ですが、初期の著者は同じ形式の異なる表記を使用していました。そのような表記には以下のようなものがあります。 ^[要出典]

• ⟨ S | R ⟩
• （S | R）
• { S ; R }
• ⟨ S ; R ⟩

意味

Sを集合とし、F S_をS上の自由群とする。RをS上の単語集合とすると、R は自然に の部分集合を与える。 の表示を持つ群を形成するには、 Rの各元を含む最小の正規部分群での商をとる。（この部分群はにおけるRの正規閉包Nと呼ばれる。）この群は商群として定義される。 ${\displaystyle F_{S}}$ ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ ${\displaystyle F_{S}}$ ${\displaystyle F_{S}}$ ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$

${\displaystyle \langle S\mid R\rangle =F_{S}/N.}$

Sの元はの生成元と呼ばれ、 Rの元はの関係元と呼ばれる。群Gが と同型であるとき、G はの表示 を持つと言われる。^[1] ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$

関係詞は、 xとy がS上の語であるような形で表記されるのが一般的です。これは を意味します。これは、 xとyの像が商群において等しいと仮定するという直感的な意味を持ちます。したがって、例えば、関係詞のリストにおけるr ^{n は}と同値です。^[1] ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle y^{-1}x\in R}$ ${\displaystyle r^{n}=1}$

有限群Gに対して、群の乗法表から以下のようにGの表現を構築することができる。SをGの集合元とし、R をの形をしたすべての語とする。ここでは乗法表の項である。 ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}g_{j}g_{k}^{-1}}$ ${\displaystyle g_{i}g_{j}=g_{k}}$

別の定義

グループ表現の定義は、アルファベット上の単語の同値類という観点から書き直すこともできる。この観点から、2つの単語が等価であるとは、一連の移動によって一方から他方へ移動可能である場合を言う。各移動は、S内の任意のxに対して連続するペアを追加または削除するか、関係詞の連続するコピーを追加または削除することで構成される。グループ要素は同値類であり、グループ演算は連結である。^[1] ${\displaystyle S\cup S^{-1}}$ ${\displaystyle xx^{-1}}$ ${\displaystyle x^{-1}x}$

この見方は、特に組合せ群論の分野では一般的です。

有限提示群

Sが有限で、 Rが有限であれば有限関係にある表現は有限生成であると言われる。両方が有限であれば有限表現であると言われる。群は有限生成（それぞれ有限関係、有限生成的提示（または有限関係、有限提示）を持つ群は、有限提示群と呼ばれます。単一の関係を持つ有限提示を持つ群は、一関係子群。

再帰的に提示されたグループ

S がすべての自然数Nまたはその有限サブセットからなるセットIでインデックス付けされている場合、 S 上の自由群から自然数への単純な 1 対 1 コーディング (またはゲーデル番号付け) f  : F _S → Nを設定するのは簡単で、 f ( w )が与えられればwを計算し、その逆も行うアルゴリズムを見つけることができます。その後、 f ( U ) が再帰的(それぞれ再帰的に列挙可能) であれば、 F _SのサブセットU を再帰的(それぞれ再帰的に列挙可能)と呼ぶことができます。Sが上記のようにインデックス付けされ、Rが再帰的に列挙可能である場合、プレゼンテーションは再帰的プレゼンテーションであり、対応するグループは再帰的にプレゼンテーションされます。この使用法は奇妙に思えるかもしれませんが、グループがRが再帰的に列挙可能なプレゼンテーションを持つ場合、 Rが再帰的な別のプレゼンテーションを持つことを証明することは可能です。

すべての有限生成群は再帰的に提示されるが、再帰的に提示されるにもかかわらず有限に提示されない群も存在する。しかし、グラハム・ヒグマンの定理によれば、有限生成群が再帰的提示を持つのは、有限生成群に埋め込むことができる場合のみである。^[2]この定理から、有限生成の再帰的に提示される群は（同型性を除いて）可算個しかないことが分かる。ベルンハルト・ノイマンは、同型でない二生成群が無数に存在することを示した。したがって、有限生成群であっても再帰的に提示されない群が存在する。

歴史

生成元と関係による群の最も初期の提示の一つは、1856年にアイルランドの数学者ウィリアム・ローワン・ハミルトンによって行われたイコシアン計算（イコサヘドロン群の提示）である。^[3]最初の体系的な研究は、1880年代初頭にフェリックス・クラインの弟子であるヴァルター・フォン・ディックによって行われ、組合せ群論の基礎が築かれた。^[4]

例

以下の表は、一般的に研究されるグループにおけるプレゼンテーションの例をいくつか示しています。各ケースにおいて、他にも様々なプレゼンテーションが可能であることにご注意ください。記載されているプレゼンテーションが必ずしも最も効率的なものであるとは限りません。

グループ	プレゼンテーション	コメント
Sの無料グループ	${\displaystyle \langle S\mid \varnothing \rangle }$	自由グループは、いかなる関係にも従わないという意味で「自由」です。
${\displaystyle \pi _{1}(S_{g})}$、向き付け可能な種数の曲面群 ${\displaystyle g\geq 0}$	${\displaystyle \left\langle a_{1},b_{1},\ldots ,a_{g},b_{g}|[a_{1},b_{1}][a_{2},b_{2}]\ldots [a_{g},b_{g}]\right\rangle }$	括弧は整流子を表します。 ${\displaystyle [a,b]=aba^{-1}b^{-1}}$
C n、位数nの巡回群	${\displaystyle \langle a\mid a^{n}\rangle }$
D n、位数2 nの二面体群	${\displaystyle \langle r,f\mid r^{n},f^{2},(rf)^{2}\rangle }$	ここでrは回転、fは反射を 表す。
D ∞、無限二面体群	${\displaystyle \langle r,f\mid f^{2},(rf)^{2}\rangle }$
Dic n、二環式基	${\displaystyle \langle r,f\mid r^{2n},r^{n}=f^{2},frf^{-1}=r^{-1}\rangle }$	四元数群Q 8はn = 2のときの特別なケースである。
Z × Z	${\displaystyle \langle x,y\mid xy=yx\rangle }$
Z / m Z × Z / n Z	${\displaystyle \langle x,y\mid x^{m},y^{n},xy=yx\rangle }$
S上の自由アーベル群	${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ここでRはSの元の交換子の集合である。
S n、n個の記号上の対称群	ジェネレータ:関係: ${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}=1}$、 ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\mbox{ if }}j\neq i\pm 1}$、 ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}\ }$ 最後の関係式は次のように変換できる。 ${\displaystyle {(\sigma _{i}\sigma _{i+1}})^{3}=1\ }$ を使用します。 ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}=1}$	ここで、σ iはi番目の要素とi +1 番目の要素を入れ替える順列です。積σ i σ i +1は集合 { i , i +1, i +2}上の 3 巡回です。
B n、組紐群	ジェネレータ: ${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}}$ 関係: ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\mbox{ if }}j\neq i\pm 1}$、 ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}\ }$	対称群との類似性に注意してください。唯一の違いは、関係が削除されていることです。 ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}=1}$
V 4 ≅ D 2、クライン4群	${\displaystyle \langle s,t\mid s^{2},t^{2},(st)^{2}\rangle }$
T ≅ A 4、四面体群	${\displaystyle \langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{3}\rangle }$
O ≅ S 4、八面体群	${\displaystyle \langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{4}\rangle }$
I ≅ A 5、二十面体群	${\displaystyle \langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle }$
Q 8、四元数群	${\displaystyle \langle i,j\mid i^{4},jij=i,iji=j\rangle \,}$	別の表現については、上記の Dic nで n=2 の場合を参照してください。
SL(2, Z )	${\displaystyle \langle a,b\mid aba=bab,(aba)^{4}\rangle }$	位相的にaとbはトーラス上のデーンのねじれとして視覚化できる
GL(2, Z )	${\displaystyle \langle a,b,j\mid aba=bab,(aba)^{4},j^{2},(ja)^{2},(jb)^{2}\rangle }$	非自明なZ /2 Z – SL(2, Z ) の群拡張
PSL(2, Z )、モジュラー群	${\displaystyle \langle a,b\mid a^{2},b^{3}\rangle }$	PSL(2, Z )は巡回群Z /2 ZとZ /3 Zの自由積である。
ハイゼンベルク群	${\displaystyle \langle x,y,z\mid z=xyx^{-1}y^{-1},xz=zx,yz=zy\rangle }$
BS( m , n )、バウムスラッグ・ソリター群	${\displaystyle \langle a,b\mid a^{n}=ba^{m}b^{-1}\rangle }$
おっぱいグループ	${\displaystyle \langle a,b\mid a^{2},b^{3},(ab)^{13},[a,b]^{5},[a,bab]^{4},((ab)^{4}ab^{-1})^{6}\rangle }$	[ a , b ] は交換子である

有限生成群だが有限提示でない群の例としては、整数群とそれ自身と の花輪積が挙げられます。 ${\displaystyle \mathbf {Z} \wr \mathbf {Z} }$

いくつかの定理

定理。各グループにプレゼンテーションがあります。

これを確かめるために、群Gが与えられたとき、 G上の自由群F _Gを考えてみましょう。自由群の普遍性により、 Gへの制限が恒等写像である唯一の群準同型φ : F _G → Gが存在します。この準同型の核をKとします。するとKはF _Gにおいて正規なので、その正規閉包に等しいので、⟨ G | K ⟩ = F _G / Kとなります。恒等写像は射影的であるため、φも射影的であり、第一同型定理により、⟨ G | K ⟩ ≅ im( φ ) = Gとなります。この表現は、 GとKの両方が必要以上に大きい場合、非常に非効率的になる可能性があります。

系。すべての有限群は有限の表現を持つ。

グループの要素を生成元として取り、ケーリー表を関係として取ることができます。

ノビコフ・ブーン定理

群に関する単語問題の否定解は 、2つの単語u、vが与えられたときに、 uとvが群内の同じ元を表すかどうかを判定するアルゴリズムが存在しない有限表現 ⟨ S | R ⟩が存在することを述べている。これは1955年にピョートル・ノビコフによって示され^[5] 、 1958年にウィリアム・ブーンによって異なる証明が得られた^[6]。

建設

Gがプレゼンテーション⟨ S | R ⟩を持ち、Hがプレゼンテーション⟨ T | Q ⟩を持ち、SとTが互いに素であるとする。すると

• 自由積 G ∗ Hは表現⟨ S , T | R , Q ⟩を持つ。
• 直積G × Hは ⟨S , T | R , Q , [ S , T ]⟩という表現を持ち、ここで[ S , T ]はSのすべての要素がTのすべての要素と可換であることを意味する（交換子を参照）。
• 半直積 G⋊φHは ⟨S , T | R , Q , { tst − 1φt ( _s ) ^{−1 |} sinS , tinT } ⟩で表される。[ ⁷ ]​_​​​

欠乏

有限表示⟨ S | R ⟩の不足は| S | − | R |であり、有限表示群Gの不足はdef( G ) と表記され、 Gのすべての表示における不足の最大値である。有限群の不足は非正である。有限群Gのシュアー乗法子は−def( G ) 個の生成子によって生成でき、この数が必要な場合、 Gは効率的である。 ^[8]

幾何群論

群の表現は、幾何学群論の意味で幾何学を決定します。例えば、ケーリーグラフは計量（メトリック）を持ち、これを語計量と呼びます。また、これらには弱順序とブルハ順序という2つの順序と、それに対応するハッセ図が存在します。重要な例として、コクセター群が挙げられます。

さらに、このグラフのいくつかの特性（粗い幾何学）は本質的であり、つまり生成元の選択に依存しません。

参照

• ニールセン変換
• モジュールのプレゼンテーション
• モノイドの表現
• 集合構築記法
• ティーツェ変換

注記

1. ペイファー, デイヴィッド (1997). 「組合せ群論と言葉の問題入門」.数学マガジン. 70 (1): 3– 10. doi :10.1080/0025570X.1997.11996491.
2. Higman, G. (1961-08-08). 「有限提示群の部分群」 . Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences . 262 (1311): 455– 475. Bibcode :1961RSPSA.262..455H. doi :10.1098/rspa.1961.0132. ISSN  0080-4630. S2CID  120100270.
3. サー・ウィリアム・ローワン・ハミルトン(1856). 「統一の根源に関する新たな体系に関する覚書」(PDF) . Philosophical Magazine . 12 : 446. 2003年6月26日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) .
4. スティルウェル、ジョン（2002年）『数学とその歴史』シュプリンガー、374頁。ISBN 978-0-387-95336-6。
5. Novikov, Pyotr S. (1955)、「群論における語句問題のアルゴリズム的不可能性について」、ステクロフ数学研究所紀要（ロシア語）、44 : 1– 143、Zbl  0068.01301
6. ブーン、ウィリアム・W. (1958)、「単語問題」(PDF)、米国科学アカデミー紀要、44 (10): 1061– 1065、Bibcode :1958PNAS...44.1061B、doi : 10.1073/pnas.44.10.1061、PMC 528693、PMID  16590307、Zbl 0086.24701、 2015年9月24日時点のオリジナルより アーカイブ(PDF) 
7. Johnson, DL (1990). グループのプレゼンテーション. ケンブリッジ（イギリス）; ニューヨーク（アメリカ）: ケンブリッジ大学出版局. p. 140. ISBN 9780521585422。
8. Johnson, DL; Robertson, EL (1979). 「有限群の欠乏零点」. Wall, CTC (編).ホモロジー群論. ロンドン数学会講義録シリーズ. 第36巻.ケンブリッジ大学出版局. pp.  275– 289. ISBN 0-521-22729-1. Zbl  0423.20029.

参考文献

• コクセター, HSM ; モーザー, WOJ (1980). 『離散群の生成元と関係』 ニューヨーク: シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 0-387-09212-9。― この便利な参考書には、すべての小さな有限群、反射群などの表現表が掲載されています。
• ジョンソン, DL (1997).グループの提示（第2版）. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-58542-2。― シュライアー法、ニールセン法、自由表現、サブグループと HNN 拡張、ゴロド・シャファレヴィッチの定理など。
• シムズ、チャールズ・C. (1994).有限提示群による計算（第1版）. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-13507-8。― 理論計算機科学、計算数論、計算可換代数などからの基礎アルゴリズム。

外部リンク

• ド・コルヌリエ、イヴ。 「グループプレゼンテーション」。マスワールド。
• 小グループとGroupNamesでのプレゼンテーション

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