アーベル積分

第一種微分不定積分に関連する関数

数学において、アーベル積分はノルウェーの数学者ニールス・ヘンリック・アーベルにちなんで名付けられた、複素平面における次の形式の積分です

${\displaystyle \int _{z_{0}}^{z}R(x,w)\,dx,}$

ここで、は における既約多項式である。 ${\displaystyle R(x,w)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle F(x,w)=0,}$

の係数,はの有理関数であるである ${\displaystyle F(x,w)}$ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle F(x,w)\equiv \varphi _{n}(x)w^{n}+\cdots +\varphi _{1}(x)w+\varphi _{0}\left(x\right),}$

アーベル積分は楕円積分の自然な一般化であり、 ${\displaystyle \varphi _{j}(x)}$ ${\displaystyle j=0,1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$

ここで、 は 3 次または 4 次多項式です。アーベル積分のもう 1 つの特殊なケースは超楕円積分 で

${\displaystyle F(x,w)=w^{2}-P(x),\,}$

歴史 ${\displaystyle P\left(x\right)}$ ${\displaystyle P(x)}$

[編集]

^{アーベル積分の理論は、1841年に発表されたアーベル[1]}の論文に端を発しています。この論文は、彼が1826年にパリ滞在中に執筆され、同年10月にオーギュスタン＝ルイ・コーシーに提出されました。この理論は、後に他の人々によって完全に発展させられ、 ^[2] 19世紀数学の最高の成果の一つであり、現代数学の発展に大きな影響を与えました。より抽象的で幾何学的な言葉で言えば、それはアーベル多様体の概念、より正確には代数曲線をアーベル多様体に写像する方法に含まれています。アーベル積分は後に著名な数学者ダヴィド・ヒルベルトの16番目の問題と関連付けられ、現代数学における最も重要な課題の一つと考えられ続けています

現代的な視点

リーマン面の理論において、アーベル積分は第一種微分の不定積分に関連する関数です。リーマン面と、その上で 上のどこでも正則な微分1形式が与えられ、上の点を固定してそこから積分するとします ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \int _{P_{0}}^{P}\omega }$

多価関数 、あるいは（より正確には）からへの選択された経路の正直な関数として表される。は一般に多重連結であるため、 を指定すべきであるが、その値は実際にはのホモロジー類にのみ依存する。 ${\displaystyle f\left(P\right)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

種数1のコンパクトリーマン面、つまり楕円曲線の場合、そのような関数は楕円積分です。 ${\displaystyle S}$

このような関数は、超楕円積分、すなわち が超楕円曲線の場合の研究のために初めて導入されました。これは、 が次数の多項式である代数関数 を含む積分の場合への積分理論の自然な流れです。この理論の最初の主要な洞察はアーベルによって与えられ、後にヤコビ多様体を用いて定式化されました。 を選択すると、標準的な正則関数が得られます。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\sqrt {A}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle >4}$ ${\displaystyle J\left(S\right)}$ ${\displaystyle P_{0}}$

${\displaystyle S\to J(S)}$

複素多様体の。 上の正則 1-形式（ gがSの種数ならばg個の独立な形式が存在する）がS上の第一種微分に対する基底に 引き戻されるという定義的性質を持つ。 ${\displaystyle S\to J(S)}$

注釈

1. アベル 1841
2. アペル＆ゴーサット 1895、248ページ

参考文献

• アベル、ニールス・H. (1841). 「超越機能の最も顕著なクラスの一般的特性に関する回想録」.フランス研究所王立科学アカデミーの多様な学者による回想録（フランス語）. パリ. pp.  176– 264
• ポール・アペル;グルサ、エドゥアール（1895）。Théorie des fonctions algébriques et de leurs intégrales (フランス語)。パリ：ゴーティエ・ヴィラール。
• ブリス、ギルバート・A. (1933). 『代数関数』 プロビデンス：アメリカ数学会.
• フォーサイス、アンドリュー・R. (1893). 『複素変数関数論』 プロビデンス：ケンブリッジ大学出版局.
• グリフィス、フィリップ；ハリス、ジョセフ（1978年）『代数幾何学の原理』ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ
• カール・ノイマン(1884)。Vorlesungen über Riemann の Theorie der Abel'schen Integrale (第 2 版)。ライプツィヒ：BGトイブナー。

「https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=アーベル積分&oldid=1319558343」より取得