菱面体

6つの菱形を面とする多面体

菱面体
タイプ	プリズム
顔	6つの菱形
エッジ	12
頂点	8
対称群	C i , [2 + ,2 + ], (×)、順序2
プロパティ	凸状、正三角形、ゾノヘドロン、平行面体

幾何学において、菱面体（菱形六面体^{[1] [2]}、あるいは不正確では菱形^{[a]とも呼ばれる）は、6 つの面すべてが合同な}菱形である平行六面体の特殊なケースである。^{[3]これは、}菱面体格子システム、つまり菱面体セルを持つハニカム構造を定義するために使用できる。菱面体には、すべての面の角度が等しい2 つの頂点がある。長菱面体ではこの共通角は鋭角であり、扁平菱面体ではこれらの頂点で鈍角である。立方体は、すべての面が正方形である菱面体の特殊なケースである。

特殊なケース

二つの頂点の共通角は と表される。菱面体には、扁平（平ら）と長長（引き伸ばされた）の2つの一般的な形状がある。 ${\displaystyle \theta }$

扁平菱面体	長楕円体

扁平の場合と長円の場合。図形は立方体です。 ${\displaystyle \theta >90^{\circ }}$ ${\displaystyle \theta <90^{\circ }}$ ${\displaystyle \theta =90^{\circ }}$

菱形の特定の比率によっては、よく知られた特殊なケースがいくつか生じます。これらは典型的には、長楕円形と扁楕円形の両方で発生します。

形状	キューブ	√2 菱面体	黄金菱面体
角度 制約	${\displaystyle \theta =90^{\circ }}$
対角線の比	1	√2	黄金比
発生	レギュラーソリッド	菱形十二面体の分解	菱形三十面体の分解

立体幾何学

単位（辺の長さが1）の菱面体^[4]において、鋭角の菱形をしており、頂点の1つが原点（0, 0, 0）にあり、1つの辺がx軸に沿っている場合、3つの生成ベクトルは次のようになる。 ${\displaystyle \theta ~}$

e ₁  : ${\displaystyle {\biggl (}1,0,0{\biggr )},}$

e ₂  : ${\displaystyle {\biggl (}\cos \theta ,\sin \theta ,0{\biggr )},}$

e ₃  : ${\displaystyle {\biggl (}\cos \theta ,{\cos \theta -\cos ^{2}\theta \over \sin \theta },{{\sqrt {1-3\cos ^{2}\theta +2\cos ^{3}\theta }} \over \sin \theta }{\biggr )}.}$

_{他の座標は}3方向ベクトルe1 + e2 、 e1 + e3 、 e2 + e3 _、 e1 _{+ e2} + _e3のベクトル_加算[ 5 _]^から得ることができる_。

菱面体の体積は、その辺の長さと菱形の鋭角によって、平行六面体の体積を簡略化したものとなり、次のように表される。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \theta ~}$

${\displaystyle V=a^{3}(1-\cos \theta ){\sqrt {1+2\cos \theta }}=a^{3}{\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}(1+2\cos \theta )}}=a^{3}{\sqrt {1-3\cos ^{2}\theta +2\cos ^{3}\theta }}~.}$

体積は別の方法でも表現できます。 ${\displaystyle V}$

${\displaystyle V=2{\sqrt {3}}~a^{3}\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {1-{\frac {4}{3}}\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)}}~.}$

（菱形の）底面積は で与えられ、菱面体の高さはその体積を底面積で割った値で与えられるので、菱面体の高さは辺の長さと菱形の鋭角で表され、 ${\displaystyle a^{2}\sin \theta ~}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle h=a~{(1-\cos \theta ){\sqrt {1+2\cos \theta }} \over \sin \theta }=a~{{\sqrt {1-3\cos ^{2}\theta +2\cos ^{3}\theta }} \over \sin \theta }~.}$

注記：

${\displaystyle h=a~z}$₃、ここで_3はe ₃の 3 番目の座標です。 ${\displaystyle z}$

鋭角頂点間の体対角線が最も長い。この対角線を中心とした回転対称性により、3組の鈍角頂点間の他の3つの体対角線はすべて同じ長さとなる。

直心四面体との関係

菱面体において隣接しない頂点を形成する4つの点は、必然的に直心四面体の4つの頂点を形成し、すべての直心四面体はこのようにして形成されます。^[6]

菱面体格子

菱面体格子系は菱面体セルを持ち、6つの合同な菱面体面が三角台形を形成する^[要出典]：

参照

• 図形のリスト

注記

1. より正確に言えば、菱形は二次元図形です。

参考文献

1. ウィリアム・A・ミラー（1989年1月）「数学リソース：菱形十二面体パズル」『学校数学』18 (1): 18-24 . JSTOR  30214564.
2. インチボールド, ガイ (1997年7月). 「アルキメデスのハニカム双対」.数学ガゼット. 81 (491): 213– 219. doi :10.2307/3619198. JSTOR  3619198.
3. Coxeter, HSM.正多面体.第3版. ドーバー. p.26.
4. Lines, L (1965).立体幾何学：空間格子、球体群、結晶の章を含む. Dover Publications.
5. “Vector Addition”. Wolfram. 2016年5月17日. 2016年5月17日閲覧。
6. Court, NA (1934年10月)、「直心四面体に関する注記」、アメリカ数学月刊誌、41 (8): 499– 502、doi :10.2307/2300415、JSTOR  2300415。

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「菱面体」。MathWorld。
• 体積計算機 https://rechneronline.de/pi/rhombohedron.php

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