リスク測定

Concept in financial mathematics

金融数学において、リスク尺度は、準備金として保持すべき資産または資産群（伝統的には通貨）の額を決定するために用いられます。この準備金の目的は、銀行や保険会社などの金融機関が負うリスクを規制当局が許容できる水準にすることです。近年、凸型でコヒーレントなリスク測定に注目が集まっています。

数学的に

リスク尺度は、確率変数の集合から実数への写像として定義されます。この確率変数の集合はポートフォリオのリターンを表します。確率変数に関連付けられたリスク尺度の一般的な表記法は です。リスク尺度は、特定の特性を持つ必要があります。^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \rho (X)}$ ${\displaystyle \rho :{\mathcal {L}}\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$

正規化

${\displaystyle \rho (0)=0}$

翻訳的

${\displaystyle \mathrm {If} \;a\in \mathbb {R} \;\mathrm {and} \;Z\in {\mathcal {L}},\;\mathrm {then} \;\rho (Z+a)=\rho (Z)-a}$

単調

${\displaystyle \mathrm {If} \;Z_{1},Z_{2}\in {\mathcal {L}}\;\mathrm {and} \;Z_{1}\leq Z_{2},\;\mathrm {then} \;\rho (Z_{2})\leq \rho (Z_{1})}$

設定値

資産のでリスクを測定できるような 値ポートフォリオの状況では、ポートフォリオのセットがリスクを表す適切な方法です。セット値リスク指標は、取引コストが である市場で有用です。^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle m\leq d}$

数学的に

セット値リスク尺度は関数であり、は次元Lp空間、は定数ソルベンシーコーン、は参照資産のポートフォリオの集合である。は 次のような性質を持つ必要がある: ^[3] ${\displaystyle R:L_{d}^{p}\rightarrow \mathbb {F} _{M}}$ ${\displaystyle L_{d}^{p}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{M}=\{D\subseteq M:D=cl(D+K_{M})\}}$ ${\displaystyle K_{M}=K\cap M}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle R}$

正規化

${\displaystyle K_{M}\subseteq R(0){\text{ and }}R(0)\cap -\operatorname {int} K_{M}=\emptyset }$

Mでの翻訳

${\displaystyle \forall X\in L_{d}^{p},\forall u\in M:R(X+u1)=R(X)-u}$

単調

${\displaystyle \forall X_{2}-X_{1}\in L_{d}^{p}(K)\Rightarrow R(X_{2})\supseteq R(X_{1})}$

例

• リスクのある価値
• 予想される不足額
• 重ね合わせたリスク尺度^[4]
• エントロピー値が危険にさらされている
• ドローダウン
• テール条件付き期待値
• エントロピーリスク尺度
• スーパーヘッジ価格
• 期待される

分散

分散（または標準偏差）は、上記の意味でのリスク尺度ではありません。これは、分散が並進性も単調性も持たないことから明らかです。つまり、すべての に対して となり、単調性に対する簡単な反例が見つかります。標準偏差は偏差リスク尺度です。混乱を避けるため、分散や標準偏差などの偏差リスク尺度は、分野によってはリスク尺度と呼ばれることがあることに留意してください。 ${\displaystyle Var(X+a)=Var(X)\neq Var(X)-a}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$

受け入れ集合との関係

受容集合とそれに対応するリスク尺度の間には一対一の対応関係がある。以下で定義されるように、およびであることが示される。^[5] ${\displaystyle R_{A_{R}}(X)=R(X)}$ ${\displaystyle A_{R_{A}}=A}$

リスク測定から受け入れ設定まで

• が（スカラー）リスク尺度である場合、は受け入れセットです。 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle A_{\rho }=\{X\in L^{p}:\rho (X)\leq 0\}}$
• が集合値リスク尺度である場合、は受け入れ集合です。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A_{R}=\{X\in L_{d}^{p}:0\in R(X)\}}$

リスク測定に許容度を設定

• が受け入れセット（1-d 内）である場合、 （スカラー）リスク尺度を定義します。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \rho _{A}(X)=\inf\{u\in \mathbb {R} :X+u1\in A\}}$
• が受け入れセットである場合、はセット値のリスク尺度です。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R_{A}(X)=\{u\in M:X+u1\in A\}}$

逸脱リスク指標との関係

偏差リスク尺度Dと期待値制限リスク尺度の間には1対1の関係があり、任意の ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle X\in {\mathcal {L}}^{2}}$

• ${\displaystyle D(X)=\rho (X-\mathbb {E} [X])}$
• ${\displaystyle \rho (X)=D(X)-\mathbb {E} [X]}$。

${\displaystyle \rho }$は、任意の非定数Xと任意の定数Xに対してを満たすとき、期待値有界と呼ばれます。^[6] ${\displaystyle \rho (X)>\mathbb {E} [-X]}$ ${\displaystyle \rho (X)=\mathbb {E} [-X]}$

参照

• 一貫したリスク測定
• 条件付きバリュー・アット・リスク
• 歪みリスク測定
• 動的リスク測定
• エントロピー値が危険にさらされている
• 予想される不足額
• 経営リスク会計
• リスク管理
• リスク指標- リスク測定が定量化する抽象的な概念
• リスクリターン比率
• RiskMetrics - リスク管理モデル
• スペクトルリスク測定
• リスクのある価値
• 最悪のリスク測定
• 経験的リスク最小化

参考文献

1. Artzner, Philippe; Delbaen, Freddy; Eber, Jean-Marc; Heath, David (1999). 「Coherent Measures of Risk」（PDF） . Mathematical Finance . 9 (3): 203– 228. doi :10.1111/1467-9965.00068. S2CID  6770585. 2011年2月3日閲覧。
2. Jouini, Elyes; Meddeb, Moncef; Touzi, Nizar (2004). 「ベクトル値コヒーレントリスク尺度」. Finance and Stochastics . 8 (4): 531– 552. CiteSeerX 10.1.1.721.6338 . doi :10.1007/s00780-004-0127-6. S2CID  18237100. 
3. Hamel, AH; Heyde, F. (2010). 「リスクの集合値測定における双対性」. SIAM Journal on Financial Mathematics . 1 (1): 66– 95. CiteSeerX 10.1.1.514.8477 . doi :10.1137/080743494. 
4. Jokhadze, Valeriane; Schmidt, Wolfgang M. (2020年3月). 「金融リスク管理と価格設定におけるモデルリスクの測定」. International Journal of Theoretical and Applied Finance . 23 (2) 2050012. doi : 10.1142/s0219024920500120 . SSRN  3113139.
5. Andreas H. Hamel; Frank Heyde; Birgit Rudloff (2011). 「円錐市場モデルにおける集合値リスク尺度」.数学と金融経済学. 5 (1): 1– 28. arXiv : 1011.5986 . doi :10.1007/s11579-011-0047-0. S2CID  154784949.
6. Rockafellar, Tyrrell; Uryasev, Stanislav; Zabarankin, Michael (2003年1月22日). 「リスク分析と最適化における偏差測定」SSRN  365640.

さらに読む

• クローイ、ミシェル、D.ガライ、R.マーク (2001).リスクマネジメント.マグロウヒル. 752ページ. ISBN 978-0-07-135731-9。
• ケビン・ダウド（2005年）『市場リスクの測定（第2版）』ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、410ページ。ISBN 978-0-470-01303-8。

• フォルマー、ハンス。アレクサンダー・シード（2004）。確率的ファイナンス。数学のデ・グリュイテル・シリーズ。 Vol. 27. ベルリン：ヴァルター・デ・グロイテル。 pp.xi+459。ISBN 978-311-0183467. MR  2169807。
• Shapiro, Alexander; Dentcheva, Darinka; Ruszczyński, Andrzej (2009).確率計画法に関する講義. モデリングと理論. MPS/SIAM最適化シリーズ. 第9巻. フィラデルフィア: Society for Industrial and Applied Mathematics . pp. xvi+436. ISBN 978-0898716870. MR  2562798。

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