平方和関数

Number-theoretical function

数論において、平方和関数は、与えられた正の整数nの表現の個数をk個の平方和として与える算術関数である。ここで、被加数の順序または平方される数の符号のみが異なる表現は、異なる表現としてカウントされる。これはr _k ( n )と表記される。

意味

この関数は次のように定義される。

${\displaystyle r_{k}(n)=|\{(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k})\in \mathbb {Z} ^{k}\ :\ n=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}\}|}$

ここで、は集合の濃度を表します。言い換えれば、r _k ( n )は、 n をk個の平方和として表すことができる方法の数です。 ${\displaystyle |\,\ |}$

例えば、それぞれの和には2つの符号の組み合わせがあり、また4つの符号の組み合わせがある場合も、 となります。一方、3を2つの平方数の和として表す方法はないためです。 ${\displaystyle r_{2}(1)=4}$ ${\displaystyle 1=0^{2}+(\pm 1)^{2}=(\pm 1)^{2}+0^{2}}$ ${\displaystyle r_{2}(2)=4}$ ${\displaystyle 2=(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}}$ ${\displaystyle r_{2}(3)=0}$

公式

け= 2

2平方和定理を満たす整数は、整数格子点間の可能な距離の平方であり、100までの値が表示され、

•	赤色の正方形（つまり整数距離）
•	非一意な表現（回転と反射まで）は太字で表示

自然数を2つの平方数の和で表す方法はr ₂ ( n )で与えられます。これは次のように明示的に与えられます。

${\displaystyle r_{2}(n)=4(d_{1}(n)-d_{3}(n))}$

ここで、d ₁ ( n )は4 を法として 1 と合同なnの約数の数であり、d ₃ ( n )は 4 を法として 3 と合同なnの約数の数です。和を使用すると、式は次のように表すことができます。

${\displaystyle r_{2}(n)=4\sum _{d\mid n \atop d\,\equiv \,1,3{\pmod {4}}}(-1)^{(d-1)/2}}$

素因数分解は 、の形式の素因数であり、の形式の素因数であるので、別の式が得られる。 ${\displaystyle n=2^{g}p_{1}^{f_{1}}p_{2}^{f_{2}}\cdots q_{1}^{h_{1}}q_{2}^{h_{2}}\cdots }$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}\equiv 1{\pmod {4}},}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle q_{i}\equiv 3{\pmod {4}}}$

${\displaystyle r_{2}(n)=4(f_{1}+1)(f_{2}+1)\cdots }$すべての指数が偶数の場合は。 1 つ以上の指数が奇数の場合は。 ${\displaystyle h_{1},h_{2},\cdots }$ ${\displaystyle h_{i}}$ ${\displaystyle r_{2}(n)=0}$

け= 3

ガウスは、平方数 n > 4に対して、

${\displaystyle r_{3}(n)={\begin{cases}24h(-n),&{\text{if }}n\equiv 3{\pmod {8}},\\0&{\text{if }}n\equiv 7{\pmod {8}},\\12h(-4n)&{\text{otherwise}},\end{cases}}}$

ここで、h ( m )は整数mの類番号を表す。

ガウスの公式には任意の整数nへの拡張が存在する。^{[1] [2]}

け= 4

nを4つの平方数の和として表す方法はカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビによるもので、4で割り切れないすべての約数の合計の8倍である。

${\displaystyle r_{4}(n)=8\sum _{d\,\mid \,n,\ 4\,\nmid \,d}d.}$

n = 2 ^k m（mは奇数）を除数関数で表すと、次のようになります。 ${\displaystyle r_{4}(n)}$

${\displaystyle r_{4}(n)=8\sigma (2^{\min\{k,1\}}m).}$

け= 6

nを6つの平方数の和として表す方法の数は次のように与えられる。

${\displaystyle r_{6}(n)=4\sum _{d\mid n}d^{2}{\big (}4\left({\tfrac {-4}{n/d}}\right)-\left({\tfrac {-4}{d}}\right){\big )},}$

クロネッカー記号はここにある。^[3] ${\displaystyle \left({\tfrac {\cdot }{\cdot }}\right)}$

け= 8

ヤコビはk = 8の場合の明示的な式も発見した：^[3]

${\displaystyle r_{8}(n)=16\sum _{d\,\mid \,n}(-1)^{n+d}d^{3}.}$

母関数

固定kに対する数列の生成関数は、ヤコビのシータ関数で表すことができる。^[4] ${\displaystyle r_{k}(n)}$

${\displaystyle \vartheta (0;q)^{k}=\vartheta _{3}^{k}(q)=\sum _{n=0}^{\infty }r_{k}(n)q^{n},}$

どこ

${\displaystyle \vartheta (0;q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}=1+2q+2q^{4}+2q^{9}+2q^{16}+\cdots .}$

数値

の最初の 30 個の値が以下の表にリストされています。 ${\displaystyle r_{k}(n),\;k=1,\dots ,8}$

n	＝	r 1 ( n )	r 2 ( n )	r 3 ( n )	r 4 ( n )	r 5 ( n )	r 6 ( n )	r 7 ( n )	r 8 ( n )
0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	2	4	6	8	10	12	14	16
2	2	0	4	12	24	40	60	84	112
3	3	0	0	8	32	80	160	280	448
4	2 2	2	4	6	24	90	252	574	1136
5	5	0	8	24	48	112	312	840	2016
6	2×3	0	0	24	96	240	544	1288	3136
7	7	0	0	0	64	320	960	2368	5504
8	2 3	0	4	12	24	200	1020	3444	9328
9	3 2	2	4	30	104	250	876	3542	12112
10	2×5	0	8	24	144	560	1560	4424	14112
11	11	0	0	24	96	560	2400	7560	21312
12	2 2 ×3	0	0	8	96	400	2080	9240	31808
13	13	0	8	24	112	560	2040	8456	35168
14	2×7	0	0	48	192	800	3264	11088	38528
15	3×5	0	0	0	192	960	4160	16576	56448
16	2 4	2	4	6	24	730	4092	18494	74864
17	17	0	8	48	144	480	3480	17808	78624
18	2×3 2	0	4	36	312	1240	4380	19740	84784
19	19	0	0	24	160	1520	7200	27720	109760
20	2 2 ×5	0	8	24	144	752	6552	34440	143136
21	3×7	0	0	48	256	1120	4608	29456	154112
22	2×11	0	0	24	288	1840	8160	31304	149184
23	23	0	0	0	192	1600	10560	49728	194688
24	2 3 ×3	0	0	24	96	1200	8224	52808	261184
25	5 2	2	12	30	248	1210	7812	43414	252016
26	2×13	0	8	72	336	2000	10200	52248	246176
27	3 3	0	0	32	320	2240	13120	68320	327040
28	2 2 ×7	0	0	0	192	1600	12480	74048	390784
29	29	0	8	72	240	1680	10104	68376	390240
30	2×3×5	0	0	48	576	2720	14144	71120	395136

参照

• 整数分割
• ヤコビの四平方定理
• ガウス円問題

参考文献

1. PT Bateman (1951). 「3つの平方数の和による数の表現について」(PDF) . Trans. Amer. Math. Soc . 71 : 70–101 . doi :10.1090/S0002-9947-1951-0042438-4.
2. S. Bhargava; Chandrashekar Adiga; DD Somashekara (1993). 「アンドリュースの恒等式の応用としての3平方定理」(PDF) . Fibonacci Quart . 31 (2): 129– 133. doi :10.1080/00150517.1993.12429300.
3. Cohen, H. (2007). 「5.4 ハッセ・ミンコフスキー定理の帰結」.数論 第1巻：ツールとディオファントス方程式. シュプリンガー. ISBN 978-0-387-49922-2。
4. ミルン、スティーブン・C. (2002). 「序論」.正確な平方和の公式、ヤコビ楕円関数、連分数、シュアー関数の無限族. シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. p. 9. ISBN 1402004915。

さらに読む

グロスワルド、エミール（1985）『整数の平方和による表現』シュプリンガー・フェアラーク社ISBN 0387961267。

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「平方和関数」。MathWorld。
• Sloane, N. J. A. (編). 「数列 A122141 (n を d の平方和として表す方法の数)」.オンライン整数数列百科事典. OEIS 財団.
• Sloane, N. J. A. (編). 「数列A004018 (正方格子のシータ級数, r_2(n))」.オンライン整数数列百科事典. OEIS財団.

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