ルートデータ

数学の群論において、体上の連結な分割簡約代数群のルートデータは、同型を除いて群を決定するルートシステムの一般化です。これらは、1970年に出版されたSGA IIIでミシェル・ドゥマズールによって導入されました

定義

ルートデータは4つの要素から構成されます

(X^{\ast},\Phi,X_{\ast},\Phi^{\vee})

、

ここで

$X^{\ast}$ とは有限階数の自由アーベル群であり、それらの間には完全な対があり、その値は( , ) で表されます（言い換えれば、それぞれが他方の双対と同一視されます）。 $X_{\ast}$ $\mathbb {Z}$
$\Phi$ はの有限部分集合であり、はの有限部分集合であり、からへの一対一写像が存在し、によって表される。 $X^{\ast}$ $\Phi ^{\vee}$ $X_{\ast}$ $\Phi$ $\Phi ^{\vee}$ $\alpha \mapsto \alpha ^{\vee }$
それぞれについて、. $\alpha$ $(\alpha ,\alpha ^{\vee })=2$
各に対して、写像はルートデータの自己同型写像を誘導する（言い換えればをに写像し、への誘導された作用はに写像する）。 $\alpha$ $x\mapsto x-(x,\alpha ^{\vee })\alpha$ $\Phi$ $\Phi$ $X_{\ast}$ $\Phi ^{\vee}$ $\Phi ^{\vee}$

の要素はルートデータのルートと呼ばれ、の要素はコルートと呼ばれます。 $\Phi$ $\Phi ^{\vee}$

いずれのに対してもが含まれていない場合、ルートデータは簡約と呼ばれます。 $\Phi$ $2\alpha$ $\alpha \in \Phi$

代数群の根データ

が代数的に閉じた体上の分割最大トーラスを持つ簡約代数群である場合、そのルートデータは四重項である。 $G$ $K$ $T$

(X^{*},\Phi ,X_{*},\Phi ^{\vee })

、

ここで

$X^{*}$ は最大トーラスの指標の格子であり、
$X_{*}$ は双対格子（1パラメータ部分群によって与えられる）であり、
$\Phi$ 根の集合であり、
$\Phi ^{\vee}$ は対応するコルートの集合です。

上の連結な分割簡約代数群は、そのルートデータによって（同型性を除いて）一意に決定され、ルートデータは常に簡約される。逆に、任意のルートデータに対して簡約代数群が存在する。ルートデータは群の中心も決定するため、ディンキン図よりもわずかに多くの情報を含む。 $K$

任意のルートデータに対して、文字を 1 パラメータサブグループと切り替え、ルートをコルートと切り替えることによって、デュアルルートデータを定義することができます。 $(X^{*},\Phi ,X_{*},\Phi ^{\vee })$ $(X_{*},\Phi ^{\vee },X^{*},\Phi )$

が代数閉体上の連結簡約代数群である場合、そのラングランズ双対群は、そのルートデータがのルートデータと双対である複素連結簡約群です。 $G$ $K$ ${}^{L}G$ $G$

参考文献

ミシェル・ドゥマズール著、SGA 3 第3巻 Exp. XXI
TAシュプリンガー著、簡約群、保型形式、表現、およびL関数第1巻ISBN 0-8218-3347-2