物理学 （特に統計力学 ）において、マクスウェル・ボルツマン分布 、またはマクスウェル分布は、 ジェームズ・クラーク・マクスウェル とルートヴィヒ・ボルツマン にちなんで名付けられた特定の確率分布 です。
これは、理想化された気体 中の粒子速度 を記述するために初めて定義され、使用された。理想化された気体では、粒子は静止した容器内を自由に運動し、相互作用はしない。ただし、非常に短時間の衝突 においては、粒子同士、あるいは熱環境との間でエネルギーと運動量を交換する。ここでの「粒子」という用語は、気体粒子（原子 または分子 ）のみを指し、粒子系は熱力学的平衡 に達していると仮定される。[ 1 ] このような粒子のエネルギーは、マクスウェル・ボルツマン統計 と呼ばれるものに従い、速度の統計分布は、粒子エネルギーを運動エネルギー と等しくすることで導かれる。
数学的には、マクスウェル・ボルツマン分布は、3つの自由度（ ユークリッド空間における 速度 ベクトルの成分）を持つカイ分布であり、 スケールパラメータ は（温度と粒子の質量の比）の平方根に比例する単位で速度を測定する。[ 2 ] T / メートル {\displaystyle T/m}
マクスウェル・ボルツマン分布は気体運動論 の結果であり、圧力 や拡散 など、多くの基本的な気体特性を簡略化して説明する。[ 3 ] 大きさ ）のみに依存することが判明している。粒子速度確率分布は、どの速度がより可能性が高いかを示す。ランダムに選択された粒子は、分布からランダムに選択された速度を持ち、他の速度範囲よりも1つの速度範囲内にある可能性が高くなります。気体運動論は、実際の気体を理想化した古典的な理想気体に適用されます。実際の気体では、さまざまな効果（ ファンデルワールス相互作用 、渦 流、相対論的 速度限界、量子交換相互作用 など）があり、速度分布がマクスウェル・ボルツマン形式と異なる可能性がある。しかし、常温における希薄気体は理想気体と非常によく似た挙動を示し、マクスウェル速度分布はそのような気体に対して優れた近似値となります。これは、十分に低い密度を持つ電離気体である理想 プラズマ にも当てはまります。[ 4 ]
この分布は、1860年にマクスウェルによって発見的な 根拠に基づいて初めて導出されました。[ 5 ] [ 6 ]
平均エネルギー保存の制約 条件下における位相空間における最大エントロピー確率分布 ⟨ H ⟩ ＝ E ; {\displaystyle \langle H\rangle =E;} 標準的なアンサンブル 。
分布関数 熱力学的平衡状態にある、相互作用しない、非相対論的な同一の古典粒子を多数含むシステムの場合、大きさ の速度ベクトルを中心とする3 次元速度空間d 3 v v {\displaystyle \mathbf {v} } v {\displaystyle v} f （ v ） d 3 v ＝ [ メートル 2 π け B T ] 3 / 2 経験 （ − メートル v 2 2 け B T ） d 3 v 、 {\displaystyle f(\mathbf {v} )~d^{3}\mathbf {v} ={\biggl [}{\frac {m}{2\pi k_{\text{B}}T}}{\biggr ]}^{{3}/{2}}\,\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)~d^{3}\mathbf {v} ,}
m は粒子の質量です。k B はボルツマン定数 です。Tは 熱力学温度 です。f （ v ） {\displaystyle f(\mathbf {v} )} ∫ f （ v ） d 3 v {\textstyle \int f(\mathbf {v} )\,d^{3}\mathbf {v} } 298.15 K (25 °C) におけるいくつかの希ガス の速度確率密度関数。y軸はs/m単位 であるため、曲線の任意のセクションの下の面積（速度がその範囲にある確率を表す）は無次元です。 速度空間の要素は、標準の直交座標系での速度の場合は と表記でき、標準の球面座標系では と表記できます。ここで、は立体角の要素で、 です。 d 3 v ＝ d v × d v y d v z {\displaystyle d^{3}\mathbf {v} =dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}}} d 3 v ＝ v 2 d v d Ω {\displaystyle d^{3}\mathbf {v} =v^{2}\,dv\,d\Omega } d Ω ＝ 罪 v θ d v ϕ d v θ {\displaystyle d\Omega =\sin {v_{\theta }}~dv_{\phi }~dv_{\theta }} v 2 ＝ | v | 2 ＝ v × 2 + v y 2 + v z 2 {\textstyle v^{2}=|\mathbf {v} |^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}
あるいは、分布関数は運動量空間では次のように表すこともできます。ここで、は運動量ベクトルです。 f （ p ） d 3 p ＝ [ 1 2 π メートル け B T ] 3 / 2 経験 （ − p 2 2 メートル け B T ） d 3 p {\displaystyle f(\mathbf {p} )\,d^{3}\mathbf {p} =\left[{\frac {1}{2\pi mk_{\text{B}}T}}\right]^{3/2}\exp \left(-{\frac {p^{2}}{2mk_{\text{B}}T}}\right)\,d^{3}\mathbf {p} } p ＝ メートル v {\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }
一方向にのみ移動する粒子のマクスウェル分布関数は、その方向がx である場合、標準偏差が の正規分布 になります。 これは、上記の 3 次元形式をv y v z k B T / m {\textstyle {\sqrt {k_{\text{B}}T/m}}} f ( v x ) d v x = m 2 π k B T exp ( − m v x 2 2 k B T ) d v x , {\displaystyle f(v_{x})~dv_{x}={\sqrt {\frac {m}{2\pi k_{\text{B}}T}}}\,\exp \left(-{\frac {mv_{x}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)~dv_{x},}
の対称性を認識すると、立体角にわたって積分し、速度の確率分布を関数として表すことができます[ 7 ] f ( v ) {\displaystyle f(v)}
f ( v ) = [ m 2 π k B T ] 3 / 2 4 π v 2 exp ( − m v 2 2 k B T ) . {\displaystyle f(v)={\biggl [}{\frac {m}{2\pi k_{\text{B}}T}}{\biggr ]}^{{3}/{2}}\,4\pi v^{2}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right).}
この確率密度関数は、単位速度あたりに、速度 v に近い粒子を見つける確率を与える。この式は、分布パラメータを持つマクスウェル・ボルツマン分布（情報ボックスに記載）である。 マクスウェル・ボルツマン分布は、自由度3で尺度パラメータを持つ カイ2乗分布と同等である。 a = k B T / m . {\textstyle a={\sqrt {k_{\text{B}}T/m}}\,.} a = k B T / m . {\textstyle a={\sqrt {k_{\text{B}}T/m}}\,.}
この分布が満たす 最も単純な常微分方程式は次のようになります。 0 = k B T v f ′ ( v ) + f ( v ) ( m v 2 − 2 k B T ) , f ( 1 ) = 2 π [ m k B T ] 3 / 2 exp ( − m 2 k B T ) ; {\displaystyle {\begin{aligned}0&=k_{\text{B}}Tvf'(v)+f(v)\left(mv^{2}-2k_{\text{B}}T\right),\\[4pt]f(1)&={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\biggl [}{\frac {m}{k_{\text{B}}T}}{\biggr ]}^{3/2}\exp \left(-{\frac {m}{2k_{\text{B}}T}}\right);\end{aligned}}}
または単位なしの 表示では、 平均値のダーウィン・ファウラー法 を使用すると、正確な結果としてマクスウェル・ボルツマン分布が得られます。 0 = a 2 x f ′ ( x ) + ( x 2 − 2 a 2 ) f ( x ) , f ( 1 ) = 1 a 3 2 π exp ( − 1 2 a 2 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}0&=a^{2}xf'(x)+\left(x^{2}-2a^{2}\right)f(x),\\[4pt]f(1)&={\frac {1}{a^{3}}}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\exp \left(-{\frac {1}{2a^{2}}}\right).\end{aligned}}}
マクスウェル・ボルツマン速度分布に向かって緩和する2次元気体のシミュレーション
平面内で運動する粒子の場合、速度分布は次のように表される。
P ( s < | v | < s + d s ) = m s k B T exp ( − m s 2 2 k B T ) d s {\displaystyle P(s<|\mathbf {v} |<s{+}ds)={\frac {ms}{k_{\text{B}}T}}\exp \left(-{\frac {ms^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)ds}
この分布は平衡状態にある系を記述するために使用されます。しかし、ほとんどの系は最初から平衡状態にあるわけではありません。平衡状態に向かう系の進化は、ボルツマン方程式 によって支配されます。この方程式は、短距離相互作用の場合、平衡速度分布がマクスウェル・ボルツマン分布に従うことを予測します。右側は、 900個の剛体球 粒子が長方形内で移動するように制約された分子動力学 （MD）シミュレーション です。これらの粒子は完全に弾性的な衝突 を介して相互作用します。系は平衡状態から初期化されますが、速度分布（青色）はすぐに2次元マクスウェル・ボルツマン分布（オレンジ色）に収束します。
標準速度 太陽大気に対応するマクスウェル・ボルツマン分布。粒子の質量は1陽子質量 、m p =× 10 −27 kgDa 太陽の光球の有効温度 T = 5800 K で V rms は V ~ {\displaystyle {\tilde {V}}} V ¯ {\displaystyle {\bar {V}}} V ~ {\displaystyle {\tilde {V}}} V ¯ {\displaystyle {\bar {V}}} V rms ≈ 平均速度 、最確速度（モード ）v p ⟨ v ⟩ {\displaystyle \langle v\rangle } ⟨ v 2 ⟩ {\textstyle {\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}}
この法則は、ヘリウムのようなほぼ 理想的な 単原子 気体だけでなく、二原子酸素のような 分子気体 にも当てはまります。これは、自由度が大きいため 熱容量 （同じ温度で内部エネルギーが大きい）が大きいにもかかわらず、並進 運動エネルギー （したがって速度）は変化しないからです。[ 8 ]
要約すると、一般的な速度は次のように関係します。 v p ≈ 88.6 % ⟨ v ⟩ < ⟨ v ⟩ < 108.5 % ⟨ v ⟩ ≈ v rms . {\displaystyle v_{\text{p}}\approx 88.6\%\ \langle v\rangle <\langle v\rangle <108.5\%\ \langle v\rangle \approx v_{\text{rms}}.}
二乗平均平方根速度は、気体中の 音速 c と直接関係しており、断熱指数 fは個々の気体分子の 自由度 である 。上記の例では、二原子窒素（空気に 近い）はc = γ 3 v r m s = f + 2 3 f v r m s = f + 2 2 f v p , {\displaystyle c={\sqrt {\frac {\gamma }{3}}}\ v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\frac {f+2}{3f}}}\ v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\frac {f+2}{2f}}}\ v_{\text{p}},} γ = 1 + 2 f {\textstyle \gamma =1+{\frac {2}{f}}} [ 注 2 ] 空気 の平均モル重量（f = 5 {\displaystyle f=5} c = 7 15 v r m s ≈ 68 % v r m s ≈ 84 % v p ≈ 353 m / s , {\displaystyle c={\sqrt {\frac {7}{15}}}v_{\mathrm {rms} }\approx 68\%\ v_{\mathrm {rms} }\approx 84\%\ v_{\text{p}}\approx 353\ \mathrm {m/s} ,} 湿度 の変化に対する補正は0.1％から0.6％程度）。
3次元速度分布 が v rel ≡ ⟨ | v 1 − v 2 | ⟩ = ∫ d 3 v 1 d 3 v 2 | v 1 − v 2 | f ( v 1 ) f ( v 2 ) = 4 π k B T m = 2 ⟨ v ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}v_{\text{rel}}\equiv \langle |\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}|\rangle &=\int \!d^{3}\mathbf {v} _{1}\,d^{3}\mathbf {v} _{2}\left|\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}\right|f(\mathbf {v} _{1})f(\mathbf {v} _{2})\\[2pt]&={\frac {4}{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {\frac {k_{\text{B}}T}{m}}}={\sqrt {2}}\langle v\rangle \end{aligned}}} f ( v ) ≡ [ 2 π k B T m ] − 3 / 2 exp ( − 1 2 m v 2 k B T ) . {\displaystyle f(\mathbf {v} )\equiv \left[{\frac {2\pi k_{\text{B}}T}{m}}\right]^{-3/2}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\frac {m\mathbf {v} ^{2}}{k_{\text{B}}T}}\right).}
積分は座標を に変更することで簡単に実行でき、u = v 1 − v 2 {\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}} U = 1 2 ( v 1 + v 2 ) . {\textstyle \mathbf {U} ={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}).}
制限事項 マクスウェル・ボルツマン分布は、個々の粒子の速度が光速よりもはるかに遅い、すなわち であると仮定しています。電子の場合、電子の温度は でなければなりません。相対論的粒子の速度分布については、マクスウェル・ユットナー分布を 参照してください。 T ≪ m c 2 k B {\displaystyle T\ll {\frac {mc^{2}}{k_{\text{B}}}}} T e ≪ 5.93 × 10 9 K {\displaystyle T_{e}\ll 5.93\times 10^{9}~\mathrm {K} }
1860年にジェームズ・クラーク・マクスウェル が最初に導出したのは、気体運動論 における分子衝突と速度分布関数の特定の対称性に基づいた議論だった。マクスウェルはまた、これらの分子衝突は平衡に向かう傾向を伴うという初期の議論も提示した。[ 5 ] [ 6 ] [ 9 ] ルートヴィヒ・ボルツマンは 1872年に[ 10 ] H定理を 参照）。彼は後に（1877年）[ 11 ] 統計熱力学 の枠組みで再び分布を導出した。このセクションの導出は、ボルツマンの1877年の導出に沿ったものであり、マクスウェル・ボルツマン統計 （統計熱力学から）として知られる結果から始まっている。マクスウェル・ボルツマン統計は、与えられた単一粒子ミクロ状態 にある粒子の平均数を与える。ある仮定の下では、与えられたミクロ状態にある粒子の割合の対数は、その状態のエネルギーと系の温度の比に比例する。定数 と があり、すべての に対して、 となる。 この方程式の仮定は、粒子は相互作用せず、古典的であるということである。つまり、各粒子の状態は他の粒子の状態とは独立して考えることができる。さらに、粒子は熱平衡状態にあると仮定される。[ 1 ] [ 12 ] k {\displaystyle k} C {\displaystyle C} i {\displaystyle i} − log ( N i N ) = 1 k ⋅ E i T + C . {\displaystyle -\log \left({\frac {N_{i}}{N}}\right)={\frac {1}{k}}\cdot {\frac {E_{i}}{T}}+C.}
この関係は、正規化係数を導入することで次の式として表すことができます。
N i N = exp ( − E i k B T ) ∑ j exp ( − E j k B T ) {\displaystyle {\frac {N_{i}}{N}}={\frac {\exp \left(-{\frac {E_{i}}{k_{\text{B}}T}}\right)}{\displaystyle \sum _{j}\exp \left(-{\tfrac {E_{j}}{k_{\text{B}}T}}\right)}}} 1
どこ：
N i は単一粒子ミクロ状態i における粒子の期待数であり、N はシステム内の粒子の総数であり、E i はミクロ状態i のエネルギーであり、インデックスj の合計はすべてのミクロ状態を考慮します。T は系の平衡温度であり、k B はボルツマン定数 です。式 1 分割関数 です(単一粒子システムの場合であり、システム全体の通常の分割関数ではありません)。 N i : N {\displaystyle N_{i}:N}
速度と速さはエネルギーに関連しているため、式( 1
運動量ベクトルの分布 位置エネルギーはゼロとみなされ、すべてのエネルギーは運動エネルギーの形をとる。質量を持つ非相対論的 粒子 の運動エネルギーと運動量の関係は、
E = p 2 2 m {\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}} 2
ここでp 2は運動量ベクトル p = [ p x , p y , p z ]1
N i N = 1 Z exp ( − p i , x 2 + p i , y 2 + p i , z 2 2 m k B T ) {\displaystyle {\frac {N_{i}}{N}}={\frac {1}{Z}}\exp \left(-{\frac {p_{i,x}^{2}+p_{i,y}^{2}+p_{i,z}^{2}}{2mk_{\text{B}}T}}\right)} 3
どこ：
このN i : N 確率密度関数 f p 比例する ため、次のようになります。
f p ( p x , p y , p z ) ∝ exp ( − p x 2 + p y 2 + p z 2 2 m k B T ) {\displaystyle f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})\propto \exp \left(-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mk_{\text{B}}T}}\right)} 4
正規化定数は、 分子が何らかの運動量を持つ確率が1でなければならないことを認識することで決定できます 。式4 p x 、p y 、p z のすべてにわたって積分すると、次の係数が得られます。 ∭ − ∞ + ∞ exp ( − p x 2 + p y 2 + p z 2 2 m k B T ) d p x d p y d p z = [ π 2 m k B T ] 3 {\displaystyle \iiint _{-\infty }^{+\infty }\exp \left(-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mk_{\text{B}}T}}\right)dp_{x}\,dp_{y}\,dp_{z}={\Bigl [}{\sqrt {\pi }}{\sqrt {2mk_{\text{B}}T}}{\Bigr ]}^{3}}
したがって、正規化された分布関数は次のようになります。
f p ( p x , p y , p z ) = [ 1 2 π m k B T ] 3 / 2 exp ( − p x 2 + p y 2 + p z 2 2 m k B T ) {\displaystyle f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})=\left[{\frac {1}{2\pi mk_{\text{B}}T}}\right]^{3/2}\exp \left(-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mk_{\text{B}}T}}\right)} 6 ）
分布は、分散 を持つ3つの独立した正規分布 変数、、の積であることがわかります。さらに、運動量の大きさは のマクスウェル・ボルツマン分布に従って分布することがわかります。運動量（または速度）のマクスウェル・ボルツマン分布は、気体運動論の 枠組みにおける平衡時のH定理 を用いて、より根本的に得ることができます。 p x {\displaystyle p_{x}} p y {\displaystyle p_{y}} p z {\displaystyle p_{z}} m k B T {\displaystyle mk_{\text{B}}T} a = m k B T {\textstyle a={\sqrt {mk_{\text{B}}T}}}
エネルギーの分配 エネルギー分布は印象的である
f E ( E ) d E = f p ( p ) d 3 p , {\displaystyle f_{E}(E)\,dE=f_{p}(\mathbf {p} )\,d^{3}\mathbf {p} ,} 7
ここで、エネルギー間隔dE に対応する運動量の無限小位相空間体積である。エネルギー運動量分散関係の球対称性を利用すると、これはdE を用いて次のよう に表される。d 3 p {\displaystyle d^{3}\mathbf {p} } E = | p | 2 2 m , {\displaystyle E={\tfrac {|\mathbf {p} |^{2}}{2m}},}
d 3 p = 4 π | p | 2 d | p | = 4 π m 2 m E d E . {\displaystyle d^{3}\mathbf {p} =4\pi \left|\mathbf {p} \right|^{2}\,d{\left|\mathbf {p} \right|}=4\pi m{\sqrt {2mE}}\ dE.} 8
（８ ７ ）に用いて、すべてをエネルギーE で表すと、次のようになり 、最終的に f E ( E ) d E = [ 1 2 π m k B T ] 3 / 2 exp ( − E k B T ) 4 π m 2 m E d E = 2 E π [ 1 k B T ] 3 / 2 exp ( − E k B T ) d E {\displaystyle {\begin{aligned}f_{E}(E)\,dE&=\left[{\frac {1}{2\pi mk_{\text{B}}T}}\right]^{3/2}\exp \left(-{\frac {E}{k_{\text{B}}T}}\right)4\pi m{\sqrt {2mE}}\ dE\\[1ex]&=2{\sqrt {\frac {E}{\pi }}}\,\left[{\frac {1}{k_{\text{B}}T}}\right]^{3/2}\exp \left(-{\frac {E}{k_{\text{B}}T}}\right)\,dE\end{aligned}}}
f E ( E ) = 2 E π [ 1 k B T ] 3 / 2 exp ( − E k B T ) {\displaystyle f_{E}(E)=2{\sqrt {\frac {E}{\pi }}}\,\left[{\frac {1}{k_{\text{B}}T}}\right]^{3/2}\exp \left(-{\frac {E}{k_{\text{B}}T}}\right)} 9 ）
エネルギーは3つの正規分布の運動量成分の2乗の和に比例するので、このエネルギー分布は、形状パラメータとスケールパラメータを使用して、ガンマ分布として等価的に表すことができます。 k shape = 3 / 2 {\displaystyle k_{\text{shape}}=3/2} θ scale = k B T . {\displaystyle \theta _{\text{scale}}=k_{\text{B}}T.}
等分配定理 を用いると、平衡状態ではエネルギーが3つの自由度すべてに均等に分配されることが前提となるため、カイ2乗分布 の集合に分割することもできる。ここで、自由度あたりのエネルギーε は、 1つの自由度を持つカイ2乗分布として分布する。[ 13 ] f E ( E ) d E {\displaystyle f_{E}(E)\,dE} f ε ( ε ) d ε = 1 π ε k B T exp ( − ε k B T ) d ε {\displaystyle f_{\varepsilon }(\varepsilon )\,d\varepsilon ={\sqrt {\frac {1}{\pi \varepsilon k_{\text{B}}T}}}~\exp \left(-{\frac {\varepsilon }{k_{\text{B}}T}}\right)\,d\varepsilon }
平衡状態においては、この分布は自由度がいくつであっても成り立ちます。例えば、粒子が固定双極子モーメントを持つ剛体質量双極子である場合、並進自由度が3つ、回転自由度が2つ追加されます。各自由度におけるエネルギーは、上記の1自由度カイ二乗分布に従って記述され、全エネルギーは5自由度カイ二乗分布に従って分布します。これは気体の 比熱理論において重要な意味を持ちます。
速度ベクトルの分布 速度確率密度f v
f v d 3 v = f p ( d p d v ) 3 d 3 v {\displaystyle f_{\mathbf {v} }d^{3}\mathbf {v} =f_{\mathbf {p} }\left({\frac {dp}{dv}}\right)^{3}d^{3}\mathbf {v} }
p = m v
f v ( v x , v y , v z ) = [ m 2 π k B T ] 3 / 2 exp ( − m ( v x 2 + v y 2 + v z 2 ) 2 k B T ) {\displaystyle f_{\mathbf {v} }(v_{x},v_{y},v_{z})={\biggl [}{\frac {m}{2\pi k_{\text{B}}T}}{\biggr ]}^{3/2}\exp \left(-{\frac {m\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\right)}{2k_{\text{B}}T}}\right)}
これはマクスウェル・ボルツマン速度分布である。速度v = [ v x , v y , v z ]の周りの微小要素 [ dv x , dv y , dv z ] の速度を持つ粒子を見つける確率は
f v ( v x , v y , v z ) d v x d v y d v z . {\displaystyle f_{\mathbf {v} }{\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)}\,dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}.}
運動量と同様に、この分布は3つの独立した正規分布 変数、、の積であるが、分散はである。また、ベクトル速度[ v x , v y , v z ] のマクスウェル・ボルツマン速度分布は、3つの方向のそれぞれの分布の積である ことがわかる 。 ここで、1つの方向の分布は v x {\displaystyle v_{x}} v y {\displaystyle v_{y}} v z {\displaystyle v_{z}} k B T / m {\textstyle k_{\text{B}}T/m} f v ( v x , v y , v z ) = f v ( v x ) f v ( v y ) f v ( v z ) {\displaystyle f_{\mathbf {v} }{\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)}=f_{v}(v_{x})f_{v}(v_{y})f_{v}(v_{z})} f v ( v i ) = m 2 π k B T exp ( − m v i 2 2 k B T ) . {\displaystyle f_{v}(v_{i})={\sqrt {\frac {m}{2\pi k_{\text{B}}T}}}\exp \left(-{\frac {mv_{i}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right).}
速度ベクトルの各要素は、平均と標準偏差の正規分布 に従うため、ベクトルは、平均と共分散の 3 次元正規分布（特定の種類の多変量正規分布） に従います。ここで、 は3 × 3 の 単位行列 です。μ v x = μ v y = μ v z = 0 {\displaystyle \mu _{v_{x}}=\mu _{v_{y}}=\mu _{v_{z}}=0} σ v x = σ v y = σ v z = k B T / m {\textstyle \sigma _{v_{x}}=\sigma _{v_{y}}=\sigma _{v_{z}}={\sqrt {k_{\text{B}}T/m}}} μ v = 0 {\displaystyle \mu _{\mathbf {v} }=\mathbf {0} } Σ v = ( k B T m ) I {\textstyle \Sigma _{\mathbf {v} }=\left({\frac {k_{\text{B}}T}{m}}\right)I} I {\displaystyle I}
速度ベクトルの分布の注目すべき性質は方向非依存性であり、これは速度成分が3つの基本方向、、およびだけでなく、選択された任意の方向に正規分布する ことを意味する。[ 14 ] x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} z {\displaystyle z}
速度の分布 速度のマクスウェル・ボルツマン分布は、上記の速度ベクトルの分布から直ちに導かれます。速度は 球座標系 における体積要素 で あり、と速度ベクトルの球座標 角であることに注意してください。速度の確率密度関数を立体角で積分すると 、追加の係数が得られます。速度をベクトル成分の二乗和に置き換えた速度分布は、次のようになります。 v = v x 2 + v y 2 + v z 2 {\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}} d v x d v y d v z = v 2 sin θ d v d θ d ϕ = v 2 d v d Ω {\displaystyle dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}=v^{2}\sin \theta \,dv\,d\theta \,d\phi =v^{2}\,dv\,d\Omega } ϕ {\displaystyle \phi } θ {\displaystyle \theta } d Ω {\displaystyle d\Omega } 4 π {\displaystyle 4\pi }
f ( v ) = 2 π [ m k B T ] 3 / 2 v 2 exp ( − m v 2 2 k B T ) . {\displaystyle f(v)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\biggl [}{\frac {m}{k_{\text{B}}T}}{\biggr ]}^{3/2}v^{2}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right).}
n 次元空間ではn 次元空間では、マクスウェル・ボルツマン分布は次のようになります。 f ( v ) d n v = [ m 2 π k B T ] n / 2 exp ( − m | v | 2 2 k B T ) d n v {\displaystyle f(\mathbf {v} )~d^{n}\mathbf {v} ={\biggl [}{\frac {m}{2\pi k_{\text{B}}T}}{\biggr ]}^{n/2}\exp \left(-{\frac {m|\mathbf {v} |^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)~d^{n}\mathbf {v} }
速度分布は次のようになります。 ここでは正規化定数です。 f ( v ) d v = A exp ( − m v 2 2 k B T ) v n − 1 d v {\displaystyle f(v)~dv=A\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)v^{n-1}~dv} A {\displaystyle A}
次の積分結果は有用である： ここではガンマ関数 である。この結果は速度分布関数のモーメント を計算するために使用できる： これは平均 速度そのものである。∫ 0 ∞ v a exp ( − m v 2 2 k B T ) d v = [ 2 k B T m ] a + 1 2 ∫ 0 ∞ e − x x a / 2 d x 1 / 2 = [ 2 k B T m ] a + 1 2 ∫ 0 ∞ e − x x a / 2 x − 1 / 2 2 d x = [ 2 k B T m ] a + 1 2 Γ ( a + 1 2 ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }v^{a}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)dv&=\left[{\frac {2k_{\text{B}}T}{m}}\right]^{\frac {a+1}{2}}\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{a/2}\,dx^{1/2}\\[2pt]&=\left[{\frac {2k_{\text{B}}T}{m}}\right]^{\frac {a+1}{2}}\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{a/2}{\frac {x^{-1/2}}{2}}\,dx\\[2pt]&=\left[{\frac {2k_{\text{B}}T}{m}}\right]^{\frac {a+1}{2}}{\frac {\Gamma {\left({\frac {a+1}{2}}\right)}}{2}}\end{aligned}}} Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} ⟨ v ⟩ = ∫ 0 ∞ v ⋅ v n − 1 exp ( − m v 2 2 k B T ) d v ∫ 0 ∞ v n − 1 exp ( − m v 2 2 k B T ) d v = 2 k B T m Γ ( n + 1 2 ) Γ ( n 2 ) {\displaystyle \langle v\rangle ={\frac {\displaystyle \int _{0}^{\infty }v\cdot v^{n-1}\exp \left(-{\tfrac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)\,dv}{\displaystyle \int _{0}^{\infty }v^{n-1}\exp \left(-{\tfrac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)\,dv}}={\sqrt {\frac {2k_{\text{B}}T}{m}}}~~{\frac {\Gamma {\left({\frac {n+1}{2}}\right)}}{\Gamma {\left({\frac {n}{2}}\right)}}}} v a v g = ⟨ v ⟩ = 2 k B T m Γ ( n + 1 2 ) Γ ( n 2 ) . {\textstyle v_{\mathrm {avg} }=\langle v\rangle ={\sqrt {\frac {2k_{\text{B}}T}{m}}}\ {\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}.}
⟨ v 2 ⟩ = ∫ 0 ∞ v 2 ⋅ v n − 1 exp ( − m v 2 2 k B T ) d v ∫ 0 ∞ v n − 1 exp ( − m v 2 2 k B T ) d v = [ 2 k B T m ] Γ ( n + 2 2 ) Γ ( n 2 ) = [ 2 k B T m ] n 2 = n k B T m {\displaystyle {\begin{aligned}\langle v^{2}\rangle &={\frac {\displaystyle \int _{0}^{\infty }v^{2}\cdot v^{n-1}\exp \left(-{\tfrac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)\,dv}{\displaystyle \int _{0}^{\infty }v^{n-1}\exp \left(-{\tfrac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)\,dv}}\\[1ex]&=\left[{\frac {2k_{\text{B}}T}{m}}\right]{\frac {\Gamma {\left({\frac {n+2}{2}}\right)}}{\Gamma {\left({\frac {n}{2}}\right)}}}\\[1.2ex]&=\left[{\frac {2k_{\text{B}}T}{m}}\right]{\frac {n}{2}}={\frac {nk_{\text{B}}T}{m}}\end{aligned}}} v rms = ⟨ v 2 ⟩ = n k B T m . {\textstyle v_{\text{rms}}={\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}={\sqrt {\frac {nk_{\text{B}}T}{m}}}.}
速度分布関数の微分： d f ( v ) d v = A exp ( − m v 2 2 k B T ) [ − m v k B T v n − 1 + ( n − 1 ) v n − 2 ] = 0 {\displaystyle {\frac {df(v)}{dv}}=A\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right){\biggl [}-{\frac {mv}{k_{\text{B}}T}}v^{n-1}+(n-1)v^{n-2}{\biggr ]}=0}
これにより、最も可能性の高い速度（モード ）が得られます。v p = ( n − 1 ) k B T / m . {\textstyle v_{\text{p}}={\sqrt {\left(n-1\right)k_{\text{B}}T/m}}.}
実在気体への拡張 導出は、マクスウェル・ボルツマン速度分布の妥当性が理想気体に限定されることを示しています。この式はすべての気体（理想気体と実気体の両方）に一般化されており、その導出は、理想気体と実気体の両方の性質が方向に依存しないという事実から始まります。得られた式は、の代わりに （は圧力、は気体試料のモル体積）という項を含みます。[ 15 ] p V m {\displaystyle pV_{\text{m}}} R T {\displaystyle RT} p {\displaystyle p} V m {\displaystyle V_{\text{m}}}
f ( v ) = [ M 2 π p V m ] 3 / 2 4 π v 2 exp ( − M v 2 2 p V m ) . {\displaystyle f(v)={\biggl [}{\frac {M}{2\pi pV_{\text{m}}}}{\biggr ]}^{{3}/{2}}\,4\pi v^{2}\exp \left(-{\frac {Mv^{2}}{2pV_{\text{m}}}}\right).}
参照
注記
参考文献 ^ a b Mandl, Franz (2008).統計物理学 . マンチェスター物理学（第2版）. チチェスター: John Wiley & Sons. ISBN 978-0471915331 ^ ヤング, ヒュー・D.、フリードマン, ロジャー・A.、フォード, アルバート・ルイス、シアーズ, フランシス・ウェストン、ゼマンスキー, マーク・ウォルド (2008). 『シアーズとゼマンスキーの大学物理学：現代物理学との共存』 （第12版）サンフランシスコ: ピアソン・アディソン・ウェスリー. ISBN 978-0-321-50130-1 ^ 物理学百科事典（第2版）、 RGラーナー 、GLトリッグ、VHC出版社、1991年、 ISBN 3-527-26954-1 ISBN 0-89573-752-3 ^ NA KrallとAW Trivelpiece著『プラズマ物理学の原理』サンフランシスコ出版、1986年、その他プラズマ物理学の基礎に関する多くのテキスト ^ a b マクスウェル、JC（1860 A）：気体の力学理論の図解。第1部：完全弾性球の運動と衝突について。ロンドン、エディンバラ、ダブリン哲学雑誌・科学ジャーナル 、第4シリーズ、第19巻、pp.19-32。[1] ^ a b マクスウェル、JC（1860 B）：気体の力学理論の図解。第2部。2種類以上の運動粒子が互いに拡散する過程について。ロンドン、エディンバラ、ダブリン哲学雑誌・科学ジャーナル 、第4回シリーズ、第20巻、pp.21–37。[2] ^ Müller-Kirsten, HJW (2013). "2". 統計物理学の基礎 （第2版）. World Scientific . ISBN 978-981-4449-53-3 OCLC 822895930 .^ Serway, Raymond A.; Faughn, Jerry S. & Vuille, Chris (2011). College Physics, Volume 1 (9th ed.). Cengage Learning. p. 352. ISBN 9780840068484 ^ Gyenis, Balazs (2017). 「マクスウェルと正規分布：確率、独立性、そして平衡への傾向についての彩色された物語」. 現代物理学史哲学研究 . 57 : 53– 65. arXiv : 1702.01411 . Bibcode : 2017SHPMP..57...53G . doi : 10.1016/j.shpsb.2017.01.001 . S2CID 38272381 . ^ ボルツマン、L.、「Weitere studien über das Wärmegleichgewicht unter Gasmolekülen」ウィーンの Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften、 mathematisch-naturwissenschaftliche Classe 、 66 、1872 年、275 ～ 370 ページ。 ^ ボルツマン、L.、「Über die Beziehung zwischen dem zweiten Hauptsatz der mechanischen Wärmetheorie und der Wahrscheinlichkeitsrechnung respektive den Sätzen über das Wärmegleichgewicht.」ウィーンの Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften、Mathematisch-Naturwissenschaftliche Classe 。約。 II、 76、1877、373–435 ページ。 Wissenschaftliche Abhandlungen 、Vol.に再版されましたII, pp. 164–223, ライプツィヒ: バルト, 1909.翻訳はこちら : http://crystal.med.upenn.edu/sharp-lab-pdfs/2015SharpMatschinsky_Boltz1877_Entropy17.pdf 2021年3月5日アーカイブ、 Wayback Machine ^ パーカー、シビル・P. (1993). マグロウヒル物理学百科事典 （第2版）. マグロウヒル. ISBN 978-0-07-051400-3 ^ローレンドー、ノーマンド ・ M. (2005). 統計熱力学：基礎と応用 . ケンブリッジ大学出版局. p. 434. ISBN 0-521-84635-8 ^ Rapp-Kindner, I.; Ősz, K.; Lente, G. (2025). 「理想気体の法則：導出と知的背景」 . ChemTexts . 11 (1): 1. doi : 10.1007/s40828-024-00198-9 . ^ Lente, G. (2025). 「実在気体中の粒子速度分布を導出するための重要な特性としての方向非依存性」 . Journal of Mathematical Chemistry . 63. doi : 10.1007/s10910-025-01742-9 .
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外部リンク
離散一変数
連続一変量
制限された間隔でサポートされている 半無限間隔でサポートされている 実数直線全体でサポートされている さまざまなタイプのサポート付き
混合単変量
多変量（ジョイント） 方向性 退化 と特異性 家族
![{\displaystyle f(\mathbf {v} )~d^{3}\mathbf {v} ={\biggl [}{\frac {m}{2\pi k_{\text{B}}T}}{\biggr ]}^{{3}/{2}}\,\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)~d^{3}\mathbf {v} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d0b578ff89979fca8572da62ea179ae15023e89)
![{\displaystyle f(\mathbf {p} )\,d^{3}\mathbf {p} =\left[{\frac {1}{2\pi mk_{\text{B}}T}}\right]^{3/2}\exp \left(-{\frac {p^{2}}{2mk_{\text{B}}T}}\right)\,d^{3}\mathbf {p} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b5c81f99485d833eeb3069ccafb18182471dd74)
![{\displaystyle f(v)={\biggl [}{\frac {m}{2\pi k_{\text{B}}T}}{\biggr ]}^{{3}/{2}}\,4\pi v^{2}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98bb4c223313a7732127081cb8420de14fee86dd)
![{\displaystyle {\begin{aligned}0&=k_{\text{B}}Tvf'(v)+f(v)\left(mv^{2}-2k_{\text{B}}T\right),\\[4pt]f(1)&={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\biggl [}{\frac {m}{k_{\text{B}}T}}{\biggr ]}^{3/2}\exp \left(-{\frac {m}{2k_{\text{B}}T}}\right);\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f09bc56bfb18cfe0569ef98c12df473e627f8fe8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}0&=a^{2}xf'(x)+\left(x^{2}-2a^{2}\right)f(x),\\[4pt]f(1)&={\frac {1}{a^{3}}}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\exp \left(-{\frac {1}{2a^{2}}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8f85d9d11f91bd03f3f946d088c429d58357e48)
![{\displaystyle {\frac {df(v)}{dv}}=-8\pi {\biggl [}{\frac {m}{2\pi k_{\text{B}}T}}{\biggr ]}^{3/2}\,v\,\left[{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}-1\right]\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f705b0159ece8500142ac11e1b1cee4d8fc6d443)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle v\rangle &=\int _{0}^{\infty }v\,f(v)\,dv\\[1ex]&=4\pi \left[{\frac {b}{\pi }}\right]^{3/2}\int _{0}^{\infty }v^{3}e^{-bv^{2}}dv=4\pi \left[{\frac {b}{\pi }}\right]^{3/2}{\frac {1}{2b^{2}}}\\[1.4ex]&={\sqrt {\frac {4}{\pi b}}}={\sqrt {\frac {8k_{\text{B}}T}{\pi m}}}={\sqrt {\frac {8RT}{\pi M}}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}v_{\text{p}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7152d24ed3548d5cbe020f7cf665554e3aa7a218)
![{\displaystyle {\begin{aligned}v_{\text{rms}}&={\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}=\left[\int _{0}^{\infty }v^{2}\,f(v)\,dv\right]^{1/2}\\[1ex]&=\left[4\pi \left({\frac {b}{\pi }}\right)^{3/2}\int _{0}^{\infty }v^{4}e^{-bv^{2}}dv\right]^{1/2}\\[1ex]&=\left[4\pi \left({\frac {b}{\pi }}\right)^{3/2}{\frac {3}{8}}\left({\frac {\pi }{b^{5}}}\right)^{1/2}\right]^{1/2}={\sqrt {\frac {3}{2b}}}\\[1ex]&={\sqrt {\frac {3k_{\text{B}}T}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}}={\sqrt {\frac {3}{2}}}v_{\text{p}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99d8c3e55b49560ad9f9ec76f88a3dbeadf32d9a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}v_{\text{rel}}\equiv \langle |\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}|\rangle &=\int \!d^{3}\mathbf {v} _{1}\,d^{3}\mathbf {v} _{2}\left|\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}\right|f(\mathbf {v} _{1})f(\mathbf {v} _{2})\\[2pt]&={\frac {4}{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {\frac {k_{\text{B}}T}{m}}}={\sqrt {2}}\langle v\rangle \end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3581c8f4a6c03c7ffc0c2eb33cf1777e4a1bbd4)
![{\displaystyle f(\mathbf {v} )\equiv \left[{\frac {2\pi k_{\text{B}}T}{m}}\right]^{-3/2}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\frac {m\mathbf {v} ^{2}}{k_{\text{B}}T}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df9a3c656dfebfee6fa77e16bef6f8d4b434973a)
![{\displaystyle \iiint _{-\infty }^{+\infty }\exp \left(-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mk_{\text{B}}T}}\right)dp_{x}\,dp_{y}\,dp_{z}={\Bigl [}{\sqrt {\pi }}{\sqrt {2mk_{\text{B}}T}}{\Bigr ]}^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eddc1b73d3153825f1237bdae9a1d2d4231f968)
![{\displaystyle f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})=\left[{\frac {1}{2\pi mk_{\text{B}}T}}\right]^{3/2}\exp \left(-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mk_{\text{B}}T}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aad48b8600ca1304f0f9d0779369975af58cbac)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f_{E}(E)\,dE&=\left[{\frac {1}{2\pi mk_{\text{B}}T}}\right]^{3/2}\exp \left(-{\frac {E}{k_{\text{B}}T}}\right)4\pi m{\sqrt {2mE}}\ dE\\[1ex]&=2{\sqrt {\frac {E}{\pi }}}\,\left[{\frac {1}{k_{\text{B}}T}}\right]^{3/2}\exp \left(-{\frac {E}{k_{\text{B}}T}}\right)\,dE\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a446c9f95349997fbbd910b6904b5b5ed8156cf)
![{\displaystyle f_{E}(E)=2{\sqrt {\frac {E}{\pi }}}\,\left[{\frac {1}{k_{\text{B}}T}}\right]^{3/2}\exp \left(-{\frac {E}{k_{\text{B}}T}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5bbfb57af3612e5585f95963f248fa6f0dea772)
![{\displaystyle f_{\mathbf {v} }(v_{x},v_{y},v_{z})={\biggl [}{\frac {m}{2\pi k_{\text{B}}T}}{\biggr ]}^{3/2}\exp \left(-{\frac {m\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\right)}{2k_{\text{B}}T}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07893f719551e500717b2f251c0d4ceafe49226)
![{\displaystyle f(v)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\biggl [}{\frac {m}{k_{\text{B}}T}}{\biggr ]}^{3/2}v^{2}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8998e2160261dfbd4c5637bdad7d55e31d759d4)
![{\displaystyle f(\mathbf {v} )~d^{n}\mathbf {v} ={\biggl [}{\frac {m}{2\pi k_{\text{B}}T}}{\biggr ]}^{n/2}\exp \left(-{\frac {m|\mathbf {v} |^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)~d^{n}\mathbf {v} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebd60f28dc06f14715812df5ca951ca908fe1fa2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }v^{a}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)dv&=\left[{\frac {2k_{\text{B}}T}{m}}\right]^{\frac {a+1}{2}}\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{a/2}\,dx^{1/2}\\[2pt]&=\left[{\frac {2k_{\text{B}}T}{m}}\right]^{\frac {a+1}{2}}\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{a/2}{\frac {x^{-1/2}}{2}}\,dx\\[2pt]&=\left[{\frac {2k_{\text{B}}T}{m}}\right]^{\frac {a+1}{2}}{\frac {\Gamma {\left({\frac {a+1}{2}}\right)}}{2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db7de1dcae3e4509e0985e796245060afef254f8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle v^{2}\rangle &={\frac {\displaystyle \int _{0}^{\infty }v^{2}\cdot v^{n-1}\exp \left(-{\tfrac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)\,dv}{\displaystyle \int _{0}^{\infty }v^{n-1}\exp \left(-{\tfrac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right)\,dv}}\\[1ex]&=\left[{\frac {2k_{\text{B}}T}{m}}\right]{\frac {\Gamma {\left({\frac {n+2}{2}}\right)}}{\Gamma {\left({\frac {n}{2}}\right)}}}\\[1.2ex]&=\left[{\frac {2k_{\text{B}}T}{m}}\right]{\frac {n}{2}}={\frac {nk_{\text{B}}T}{m}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/209b86299f630bf948aac7c41b62f917f82647bb)
![{\displaystyle {\frac {df(v)}{dv}}=A\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}\right){\biggl [}-{\frac {mv}{k_{\text{B}}T}}v^{n-1}+(n-1)v^{n-2}{\biggr ]}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2db18a7872b328bfaa2356d081c81686cb35a82c)
![{\displaystyle f(v)={\biggl [}{\frac {M}{2\pi pV_{\text{m}}}}{\biggr ]}^{{3}/{2}}\,4\pi v^{2}\exp \left(-{\frac {Mv^{2}}{2pV_{\text{m}}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/687e22e30b3b8ac4dabdad74017dc9e7fe1d733f)
