平方根

Number whose square is a given number

xの（主）平方根の表記法

例えば、25 = 5 ⋅ 5なので、√ 25 = 5となります。つまり、⁵の 2乗です。

数学において、数xの平方根とは、 となる数y のことです。言い換えれば、その平方（数 y を自身で乗じた結果、つまり）がx となる数yのことです。^[1]例えば、4 と -4 は なので、 16 の平方根です ${\displaystyle y^{2}=x}$ ${\displaystyle y\cdot y}$ ${\displaystyle 4^{2}=(-4)^{2}=16}$

すべての非負の 実数 x は、一意の非負の平方根を持ちます。これは主平方根または単に平方根（定冠詞付き、下記参照）と呼ばれ、 で表されます。ここで、記号「 」は根号^[2]または基数と呼ばれます。たとえば、9 の主平方根が 3 であることを表わすには、 と書きます。平方根が考慮されている項（または数）は被導関数と呼ばれます。被導関数は根号の下の数または式であり、この場合は 9 です。非負のxの場合、主平方根は のように指数表記で書くこともできます。 ${\displaystyle {\sqrt {x}},}$ ${\displaystyle {\sqrt {~^{~}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {9}}=3}$ ${\displaystyle x^{1/2}}$

すべての正の数 xには、 （正）と（負）の2つの平方根があります。この2つの根は、±記号を用いてより簡潔に と表記できます。正の数の主平方根は2つの平方根のうちの1つに過ぎませんが、「平方根」という呼称は主平方根を指すためによく使用されます。^{[3] [4]} ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle -{\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle \pm {\sqrt {x}}}$

負の数の平方根は複素数の枠組みの中で議論することができます。より一般的には、平方根は数学的対象の「平方」の概念が定義されているあらゆる文脈で考えることができます。これには、関数空間や正方行列など、他の数学的構造が含まれます。

歴史

YBC 7289 粘土板

イェール大学バビロニア・コレクションの粘土板YBC 7289は、紀元前1800年から紀元前1600年の間に作成され、2本の対角線が交差する正方形上に、それぞれ1;24,51,10と0;42,25,35の60進数を示していました。 ^[5]（1;24,51,10）60進数は1.41421296に相当し、小数点以下5桁まで正確です（1.41421356…）。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$

リンド数学パピルスは、紀元前1650年に作成された、以前のベルリン・パピルスとその他の文書（おそらくカフン・パピルス）の写本で あり、エジプト人が反比例法で平方根を抽出した方法を示しています。^[6]

古代インドにおいて、平方と平方根の理論的および応用的な側面に関する知識は、少なくとも紀元前800～500年頃（おそらくはそれよりずっと前）のスルバ・スートラ^{と同じくらい古いものでした。 [7]} 2と3の平方根の非常に良い近似値を求める方法は、バウダヤナ・スルバ・スートラに示されています。^[8] 紀元前600年頃のアパスタンバは、小数点以下5桁まで正確な の驚くほど正確な値を与えています。^{[9] [10] [11]}アーリヤバータは、アーリヤバーティヤ（第2.4節）の中で、桁数の多い数の平方根を求める方法を与えています ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\textstyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\times 4}}-{\frac {1}{3\times 4\times 34}}}$

古代ギリシャ人には、完全な平方でない正の整数の平方根は常に無理数、つまり 2 つの整数の比として表すことができない数（つまり、 と正確に書くことができない数、ここでmとnは整数）であることが知られていました。これはユークリッドの定理 X, 9であり、 紀元前 380 年頃のテアイテトスによるものであることはほぼ確実です。^[12] 2 の平方根などの無理数の発見は、ピタゴラス学派と広く関連しています。^{[13] [14]一部の説明では}ヒッパソスが発見したとされていますが、一次資料の少なさと同胞団の秘密主義のため、特定の発見者は不明です。^{[15] [16]これはちょうど、}辺の長さが 1の正方形の対角線の長さです。 ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$

紀元前202年から紀元前186年にかけて前漢時代に書かれた中国の数学書『算命学』では、平方根は「過不足」法を用いて近似されています。この法則では、「…過不足を除数として組み合わせ、分子の不足分母に過不足を掛け、分子の不足分母に過不足を掛けたものを被除数として組み合わせる」と述べられています。^[17]

精巧なRで書かれた平方根の記号は、レギオモンタヌス（1436～1476年）によって発明されました。ジェロラモ・カルダーノの『大乗の技法』では、Rは平方根を示す基数としても使用されました。^[18]

数学史家D・E・スミスによると、アリアバータの平方根を求める方法は、1546年にカタネオによってヨーロッパで初めて導入されました。

ジェフリー・A・オークスによると、アラブ人は「جذر」（jaḏr、jiḏr、ǧaḏr、ǧiḏrなどと様々に翻字される）の最初の文字であるjīm/ĝīm（ج ）を、その頭文字（ﺟ）で数の上に置いて平方根を示していました。jīmという文字は現在の平方根の形に似ています。その使用は12世紀末のモロッコの数学者イブン・アル＝ヤサミンの著作にまで遡ります。^[19]

平方根を表す記号「√」は、1525年にクリストフ・ルドルフの『コス』^[20]で初めて印刷物で使用されました。

性質と用途

関数f ( x ) = √ xのグラフは、垂直な準線を持つ放物線の半分で構成されています。

主要な平方根関数（通常は単に「平方根関数」と呼ばれます）は、非負の実数の集合をそれ自身に写像する関数です。幾何学的には、平方根関数は正方形の面積をその辺の長さに写像します ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$

xの平方根が有理数であるためには、x は2つの完全平方の比として表せる有理数である必要があります。（これが無理数であることの証明については2の平方根を、すべての非平方自然数の証明については2乗無理数を参照してください。）平方根関数は有理数を代数的数 （後者は有理数のスーパーセット） に写します。

すべての実数xについて、（絶対値 を参照）。 $${\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\geq 0\\-x,&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$$

すべての非負の実数xとyについて、そして $${\displaystyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}$$ $${\displaystyle {\sqrt {x}}=x^{1/2}.}$$

平方根関数はすべての非負のxについて連続であり、すべての正のxについて微分可能です。f が平方根関数を表す場合、その導関数は次のように与えられます。 $${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}.}$$

x = 0に関するテイラー級数は| x | ≤ 1で収束し、次のように与えられます ${\displaystyle {\sqrt {1+x}}}$

$${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\cdots ,}$$

非負数の平方根は、ユークリッドノルム（および距離）の定義だけでなく、ヒルベルト空間などの一般化にも使用されます。確率論と統計学で使用される標準偏差という重要な概念を定義します。二次方程式の解の公式で主に用いられます。平方根に基づく二次体と二次整数環は代数学において重要であり、幾何学でも用いられます。平方根は、他の数式や多くの物理法則にも頻繁に現れます。

正の整数の平方根

正の数には、正と負の2つの平方根があり、これらは互いに反対です。正の整数の平方根について話すとき、通常は正の平方根を指します。

整数の平方根は代数的整数、より具体的には二次整数です

正の整数の平方根は、その素因数の平方根の積です。なぜなら、積の平方根は因数の平方根の積だからです。 因数分解において奇数乗となる素数の平方根だけが必要なので、より正確には、素因数分解の平方根は ${\textstyle {\sqrt {p^{2k}}}=p^{k},}$ $${\displaystyle {\sqrt {p_{1}^{2e_{1}+1}\cdots p_{k}^{2e_{k}+1}p_{k+1}^{2e_{k+1}}\dots p_{n}^{2e_{n}}}}=p_{1}^{e_{1}}\dots p_{n}^{e_{n}}{\sqrt {p_{1}\dots p_{k}}}.}$$

小数展開として

完全平方数（例：0、1、4、9、16）の平方根は整数です。それ以外の場合、正の整数の平方根は無理数であり、したがって、小数表現では循環小数を持ちません。最初のいくつかの自然数の平方根の小数近似値は、次の表に示されています。

n	${\displaystyle {\sqrt {n}},}$小数点以下50桁に切り捨て
0	0
1	1
2	1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694
3	1.7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038
4	2
5	2.2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152
6	2.4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667
7	2.6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245
8	2.8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389
9	3
10	3.1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521

他の記数法における展開として

前述のように、完全平方数（例：0、1、4、9、16）の平方根は整数です。それ以外の場合、正の整数の平方根は無理数であるため、標準的な位取り記数法では重複する数字を持ちません

小さな整数の平方根は、SHA-1とSHA-2の両方のハッシュ関数設計で使用され、秘密の数字を提供します。

周期的な連分数として

無理数を単純な連分数として研究した結果は、 1780年頃、ジョゼフ・ルイ・ラグランジュ によって得られました。ラグランジュは、任意の非平方正整数の平方根を連分数として表すと周期的であることを発見しました。つまり、特定の部分分母のパターンが連分数において無限に繰り返されます。ある意味で、これらの平方根は整数の単純な繰り返しパターンで表すことができるため、非常に単純な無理数です。

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	= [1; 2, 2, ...]
${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	= [1; 1, 2, 1, 2, ...]
${\displaystyle {\sqrt {4}}}$	= [2]
${\displaystyle {\sqrt {5}}}$	= [2; 4, 4, ...]
${\displaystyle {\sqrt {6}}}$	= [2; 2, 4, 2, 4, ...]
${\displaystyle {\sqrt {7}}}$	= [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, ...]
${\displaystyle {\sqrt {8}}}$	= [2; 1, 4, 1, 4, ...]
${\displaystyle {\sqrt {9}}}$	= [3]
${\displaystyle {\sqrt {10}}}$	= [3; 6, 6, ...]
${\displaystyle {\sqrt {11}}}$	= [3; 3, 6, 3, 6, ...]
${\displaystyle {\sqrt {12}}}$	= [3; 2, 6, 2, 6, ...]
${\displaystyle {\sqrt {13}}}$	= [3; 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, ...]
${\displaystyle {\sqrt {14}}}$	= [3; 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, ...]
${\displaystyle {\sqrt {15}}}$	= [3; 1, 6, 1, 6, ...]
${\displaystyle {\sqrt {16}}}$	= [4]
${\displaystyle {\sqrt {17}}}$	= [4; 8, 8, ...]
${\displaystyle {\sqrt {18}}}$	= [4; 4, 8, 4, 8, ...]
${\displaystyle {\sqrt {19}}}$	= [4; 2, 1, 3, 1, 2, 8, 2, 1, 3, 1, 2, 8, ...]
${\displaystyle {\sqrt {20}}}$	= [4; 2, 8, 2, 8, ...]

上記で使用した角括弧表記は、連分数の短縮形です。より示唆に富む代数形式で書くと、11の平方根の単純連分数[3; 3, 6, 3, 6, ...]は次のようになります。 $${\displaystyle {\sqrt {11}}=3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+\ddots }}}}}}}}}}}$$

ここで、2桁のパターン{3, 6}は部分分母で何度も繰り返されます。11 = 3 ² + 2なので、上記は次の一般化連分数とも同一です。

$${\displaystyle {\sqrt {11}}=3+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+\ddots }}}}}}}}}}=3+{\cfrac {6}{20-1-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-\ddots }}}}}}}}}}.}$$

計算

正の数の平方根は一般に有理数ではないため、有限小数または循環小数として表記することはできません。したがって、一般に、小数形式で表された平方根を計算しようとすると、近似値しか得られませんが、一連の近似値を求めることで精度を高めることができます

ほとんどのポケット電卓には平方根キーが付いています。コンピュータのスプレッドシートやその他のソフトウェアも、平方根の計算によく使用されます。ポケット電卓には通常、ニュートン法（多くの場合、初期推定値は1）などの効率的なルーチンが実装されており、正の実数の平方根を計算します。^{[21] [22]}対数表や計算尺を使って平方根を計算する場合、 lnとlog ₁₀が自然対数と10を底とする対数である等式を利用できます。 $${\displaystyle {\sqrt {a}}=e^{(\ln a)/2}=10^{(\log _{10}a)/2},}$$

試行錯誤によって^[23] 、推定値を二乗し、十分な精度に達するまで推定値を増減させることができます。この手法では、推定値xをある量cだけ 調整し、調整値の二乗を元の推定値とその二乗で測定できるため、恒等式を使用するのが賢明です。 ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ $${\displaystyle (x+c)^{2}=x^{2}+2xc+c^{2},}$$

手作業による平方根計算の最も一般的な反復法は、「バビロニア法」または「ヘロン法」として知られています。これは、最初にこの法を記述した1世紀のギリシャの哲学者、アレクサンドリアのヘロンにちなんで名付けられました。^{[24]この法は}、ニュートン・ラプソン法を関数y = f ( x ) = x ² − aに適用した場合に得られるのと同じ反復スキームを使用しており、任意の点での傾きがdy / dx = f ′ ( x ) = 2 xであるという事実を利用しています。しかし、この法はそれよりも何世紀も前に遡ります^[25]このアルゴリズムは、単純な計算を繰り返し、その結果を新しい入力として繰り返すたびに、実際の平方根に近い数値を得るというものです。その動機は、xが非負の実数aの平方根に対して過大評価されている場合、 a / xは過小評価されるため、これら2つの数値の平均はどちらよりも良い近似値になるということです。しかし、算術平均と幾何平均の不等式は、この平均が常に平方根の過大評価であることを示しており（下記参照）、これはプロセスを繰り返すための新しい過大評価として機能します。このプロセスは、各反復後に連続する過大評価と過小評価が互いに近づくことで収束します。xを求めるには：

1. 任意の正の開始値xから始めます。aの平方根に近いほど、望ましい精度を達成するために必要な反復回数は少なくなります。
2. xを、 xとa / xの平均（x + a / x）/ 2に置き換えます。
3. この平均値をxの新しい値として使用し、手順2から繰り返します

つまり、 の任意の推定値がx ₀で、x _{n + 1} = ( x _n + a / x _n ) / 2の場合、各x _nは の近似値であり、これはnが小さい場合よりも大きい場合に適しています。a が正の場合、収束は2次式です。つまり、限界に近づくにつれて、正しい桁の数は各反復でほぼ2倍になります。ただし、 a = 0の場合、収束は線形であるため、この場合は反復は必要ありません。 ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {0}}=0}$

恒等式を使用すると、正の数の平方根の計算は、範囲[1, 4)の数の計算に簡略化できます。これにより、平方根に近い反復法の開始値を簡単に見つけることができ、多項式または区分線形近似を使用できます。 $${\displaystyle {\sqrt {a}}=2^{-n}{\sqrt {4^{n}a}},}$$

n桁の精度で平方根を計算するための時間計算量は、2つのn桁の数を乗算する時間計算量に相当します

平方根を計算するもう1つの便利な方法は、n = 2に適用されるn乗根シフトアルゴリズムです。

平方根関数の名称はプログラミング言語によって異なりますが、sqrt^[26]（多くの場合「スクワート」と発音されます^{[27] ）が一般的で、} C言語およびC++、JavaScript、PHP、Pythonなどの派生言語で使用されています。

負の数と複素数の平方根

正または負の数の平方は正であり、0の平方は0です。したがって、負の数には実平方根はありません。しかし、複素数と呼ばれる、負の数の平方根の解を含む、より包括的な数の集合を扱うことは可能です。これは、i（特に電気の文脈ではiが伝統的に電流を表すため、 jで表されることもあります）で表され、i ² = −1と定義される虚数単位と呼ばれる新しい数を導入することによって行われます。この表記法を用いると、 iを−1の平方根と考えることができますが、 (− i ) ² = i ² = −1ともなり、したがって− iも−1の平方根です。慣例により、−1の主平方根はi、またはより一般的には、xが任意の非負数である場合、 − xの主平方根は $${\displaystyle {\sqrt {-x}}=i{\sqrt {x}}.}$$

右辺（およびその負数）は確かに− xの平方根です。なぜなら $${\displaystyle (i{\sqrt {x}})^{2}=i^{2}({\sqrt {x}})^{2}=(-1)x=-x.}$$

0でないすべての複素数zに対して、 w ² = zとなる2つの数wが正確に存在します。1つはzの主平方根（以下で定義）で、もう1つはzの負の平方根です。

複素数の主平方根

複素数zの2乗から6乗根の幾何学的表現。極形式re ^iφ で表されます。ここでr = | z  |、φ = arg zです。zが実数の場合、φ = 0またはπです。主根は黒で示されています

平方根の定義を見つけ、一貫して主値と呼ばれる単一の値を選択できるようにするには、まず、任意の複素数を平面上の点として捉え、直交座標系で表現できることに注目する。同じ点は、極座標系を用いて次のペアとして再解釈できる。ここで、は原点からの点の距離、は原点から点への直線が正の実軸（ ）となす角度である。複素解析では、この点の位置は慣例的に次のように表記される。 ${\displaystyle x+iy}$ ${\displaystyle (x,y),}$ ${\displaystyle (r,\varphi ),}$ ${\displaystyle r\geq 0}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle re^{i\varphi }.}$ $${\displaystyle z=re^{i\varphi }{\text{ with }}-\pi <\varphi \leq \pi ,}$$の主平方根は次のように定義されます。 主平方根関数は、非正の実軸を分岐。が非負の実数である場合（ の場合に限ります）、 の主平方根はです。言い換えれば、非負の実数の主平方根は通常の非負の平方根と同じです。重要なのは、例えば、（つまり）の場合、主平方根は ですが、 を使用すると代わりに別の平方根が生成されること ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {r}}e^{i\varphi /2}.}$$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \varphi =0}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\sqrt {r}}e^{i(0)/2}={\sqrt {r}};}$ ${\displaystyle -\pi <\varphi \leq \pi }$ ${\displaystyle z=-2i}$ ${\displaystyle \varphi =-\pi /2}$ $${\displaystyle {\sqrt {-2i}}={\sqrt {2e^{i\varphi }}}={\sqrt {2}}e^{i\varphi /2}={\sqrt {2}}e^{i(-\pi /4)}=1-i}$$ ${\displaystyle {\tilde {\varphi }}:=\varphi +2\pi =3\pi /2}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}e^{i{\tilde {\varphi }}/2}={\sqrt {2}}e^{i(3\pi /4)}=-1+i=-{\sqrt {-2i}}.}$

主平方根関数は、非正の実数の集合を除くすべての場所で正則です（厳密に負の実数では は連続ではありません）。 に対する上記のテイラー級数は、を持つ複素数に対しても有効です。 ${\displaystyle {\sqrt {1+x}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x|<1.}$

上記は三角関数でも表すことができます。 $${\displaystyle {\sqrt {r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)}}={\sqrt {r}}\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}+i\sin {\frac {\varphi }{2}}\right).}$$

代数式

iの平方根

数を実部と虚部を用いて表す場合、主平方根には次の式を使用できます。^{[28] [29]}

$${\displaystyle {\sqrt {x+iy}}={\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {\textstyle x^{2}+y^{2}}}+x{\bigr )}}}+i\operatorname {sgn}(y){\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {\textstyle x^{2}+y^{2}}}-x{\bigr )}}},}$$

ここで、 y ≥ 0の場合sgn( y ) = 1、それ以外の場合sgn( y ) = −1です。^[30]特に、元の数の虚数部とその平方根の主値は同じ符号を持ちます。平方根の主値の実部は常に非負です。

例えば、 ± iの主平方根は次のように与えられます。

$${\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {1+i}{\sqrt {2}}},\qquad {\sqrt {-i}}={\frac {1-i}{\sqrt {2}}}.}$$

注釈

以下では、複素数zとw は次のように表すことができます。

• ${\displaystyle z=|z|e^{i\theta _{z}}}$
• ${\displaystyle w=|w|e^{i\theta _{w}}}$

ここで、および ${\displaystyle -\pi <\theta _{z}\leq \pi }$ ${\displaystyle -\pi <\theta _{w}\leq \pi }$

複素平面における平方根関数の不連続性のため、以下の法則は一般には成り立ちません。

• ${\displaystyle {\sqrt {zw}}={\sqrt {z}}{\sqrt {w}}}$
  主平方根の反例：z = −1、w = −1
  この等式は次の場合にのみ有効です。 ${\displaystyle -\pi <\theta _{z}+\theta _{w}\leq \pi }$
• ${\displaystyle {\frac {\sqrt {w}}{\sqrt {z}}}={\sqrt {\frac {w}{z}}}}$
  主平方根の反例：w = 1、z = −1
  この等式は次の場合にのみ有効です。 ${\displaystyle -\pi <\theta _{w}-\theta _{z}\leq \pi }$
• ${\displaystyle {\sqrt {z^{*}}}=\left({\sqrt {z}}\right)^{*}}$
  主平方根の反例：z = −1
  この等式は次の場合にのみ有効です。 ${\displaystyle \theta _{z}\neq \pi }$

同様の問題は、分岐切断を持つ他の複素関数、例えば複素対数や、一般には成り立たない関係log z + log w = log( zw )またはlog( z ^* ) = log( z ) ^{*にも現れます。}

これらの法則の1つを誤って仮定することは、いくつかの誤った「証明」の根底にあります。例えば、-1 = 1を示す次の証明です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}-1&=i\cdot i\\&={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\\&={\sqrt {\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)}}\\&={\sqrt {1}}\\&=1.\end{aligned}}}$$

3番目の等式は正当化できません（無効な証明を参照）。^{[31] ：第6章、第1節、第2節+1 = -1 という誤謬は、} √の意味を変更することで成立させることができます。これにより、√はもはや主要な平方根（上記参照）を表すのではなく、を含む平方根の枝を選択します。左辺は、枝に+ i が含まれる場合、または枝に- i が含まれる場合のいずれかになり、右辺は、最後の等式が√の再定義における枝の選択の結果である、になります。 ${\displaystyle {\sqrt {1}}\cdot {\sqrt {-1}}.}$ $${\displaystyle {\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}=i\cdot i=-1}$$ $${\displaystyle {\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}=(-i)\cdot (-i)=-1}$$ $${\displaystyle {\sqrt {\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)}}={\sqrt {1}}=-1,}$$ ${\displaystyle {\sqrt {1}}=-1,}$

n乗根と多項式根

の平方根の定義は、次のように一般化されています。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y^{2}=x}$

の立方根とは、となる数であり、と表記されます。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y^{3}=x}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}.}$

nが2より大きい整数の場合、のn乗根とは、となる数であり、と表記されます。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y^{n}=x}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}.}$

任意の多項式 pに対して、pの根とは、 p ( y )=0となる数yのことです。例えば、xのn乗根は、 yにおける多項式の根です。 ${\displaystyle y^{n}-x.}$

アーベル・ルフィニの定理によれば、一般に、5次以上の多項式の根はn乗根で表すことはできません。

行列と演算子の平方根

Aが正定値行列または演算子である場合、 B ² = Aとなる正定値行列または演算子Bが1つだけ存在します。この場合、 A ^1/2 = Bと定義します。一般に、行列は複数の平方根、あるいは無限個の平方根を持つ場合があります。たとえば、2×2の単位行列には無限の平方根がありますが^[32] 、そのうち1つだけが正定値です。

体を含む整域において

整域の各元には、2つ以下の平方根があります。2つの平方根の差、すなわち恒等式u ² − v ² = ( u − v )( u + v )は、乗法の交換法則を用いて証明されます。uとv が同じ元の平方根である場合、u 2 − v ² = 0 となります。零因子が存在しないため、^これはu = vまたはu + v = 0を意味します。後者は、2つの根が互いに加法逆数であることを意味します。言い換えれば、元aの平方根u が存在する場合、 aの平方根はuと-uのみです。整域における 0 の平方根は、0 自身のみです

標数2の体では 、各元は自身の加法逆元であるため、平方根を1つ持つか、全く持たないかのどちらかです。したがって、−u = uとなります。もし体が標数2の有限体であれば、すべての元は唯一の平方根を持ちます。他の標数を持つ体では、ゼロでない元は、上記のように2つの平方根を持つか、全く持たないかのどちらかです

奇素数 pが与えられ、ある正の整数eに対してq = p ^eとします。q個の元を持つ体F _qの非零元は、F _qに平方根を持つ場合、平方剰余と呼ばれます。そうでない場合、平方非剰余です。平方剰余は( q − 1)/2 個あり、平方非剰余は( q − 1)/2 個あります。どちらのクラスでも、ゼロは数えられません。平方剰余は乗法に関して群を形成します。平方剰余の性質は、数論で広く用いられています。

環における一般論

整域とは異なり、任意の（単位）環の平方根は、符号を除いて一意である必要はありません。例えば、8を法とする整数環（可換ですが、約数は0です）では、元1には4つの異なる平方根、±1と±3があります ${\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} }$

もう一つの例は、零因子を持たないが可換ではない四元 数環です。ここで、元-1には、 ± i、± j、± kを含む無限個の平方根があります。実際、 -1の平方根の集合はまさに ${\displaystyle \mathbb {H} ,}$ $${\displaystyle \{ai+bj+ck\mid a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\}.}$$

0の平方根は、0か零因子のいずれかです。したがって、零因子が存在しない環では、それは一意に0です。しかし、零因子を持つ環には、0の平方根が複数存在する場合があります。例えば、nの任意の倍数では、0の平方根です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n^{2}\mathbb {Z} ,}$

平方根の幾何学的構成

と単位長さが与えられたとき、長さを構成する ${\displaystyle x={\sqrt {a}}}$ ${\displaystyle a}$

斜辺が√17の三角形までのテオドロスの螺旋

ジェイ・ハンビッジによる、ルート長方形を用いた連続した平方根の構成

正の数の平方根は通常、面積が与えられた数に等しい正方形の辺の長さとして定義されます。しかし、必ずしも正方形である必要はありません。2つの類似した平面ユークリッド物体のうち、一方の面積がもう一方の面積のa倍である場合、それらの線形サイズの比はa です ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$

平方根はコンパスと定規を使って作図できます。ユークリッド（紀元前300年頃活躍）は『原論』の中で、 2つの量の幾何平均の作図を2つの異なる箇所、命題II.14と命題VI.13で示しています。aとbの幾何平均はaなので、 b = 1とするだけで作図できます。 ${\displaystyle {\sqrt {ab}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$

この作図はデカルトの『幾何学』でも示されています（2ページの図2を参照）。しかし、デカルトは独創性を主張しておらず、彼の聴衆はユークリッドをよく知っていたでしょう

ユークリッドの第 6 巻の 2 番目の証明は、相似三角形の理論に基づいています。長さa + bの線分 AHBで、 AH = a、HB = bとします。 AB を直径とする円を描き、 H における垂線と円の 2 つの交点のうちの 1 つを C とし、長さ CH をhとします。次に、タレスの定理と、相似三角形によるピタゴラスの定理の証明と同様に、三角形 AHC は三角形 CHB に相似です (実際、どちらも三角形 ACB に相似ですが、これは必須ではありませんが、ピタゴラスの定理の証明の本質です)。つまり、 AH:CH は HC:HB、つまりa / h = h / bとなり、このことから、クロス乗算によりh ² = ab、最終的に となります。線分ABの中点Oをマークし、長さ( a + b )/2の半径OCを描くと、明らかにOC > CH、つまり（ a = bの場合にのみ等式となる）となり、これは2変数の算術幾何平均不等式であり、前述のように、古代ギリシャにおける「ヘロン法」の理解の基礎となっています。 ${\displaystyle h={\sqrt {ab}}}$ ${\textstyle {\frac {a+b}{2}}\geq {\sqrt {ab}}}$

幾何学的作図の別の方法は、直角三角形と帰納法を使用します。は作図でき、一度作図すると、辺が1で斜辺が の直角三角形が作成されます。このようにして連続的に平方根を作成すると、上に示したテオドロスの螺旋が得られます。 ${\displaystyle {\sqrt {1}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {x+1}}}$

参照

• アポトーム（数学）
• 立方根
• 高速逆平方根
• 関数平方根
• 整数平方根
• ネストされた根号
• n乗根
• 1の根号
• 連分数を含む二次方程式の解法
• 平方根アルゴリズム
• 平方根和問題
• 平方根法 - 人口による投票重みの割り当て方法Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 量子ゲート § NOTゲートの平方根 (√NOT)

注釈

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参考文献

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外部リンク

• アルゴリズム、実装など - ポール・シェイの平方根ウェブページ
• 手動で平方根を求める方法
• AMS特集コラム、トニー・フィリップス著「ガリレオの算術」 - ガリレオがどのように平方根を求めたかについてのセクションが含まれています

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