Model used in atom optics and magnetic resonance
回転 波近似は、 原子光学 および 磁気共鳴 において用いられる近似である 。この近似では、 ハミルトニアン中の高速で振動する項は無視される。これは、照射された 電磁波が 原子遷移と共鳴に近い 場合、かつ強度が低い場合に有効な近似である。 [1] 具体的には、ハミルトニアン中の周波数で振動する項は 無視され、周波数で振動する項 は保持される。ここで 、 は光の周波数、 は 遷移周波数である。 ω L + ω 0 {\displaystyle \omega _{L}+\omega _{0}} ω L − ω 0 {\displaystyle \omega _{L}-\omega _{0}} ω L {\displaystyle \omega _{L}} ω 0 {\displaystyle \omega _{0}}
この近似の名前は、 相互作用図 におけるハミルトニアンの形に由来しています（下図参照）。この図に切り替えると、対応する原子ハミルトニアンによる原子の発展は系 ket に吸収され、原子と光場との相互作用による発展のみが考慮されるようになります。この図では、前述の急速に振動する項を無視できます。ある意味で、相互作用図は系 ket と共に回転すると考えられるため、電磁波のうち近似的に共回転する部分のみが保持され、反対方向に回転する成分は無視されます。
回転波近似は 永年近似 と密接に関連しているが、異なるものである。 [2]
簡単のため、基底状態 と 励起 状態 を 持つ 2準位原子系を 考える （ ディラック括弧記法 を使用）。状態間のエネルギー差を とし、 を系の遷移周波数とする。このとき、原子の非摂動 ハミルトニアン は 次のように表される。 | g ⟩ {\displaystyle |{\text{g}}\rangle } | e ⟩ {\displaystyle |{\text{e}}\rangle } ℏ ω 0 {\displaystyle \hbar \omega _{0}} ω 0 {\displaystyle \omega _{0}}
H 0 = ℏ ω 0 2 | e ⟩ ⟨ e | − ℏ ω 0 2 | g ⟩ ⟨ g | {\displaystyle H_{0}={\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-{\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|} 。 原子が 周波数 の外部古典 電場 （例えば 空間を伝播する 平面波） に
さらされていると仮定する。 双極子近似 の下では、原子と電場との間の相互作用ハミルトニアンは次のように表される。 ω L {\displaystyle \omega _{L}} E → ( t ) = E → 0 e − i ω L t + E → 0 ∗ e i ω L t {\displaystyle {\vec {E}}(t)={\vec {E}}_{0}e^{-i\omega _{L}t}+{\vec {E}}_{0}^{*}e^{i\omega _{L}t}}
H 1 = − d → ⋅ E → {\displaystyle H_{1}=-{\vec {d}}\cdot {\vec {E}}} 、 ここでは 原子の 双極子モーメント演算子 である。したがって、原子-光系の全ハミルトニアンは である。原子は エネルギー固有状態 にあるときは双極子モーメントを持たない ので、 と定義すると 双極子演算子は次のように書ける。 d → {\displaystyle {\vec {d}}} H = H 0 + H 1 . {\displaystyle H=H_{0}+H_{1}.} ⟨ e | d → | e ⟩ = ⟨ g | d → | g ⟩ = 0. {\displaystyle \left\langle {\text{e}}\left|{\vec {d}}\right|{\text{e}}\right\rangle =\left\langle {\text{g}}\left|{\vec {d}}\right|{\text{g}}\right\rangle =0.} d → eg := ⟨ e | d → | g ⟩ {\displaystyle {\vec {d}}_{\text{eg}}\mathrel {:=} \left\langle {\text{e}}\left|{\vec {d}}\right|{\text{g}}\right\rangle }
d → = d → eg | e ⟩ ⟨ g | + d → eg ∗ | g ⟩ ⟨ e | {\displaystyle {\vec {d}}={\vec {d}}_{\text{eg}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|+{\vec {d}}_{\text{eg}}^{*}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|} （ 複素共役 を表す ）相互作用ハミルトニアンは次のように示される。 ∗ {\displaystyle ^{*}}
H 1 = − ℏ ( Ω e − i ω L t + Ω ~ e i ω L t ) | e ⟩ ⟨ g | − ℏ ( Ω ~ ∗ e − i ω L t + Ω ∗ e i ω L t ) | g ⟩ ⟨ e | {\displaystyle H_{1}=-\hbar \left(\Omega e^{-i\omega _{L}t}+{\tilde {\Omega }}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i\omega _{L}t}+\Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|} ここで 、は ラビ周波数 、は 逆回転周波数である。これらの項が 逆回転 と呼ばれる理由を理解するために 、相互作用またはディラック描像 への ユニタリー変換を 考えてみよう。 ここで、変換されたハミルトニアン は以下の通りである。 Ω = ℏ − 1 d → eg ⋅ E → 0 {\displaystyle \Omega =\hbar ^{-1}{\vec {d}}_{\text{eg}}\cdot {\vec {E}}_{0}} Ω ~ := ℏ − 1 d → eg ⋅ E → 0 ∗ {\displaystyle {\tilde {\Omega }}\mathrel {:=} \hbar ^{-1}{\vec {d}}_{\text{eg}}\cdot {\vec {E}}_{0}^{*}} Ω ~ {\displaystyle {\tilde {\Omega }}} H 1 , I {\displaystyle H_{1,I}}
H 1 , I = − ℏ ( Ω e − i Δ ω t + Ω ~ e i ( ω L + ω 0 ) t ) | e ⟩ ⟨ g | − ℏ ( Ω ~ ∗ e − i ( ω L + ω 0 ) t + Ω ∗ e i Δ ω t ) | g ⟩ ⟨ e | , {\displaystyle H_{1,I}=-\hbar \left(\Omega e^{-i\Delta \omega t}+{\tilde {\Omega }}e^{i(\omega _{L}+\omega _{0})t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i(\omega _{L}+\omega _{0})t}+\Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|,} 光場と原子の間の離調は どこにありますか。 Δ ω := ω L − ω 0 {\displaystyle \Delta \omega \mathrel {:=} \omega _{L}-\omega _{0}}
近似値を求める 回転波近似を適用した場合 (青) と適用しない場合 (緑) の駆動場による共鳴上の 2 レベル システム。 これが回転波近似が成り立つ点である。双極子近似が仮定されており、これが成立するためには電場が 原子遷移と 共鳴に 近い状態にある必要がある。これは、複素指数関数とが乗じることで 、 急速に振動していると見なせることを意味する。したがって、任意の顕著な時間スケールにおいて、振動は急速に平均化されて0になる。回転波近似とは、これらの項を無視できるという主張であり、したがってハミルトニアンは相互作用描像において次のように表せる。 Δ ω ≪ ω L + ω 0 {\displaystyle \Delta \omega \ll \omega _{L}+\omega _{0}} Ω ~ {\displaystyle {\tilde {\Omega }}} Ω ~ ∗ {\displaystyle {\tilde {\Omega }}^{*}}
H 1 , I RWA = − ℏ Ω e − i Δ ω t | e ⟩ ⟨ g | − ℏ Ω ∗ e i Δ ω t | g ⟩ ⟨ e | . {\displaystyle H_{1,I}^{\text{RWA}}=-\hbar \Omega e^{-i\Delta \omega t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|.} 最後に、シュレーディンガー描像 に戻すと 、ハミルトニアンは次のように表される。
H RWA = ℏ ω 0 2 | e ⟩ ⟨ e | − ℏ ω 0 2 | g ⟩ ⟨ g | − ℏ Ω e − i ω L t | e ⟩ ⟨ g | − ℏ Ω ∗ e i ω L t | g ⟩ ⟨ e | . {\displaystyle H^{\text{RWA}}={\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-{\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega e^{-i\omega _{L}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|.} 回転波近似のもう一つの基準は弱結合条件、すなわちラビ周波数が遷移周波数よりもはるかに小さくなければならないということである。 [1]
この時点で回転波近似は完了します。これ以降の一般的な最初のステップは、別のユニタリー変換によってハミルトニアンに残っている時間依存性を除去することです。
導出 上記の定義から、相互作用ハミルトニアンは
H 1 = − d → ⋅ E → = − ( d → eg | e ⟩ ⟨ g | + d → eg ∗ | g ⟩ ⟨ e | ) ⋅ ( E → 0 e − i ω L t + E → 0 ∗ e i ω L t ) = − ( d → eg ⋅ E → 0 e − i ω L t + d → eg ⋅ E → 0 ∗ e i ω L t ) | e ⟩ ⟨ g | − ( d → eg ∗ ⋅ E → 0 e − i ω L t + d → eg ∗ ⋅ E → 0 ∗ e i ω L t ) | g ⟩ ⟨ e | = − ℏ ( Ω e − i ω L t + Ω ~ e i ω L t ) | e ⟩ ⟨ g | − ℏ ( Ω ~ ∗ e − i ω L t + Ω ∗ e i ω L t ) | g ⟩ ⟨ e | , {\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}=-{\vec {d}}\cdot {\vec {E}}&=-\left({\vec {d}}_{\text{eg}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|+{\vec {d}}_{\text{eg}}^{*}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|\right)\cdot \left({\vec {E}}_{0}e^{-i\omega _{L}t}+{\vec {E}}_{0}^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)\\&=-\left({\vec {d}}_{\text{eg}}\cdot {\vec {E}}_{0}e^{-i\omega _{L}t}+{\vec {d}}_{\text{eg}}\cdot {\vec {E}}_{0}^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\left({\vec {d}}_{\text{eg}}^{*}\cdot {\vec {E}}_{0}e^{-i\omega _{L}t}+{\vec {d}}_{\text{eg}}^{*}\cdot {\vec {E}}_{0}^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|\\&=-\hbar \left(\Omega e^{-i\omega _{L}t}+{\tilde {\Omega }}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i\omega _{L}t}+\Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|,\end{aligned}}} 述べた通りです。次のステップは、相互作用図 におけるハミルトニアンを求めることです 。 必要なユニタリー変換は次のとおりです。 H 1 , I {\displaystyle H_{1,I}}
U = e i H 0 t / ℏ = e i ω 0 t / 2 ( | e ⟩ ⟨ e | − | g ⟩ ⟨ g | ) = cos ( ω 0 t 2 ) ( | e ⟩ ⟨ e | + | g ⟩ ⟨ g | ) + i sin ( ω 0 t 2 ) ( | e ⟩ ⟨ e | − | g ⟩ ⟨ g | ) = e − i ω 0 t / 2 | g ⟩ ⟨ g | + e i ω 0 t / 2 | e ⟩ ⟨ e | = e − i ω 0 t / 2 ( | g ⟩ ⟨ g | + e i ω 0 t | e ⟩ ⟨ e | ) {\displaystyle {\begin{aligned}U&=e^{iH_{0}t/\hbar }\\&=e^{i\omega _{0}t/2(|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|)}\\&=\cos \left({\frac {\omega _{0}t}{2}}\right)\left(|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|+|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|\right)+i\sin \left({\frac {\omega _{0}t}{2}}\right)\left(|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|\right)\\&=e^{-i\omega _{0}t/2}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|+e^{i\omega _{0}t/2}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|\\&=e^{-i\omega _{0}t/2}\left(|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|+e^{i\omega _{0}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|\right)\end{aligned}}}
であり、3番目のステップはテイラー級数 展開と状態と の直交性を用い て証明できる。 ユニタリ 演算子 の全体位相を乗じても、 基礎となる物理特性には影響しないので、以降の の使用では これを無視する。 を適用すると、 以下の式 が得られる
。 | g ⟩ {\displaystyle |{\text{g}}\rangle } | e ⟩ {\displaystyle |{\text{e}}\rangle } e i ω 0 t / 2 {\displaystyle e^{i\omega _{0}t/2}} U {\displaystyle U} U {\displaystyle U}
H 1 , I ≡ U H 1 U † = − ℏ ( Ω e − i ω L t + Ω ~ e i ω L t ) e i ω 0 t | e ⟩ ⟨ g | − ℏ ( Ω ~ ∗ e − i ω L t + Ω ∗ e i ω L t ) | g ⟩ ⟨ e | e − i ω 0 t = − ℏ ( Ω e − i Δ ω t + Ω ~ e i ( ω L + ω 0 ) t ) | e ⟩ ⟨ g | − ℏ ( Ω ~ ∗ e − i ( ω L + ω 0 ) t + Ω ∗ e i Δ ω t ) | g ⟩ ⟨ e | . {\displaystyle {\begin{aligned}H_{1,I}&\equiv UH_{1}U^{\dagger }\\&=-\hbar \left(\Omega e^{-i\omega _{L}t}+{\tilde {\Omega }}e^{i\omega _{L}t}\right)e^{i\omega _{0}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i\omega _{L}t}+\Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|e^{-i\omega _{0}t}\\&=-\hbar \left(\Omega e^{-i\Delta \omega t}+{\tilde {\Omega }}e^{i(\omega _{L}+\omega _{0})t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i(\omega _{L}+\omega _{0})t}+\Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|\ .\end{aligned}}} ここで、前のセクションで説明したように、逆回転項を除去して RWA を適用します。
H 1 , I RWA = − ℏ Ω e − i Δ ω t | e ⟩ ⟨ g | + − ℏ Ω ∗ e i Δ ω t | g ⟩ ⟨ e | {\displaystyle H_{1,I}^{\text{RWA}}=-\hbar \Omega e^{-i\Delta \omega t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|+-\hbar \Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|} 最後に、近似ハミルトニアンを シュレーディンガー像に戻します。 H 1 , I RWA {\displaystyle H_{1,I}^{\text{RWA}}}
H 1 RWA = U † H 1 , I RWA U = − ℏ Ω e − i Δ ω t e − i ω 0 t | e ⟩ ⟨ g | − ℏ Ω ∗ e i Δ ω t | g ⟩ ⟨ e | e i ω 0 t = − ℏ Ω e − i ω L t | e ⟩ ⟨ g | − ℏ Ω ∗ e i ω L t | g ⟩ ⟨ e | . {\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}^{\text{RWA}}&=U^{\dagger }H_{1,I}^{\text{RWA}}U\\&=-\hbar \Omega e^{-i\Delta \omega t}e^{-i\omega _{0}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|e^{i\omega _{0}t}\\&=-\hbar \Omega e^{-i\omega _{L}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|.\end{aligned}}} 原子ハミルトニアンは近似の影響を受けないので、回転波近似によるシュレーディンガー描像の全ハミルトニアンは
H RWA = H 0 + H 1 RWA = ℏ ω 0 2 | e ⟩ ⟨ e | − ℏ ω 0 2 | g ⟩ ⟨ g | − ℏ Ω e − i ω L t | e ⟩ ⟨ g | − ℏ Ω ∗ e i ω L t | g ⟩ ⟨ e | . {\displaystyle H^{\text{RWA}}=H_{0}+H_{1}^{\text{RWA}}={\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-{\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega e^{-i\omega _{L}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|.}
参考文献 ^ ab Wu, Ying; Yang, Xiaoxue (2007). 「周期駆動二準位系の強結合理論」. Physical Review Letters . 98 (1) 013601. Bibcode :2007PhRvL..98a3601W. doi :10.1103/PhysRevLett.98.013601. ISSN 0031-9007. PMID 17358474. ^ Mäkelä, H.; Möttönen, M. (2013年11月13日). 「回転波近似と永年近似の非マルコフ性への影響」. Physical Review A. 88 ( 5) 052111. arXiv : 1306.6301 . Bibcode :2013PhRvA..88e2111M. doi :10.1103/PhysRevA.88.052111. 
