回転演算子（量子力学）

Quantum operator

この記事は、量子力学に現れる回転 演算子について述べています

量子力学的回転

すべての物理的な回転に対して、空間の各ベクトルに、同じく空間に含まれるベクトルを割り当てる規則である量子力学的 回転 演算子を仮定します。回転の生成元に関して、回転軸、角運動量演算子、縮約プランク定数であることを示します ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\widehat {D}}(R):H\to H}$ ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle |\alpha \rangle _{R}={\widehat {D}}(R)|\alpha \rangle }$$ ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle {\widehat {D}}(\mathbf {\hat {n}} ,\phi )=\exp \left(-i\phi {\frac {\mathbf {\hat {n}} \cdot {\widehat {\mathbf {J} }}}{\hbar }}\right),}$$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {J} }}}$ ${\displaystyle \hbar }$

翻訳演算子

回転演算子 は、最初の引数で回転軸、2番目の引数で回転角度を指定し、以下で説明するように、並進演算子を介して微小回転を行うことができます。 そのため、まず並進演算子が位置 x にある粒子にどのように作用するかを示します（粒子は量子力学に従った状態にあります）。 ${\displaystyle \operatorname {R} (z,\theta )}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \operatorname {T} (a)}$ ${\displaystyle |x\rangle }$

位置 の粒子を位置 へ移動します。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+a}$ ${\displaystyle \operatorname {T} (a)|x\rangle =|x+a\rangle }$

0 の移動では粒子の位置は変化しないため、次の式が得られます (1 は恒等演算子を意味し、何も行いません)。 $${\displaystyle \operatorname {T} (0)=1}$$ $${\displaystyle \operatorname {T} (a)\operatorname {T} (da)|x\rangle =\operatorname {T} (a)|x+da\rangle =|x+a+da\rangle =\operatorname {T} (a+da)|x\rangle \Rightarrow \operatorname {T} (a)\operatorname {T} (da)=\operatorname {T} (a+da)}$$

テイラー展開は 以下を与える： $${\displaystyle \operatorname {T} (da)=\operatorname {T} (0)+{\frac {d\operatorname {T} (0)}{da}}da+\cdots =1-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}da}$$ $${\displaystyle p_{x}=i\hbar {\frac {d\operatorname {T} (0)}{da}}}$$

そこから次の式が導かれます。 $${\displaystyle \operatorname {T} (a+da)=\operatorname {T} (a)\operatorname {T} (da)=\operatorname {T} (a)\left(1-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}da\right)\Rightarrow {\frac {\operatorname {T} (a+da)-\operatorname {T} (a)}{da}}={\frac {d\operatorname {T} }{da}}=-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}\operatorname {T} (a)}$$

これは解を持つ微分方程式です

$${\displaystyle \operatorname {T} (a)=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}a\right).}$$

さらに、ハミルトニアンが 位置に依存しないと仮定します。並進演算子は、、、で表すことができるため、次の式が成り立ちます。この結果は、系の 線形運動量が保存されることを意味します。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p_{x}}$ ${\displaystyle [p_{x},H]=0}$ ${\displaystyle [H,\operatorname {T} (a)]=0.}$

軌道角運動量との関係

古典的には、角運動量 について が成り立ちます。これは量子力学においても、 と を演算子として考えると等しくなります。古典的には、ベクトルを-軸を中心に まで微小回転させてを変化させることは、以下の微小移動（テイラー近似を使用）で表すことができます。 ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} .}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle dt}$ ${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '=(x',y',z)}$ ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=r\cos(t+dt)=x-y\,dt+\cdots \\y'&=r\sin(t+dt)=y+x\,dt+\cdots \end{aligned}}}$$

そこから各州について次のことが分かります。 $${\displaystyle \operatorname {R} (z,dt)|r\rangle =\operatorname {R} (z,dt)|x,y,z\rangle =|x-y\,dt,y+x\,dt,z\rangle =\operatorname {T} _{x}(-y\,dt)\operatorname {T} _{y}(x\,dt)|x,y,z\rangle =\operatorname {T} _{x}(-y\,dt)\operatorname {T} _{y}(x\,dt)|r\rangle }$$

そして結果として： $${\displaystyle \operatorname {R} (z,dt)=\operatorname {T} _{x}(-y\,dt)\operatorname {T} _{y}(x\,dt)}$$

上で述べたように、テイラー展開を用いる と、次式を得ます。古典的な外積に従って、角運動量の-成分は： $${\displaystyle T_{k}(a)=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}p_{k}a\right)}$$ ${\displaystyle k=x,y}$ $${\displaystyle \operatorname {R} (z,dt)=\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}\left(xp_{y}-yp_{x}\right)dt\right]=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}L_{z}dt\right)=1-{\frac {i}{\hbar }}L_{z}dt+\cdots }$$ ${\displaystyle L_{z}=xp_{y}-yp_{x}}$ ${\displaystyle z}$

角度 の回転を取得するには、条件を使用して次の微分方程式を構築します。 ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \operatorname {R} (z,0)=1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {R} (z,t+dt)=\operatorname {R} (z,t)\operatorname {R} (z,dt)\\[1.1ex]\Rightarrow {}&{\frac {d\operatorname {R} }{dt}}={\frac {\operatorname {R} (z,t+dt)-\operatorname {R} (z,t)}{dt}}=\operatorname {R} (z,t){\frac {\operatorname {R} (z,dt)-1}{dt}}=-{\frac {i}{\hbar }}L_{z}\operatorname {R} (z,t)\\[1.1ex]\Rightarrow {}&\operatorname {R} (z,t)=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\,t\,L_{z}\right)\end{aligned}}}$$

並進演算子と同様に、 -軸を中心に回転対称なハミルトニアンが与えられた場合、が成り立ちます。この結果は、角運動量が保存されることを意味します。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle [L_{z},H]=0}$ ${\displaystyle [\operatorname {R} (z,t),H]=0}$

例えば ​​-軸の周りのスピン角運動量については、 を（ここではパウリのY行列）に置き換えるだけで、スピン回転演算子 が得られます。 ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L_{z}}$ ${\textstyle S_{y}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{y}}$ ${\displaystyle \sigma _{y}}$ $${\displaystyle \operatorname {D} (y,t)=\exp \left(-i{\frac {t}{2}}\sigma _{y}\right).}$$

スピン演算子と量子状態への影響

演算子は行列で表すことができます。線形代数から、ある行列は別の基底で変換によって表すことができることが分かっています。ここで、は基底変換行列です。ベクトルがそれぞれ一方の基底のZ軸ともう一方の基底のZ軸である場合、それらはY軸に垂直で、その間に特定の角度があります。最初の基底のスピン演算子は、次の変換によってもう一方の基底のスピン演算子に変換できます。 ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A'=PAP^{-1}}$$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle S_{b}}$ ${\displaystyle S_{c}}$ $${\displaystyle S_{c}=\operatorname {D} (y,t)S_{b}\operatorname {D} ^{-1}(y,t)}$$

標準的な量子力学から、既知の結果と、対応する基底におけるトップスピンが与えられています。したがって、次の式が成り立ちます。 ${\textstyle S_{b}|b+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}|b+\rangle }$ ${\textstyle S_{c}|c+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}|c+\rangle }$ ${\displaystyle |b+\rangle }$ ${\displaystyle |c+\rangle }$ $${\displaystyle {\frac {\hbar }{2}}|c+\rangle =S_{c}|c+\rangle =\operatorname {D} (y,t)S_{b}\operatorname {D} ^{-1}(y,t)|c+\rangle \Rightarrow }$$ $${\displaystyle S_{b}\operatorname {D} ^{-1}(y,t)|c+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}\operatorname {D} ^{-1}(y,t)|c+\rangle }$$

利回りとの比較。 ${\textstyle S_{b}|b+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}|b+\rangle }$ ${\displaystyle |b+\rangle =D^{-1}(y,t)|c+\rangle }$

これは、状態が- 軸を中心に角度 だけ回転すると状態 になり、その結果は任意の軸に一般化できることを意味します。 ${\displaystyle |c+\rangle }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle |b+\rangle }$

参照

• 量子力学における対称性
• 球面基底
• 光位相空間

参考文献

• LD Landau、EM Lifshitz著『量子力学：非相対論的理論』、Pergamon Press、1985年
• PAMディラック：量子力学の原理、オックスフォード大学出版局、1958年
• RP ファインマン、RB レイトン、M. サンズ：ファインマン物理学講義、アディソン・ウェスレー、1965年

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