ローター（数学）

回転子は、ベクトル空間の幾何代数（クリフォード代数とも呼ばれる）における、原点の周りの回転を表すオブジェクトです。^[¹^]この用語は、ウィリアム・キングドン・クリフォード^[²^]が、四元数代数がヘルマン・グラスマンの「拡大理論」（Ausdehnungslehre）の特殊なケースに過ぎないことを示した際に生まれました。 ^[³^] ヘステネス^[⁴^]は、回転子を、偶数個の単位ベクトルの積として表すことができ、を満たす幾何代数の任意の要素と定義しました。ここで、はの「逆」、つまり、同じベクトルの積ですが、順序が逆です。 $R$ $R{\tilde {R}}=1$ ${\tilde {R}}$ $R$

意味

数学において、ベクトル空間Vの幾何学代数における回転子は、スピン群Spin( V )の元と同じものである。この群を以下で定義する。

V を正定値二次形式qを備えたベクトル空間とし、 Cl( V ) をVに関連付けられた幾何代数とします。代数 Cl( V ) は、すべてのについて、関係式によるVのテンソル代数の商です。( Cl( V )におけるテンソル積は、幾何代数では幾何積と呼ばれ、この記事ではと表記します。) Vのテンソル代数上のZ次数変換は、 Cl( V ) 上のZ /2 Z 次数変換に降格します。これはと表記します。ここで、 Cl ^even ( V ) は偶数次ブレードによって生成され、 Cl ^odd ( V ) は奇数次ブレードによって生成されます。 $v\cdot v=q(v)$ $v\in V$ $\cdot$ $\operatorname {Cl} (V)=\operatorname {Cl} ^{\text{偶数}}(V)\oplus \operatorname {Cl} ^{\text{奇数}}(V).$

Cl( V ) には、 V上の恒等写像に制限される唯一の反自己同型が存在する。これは転置と呼ばれ、任意の多重ベクトルaの転置はと表記される。ブレード（すなわち単純テンソル）上では、単に因子の順序を逆にする。スピン群 Spin( V ) は、 Cl ^even ( V )の部分群として定義され、となる多重ベクトルRから構成される。つまり、偶数個の単位ベクトルの積として表せる多重ベクトルから構成される。 ${\tilde {a}}$ $R{\tilde {R}}=1.$

ベクトル空間上の回転としての作用

α > θ /2

α < θ /2

ベクトルa を角度θで回転させる。これは、角度θ /2 だけ離れた（θだけではない） 2つの単位ベクトルnとmに沿った二重鏡映である。 a上の各プライム記号は鏡映を表す。図の平面は回転面である。

幾何代数学におけるベクトルに沿った反射は、反射の超平面に垂直な非ヌルベクトルvとそのベクトルの逆ベクトルv ⁻¹の間に多重ベクトルMを挟む (マイナス) として表すことができます。

-vMv^{-1}

回転子Rによって生成される回転のもとで、一般の多重ベクトルMは両側変換され、

RMR^{-1}.

この作用は、Spin( V ) を SO( V )の二重被覆として表す射影準同型を与える。（詳細はスピン群を参照。） $\operatorname {スピン} (V)\to \operatorname {SO} (V)$

制限された代替処方

ユークリッド空間の場合、別の定式化を検討すると便利な場合があり、一部の著者は反射の操作を単位（つまり正規化された）多重ベクトルの挟み込み（マイナス）として定義しています。

-vMv,\quad v^{2}=1,

自動的に正規化されるローターの形成：

R{\チルダ {R}}={\チルダ {R}}R=1.

導出されたローター動作は、逆のサンドイッチ積として表現されます。

RM{\tilde {R}}

擬ユークリッド空間の場合のように、関連するベクトルが負のスカラーに2乗されるような反射の場合、そのようなベクトルはその2乗の符号までしか正規化できず、回転子の適用の符号に関する追加の記録が必要になります。上記の逆関数を持つサンドイッチ積による定式化には、そのような欠点はありません。

多重ベクトルとスピノルの回転

しかしながら、多重ベクトルも両面変換を行うのと同様に、回転子を組み合わせてグループを形成することができ、複数の回転子は片面的に合成されます。上記の代替定式化は自己正規化せず、幾何代数におけるスピノルを片面的に変換するオブジェクトとして定義する根拠となっています。つまり、スピノルは、サンドイッチ積において逆ではなく逆が使用される、正規化されていない回転子と見なすことができます。

同次表現代数

共形幾何代数などの同次表現代数では、表現空間内の回転子は、任意の点の周りの回転、並進、または基本空間内の別の変換に対応します。

参照

参考文献

^ Doran, Chris; Lasenby, Anthony (2007). Geometric Algebra for Physicists . Cambridge, England: Cambridge University Press. p. 592. ISBN 9780521715959。
^クリフォード、ウィリアム・キングドン (1878). 「グラスマンの拡張代数の応用」.アメリカ数学ジャーナル. 1 (4): 353. doi : 10.2307/2369379 . JSTOR 2369379 .
^グラスマン、ヘルマン (1862)。Die Ausdehnugslehre (第 2 版)。ベルリン：TCFエンスリン。 p. 400。
^ヘステネス, デイヴィッド; ソブチク, ギャレット (1987).クリフォード代数から幾何微積分まで（ペーパーバック版）. ドルドレヒト, オランダ: D. ライデル. p. 105.ヘステネスは逆の表記法を使用しています。 $R^{\dagger}$

[1] Doran, Chris; Lasenby, Anthony (2007). Geometric Algebra for Physicists . Cambridge, England: Cambridge University Press. p. 592. ISBN 9780521715959。

[2] クリフォード、ウィリアム・キングドン (1878). 「グラスマンの拡張代数の応用」.アメリカ数学ジャーナル. 1 (4): 353. doi : 10.2307/2369379 . JSTOR 2369379 .

[3] グラスマン、ヘルマン (1862)。Die Ausdehnugslehre (第 2 版)。ベルリン：TCFエンスリン。 p. 400。

[4] ヘステネス, デイヴィッド; ソブチク, ギャレット (1987).クリフォード代数から幾何微積分まで（ペーパーバック版）. ドルドレヒト, オランダ: D. ライデル. p. 105.ヘステネスは逆の表記法を使用しています。 $R^{\dagger}$

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