幾何代​​数

Algebraic structure designed for geometry

数学において、幾何代数（クリフォード代数とも呼ばれる）は、ベクトルなどの幾何学的対象を表現および操作できる代数です。幾何代数は、加算と幾何積という2つの基本的な演算から構成されています。ベクトルの乗算は、多重ベクトルと呼ばれる高次元の対象を生成します。幾何学的対象を操作するための他の形式と比較して、幾何代数は、ベクトルの除算（ただし、通常はすべての要素による除算ではありません）と異なる次元の対象の加算をサポートしている点で注目に値します。

幾何積はヘルマン・グラスマンによって初めて簡単に言及された^[1]。グラスマンは密接に関連した外積代数の開発に主に興味を持っていた。1878年、ウィリアム・キングドン・クリフォードはグラスマンの研究を大きく拡張し、現在では彼に敬意を表してクリフォード代数と呼ばれるものを形成した（ただし、クリフォード自身は「幾何代数」と呼ぶことを選んだ）。クリフォードはクリフォード代数とその積をグラスマン代数とハミルトンの四元数代数の統合として定義した。グラスマン外積の双対を追加することで、グラスマン・ケーリー代数を使用できる。1990年代後半には、平面ベースの幾何代数と共形幾何代数（CGA）がそれぞれユークリッド幾何学と古典幾何学の枠組みを提供した。^[2]実際には、これらといくつかの導出演算により、代数の元、部分空間、演算を幾何学的解釈に対応させることができます。数十年の間、幾何代数はやや無視され、当時電磁気学を記述するために新たに開発されたベクトル解析によって大きく影を潜めていました。「幾何代数」という用語は、1960年代に相対論的物理学におけるその重要性を主張したデイヴィッド・ヘステネスによって再び普及しました。^[3]

スカラーとベクトルは通常の解釈が可能で、幾何代数の別個の部分空間を構成します。2ベクトルは、方向付けられた面積、方向付けられた回転角、トルク、角運動量、磁場など、外積として導出される 3D ベクトル計算の擬似ベクトル量のより自然な表現を提供します。3ベクトルは方向付けられた体積などを表すことができます。ブレードと呼ばれる要素は、部分空間とその部分空間への直交射影を表すために使用できます。回転と反射は要素として表されます。ベクトル代数とは異なり、幾何代数は、相対性理論のように、任意の次元数と任意の二次形式に自然に適応します。

物理学で応用される幾何代数の例としては、時空代数（およびあまり一般的ではない物理空間の代数）がある。微分と積分を組み込んだGAの拡張である幾何計算は、微分形式の代わりにクリフォード代数などを使用することにより、複素解析や微分幾何学などの他の理論を定式化するために使用できる。 幾何代数は、特にDavid Hestenes ^[4]とChris Doran ^{[5]によって、}物理学の好ましい数学的枠組みとして提唱されてきた。提唱者は、古典力学と量子力学、電磁気学、相対性理論など多くの分野で簡潔で直感的な記述を提供すると主張している。^{[6] GAは、}コンピューターグラフィックス^[7]とロボット工学の計算ツールとしても使用されている。

定義と表記

幾何代​​数を定義する方法は数多くあります。ヘステネスの元々のアプローチは公理的で、^[8]「幾何学的な意味に満ち」、普遍的な^[a]クリフォード代数と同等でした。^[9]対称双線型形式(内積、^[b]例えばユークリッド計量やローレンツ計量)を持つ体⁠ ⁠上の有限次元ベクトル空間⁠ ⁠ ${\displaystyle V}$が与えられると、二次空間⁠ ⁠の幾何代数はクリフォード代数⁠ ⁠であり、その要素は多重ベクトルと呼ばれます。クリフォード代数は一般に ⁠ ⁠ のテンソル代数の商として定義されますが、この定義は抽象的であるため、次の定義は抽象代数を必要とせずに示されます。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle g:V\times V\to F}$ ${\displaystyle (V,g)}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,g)}$ ${\displaystyle V}$

意味

非退化対称双線型形式を持つ単位結合代数は、二次空間 ${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,g)}$のクリフォード代数である。[ 10 ^] ${\displaystyle g:V\times V\to F}$ ${\displaystyle (V,g)}$

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle F}$と⁠ ⁠ を ${\displaystyle V}$別個の部分空間として含む
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle a^{2}=g(a,a)1}$のために⁠ ⁠ ${\displaystyle a\in V}$
• ⁠ ⁠ は ${\displaystyle V}$代数として⁠ ⁠ ${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,g)}$を生成する
• ⁠ ⁠は ${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,g)}$⁠ ⁠ ${\displaystyle V}$の適切な部分空間によって生成されません。

退化した対称双線型形式をカバーするには、最後の条件を修正する必要がある。^[c]これらの条件が幾何積を一意に特徴付けることが示される。

この記事の残りの部分では、実数の場合のみを考察します。双線型形式⁠ ⁠が⁠ ${\displaystyle F=\mathbb {R} }$ ⁠ （それぞれ⁠ ⁠ ）の符号を持つ幾何代数を表すために、表記⁠ ⁠ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,q)}$ （それぞれ⁠ ⁠ ）を使用します。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,q,r)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle (p,q,r)}$

幾何代​​数における積は幾何積と呼ばれ、包含外積における積は外積（しばしばウェッジ積または外積^[d]と呼ばれる）と呼ばれる。これらはそれぞれ、並置（すなわち、明示的な乗算記号を省略）と記号⁠ ⁠ ${\displaystyle \wedge }$で表記するのが標準的である。これらと内積との関連については、以下で詳しく説明する。

上記の幾何代数の定義はまだやや抽象的なので、ここで幾何積の性質をまとめます。多重ベクトルの ${\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {G}}(p,q)}$場合:

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle AB\in {\mathcal {G}}(p,q)}$ (閉鎖)
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1A=A1=A}$、ここで⁠ ⁠ ${\displaystyle 1}$は単位元（単位元の存在）です
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A(BC)=(AB)C}$ (結合性)
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A(B+C)=AB+AC}$と⁠ ⁠ ${\displaystyle (B+C)A=BA+CA}$ (分配性)
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle a^{2}=g(a,a)1}$のために⁠ ⁠ ${\displaystyle a\in V}$。

外積は同じプロパティを持ちますが、上記の最後のプロパティが⁠ ${\displaystyle a\wedge a=0}$⁠に対して⁠ ${\displaystyle a\in V}$⁠に置き換えられています。

上記の最後の性質において、実数⁠ ⁠は ${\displaystyle g(a,a)}$⁠ ⁠ ${\displaystyle g}$が正定値でない場合、非負である必要はないことに注意してください。幾何積の重要な性質は、逆元を持つ元が存在することです。ベクトル⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$の場合、が存在し、 ⁠ ⁠に等しくなります。代数の非ゼロ元は必ずしも逆元を持つわけではありません。例えば、 が⁠ ⁠のベクトルで ⁠ ⁠ となる場合、その元は非自明な冪等元であり、かつ非ゼロの零因子でもあるため、逆元は存在しません。^[e] ${\displaystyle a^{2}\neq 0}$ ${\displaystyle a^{-1}}$ ${\displaystyle g(a,a)^{-1}a}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle u^{2}=1}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}(1+u)}$

通常、 と を、自然な埋め込みおよび⁠ ⁠におけるそれらの像と同一視します。この記事でもこの同一視を前提とします。本稿全体を通して、スカラーおよびベクトルという用語は、それぞれと の元（およびこの埋め込みにおけるそれらの像の元）を指します。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \to {\mathcal {G}}(p,q)}$ ${\displaystyle V\to {\mathcal {G}}(p,q)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V}$

幾何積

2つのベクトル⁠ ⁠と⁠ ⁠が与えられ、幾何積が[ ^{13]反可換であれば、} ⁠ ⁠のゆえにそれらは垂直です (上) 。可換であれば、 ⁠ ⁠のゆえにそれらは平行です (下) 。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle a\cdot b=0}$ ${\displaystyle a\wedge b=0}$

実外積代数における（符号付き点）、（有向線分またはベクトル）、（有向平面要素）、 （有向体積）の等級元の幾何学的解釈。ベクトルの外積は、任意の⁠ ⁠次元形状（例：⁠ ⁠ -平行四辺形、⁠ ⁠ -楕円体）として視覚化でき、大きさ（超体積）、および方向は、その⁠ ⁠次元境界上の大きさと内部がどちら側にあるかによって定義される。^{[14] [15]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n-1)}$

ベクトル⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$と⁠ ⁠の場合、任意の2つのベクトル ${\displaystyle b}$⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$と⁠ ⁠ ${\displaystyle b}$の幾何積は、対称積と反対称積の和として表すことができます。

${\displaystyle ab={\frac {1}{2}}(ab+ba)+{\frac {1}{2}}(ab-ba).}$

したがってベクトルの内積は次のように定義できる。

${\displaystyle a\cdot b:=g(a,b),}$

対称積は次のように書ける。

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(ab+ba)={\frac {1}{2}}\left((a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}\right)=a\cdot b.}$

逆に、⁠ ⁠ ${\displaystyle g}$は代数によって完全に決定されます。反対称部分は2つのベクトルの外積、つまり含まれる外代数の積です。

${\displaystyle a\wedge b:={\frac {1}{2}}(ab-ba)=-(b\wedge a).}$

次に、単純な加算により次のようになります。

${\displaystyle ab=a\cdot b+a\wedge b}$幾何積の非一般化形式またはベクトル形式。

内積と外積は、標準的なベクトル代数のよく知られた概念と関連しています。幾何学的には、幾何積が内積に等しい場合、とは平行であり、幾何積が外積に等しい場合、と は垂直です。任意の非零ベクトルの平方が正となる幾何代数においては、2つのベクトルの内積は標準的なベクトル代数のドット積と同一視できます。2つのベクトルの外積は、そのベクトルを辺とする平行四辺形で囲まれた符号付き面積と同一視できます。正定値の二次形式を持つ次元の2つのベクトルの外積は、それらの外積と密接に関連しています。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 3}$

関心のある幾何代数のほとんどの例は、非退化な二次形式を持ちます。二次形式が完全に退化している場合、任意の2つのベクトルの内積は常に0となり、幾何代数は単なる外積代数となります。特に断りのない限り、本稿では非退化な幾何代数のみを扱います。

外積は、代数の任意の2つの要素間の結合双線型二項演算子として自然に拡張され、次の恒等式を満たす。

${\displaystyle {\begin{aligned}1\wedge a_{i}&=a_{i}\wedge 1=a_{i}\\a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r}&={\frac {1}{r!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}\operatorname {sgn} (\sigma )a_{\sigma (1)}a_{\sigma (2)}\cdots a_{\sigma (r)},\end{aligned}}}$

ここで、和は添え字のすべての順列にわたっており、順列の符号はであり、ベクトル（代数の一般元ではない）である。代数のすべての元はこの形式の積の和として表すことができるので、これは代数のあらゆる元対の外積を定義する。定義から、外積は交代代数を形成することが分かる。 ${\displaystyle \operatorname {sgn} (\sigma )}$ ${\displaystyle a_{i}}$

クリフォード代数の同等の構造方程式は^{[16] [17]である。}

${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\dots a_{n}=\sum _{i=0}^{[{\frac {n}{2}}]}\sum _{\mu \in {}{\mathcal {C}}}(-1)^{k}\operatorname {Pf} (a_{\mu _{1}}\cdot a_{\mu _{2}},\dots ,a_{\mu _{2i-1}}\cdot a_{\mu _{2i}})a_{\mu _{2i+1}}\land \dots \land a_{\mu _{n}}}$

ここで、 は⁠ ⁠のパフィアンであり、⁠ ⁠インデックスを⁠ ⁠と⁠ ⁠部分に分割した組み合わせ、⁠ ⁠、を提供し、 ⁠ ⁠は組み合わせのパリティです。 ${\displaystyle \operatorname {Pf} (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\textstyle {\mathcal {C}}={\binom {n}{2i}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2i}$ ${\displaystyle n-2i}$ ${\displaystyle k}$

パフィアンは外積代数のための計量を提供し、クロード・シュヴァレーが指摘したように、クリフォード代数は零二次形式を持つ外積代数に還元される。^{[18]パフィアンの役割は、}単体からクリフォード代数を展開することで幾何学的な観点から理解できる。^[19]この導出は、最初の1の列の解釈を提供するため、パスカルの三角形と単体とのより良いつながりを提供する。

ブレード、グレード、ベース

線型独立ベクトルの外積である多重ベクトルはブレードと呼ばれ、 ⁠ ⁠級であると言われる。^[f]級のブレードの和である多重ベクトルは、級数の（同次）多重ベクトルと呼ばれる。公理より、閉包性を持つ幾何代数のすべての多重ベクトルはブレードの和である。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

ブレードは少数のベクトルの外積であり、すべての多重ベクトルはブレードの和として表すことができます。ブレードは重みを持つ部分空間を表します。

ベクトル空間の⁠ ⁠次元部分空間を張る線型独立ベクトルの集合を考える。これらを用いて、実対称行列（グラミアン行列と同じ方法）を定義できる。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{r}\}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{ij}=a_{i}\cdot a_{j}}$

スペクトル定理により、は直交行列によって対角行列に対角化することができる。 ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {D} }$ ${\displaystyle \mathbf {O} }$

${\displaystyle \sum _{k,l}[\mathbf {O} ]_{ik}[\mathbf {A} ]_{kl}[\mathbf {O} ^{\mathrm {T} }]_{lj}=\sum _{k,l}[\mathbf {O} ]_{ik}[\mathbf {O} ]_{jl}[\mathbf {A} ]_{kl}=[\mathbf {D} ]_{ij}}$

直交 ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{r}\}}$基底ベクトルと呼ばれる新しいベクトルの集合を、直交行列によって変換されたものとして定義します。

${\displaystyle e_{i}=\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{ij}a_{j}}$

直交変換は内積を保存するので、従って2つのベクトルは直交する。言い換えれば、2つの異なるベクトルの幾何積は、それらの外積によって完全に規定される。より一般的には、 ${\displaystyle e_{i}\cdot e_{j}=[\mathbf {D} ]_{ij}}$ ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{r}\}}$ ${\displaystyle e_{i}\neq e_{j}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rl}e_{1}e_{2}\cdots e_{r}&=e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{r}\\&=\left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{1j}a_{j}\right)\wedge \left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{2j}a_{j}\right)\wedge \cdots \wedge \left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{rj}a_{j}\right)\\&=(\det \mathbf {O} )a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r}\end{array}}}$

したがって、等級のブレードはすべてベクトルの外積として表すことができます。より一般的には、退化した幾何代数が許される場合、直交行列は非退化ブロック内で直交するブロック行列に置き換えられ、対角行列は退化次元に沿ってゼロ値の要素を持ちます。非退化部分空間の新しいベクトルが次のように正規化されるとします。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\widehat {e_{i}}}={\frac {1}{\sqrt {|e_{i}\cdot e_{i}|}}}e_{i},}$

の場合、これらの正規化されたベクトルは⁠ ⁠または⁠ ⁠に二乗される必要があります。シルベスターの慣性法則により、対角行列に沿った⁠ ⁠の総数と⁠ ⁠の総数は不変です。拡張により、に二乗されるこれらのベクトルの総数と に二乗されるこれらのベクトルの総数は不変です。（ゼロに二乗される基底ベクトルの総数も不変であり、退化の場合が許される場合はゼロ以外になる可能性があります。）この代数を⁠ ⁠ と表記します。たとえば、は3次元ユークリッド空間、相対論的時空、および3次元空間の 共形幾何学的代数をモデル化します。 ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,q)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(1,3)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,1)}$

空積を含む、昇順の添え字を持つ直交基底ベクトルのすべての可能な積の集合は、幾何代数全体の基底を形成します（PBW定理の類似）。例えば、以下は幾何代数⁠ ⁠の基底です。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$

${\displaystyle \{1,e_{1},e_{2},e_{3},e_{1}e_{2},e_{2}e_{3},e_{3}e_{1},e_{1}e_{2}e_{3}\}}$

このようにして形成された基底は、幾何代数の標準基底と呼ばれ、他の直交基底は別の標準基底を生成する。各標準基底は元から構成される。幾何代数のすべての多重ベクトルは、標準基底元の線形結合として表すことができる。標準基底元が添字集合である場合、任意の2つの多重ベクトルの幾何積は ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle \{B_{i}\mid i\in S\}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \left(\sum _{i}\alpha _{i}B_{i}\right)\left(\sum _{j}\beta _{j}B_{j}\right)=\sum _{i,j}\alpha _{i}\beta _{j}B_{i}B_{j}.}$

「 -ベクトル」という用語は、1つの次元の要素のみを含む多重ベクトルを説明する際によく用いられます。高次元空間では、そのような多重ベクトルの中にはブレードではないもの（ベクトルの外積に因数分解できないもの）があります。例えば、は因数分解できません。しかし、通常、そのような代数の要素は、回転などの幾何学的量を表すことはあっても、オブジェクトとして幾何学的に解釈することはできません。 -空間では、常にブレードとなるのは、-、- 、- 、 -ベクトルのみです。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle e_{1}\wedge e_{2}+e_{3}\wedge e_{4}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,0)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

ヴェルサー

- ${\displaystyle k}$バーサーは、可逆ベクトルの幾何積として表現できる多重ベクトルです。^{[g] [21]}単位四元数（もともとハミルトンによってバーサーと呼ばれていました）は、実2Dローターが複素数を包含するのとほぼ同じように、3D空間内のローターと同一視することができます。詳細については、Dorstを参照してください。^[22] ${\displaystyle k}$

一部の著者は、被演算子が演算子の間に「挟まれる」というよくあるケースを指して「バーサー積」という用語を使用しています。回転と鏡映、そしてそれらの外同型を含む記述は、このような挟み込みの例です。これらの外同型は、特に単純な代数形式を持ちます。^[h]具体的には、

${\displaystyle V\to V:a\mapsto RaR^{-1}}$外同型に拡張される ${\displaystyle {\mathcal {G}}(V)\to {\mathcal {G}}(V):A\mapsto RAR^{-1}.}$

演算子とオペランドは両方ともバーサーであるため、そのような演算に何らかの幾何学的または物理的な意味を付与できる限り、ローターを回転させたり、スピノルを反射したりするなどの代替例が考えられます。

カルタン・ディドゥネの定理によれば、すべての等長変換は超平面の反射として与えられ、合成反射は回転を提供するので、直交変換はバーソルであることがわかります。

群論的に言えば、実数の非退化な⁠ ⁠ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,q)}$について、その群を⁠ ⁠のすべての可逆な元の群として特定し、ルンドホルムは「バーサー群」 （可逆なバーサーの集合）がリプシッツ群（別名クリフォード群、ただしルンドホルムはこの用法を推奨していない）に等しいという証明を与えている。 ^[23] ${\displaystyle {\mathcal {G}}^{\times }}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \{v_{1}v_{2}\cdots v_{k}\in {\mathcal {G}}\mid v_{i}\in V^{\times }\}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

リプシッツ群の部分群

グレードの反転を⁠ ⁠と、反転を ${\displaystyle {\widehat {S}}}$⁠ ⁠ ${\displaystyle {\widetilde {S}}}$と表記します。

リプシッツ群（⁠ ⁠ ${\displaystyle \{S\in {\mathcal {G}}^{\times }\mid {\widehat {S}}VS^{-1}\subseteq V\}}$と定義）とベルサー群（⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \{\prod _{i=0}^{k}v_{i}\mid v_{i}\in V^{\times },k\in \mathbb {N} \}}$と定義）は定義が異なりますが、同じ群です。Lundholmはリプシッツ群の⁠ ⁠ ⁠ ${\displaystyle \operatorname {Pin} }$、⁠ ⁠ ${\displaystyle \operatorname {Spin} }$、および⁠ ⁠ ${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{+}}$部分群を定義しています。^[24]

サブグループ	意味	GA用語
${\displaystyle \Gamma }$	${\displaystyle \{S\in {\mathcal {G}}^{\times }\mid {\widehat {S}}VS^{-1}\subseteq V\}}$	ヴェルサー
${\displaystyle \operatorname {Pin} }$	${\displaystyle \{S\in \Gamma \mid S{\widetilde {S}}=\pm 1\}}$	ユニットバーサー
${\displaystyle \operatorname {Spin} }$	${\displaystyle {\operatorname {Pin} }\cap {\mathcal {G}}^{[0]}}$	偶数単位バーサー
${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{+}}$	${\displaystyle \{S\in \operatorname {Spin} \mid S{\widetilde {S}}=1\}}$	ローター

スピノルの多重解析ではGAを表現として用いる。^[25]

成績予測

⁠ ⁠ - ${\displaystyle \mathbb {Z} }$次数付きベクトル空間構造は、幾何積によって自然に誘導される外積の使用によって幾何代数上に確立できます。

幾何積と外積は直交ベクトル上で等しいので、この次数は直交基底⁠ ⁠ ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$を用いて簡単に構築できます。

のスカラー倍である幾何代数の要素は次数 であり、スカラーと呼ばれます。 のスパンにある要素は次数 であり、通常ベクトルです。 のスパンにある要素は次数 であり、双ベクトルです。この用語は、最後の次数⁠ ⁠ -ベクトルまで続きます。あるいは、⁠ ⁠ -ベクトルは擬スカラー、 ⁠ ⁠ -ベクトルは擬ベクトルなどと呼ばれます。代数の要素の多くは、異なる次数の要素の和であるため、この方式では次数が付けられません。このような要素は、混合次数であると言われています。多重ベクトルの次数は、最初に選択された基底とは無関係です。 ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \{e_{i}e_{j}\mid 1\leq i<j\leq n\}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n-1)}$

これはベクトル空間としては次数化であるが、代数としては次数化ではない。⁠ ⁠ -ブレードと ⁠ ⁠ -ブレードの積は⁠ ⁠ ${\displaystyle r}$ -ブレードを通して ${\displaystyle s}$の成層に含まれるため、幾何代数はフィルター代数である。 ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle r+s}$

マルチベクトルは、グレード射影演算子⁠ ⁠で分解することができ、この演算子は ⁠ ⁠ のグレード部分を出力します。その結果、次のようになります。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle A\rangle _{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=\sum _{r=0}^{n}\langle A\rangle _{r}}$

例として、と⁠ ⁠なので2 つのベクトルの幾何積(と⁠ ⁠以外) 。 ${\displaystyle ab=a\cdot b+a\wedge b=\langle ab\rangle _{0}+\langle ab\rangle _{2}}$ ${\displaystyle \langle ab\rangle _{0}=a\cdot b}$ ${\displaystyle \langle ab\rangle _{2}=a\wedge b}$ ${\displaystyle \langle ab\rangle _{i}=0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 2}$

多重ベクトルは偶数成分と奇数成分に分解することもでき、それぞれ上記の偶数グレード成分の合計と奇数グレード成分の合計として表すことができます。 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A^{[0]}=\langle A\rangle _{0}+\langle A\rangle _{2}+\langle A\rangle _{4}+\cdots }$

${\displaystyle A^{[1]}=\langle A\rangle _{1}+\langle A\rangle _{3}+\langle A\rangle _{5}+\cdots }$

これは、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {Z} }$次数ベクトル空間から⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$次数ベクトル空間への構造の忘却の結果です。幾何積はこの粗い次数に従います。したがって、幾何代数は⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$次数ベクトル空間であるだけでなく、⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$次数代数、つまり超代数でもあります。

偶数部分に限定すると、2つの偶数の元の積も偶数になります。これは、偶数多重ベクトルが偶数部分代数を定義することを意味します。⁠ ⁠次元幾何代数の ${\displaystyle n}$偶数部分代数は、（濾過や次数付けを保存せずに）次元の完全な幾何代数と代数同型です。例としては、 ⁠ ⁠や⁠ ⁠などがあります。 ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}^{[0]}(2,0)\cong {\mathcal {G}}(0,1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}^{[0]}(1,3)\cong {\mathcal {G}}(3,0)}$

部分空間の表現

幾何代​​数では のサブスペースをブレー​​ドとして表すため、それらは⁠ ⁠からのベクトルと同じ代数内に共存します。 ⁠ ⁠ の⁠ ⁠次元サブスペースは、直交基底を取り、幾何積を使用してブレード⁠ ⁠を形成することによって表されます。 ⁠ ⁠を表すブレードは複数あり、それらはすべて⁠ ⁠のスカラー倍数です。これらのブレードは、 ⁠ ⁠ の正の倍数と⁠ ⁠の負の倍数の 2 つのセットに分けることができます。 ⁠ ⁠ の正の倍数は⁠ ⁠と同じ方向を持ち、負の倍数は反対の方向を持つと言われています。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k}\}}$ ${\displaystyle D=b_{1}b_{2}\cdots b_{k}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

ブレードは、投影、回転、反射などの幾何学的演算が外積を介した因数分解に依存するため重要です。外積は (の制限されたクラス) ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -ブレードによって提供されますが、 (の一般化されたクラス) グレード- ⁠ ⁠マルチベクトルでは ${\displaystyle n}$⁠ ⁠ ${\displaystyle n\geq 4}$の場合に提供されません。

単位擬似スカラー

単位擬似スカラーはGAで重要な役割を果たすブレードです。 ⁠ ⁠ の非退化部分空間の単位擬似スカラーは、 ⁠ ⁠の正規直交基底の要素の積であるブレードです。 ⁠ ⁠と⁠ ⁠ が両方とも⁠ ⁠の単位擬似スカラーである場合、 ⁠ ⁠が成り立つことが示されます。 ⁠ ⁠の正規直交基底を選択しない場合、Plücker埋め込みによって外積代数のベクトルが得られますが、スケーリングまでに限られます。幾何代数と外積代数の間のベクトル空間同型性を使用して、すべての⁠ ⁠に対しての同値類が得られます。正規直交性により、上記の符号を除いてこの曖昧さが解消されます。 ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I'}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle I=\pm I'}$ ${\displaystyle I^{2}=\pm 1}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \alpha I}$ ${\displaystyle \alpha \neq 0}$

⁠ ⁠上のおなじみの正定値内積を持つ幾何代数が構成されていると仮定します。⁠​​ ⁠ の平面（2次元部分空間）が与えられた場合 、その平面を張る直交基底を求め、それによってこの平面を表す単位擬スカラーを求めることができます。⁠ ⁠ と ⁠ の張る任意の2つのベクトルの幾何積は⁠ ⁠ ⁠に含まれます。つまり、⁠ ⁠ ⁠ -ベクトルと⁠ ⁠ ⁠ -ベクトルの和です。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}(n,0)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \{b_{1},b_{2}\}}$ ${\displaystyle I=b_{1}b_{2}}$ ${\displaystyle b_{1}}$ ${\displaystyle b_{2}}$ ${\displaystyle \{\alpha _{0}+\alpha _{1}I\mid \alpha _{i}\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 2}$

幾何積の性質により、⁠ ⁠ 。 ${\displaystyle I^{2}=b_{1}b_{2}b_{1}b_{2}=-b_{1}b_{2}b_{2}b_{1}=-1}$虚数単位との類似性は偶然ではない。部分空間は複素数⁠ ⁠代数同型である。このように、複素数のコピーは、二次形式が確定する の2次元部分空間ごとに幾何代数に埋め込まれている。 ${\displaystyle \{\alpha _{0}+\alpha _{1}I\mid \alpha _{i}\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V}$

物理方程式において虚数単位の存在を特定できる場合があります。このような単位は、実代数における⁠ ⁠ ${\displaystyle -1}$の2乗に等しい多くの量のうちの1つから生じ、代数の性質とその様々な部分空間の相互作用により、幾何学的な意味を持ちます。

⁠ ⁠ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$では、さらによく知られたケースが発生します。⁠​​ ⁠の直交ベクトルからなる標準基底が与えられたとき、すべての⁠ ⁠ベクトルの集合は ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle \{e_{3}e_{2},e_{1}e_{3},e_{2}e_{1}\}.}$

これらを⁠ ⁠ ${\displaystyle i}$、そして（大文字表記の慣例から一時的に逸脱しますが）⁠ ⁠ -ベクトルと⁠ ⁠ -ベクトルによって生成される部分空間は⁠ ⁠です。この集合は⁠ ⁠の偶数部分代数であることが示され、さらに⁠ ⁠ -代数として、もう一つの重要な代数系である四元数と同型です。 ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \{\alpha _{0}+i\alpha _{1}+j\alpha _{2}+k\alpha _{3}\mid \alpha _{i}\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

内部製品と外部製品の拡張

ベクトルの外積を多重ベクトルの代数全体に拡張することはよく行われます。これは、前述の次数射影演算子を用いることで実現できます。

${\displaystyle A\wedge B:=\sum _{r,s}\langle \langle A\rangle _{r}\langle B\rangle _{s}\rangle _{r+s}}$     （外装品）

この一般化は、反対称化を含む上記の定義と整合しています。外積に関連するもう一つの一般化は、交換子積です。

${\displaystyle A\times B:={\tfrac {1}{2}}(AB-BA)}$     （整流子積）

回帰積は外積の双対である（それぞれこの文脈における「出会う」と「繋ぐ」に対応する）。^[i]要素の双対指定により、ブレード⁠ ⁠ ${\displaystyle A_{r}}$と⁠ ⁠の場合、双対性が ${\displaystyle B_{s}}$⁠ ⁠ ${\displaystyle A_{r}}$と⁠ ⁠ ${\displaystyle B_{s}}$の両方を含むブレードを基準として取られる交差（または出会う）が許容される（そのような最小のブレードは繋ぐ）。^[27]

${\displaystyle A_{r}\vee B_{s}:=((A_{r}I^{-1})\wedge (B_{s}I^{-1}))I}$

代数の単位擬スカラーと対になる。 ${\displaystyle I}$回帰積は外積と同様に結合的である。^[28]

ベクトルの内積も一般化できますが、複数の非同値な方法があります。論文（Dorst 2002）では、幾何代数のために発展した様々な内積とその相互関係について詳しく説明されており、表記法はそこから引用されています。多くの著者は、それぞれの拡張において、ベクトルの内積と同じ記号を使用しています（例：Hestenes and Perwass）。一貫した表記法は確立されていません。

ヘステネスによるオリジナルの拡張では、内積（またはドット積）を幾何積の最低レベルとして定義しますが、因子のスカラー部分は寄与しません（マルチベクトルとスカラーのドット積は 0 です）。

${\displaystyle A\cdot B:=\sum _{r\neq 0,s\neq 0}\langle \langle A\rangle _{r}\langle B\rangle _{s}\rangle _{|s-r|}}$

本来の意図は、スカラーまたはベクトルに対して ⁠ ⁠ が成り立つようにすることでした。多くの著者は定義において ⁠ ⁠の制約を用いて ${\displaystyle AB=A\cdot B+A\wedge B}$いません。これは以下の「ファットドット」積と同等です。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle r\neq 0,s\neq 0}$

ベクトルの内積の他のいくつかの異なる一般化には次のものがあります。

${\displaystyle A\;\rfloor \;B:=\sum _{r,s}\langle \langle A\rangle _{r}\langle B\rangle _{s}\rangle _{s-r}}$   （左縮約形）

${\displaystyle A\;\lfloor \;B:=\sum _{r,s}\langle \langle A\rangle _{r}\langle B\rangle _{s}\rangle _{r-s}}$   （正しい短縮形）

${\displaystyle A*B:=\sum _{r,s}\langle \langle A\rangle _{r}\langle B\rangle _{s}\rangle _{0}}$   （スカラー積）

${\displaystyle A\bullet B:=\sum _{r,s}\langle \langle A\rangle _{r}\langle B\rangle _{s}\rangle _{|s-r|}}$   （「（太い）ドット」積）^[j]

Dorst (2002) は、ヘステネスの内積よりも縮約法を用いるべきだと主張している。縮約法は代数的に規則性があり、幾何学的解釈もより明確であるからだ。縮約法を組み込んだ恒等式の多くは、入力値に制限なく成立する。例えば、

${\displaystyle A\;\rfloor \;B=(A\wedge (BI^{-1}))I}$

${\displaystyle A\;\lfloor \;B=I((I^{-1}A)\wedge B)}$

${\displaystyle (A\wedge B)*C=A*(B\;\rfloor \;C)}$

${\displaystyle C*(B\wedge A)=(C\;\lfloor \;B)*A}$

${\displaystyle A\;\rfloor \;(B\;\rfloor \;C)=(A\wedge B)\;\rfloor \;C}$

${\displaystyle (A\;\rfloor \;B)\;\lfloor \;C=A\;\rfloor \;(B\;\lfloor \;C).}$

ベクトルの内積の拡張として左縮約を使用する利点には、任意のベクトルおよび多重ベクトル⁠ ⁠について恒等式が ⁠ ⁠ に拡張され、射影演算が任意のブレードおよび任意の多重ベクトルについて ⁠ ⁠に拡張されることが含まれます(以下に示すように、null ⁠ ⁠に対応するために若干の変更が加えられています)。 ${\displaystyle ab=a\cdot b+a\wedge b}$ ${\displaystyle aB=a\;\rfloor \;B+a\wedge B}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{b}(a)=(a\cdot b^{-1})b}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}(A)=(A\;\rfloor \;B^{-1})\;\rfloor \;B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

二重基準

を⁠ ⁠の基底、すなわち⁠ ⁠次元ベクトル空間⁠ ⁠を張る線型独立なベクトルの集合とします。 ⁠ ⁠ の双対な基底とは、この基底と双直交系を形成する双対ベクトル空間の元の集合であり、したがって、 ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle \{e^{1},\ldots ,e^{n}\}}$

${\displaystyle e^{i}\cdot e_{j}=\delta ^{i}{}_{j},}$

クロネッカーのデルタはどこにありますか。 ${\displaystyle \delta }$

⁠ ⁠ ${\displaystyle V}$上の非退化二次形式が与えられると、⁠ ⁠と自然に同一視され、双対基底は⁠ ⁠の元とみなすことができますが、一般には元の基底と同じセットではありません。 ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

さらにGA ⁠ ⁠ ${\displaystyle V}$が与えられ、

${\displaystyle I=e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n}}$

基底⁠ ⁠から形成される擬スカラー（必ずしも⁠ ⁠ ${\displaystyle \pm 1}$の平方になるわけではない）とする。双対基底ベクトルは次のように構築できる。 ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$

${\displaystyle e^{i}=(-1)^{i-1}(e_{1}\wedge \cdots \wedge {\check {e}}_{i}\wedge \cdots \wedge e_{n})I^{-1},}$

ここで、は、⁠ ⁠番目の基底ベクトルが積から省略されることを示します。 ${\displaystyle {\check {e}}_{i}}$ ${\displaystyle i}$

双対基底は、逆基底または逆フレームとも呼ばれます。

双対基底の主な用途は、ベクトルを成分に分解することです。ベクトル⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$が与えられたとき、スカラー成分は次のように定義できます。 ${\displaystyle a^{i}}$

${\displaystyle a^{i}=a\cdot e^{i}\ ,}$

次のようにベクトル成分に分解できる。 ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a=\sum _{i}a^{i}e_{i}\ .}$

スカラー成分は次のように定義することもできる。 ${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle a_{i}=a\cdot e_{i}\ ,}$

は、双対基底の観点からベクトル成分に分解することができる。 ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a=\sum _{i}a_{i}e^{i}\ .}$

上で定義した幾何代数のベクトル部分空間の双対基底は、代数全体をカバーするように拡張することができる。^[29]簡潔にするために、ベクトル添字の順序付き集合を表すために大文字を1つ使用する。すなわち、

${\displaystyle J=(j_{1},\dots ,j_{n})\ ,}$

ここで⁠ ⁠ ${\displaystyle j_{1}<j_{2}<\dots <j_{n}}$、基底ブレードは次のように書ける。

${\displaystyle e_{J}=e_{j_{1}}\wedge e_{j_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{j_{n}}\ .}$

対応する逆ブレードではインデックスが逆の順序になります。

${\displaystyle e^{J}=e^{j_{n}}\wedge \cdots \wedge e^{j_{2}}\wedge e^{j_{1}}\ .}$

上記のベクトルの場合と同様に、

${\displaystyle e^{J}*e_{K}=\delta _{K}^{J}\ ,}$

スカラー積はどこでしょうか。 ${\displaystyle *}$

多重ベクトルでは、スカラー成分を次のように定義できる^[30] ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A^{ij\cdots k}=(e^{k}\wedge \cdots \wedge e^{j}\wedge e^{i})*A\ ,}$

コンポーネントブレードに分割できるという点で ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=\sum _{i<j<\cdots <k}A^{ij\cdots k}e_{i}\wedge e_{j}\wedge \cdots \wedge e_{k}\ .}$

代わりにスカラー成分を定義することもできる

${\displaystyle A_{ij\cdots k}=(e_{k}\wedge \cdots \wedge e_{j}\wedge e_{i})*A\ ,}$

コンポーネントブレードに分割できるという点で ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=\sum _{i<j<\cdots <k}A_{ij\cdots k}e^{i}\wedge e^{j}\wedge \cdots \wedge e^{k}\ .}$

線形関数

ベルソルは代数において多重ベクトルとして直接表現できるため扱いやすいですが、ベルソルは多重ベクトル上の線形関数のサブグループであり、必要に応じて使用することができます。⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$次元ベクトル空間の幾何学代数は、要素の基底によって張られます。多重ベクトルが代数の基底の係数の実列行列で表される場合、多重ベクトルのすべての線形変換は、実行列による行列の乗算として表すことができます。しかし、このような一般的な線形変換は、スカラーからベクトルへの「回転」など、明確な幾何学的解釈を持たない等級間の任意の交換を可能にします。 ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle 2^{n}\times 1}$ ${\displaystyle 2^{n}\times 2^{n}}$

ベクトルからベクトルへの一般線型変換は興味深い。誘導外代数を保存するという自然な制約のもとで、線型変換の外同型は、ベルソルの唯一の^[k]拡大となる。ベクトルをベクトルに写す線型関数がベクトルである場合、その外同型は次の規則に従う関数である。 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r})=f(a_{1})\wedge f(a_{2})\wedge \cdots \wedge f(a_{r})}$

刃の場合は、線形性を通じて代数全体に拡張されます。

ジオメトリのモデリング

CGAには多くの注目が集まっているが、GAは単なる一つの代数ではなく、同じ本質的構造を持つ代数のファミリーの一つである。^[31]

ベクトル空間モデル

の偶数部分代数は複素数と同型であり、ベクトルをその成分で直交基底に書き、基底ベクトル⁠ ⁠で左乗すると、 次のようになる。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}(2,0)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle e_{1}}$

${\displaystyle Z=e_{1}P=e_{1}(xe_{1}+ye_{2})=x(1)+y(e_{1}e_{2}),}$

私たちが認識している場所 ${\displaystyle i\mapsto e_{1}e_{2}}$

${\displaystyle (e_{1}e_{2})^{2}=e_{1}e_{2}e_{1}e_{2}=-e_{1}e_{1}e_{2}e_{2}=-1.}$

同様に、基底を持つの偶数部分代数は、⁠ ⁠、⁠ ⁠を同一視することでわかるように、四元数と同型です。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$ ${\displaystyle \{1,e_{2}e_{3},e_{3}e_{1},e_{1}e_{2}\}}$ ${\displaystyle i\mapsto -e_{2}e_{3}}$ ${\displaystyle j\mapsto -e_{3}e_{1}}$ ${\displaystyle k\mapsto -e_{1}e_{2}}$

すべての結合代数は行列表現を持ちます。3つの直交座標基底ベクトルをパウリ行列に置き換えると、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$の表現が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}=\sigma _{1}=\sigma _{x}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\\e_{2}=\sigma _{2}=\sigma _{y}&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\\e_{3}=\sigma _{3}=\sigma _{z}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,.\end{aligned}}}$

「パウリベクトル」（2元）に点を付ける：

${\displaystyle \sigma =\sigma _{1}e_{1}+\sigma _{2}e_{2}+\sigma _{3}e_{3}}$任意のベクトルとを掛け合わせると次のようになります。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle (\sigma \cdot a)(\sigma \cdot b)=a\cdot b+a\wedge b}$（同様に、検査により、⁠ ⁠ ${\displaystyle a\cdot b+i\sigma \cdot (a\times b)}$）

時空モデル

物理学では、主な応用はミンコフスキー3+1時空の ${\displaystyle {\mathcal {G}}(1,3)}$幾何学的代数であり、時空代数（ STA）^[3]と呼ばれるか、あまり一般的ではないが、物理 ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$空間の代数（APS）として解釈されます。

STA では時空の点は単純にベクトルで表現されますが、APS では⁠ ⁠ ${\displaystyle (3+1)}$次元時空の点は、3 次元ベクトル (空間) と 1 次元スカラー (時間) を組み合わせたパラベクトルで表現されます。

時空代数において、電磁場テンソルは双ベクトル表現⁠ ⁠ ${\displaystyle {F}=({E}+ic{B})\gamma _{0}}$を持つ。^[32]ここで、は単位擬スカラー（または4次元体積要素）、は時間方向の単位ベクトル、 およびは古典的な電場ベクトルと磁場ベクトル（時間成分はゼロ）である。4元電流⁠ ⁠を用いると、マクスウェル方程式は次のようになる 。 ${\displaystyle i=\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}}$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {J}}$

処方	同次方程式	非同次方程式
フィールド	${\displaystyle DF=\mu _{0}J}$
	${\displaystyle D\wedge F=0}$	${\displaystyle D\cdot F=\mu _{0}J}$
電位（任意のゲージ）	${\displaystyle F=D\wedge A}$	${\displaystyle D\cdot (D\wedge A)=\mu _{0}J}$
ポテンシャル（ローレンツゲージ）	${\displaystyle F=DA}$ ${\displaystyle D\cdot A=0}$	${\displaystyle D^{2}A=\mu _{0}J}$

幾何学的計算において、 のようなベクトルの並置は幾何積を表し、 ⁠ ⁠として部分に分解できます。ここで、任意の時空における共ベクトル微分は、平坦時空では ⁠ ⁠ に簡約されます。ここで、はミンコフスキー⁠ ⁠ -時空において役割を果たしており、これはユークリッド⁠ ⁠ -空間​​における⁠ ⁠ の役割と同義であり、ダランベルシアンとは⁠ ⁠によって関連付けられています。実際、未来を指す時間的ベクトルで表される観測者が与えられた とき、次式が成り立ちます。 ${\displaystyle DF}$ ${\displaystyle DF=D\cdot F+D\wedge F}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \bigtriangledown }$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \Box =\bigtriangledown ^{2}}$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$

${\displaystyle \gamma _{0}\cdot \bigtriangledown ={\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}}$

${\displaystyle \gamma _{0}\wedge \bigtriangledown =\nabla }$

このロレンツ計量空間でのブーストは、ユークリッド空間での回転と同じ表現になります。ここでは、関係する時間と空間方向によって生成されるバイベクトルですが、ユークリッドの場合は 2 つの空間方向によって生成されるバイベクトルであるため、「類似性」がほぼ同一性に強化されます。 ${\displaystyle e^{\beta }}$ ${\displaystyle {\beta }}$

ディラック行列は⁠ ⁠ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(1,3)}$の表現であり、物理学者が使用する行列表現と同等であることを示しています。

均質モデル

同次モデルとは、一般に、ベクトル空間の 1 次元部分空間の要素が幾何学上の点を表す射影表現を指します。

次元空間の幾何代数において、回転子は回転に対応する自由度を持つ変換の集合を表します。例えば、⁠ ⁠のときと⁠のときなどです。幾何代数は、射影空間、つまり同質モデルをモデル化するためによく使用されます。つまり、点、直線、平面などは、可逆なスカラー係数だけ異なる代数の要素の同値類によって表されます。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n(n-1)/2}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle n=4}$

⁠ ⁠ 次元空間内のローターには自由度があり、これは⁠ ⁠次元空間の回転と並進を組み合わせた自由度の数と同じです。 ${\displaystyle n+1}$ $n(n-1)/2+n$ ${\displaystyle n}$

これは、射影幾何代数（PGA）の場合であり、ユークリッド^{幾何学における}ユークリッド等長変換^を表すのに使用されます（したがって、幾何学の工学的応用の大部分をカバーします）。このモデルでは、3つのユークリッド次元に退化した次元が追加され、代数 ⁠ ⁠ を形成します^。点、線、平面を表すために部分空間を適切に識別することで、この代数のバーサーは、常に3次元空間でのねじれ運動であるすべての適切なユークリッド等長変換と、反射、回転反射、透過反射、点反射を含むすべての不適切なユークリッド等長変換を表します。PGAを使用すると、投影、会談、角度の式を導出でき、代数を少し拡張するだけで距離や結合を導出することもできます。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0,1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0,1)}$

PGAは、幾何学における同次表現と幾何代数を組み合わせた広く用いられているシステムですが、他にも同様のシステムはいくつか存在します。以下で論じる共形モデルは「円錐幾何代数」^[36]と同様に同次です。また、楕円幾何学および双曲幾何学の同次モデルとPGAから導出されるユークリッド幾何学との比較については、平面に基づく幾何代数を参照してください。

共形モデル

GA 内では、ユークリッド空間（および無限遠における共形点）は、ユークリッド点を 5D CGA ベクトル部分空間の 4D ヌル円錐内の 1D 部分空間と同一視することにより、CGA に射影的に埋め込まれます。これにより、すべての共形変換を回転と反射として実行でき、共変であるため、射影幾何学の入射関係を円や球などの円形オブジェクトに拡張できます。 ${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,1)}$

具体的には、直交基底ベクトルとをベクトル空間の基底に追加し、ヌルベクトルを生成して識別する。 ${\displaystyle e_{+}}$ ${\displaystyle e_{-}}$ ${\displaystyle e_{+}^{2}=+1}$ ${\displaystyle e_{-}^{2}=-1}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$

${\displaystyle n_{\text{o}}={\tfrac {1}{2}}(e_{-}-e_{+})}$原点の点として

${\displaystyle n_{\infty }=e_{-}+e_{+}}$無限遠共形点として（コンパクト化を参照）、

${\displaystyle n_{\infty }\cdot n_{\text{o}}=-1.}$

（一部の著者は、およびと設定しています。[ 37 ] ^{）この手順は、射影幾何学における}同次座標を扱う手順といくつかの類似点があり、この場合、のユークリッド変換を⁠ ⁠のサブセットの直交変換としてモデル化することができます。 ${\displaystyle e_{4}=n_{\text{o}}}$ ${\displaystyle e_{5}=n_{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{4,1}}$

GA の急速に変化する流動的な領域である CGA は、相対論的物理学への応用についても研究されています。

モデル表

このリストでは、⁠ ⁠ ${\displaystyle p}$と⁠ ⁠ ${\displaystyle q}$は入れ替えても同じ名前が適用されることに注意してください。例えば、比較的小さな変化しか生じない場合、符号規則を参照してください。例えば、とはどちらも時空代数と呼ばれます。^[38] ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,1,0)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(1,3,0)}$

名前	サイン	ブレード、例えば代数が表現できる有向幾何学的オブジェクト	ローター、例えば代数が表現できる方向保存変換	注記
双曲線数	${\displaystyle {\mathcal {G}}(1,0,0)}$	ポイント		ここで⁠ ⁠ ${\displaystyle p}$と⁠ ⁠ ${\displaystyle q}$は入れ替えられません。
複素数	${\displaystyle {\mathcal {G}}(0,1,0)}$	ポイント		ここで⁠ ⁠ ${\displaystyle p}$と⁠ ⁠ ${\displaystyle q}$は入れ替えられません。
二重番号	${\displaystyle {\mathcal {G}}(0,0,1)}$	ポイント		ここで⁠ ⁠ ${\displaystyle p}$と⁠ ⁠ ${\displaystyle q}$は入れ替えられません。
ベクトル空間GA（VGA）、物理空間代数（APS）	${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0,0)}$	原点を通る平面と直線	回転、例 ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$	ウィリアム・クリフォードによって発見された最初のGA
射影GA（PGA）、剛体GA（RGA）、平面ベースGA	${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0,1)}$	空間内のあらゆる面、線、点	回転と並進、例えば剛体運動、別名 ${\displaystyle \mathrm {SE} (3)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (3,0,1)}$	署名に若干の修正を加えることで、双曲空間と楕円空間のモデリングが可能になります（メイン記事参照）。「射影」群全体をモデリングすることはできません。
時空代数、STA	${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,1,0)}$	時空における原点を通る体積、平面、線	回転と時空ブースト、例えば、 ${\displaystyle \mathrm {SO} (3,1)}$ローレンツ群	ゲージ理論重力(GTG)の基礎。
時空代数射影化（STAP）[39]	${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,1,1)}$	時空における体積、平面、線、点（事象）	回転、並進、時空ブースト（ポアンカレ群）
コンフォーマルGA（CGA）	${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,1,0)}$	球、円、点のペア（または双極子）、丸い点、平らな点、直線、平面など、空間内のあらゆる場所	角度を保存する空間変換（共形群 ） ${\displaystyle \mathrm {SO} (4,1)}$
共形時空代数、[40] CSTA	${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,2,0)}$	球、円、平面、直線、光円錐、一定加速度の物体の軌道、これらすべてが時空に存在する	時空の共形変換、例えば時空の弧長に沿ってラピディティを保存する変換	ツイスター理論に関連する。
バランス代数、母代数[41]	${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,3,0)}$	未知	射影群
円錐関数GA（GAC） 二次曲面共形2D GA（QC2GA）[42] [36]	${\displaystyle {\mathcal {G}}(5,3,0)}$	点、点のペア/トリプル/クアドラプル、円錐、最大 6 つの独立した円錐のペンシル	反射、平行移動、回転、拡大、その他	円錐は、円錐の制御点と円錐の鉛筆から作成できます。
二次共形GA（QCGA）[43]	${\displaystyle {\mathcal {G}}(9,6,0)}$	点、最大 8 点の組、二次曲面、円錐曲線、二次曲面上の円錐曲線（球面円錐曲線など）、最大 9 個の二次曲面のペンシル	反射、平行移動、回転、拡大、その他	制御点から二次曲面を作成し、その面法線を決定できます。
二重共形幾何代数（DCGA）[44]	${\displaystyle {\mathcal {G}}(8,2,0)}$	点、ダルブー・サイクリッド、二次曲面	反射、平行移動、回転、拡大、その他	2つの独立したCGA基底のバイベクトルを用いて、15個の一意の係数を持つ5×5対称「行列」を表します。ただし、交差や点による構成は実行できません。

ベクトル空間モデルにおける幾何学的解釈

投影と拒絶

3次元空間において、バイベクトルは2次元平面部分空間（水色で、指定された方向に無限に広がる）を定義します。3次元空間の任意のベクトルは、平面への射影と、その平面からの反射に分解できます。 ${\displaystyle a\land b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c_{\Vert }}$ ${\displaystyle c_{\perp }}$

任意のベクトルと任意の可逆ベクトル⁠ ⁠に対して、 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle a=amm^{-1}=(a\cdot m+a\wedge m)m^{-1}=a_{\|m}+a_{\perp m},}$

ここで、の（または平行部分）への投影は ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle a_{\|m}=(a\cdot m)m^{-1}}$

そして、（または直交部分）からの拒絶は ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle a_{\perp m}=a-a_{\|m}=(a\wedge m)m^{-1}.}$

⁠ ⁠ ${\displaystyle k}$ -ブレード⁠ ⁠を ${\displaystyle B}$⁠ ⁠ ${\displaystyle V}$の部分空間として表現し、すべての多重ベクトルは最終的にベクトルで表されるという概念を用いると、これは一般多重ベクトルを任意の可逆な⁠ ⁠ ${\displaystyle k}$ -ブレード⁠ ⁠ ${\displaystyle B}$への射影に一般化される。 ^[l]

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}(A)=(A\;\rfloor \;B)\;\rfloor \;B^{-1},}$

拒絶は次のように定義される

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(A)=A-{\mathcal {P}}_{B}(A).}$

射影と拒絶は、逆を縮約積に関する擬似逆で置き換えることによってヌルブレードに一般化されます。 ^[m]射影の結果は、非ヌルブレードの両方の場合に一致します。^{[45] [46]ヌルブレード}⁠ ⁠の場合、擬似逆への2番目の縮約ではなく、最初の縮約を伴うここで与えられた射影の定義を使用する必要があります。^[n]そうすることで初めて、結果が⁠ ⁠によって表される部分空間に必然的に含まれるためです。^[45]射影は、線形性を通じて一般的なマルチベクトル⁠ ⁠に一般化されます。^[o]射影は⁠ ⁠では線形ではなく、ブレードではない オブジェクト⁠ ⁠には一般化されません。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{-1}}$ ${\displaystyle B^{+}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

反射

超平面における単純な反射は、単一のベクトルとの共役によって代数的に容易に表現できます。これらは、一般的な回転反射と回転の群を生成するのに役立ちます。

ベクトル⁠ ⁠に沿ったベクトルの鏡映。ベクトルに平行な成分のみが反転されます。 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle m}$

ベクトル⁠ ⁠に沿ったベクトルの鏡映、またはそれと同等に⁠ ⁠に直交する超平面におけるベクトルの鏡映は、 ⁠ ⁠に平行なベクトルの成分を反転することと同じです。鏡映の結果は次のようになります。 ${\displaystyle c'}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle c'={-c_{\|m}+c_{\perp m}}={-(c\cdot m)m^{-1}+(c\wedge m)m^{-1}}={(-m\cdot c-m\wedge c)m^{-1}}=-mcm^{-1}}$

これは、次元が⁠ ⁠ ${\displaystyle n\geq 4}$の場合に鏡映演算として考えられる最も一般的な演算ではありません。一般的な鏡映演算は、任意の奇数個の単軸鏡映の合成として表すことができます。したがって、ベクトルの一般的な鏡映演算は次のように表すことができます。 ${\displaystyle a'}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a\mapsto a'=-MaM^{-1},}$

どこ

${\displaystyle M=pq\cdots r}$そして ${\displaystyle M^{-1}=(pq\cdots r)^{-1}=r^{-1}\cdots q^{-1}p^{-1}.}$

ベクトルの積の非零ベクトルに沿った反射を、積の中の各ベクトルを同じベクトルに沿って反射することと定義すると、例えば、奇数個のベクトルの積に対して、 ${\displaystyle m}$

${\displaystyle (abc)'=a'b'c'=(-mam^{-1})(-mbm^{-1})(-mcm^{-1})=-ma(m^{-1}m)b(m^{-1}m)cm^{-1}=-mabcm^{-1}\,}$

そして偶数個のベクトルの積については

${\displaystyle (abcd)'=a'b'c'd'=(-mam^{-1})(-mbm^{-1})(-mcm^{-1})(-mdm^{-1})=mabcdm^{-1}.}$

あらゆる多重ベクトルは最終的にベクトルで表されるという概念を用いると、任意の反射バーサーを用いた一般的な多重ベクトルの反射は次のように書ける。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle A\mapsto M\alpha (A)M^{-1},}$

ここで、ベクトル空間 ( ⁠ ⁠ ) の原点を通る反射の自己同型性が線形性を通じて代数全体に拡張されます。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle v\mapsto -v}$

回転

平面上でベクトルを回転させる回転子は、ベクトルを角度⁠ ⁠ ${\displaystyle \theta }$回転させます。つまり、ベクトルを角度⁠ ⁠回転させることです。とベクトル間の角度は⁠ ⁠です。同様の解釈は、ベクトル⁠ ⁠の代わりに一般的な多重ベクトルにも当てはまります。^[13] ${\displaystyle x\mapsto R_{\theta }x{\widetilde {R}}_{\theta }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \theta /2}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$

ベクトルの積がある場合、その逆は次のように表される。 ${\displaystyle R=a_{1}a_{2}\cdots a_{r}}$

${\displaystyle {\widetilde {R}}=a_{r}\cdots a_{2}a_{1}.}$

例えば、 ${\displaystyle R=ab}$

${\displaystyle R{\widetilde {R}}=abba=ab^{2}a=a^{2}b^{2}=ba^{2}b=baab={\widetilde {R}}R.}$

スケーリングすると ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R{\widetilde {R}}=1}$

${\displaystyle (Rv{\widetilde {R}})^{2}=Rv^{2}{\widetilde {R}}=v^{2}R{\widetilde {R}}=v^{2}}$

の長さは変化しない。また、 ${\displaystyle Rv{\widetilde {R}}}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle (Rv_{1}{\widetilde {R}})\cdot (Rv_{2}{\widetilde {R}})=v_{1}\cdot v_{2}}$

したがって、変換は長さと角度の両方を保存します。したがって、これは回転または回転子反射として識別できます。回転子とは、それが真の回転である場合（偶数個のベクトルの積として表せる場合など）、そしてGAでバーサーと呼ばれるもののインスタンスです。 ${\displaystyle Rv{\widetilde {R}}}$ ${\displaystyle R}$

ベクトルを回転させる一般的な方法があり、これには、平面内で回転を生成し、方向が -ブレードによって定義された形式の多重ベクトルの形成が含まれます。 ${\displaystyle R=e^{-B\theta /2}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle B}$

ローターは、四元数を⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$次元空間に一般化したものです。

例と応用

ベクトルで張られた平行四辺形の超体積

平行四辺形を張るベクトル⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$と⁠ ⁠については、 ${\displaystyle b}$

${\displaystyle a\wedge b=((a\wedge b)b^{-1})b=a_{\perp b}b}$

その結果、⁠ ⁠ ${\displaystyle a\wedge b}$は平行四辺形の「高さ」と「底辺」の積、つまり面積に比例します。

同様の解釈は、⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$次元平行四辺形を張る任意の数のベクトルにも当てはまります。ベクトルの外積、つまり⁠ ⁠ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$の大きさは、 ⁠ ⁠平行四辺形の体積に等しくなります。⁠ ⁠ベクトルは必ずしも平行四辺形の形状をとるわけではありません。これは便宜的な視覚化です。体積は平行四辺形の体積に等しくなりますが、任意の形状をとることができます。 ${\displaystyle \textstyle \bigwedge _{i=1}^{n}a_{i}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

直線と平面の交差

点 T と点 P (これを求めます) によって定義される直線 L と、点 P と点 Q を含む二ベクトル B によって定義される平面。

線を⁠ ⁠ ${\displaystyle p=t+\alpha \ v}$でパラメトリックに定義できます。ここで、⁠ ⁠ ${\displaystyle p}$と⁠ ⁠ ${\displaystyle t}$は点 P と T の位置ベクトルであり、⁠ ⁠ ${\displaystyle v}$は線の方向ベクトルです。

それから

${\displaystyle B\wedge (p-q)=0}$そして ${\displaystyle B\wedge (t+\alpha v-q)=0}$

それで

${\displaystyle \alpha ={\frac {B\wedge (q-t)}{B\wedge v}}}$

そして

${\displaystyle p=t+\left({\frac {B\wedge (q-t)}{B\wedge v}}\right)v.}$

回転システム

トルクや角運動量などの回転量は、幾何代数学では双ベクトルとして記述されます。直交ベクトル⁠ ⁠ ${\displaystyle {\widehat {u}}}$と⁠ ⁠ ${\displaystyle {\widehat {\ \!v}}}$を含む任意の平面上の円軌道が、角度によってパラメータ化されているとします。

${\displaystyle \mathbf {r} =r({\widehat {u}}\cos \theta +{\widehat {\ \!v}}\sin \theta )=r{\widehat {u}}(\cos \theta +{\widehat {u}}{\widehat {\ \!v}}\sin \theta )}$

この平面の単位二乗ベクトルを虚数として指定することにより

${\displaystyle {i}={\widehat {u}}{\widehat {\ \!v}}={\widehat {u}}\wedge {\widehat {\ \!v}}}$

${\displaystyle i^{2}=-1}$

このパスベクトルは、複素指数形式で便利に記述できる。

${\displaystyle \mathbf {r} =r{\widehat {u}}e^{i\theta }}$

そして角度に関する微分は

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{d\theta }}=r{\widehat {u}}ie^{i\theta }=\mathbf {r} i.}$

外積と外積の関係。赤線は単位法線ベクトルと「平行」な単位二乗ベクトルです。

例えば、トルクは一般的に、垂直方向の力の成分の大きさと距離の積、つまり単位角度あたりの仕事として定義されます。したがって、トルク、つまり力による角度に対する仕事 ${\displaystyle W}$の変化率は、 ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \tau ={\frac {dW}{d\theta }}=F\cdot {\frac {dr}{d\theta }}=F\cdot (\mathbf {r} i).}$

回転量は、ベクトル解析において3次元では外積を用いて表される。向き付けられた体積形式⁠ ⁠の選択と合わせて、これらの量は、双対関係を用いて、より自然な幾何学的解釈である外積と関連付けることができる。 ${\displaystyle I}$

${\displaystyle a\times b=-I(a\wedge b).}$

トルクの外積記述とは異なり、幾何代数記述では法線方向のベクトルは導入されません。このベクトルは2次元では存在せず、3次元を超える次元では一意ではありません。単位二乗ベクトルは回転の平面と方向を記述し、回転の向きはベクトル ${\displaystyle \tau =\mathbf {r} \times F}$⁠ ⁠ ${\displaystyle {\widehat {u}}}$と⁠ ⁠ ${\displaystyle {\widehat {\ \!v}}}$の間の角度を基準とします。

幾何微積分

幾何学的計算は、微分幾何学や微分形式を含む微分と積分を含むように形式主義を拡張します。^[47]

本質的に、ベクトル微分は、グリーン定理のGA版が成り立つように定義される。

${\displaystyle \int _{A}dA\,\nabla f=\oint _{\partial A}dx\,f}$

そしてこう書くことができる

${\displaystyle \nabla f=\nabla \cdot f+\nabla \wedge f}$

幾何学的積として、ストークスの定理（微分形式バージョンを含む）を効果的に一般化します。

1次元において、⁠ ⁠ が端点 ${\displaystyle A}$⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$と⁠ ⁠ ${\displaystyle b}$を持つ曲線である場合、

${\displaystyle \int _{A}dA\,\nabla f=\oint _{\partial A}dx\,f}$

に減少する

${\displaystyle \int _{a}^{b}dx\,\nabla f=\int _{a}^{b}dx\cdot \nabla f=\int _{a}^{b}df=f(b)-f(a)}$

あるいは積分学の基本定理。

また、ベクトル多様体の概念と幾何学的積分理論（微分形式を一般化する）も発展しました。

歴史

20世紀以前

幾何学と代数のつながりは、少なくとも紀元前3世紀のユークリッドの『原論』にまで遡るが（ギリシャの幾何代数を参照）、本稿で用いる意味でのGAは、空間の幾何学的特性と変換を体系的に記述するために用いられるようになった1844年まで発展しなかった。その年、ヘルマン・グラスマンは、空間の幾何学的情報すべてを符号化するある種の計算（命題計算に類似）として、完全に一般的な幾何代数の概念を導入した。^{[48]グラスマンの代数体系は、}ユークリッド空間、アフィン空間、射影空間など、さまざまな種類の空間に適用できる。グラスマンに続いて、1878年にウィリアム・キングドン・クリフォードは、ウィリアム・ローワン・ハミルトンの四元数と並べてグラスマンの代数体系を調べた（クリフォード1878）。彼の観点からすると、四元数は特定の変換（彼はこれを回転子と呼んだ）を記述するのに対し、グラスマン代数は特定の性質（長さ、面積、体積といったシュレッケン）を記述する。彼の貢献は、既存のグラスマン代数に新たな積、すなわち幾何積を定義し、四元数がその代数の内部に存在することを明らかにした点にある。その後、1886年にルドルフ・リプシッツはクリフォードの四元数の解釈を一般化し、⁠ ⁠次元における回転の幾何学に適用した。その後、これらの発展は20世紀の他の数学者たちがクリフォード代数の性質を形式化し、探求するきっかけとなった。 ${\displaystyle n}$

しかしながら、19 世紀には、幾何学代数学を完全に凌駕する革命的な発展がもうひとつありました。ジョサイア・ウィラード・ギブスとオリバー・ヘヴィサイドが独立に開発したベクトル解析です。ベクトル解析は、ジェームズ・クラーク・マクスウェルの電磁気学の研究、特に特定の微分方程式を簡便に表現し操作する必要性に触発されて生まれました。新しい代数学の厳密さに比べると、ベクトル解析にはある種の直感的な魅力がありました。物理学者も数学者も、ギブスの講義を受けてエドウィン・ビッドウェル・ウィルソンが1901 年に出版した影響力のある教科書『ベクトル解析』をきっかけに、ベクトル解析を幾何学のツールキットとしてすぐに採用しました。

より詳細には、幾何代数には3つのアプローチがありました。1843年にハミルトンによって始められ、1878年にクリフォードによって回転子として幾何学化された四元数解析、1844年にグラスマンによって始められた幾何代数、そして19世紀後半にギブスとヘヴィサイドによって四元数解析から発展したベクトル解析です。ベクトル解析における四元数解析の遺産は、⁠ ⁠の基底ベクトルを示すために⁠ ⁠ ${\displaystyle i}$、⁠ ⁠ ${\displaystyle j}$、⁠ ⁠ ${\displaystyle k}$の使用に見ることができます。これは純虚数の四元数として考えられています。幾何代数の観点からは、時空代数の偶数部分代数は3Dユークリッド空間のGAと同型であり、四元数は3Dユークリッド空間のGAの偶数部分代数と同型であり、これにより3つのアプローチが統合されます。 ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$

20世紀と現在

クリフォード代数研究は20世紀を通して静かに進展したが、その大きな要因はエリー・カルタン、ヘルマン・ワイル、クロード・シュヴァレーといった抽象代数学者の業績であった。幾何代数への幾何学的アプローチは、20世紀に幾度か復活を遂げた。数学においては、エミール・アルティンの『幾何代数^{』[49]が、}アフィン幾何学、射影幾何学、シンプレクティック幾何学、直交幾何学といった様々な幾何学のそれぞれに関連する代数について論じている。物理学においては、幾何代数は、量子力学やゲージ理論といったより高度なテーマと共に、古典力学や電磁気学を扱う「新しい」方法として復活した。^[5]デイヴィッド・ヘステネスは、パウリ行列とディラック行列をそれぞれ通常の空間と時空におけるベクトルとして再解釈し、幾何代数の使用を現代において提唱する第一人者である。

コンピュータグラフィックスとロボティクスにおいて、回転などの変換を効率的に表現するために、幾何代数が復活しました。ロボティクス（ねじ理論、ベルソルを用いた運動学と動力学）、コンピュータビジョン、制御、ニューラルコンピューティング（幾何学習）におけるGAの応用については、Bayro (2010) を参照してください。

参照

• ベクトル代数と幾何代数の比較
• クリフォード代数
• グラスマン・ケーリー代数
• 時空代数
• スピノル
• クォータニオン
• 物理空間の代数
• 普遍幾何代数

注記

1. 「普遍」代数とは、定義方程式をすべて満たす最も「完全」な、あるいは最も退化の少ない代数です。この記事では、「クリフォード代数」とは普遍クリフォード代数を指します。
2. 幾何代数学において内積という用語は、 -ベクトル部分空間上の対称双線型形式を指し、擬ユークリッドベクトル空間のスカラー積と同義であり、ノルムベクトル空間上の内積とは同義ではない。一部の著者は内積の意味を代数全体に拡張するかもしれないが、この点についてはほとんど合意が得られていない。幾何代数学の教科書においても、この用語は普遍的に用いられているわけではない。 ${\displaystyle 1}$
3. ^[11] ⁠ ⁠内の任意の線形独立ベクトルの積が⁠ ⁠に含まれてはならない、または^[12]代数の次元が⁠ ⁠でなければならないという条件に置き換えられる場合がある。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle 2^{\dim V}}$
4. 幾何代数学で使われる外積という用語は、数学の他の分野における外積の意味と矛盾する。
5. ⁠ ⁠が与えられている場合、 ⁠ ⁠がべき等であることが示され、 ⁠ ⁠が成り立ち、これが非ゼロの零因子であることが示されます。 ${\displaystyle u^{2}=1}$ ${\textstyle ({\tfrac {1}{2}}(1+u))^{2}}$ ${\displaystyle ={\tfrac {1}{4}}(1+2u+uu)}$ ${\displaystyle ={\tfrac {1}{4}}(1+2u+1)}$ ${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}(1+u)}$ ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}(1+u)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1+u)(1-u)}$ ${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}(1-uu)}$ ${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}(1-1)=0}$
6. 等級は、外積を持つ代数としての等級付け（ -等級付け）の下での同質元の次数と同義であり、幾何積の下での同質元の次数と同義ではありません。 ${\displaystyle \mathrm {Z} }$
7. 「ハミルトンの四元数計算で使われなくなった用語を復活させ、ある程度一般化した」ヘステネスは、ベクトルの積に因数分解できる多重ベクトルとして -versor を定義し ${\displaystyle k}$た。^[20] ${\displaystyle k}$
8. 双線型形式を尊重する線型変換の外同型のみがこの記述に適合します。外同型は一般に代数演算では表現できません。
9. [...] 外積演算と結合関係は本質的に同じ意味を持つ。グラスマン・ケーリー代数は、ミート関係をその対応物とみなし、これら2つの演算が同等の立場にある統一的な枠組みを与える [...] グラスマン自身はミート演算を外積演算の双対として定義したが、後の数学者たちはシャッフルと呼ばれる処理を通してミート演算子を外積とは独立に定義し、ミート演算はシャッフル積と呼ばれる。これは結合性を満たす反対称演算であることが示され、それ自体が代数を定義する。このように、グラスマン・ケーリー代数は、外積（または結合）に基づくものとシャッフル積（またはミート）に基づくものの、同時に2つの代数構造を持つ。そのため「二重代数」と呼ばれ、2つは互いに双対であることが示される。^[26]
10. これをヘステネスの不規則な一般化と混同しないでください。ヘステネスの不規則な一般化では、 ${\displaystyle \textstyle A\bullet _{\text{H}}B:=\sum _{r\neq 0,s\neq 0}\langle \langle A\rangle _{r}\langle B\rangle _{s}\rangle _{\vert s-r\vert }}$ Dorst、Fontijne、Mann (2007)、p. 590、§B.1 からの区別表記法が使用され、この積ではスカラー成分を個別に処理する必要があることが強調されています。
11. ゼロマップが一意であることを保証するために通常追加される条件。 ${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(1)=1}$
12. この定義は、Dorst、Fontijne & Mann (2007) および Perwass (2009) に従っています。Dorst が使用した左縮約は、Perwass が使用する (「ファット ドット」) 内積を置き換えており、Perwass の制約 ( ⁠ ⁠の次数が ${\displaystyle A}$⁠ ⁠ ${\displaystyle B}$の次数を超えてはならない) と一致しています。
13. Dorst は単に⁠ ⁠となるような仮定をしているように見えますが、Perwass (2009) は⁠ ⁠を定義しています。ここで⁠ ⁠ は⁠ ⁠の共役であり、符号を まで反転したものに相当します。 ${\displaystyle B^{+}}$ ${\displaystyle B\;\rfloor \;B^{+}=1}$ ${\displaystyle B^{+}=B^{\dagger }/(B\;\rfloor \;B^{\dagger })}$ ${\displaystyle B^{\dagger }}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$
14. つまり、投影は⁠ ⁠として定義されなければならず、 ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}(A)=(A\;\rfloor \;B^{+})\;\rfloor \;B}$⁠ ⁠ ${\displaystyle (A\;\rfloor \;B)\;\rfloor \;B^{+}}$として定義されるべきではありませんが、非ヌルブレード⁠ ⁠ ${\displaystyle B}$の場合、この2つは同等です。
15. このすべての⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$への一般化は、Perwass 氏や Dorst 氏によって考慮されていないようです。

引用

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• Wilmot, GP (2023)、「幾何学の代数」、GitHub
• レンゲル、エリック（2024）、射影幾何代数の解明、リンカーン、カリフォルニア州：テラソンソフトウェアLLC、ISBN 979-8-9853582-5-4

外部リンク

• 幾何代​​数と幾何微積分学の概説 アラン・マクドナルド、ルーサー大学、アイオワ
• 虚数は実数ではない ― 時空の幾何学代数 2023年10月9日アーカイブ ウェイバックマシン. はじめに（ケンブリッジGAグループ）
• 2015年 幾何代数、科学計算修士課程、クリス・ドラン博士（ケンブリッジ）
• ゲームプログラマのための数学：5 - マルチベクトル法 -イアン・ベルによるプログラマのための包括的な入門とリファレンス
• IMPAサマースクール2010 フェルナンデス・オリベイラ 紹介とスライド
• 福井大学ESMヒッツァーと日本GA出版物
• GA の Google グループ
• 幾何代​​数入門 GA 入門、Jaap Suter
• 幾何代​​数リソースキュレーションウィキ、パブロ・ブレイヤー
• コンピュータサイエンスとエンジニアリングにおける応用幾何代数 2018 早期プロシーディング
• bivector.net CGI、ビジョン、エンジニアリングのための幾何代数コミュニティウェブサイト
• AGACSE 2021 ビデオ

初期の書籍や論文の英訳

• G. Combebiac、「三元数計算」（博士論文）
• M. マルキッチ、「トランスフォーマント：新たな数学的媒体。コンビヤックの三元数とグラスマンの幾何学体系の統合。四元数の計算」
• C. Burali-Forti、「射影幾何学におけるグラスマン法」射影幾何学への外挿代数の応用に関する3つのノートの集大成
• C. Burali-Forti, 「H. Grassmannの方法による微分幾何学入門」グラスマン代数の応用に関する初期の本
• H.グラスマン、「拡大理論の原理による力学」 - 外積代数の応用に関する彼の論文の一つ

研究グループ

• 幾何学微積分国際協会。世界中の研究グループ、ソフトウェア、会議へのリンク
• ケンブリッジ幾何学代数グループ。オンライン出版物の全文およびその他の資料
• アムステルダム大学グループ
• 幾何微積分学の研究開発（アリゾナ州立大学の Hestenes のウェブサイトのアーカイブ）
• GA-Netブログとニュースレターのアーカイブ。Geometric Algebra/Clifford Algebraの開発ニュース
• 知覚行動システムのための幾何学代数。幾何学サイバネティクスグループ（CINVESTAV、グアダラハラキャンパス、メキシコ）

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