罫線面

Surface containing a line through every point

線織面の定義：すべての点は直線上にある

幾何学において、3次元ユークリッド空間の曲面 Sが、S上のすべての点を通る直線がS上に存在する場合、罫線（スクロールとも呼ばれる）と呼ばれます。例としては、平面、円筒または円錐の側面、楕円準線を持つ円錐面、直円錐、螺旋、空間内の滑らかな曲線の接線展開などが挙げられます。

線織面は、動く直線によって掃引される点の集合として記述できます。例えば、円錐は、直線上の一点を固定し、別の点を円周に沿って移動させることで形成されます。面上のすべての点を通る2本の異なる直線が面上にある場合、その面は二重線織面です。双曲放物面と一枚の双曲面は二重線織面です。平面は、各点を通る少なくとも3本の異なる直線を含む唯一の面です（Fuchs & Tabachnikov 2007）。

線織面または二重線織面の性質は射影写像によって保存されるため、射影幾何学の概念となる。代数幾何学において、線織面は体上のアフィン空間または射影空間の曲面とみなされることもあるが、アフィン空間または射影空間への埋め込みを持たない抽象的な代数面とみなされることもあり、この場合、「直線」はアフィン直線または射影直線を意味すると理解される。

定義とパラメトリック表現

2つのベジェ曲線を準線として生成した線織面（赤、緑）

3次元ユークリッド空間における曲面は、微分可能な1パラメータ直線族の和集合である場合、線織面と呼ばれます。正式には、線織面とは、区間にわたって変化し、実数部にわたって変化する形式のパラメータ表現によって記述される曲面です。 ^[1]、および、およびは両方とも微分可能であることが要求されます。^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ $${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\mathbf {r} (u)}$$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (u)\neq (0,0,0)}$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

固定パラメータを持つ直線は生成元と呼ばれます。ベクトルは生成元の方向を表します。曲線は表現の準線と呼ばれます。準線は点に収束することがあります（円錐の場合は、以下の例を参照してください）。 ${\displaystyle v\mapsto \mathbf {x} (u_{0},v)}$ ${\displaystyle u=u_{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (u)}$ ${\displaystyle u\mapsto \mathbf {c} (u)}$

上記の線織面は、次のようにも表現できる。 $${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(1-v)\mathbf {c} (u)+v\mathbf {d} (u)}$$

2番目の準線を持つ。交わらない2つの曲線を準線として用いる最初の記述に戻るには、 ${\displaystyle \mathbf {d} (u)=\mathbf {c} (u)+\mathbf {r} (u)}$ ${\displaystyle \mathbf {c} (u),\mathbf {d} (u)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (u)=\mathbf {d} (u)-\mathbf {c} (u).}$

準線と生成線の幾何学的形状は、それらが生み出す線織面の形状にとって当然不可欠です。しかし、それらの特定のパラメトリック表現も線織面の形状に影響を与えます。

例

直円筒

円筒、円錐

直円柱は次式で与えられ、次の ようにパラメータ化できる。 $${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} (u,v)&=(a\cos u,a\sin u,v)\\&=(a\cos u,a\sin u,0)+v(0,0,1)\\&=(1-v)(a\cos u,a\sin u,0)+v(a\cos u,a\sin u,1).\end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle \mathbf {c} (u)=(a\cos u,a\sin u,0),}$
• ${\displaystyle \mathbf {r} (u)=(0,0,1),}$
• ${\displaystyle \mathbf {d} (u)=(a\cos u,a\sin u,1).}$

直円錐

直円柱は次式で与えられ、次のようにパラメータ化できる。 $${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} (u,v)&=(\cos u,\sin u,1)+v(\cos u,\sin u,1)\\&=(1-v)(\cos u,\sin u,1)+v(2\cos u,2\sin u,2).\end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle \mathbf {c} (u)=(\cos u,\sin u,1),}$
• ${\displaystyle \mathbf {r} (u)=(\cos u,\sin u,1),}$
• ${\displaystyle \mathbf {d} (u)=(2\cos u,2\sin u,2).}$

この場合、頂点を準線として使用し、つまりと を線の方向として使用することもできます。 $${\displaystyle \mathbf {c} (u)=(0,0,0)}$$ $${\displaystyle \mathbf {r} (u)=(\cos u,\sin u,1)}$$

任意の円錐において、頂点を準線として選ぶことができます。これは、線織面の準線が点 に退化する可能性があることを示しています。

ヘリコイド

ヘリコイド

ヘリコイドは、次のようにパラメータ化できます。準線は Z 軸、線の方向は、2 番目の準線 はヘリックスです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} (u,v)&=(v\cos u,v\sin u,ku)\\&=(0,0,ku)+v(\cos u,\sin u,0)\\&=(1-v)(0,0,ku)+v(\cos u,\sin u,ku).\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {c} (u)=(0,0,ku)}$$ $${\displaystyle \mathbf {r} (u)=(\cos u,\sin u,0),}$$ $${\displaystyle \mathbf {d} (u)=(\cos u,\sin u,ku)}$$

ヘリコイドは、規則的な一般化ヘリコイドの特殊なケースです。

円柱、円錐、双曲面

一枚の双曲面 ${\displaystyle \varphi =63^{\circ }}$

パラメトリック表現は 、2つの水平円を準線として持ちます。追加のパラメータにより、円のパラメトリック表現を変化させることができます。 $${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(1-v)(\cos(u-\varphi ),\sin(u-\varphi ),-1)+v(\cos(u+\varphi ),\sin(u+\varphi ),1)}$$ ${\displaystyle \varphi }$

• ${\displaystyle \varphi =0}$シリンダーを手に入れると、 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$
• ${\displaystyle \varphi =\pi /2}$一つは円錐形になり、 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$
• ${\displaystyle 0<\varphi <\pi /2}$方程式と半軸を持つ 1 枚の双曲面が得られます。 ${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}$ ${\displaystyle a=\cos \varphi ,c=\cot \varphi }$

1 枚の双曲面は二重線条面です。

双曲放物面

双曲放物面

(CD)の2つの準線が直線である 場合、4つの点を双 線形に補間する双曲放物面が得られます。^[2] $${\displaystyle \mathbf {c} (u)=(1-u)\mathbf {a} _{1}+u\mathbf {a} _{2},\quad \mathbf {d} (u)=(1-u)\mathbf {b} _{1}+u\mathbf {b} _{2}}$$ $${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(1-v){\big (}(1-u)\mathbf {a} _{1}+u\mathbf {a} _{2}{\big )}+v{\big (}(1-u)\mathbf {b} _{1}+u\mathbf {b} _{2}{\big )}}$$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2}}$

任意の点が表面の 2 本の線上にあるため、表面は二重線になっています。

図に示す例では、 双曲放物面の式は次のようになります。 $${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=(0,0,0),\;\mathbf {a} _{2}=(1,0,0),\;\mathbf {b} _{1}=(0,1,0),\;\mathbf {b} _{2}=(1,1,1).}$$ ${\displaystyle z=xy}$

メビウスの帯

メビウスの帯

線織面 と $${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\mathbf {r} (u)}$$

• ${\displaystyle \mathbf {c} (u)=(\cos 2u,\sin 2u,0)}$（準線として円）
• ${\displaystyle \mathbf {r} (u)=(\cos u\cos 2u,\cos u\sin 2u,\sin u)\quad 0\leq u<\pi ,}$

メビウスの帯が含まれています。

この図は のメビウスの帯を示しています。 ${\displaystyle -0.3\leq v\leq 0.3}$

簡単な計算で分かります（次のセクションを参照）。したがって、与えられたメビウスの帯の実現は展開可能ではありません。しかし、展開可能なメビウスの帯は存在します。^[3] ${\displaystyle \det(\mathbf {\dot {c}} (0),\mathbf {\dot {r}} (0),\mathbf {r} (0))\neq 0}$

その他の例

• コノイド
• カタルーニャの表面
• 展開可能なローラー（オロイド、スフェリコン）
• 接線展開可能

展開可能な面

ある点における法線ベクトルを決定するには、表現 の偏微分が必要です。したがって、法線ベクトルは です 。 （2つの等しいベクトルの混合積は常に0です）なので、は任意の点 における接ベクトルです。が の倍数である場合、この直線上の接平面はすべて同じです。 これは、3つのベクトルが平面上にある場合、つまり線形従属である場合にのみ可能です。3つのベクトルの線形従属関係は、これらのベクトルの行列式を用いて確認できます。 ${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\mathbf {r} (u)}$ $${\displaystyle \mathbf {x} _{u}=\mathbf {\dot {c}} (u)+v\mathbf {\dot {r}} (u),}$$ $${\displaystyle \mathbf {x} _{v}=\mathbf {r} (u).}$$ $${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {x} _{u}\times \mathbf {x} _{v}=\mathbf {\dot {c}} \times \mathbf {r} +v(\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {r} ).}$$ ${\displaystyle \mathbf {n} \cdot \mathbf {r} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (u_{0})}$ ${\displaystyle \mathbf {x} (u_{0},v)}$ ${\displaystyle \mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {\dot {c}} \times \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {\dot {c}} ,\mathbf {\dot {r}} ,\mathbf {r} }$

直線上の接平面は等しい。 ${\displaystyle \mathbf {x} (u_{0},v)=\mathbf {c} (u_{0})+v\mathbf {r} (u_{0})}$ $${\displaystyle \det(\mathbf {\dot {c}} (u_{0}),\mathbf {\dot {r}} (u_{0}),\mathbf {r} (u_{0}))=0.}$$

ガウス曲率がゼロの滑らかな曲面は、平面に展開可能、あるいは単に展開可能と呼ばれます。行列式条件を用いて、次の命題を証明できます。

線織面が展開可能であるための必要条件は、すべての点においてである。^[4] ${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\mathbf {r} (u)}$ $${\displaystyle \det(\mathbf {\dot {c}} ,\mathbf {\dot {r}} ,\mathbf {r} )=0}$$

任意の線織面の生成線は、その漸近直線の族と合体する。可展面の場合、生成線は曲率直線の族とも合体する。任意の可展面は、円錐、円筒、または空間曲線のすべての接線によって形成される面であることが示される。^[5]

2つの楕円の展開可能な接続とその展開

展開可能な曲面の行列式条件は、空間曲線（準線）間の数値的に展開可能な接続を決定するために用いられる。図は、異なる平面（一方は水平面、他方は垂直平面）に含まれる2つの楕円間の展開可能な接続とその展開を示している。^[6]

コンピュータ支援設計（CAD）における展開面の使用法については、「展開面の対話型設計」で説明されている。^[7]

展開面に関する歴史的概観は『展開面：その歴史と応用』^[8]に掲載されている。

代数幾何学における線織面

代数幾何学では、線織面は元々、任意の点を通る直線を含む射影空間内の射影面として定義されていました。これは、任意の点を通る射影直線が面上に存在することを直ちに意味し、この条件は現在では線織面の定義としてよく使用されています。線織面は、任意の点を通る射影直線が存在するという条件を満たす抽象的な射影面として定義されます。これは、線織面が曲線と射影直線の積に対して双有理的であると言うことと同等です。線織面は、射影直線であるファイバーを持つ曲線上のファイブレーションを持つという、より強い条件を満たすものとして定義されることがあります。これには、すべての点を通る射影直線を持ちますが、そのようなファイブレーションとして書くことができない射影平面は含まれません。

線織面は、射影複素曲面のエンリケス分類に現れる。これは、小平次元 の代数曲面はすべて線織面（あるいは、線織面の限定的な定義を用いると射影平面）であるためである。射影平面以外のすべての極小射影線織面は、ある曲線上の2次元ベクトル束の射影束である。種数0の基底曲線を持つ線織面は、ヒルツェブルッフ面である。 ${\displaystyle -\infty }$

建築における線織面

二重線条面は、次のような直線要素の格子で構築できる曲線双曲面構造のインスピレーションです。

• 鞍型屋根などの双曲放物面。
• 冷却塔やゴミ箱など、一枚のシートからなる双曲面。

RM -81 アジェナ ロケット エンジンでは、ノズルセクションのスロートを形成するために、ルールド サーフェス上に配置された直線状の冷却チャネルが採用されました。

• 
  英国ディドコット発電所の冷却双曲塔。表面は二重に罫線を引くことができます。
• 
  ポーランド、チェハヌフのヤン・ボグスワフスキによる、ドーナツ型タンクを備えた二重罫線付き給水塔
• 
  双曲面の神戸ポートタワー（日本、神戸市）は二重の罫線が付いています。
• 
  双曲面の給水塔、189​​6 年、ニジニ ノヴゴロド。
• 
  モスクワのシューホフタワーの格子外壁。各部は二重の罫線が引かれている。
• 
  クレモナのトラッツォ内部にある、規則模様の螺旋階段。
• 
  スロベニアのセロにある村の教会。屋根 (円錐形) と壁 (円筒形) は両方とも線織面です。
• 
  ポーランド、ワルシャワのワルシャワ・オチョタ駅の双曲放物面屋根。
• 
  罫線が入った円錐形の帽子。
• 
  一方向には平行線、垂直方向には正弦波状の波形瓦
• 
  コンクリートを敷き詰めて平面を作る

参考文献

注記

1. do Carmo 1976、188ページ。
2. G. Farin: Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design、Academic Press、1990年、 ISBN 0-12-249051-7、250ページ
3. W. Wunderlich: Über ein abwickelbares Möbiusband、Monatshefte für Mathematik 66、1962、S. 276-289。
4. W. Kühnel:微分幾何学、p. 58–60
5. G. ファリン: p. 380
6. E. ハートマン：CADのための幾何学とアルゴリズム、講義ノート、ダルムシュタット工科大学、p. 113
7. Tang, Bo, Wallner, Pottmann: 展開可能な曲面のインタラクティブなデザイン、ACM Trans. Graph. (MONTH 2015)、DOI: 10.1145/2832906
8. スネザナ・ローレンス「展開可能な表面：その歴史と応用」Nexus Network Journal 13(3) · 2011年10月、doi :10.1007/s00004-011-0087-z

出典

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• ボーヴィル、アルノー（1996）、複素代数面、ロンドン数学会学生テキスト、第34巻（第2版）、ケンブリッジ大学出版局、doi：10.1017/CBO9780511623936、ISBN 978-0-521-49510-3、MR  1406314
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外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「線織面」。MathWorld。
• アリゾナ大学の線織面写真
• Rhino3DEウェブサイト上の展開可能なサーフェスの例

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