Probability distribution in physics
（1次元） ホルツマーク分布は 連続確率分布 です 。ホルツマーク分布は、 安定指数または形状パラメータが 3/2で 歪度 パラメータが0である 安定分布 の特殊なケースです。 が0なので、分布は対称であり、対称アルファ安定分布の例となります。ホルツマーク分布は、 確率密度関数の閉じた形式表現が知られている数少ない安定分布の例の1つです。ただし、その確率密度関数は 基本関数 で表現できず、むしろ 超幾何関数 で表現されます 。 α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta } β {\displaystyle \beta }
ホルツマルク分布はプラズマ物理学と天体物理学に応用されている。 [1] 1919年、ノルウェーの物理学者 ヨハン・ペーター・ホルツマルク は、荷電粒子の運動によるプラズマ中の変動場のモデルとしてこの分布を提案した。 [2] この分布は他の種類のクーロン力にも適用可能であり、特に重力体のモデル化に有用であるため、天体物理学において重要である。 [3] [4]
特性関数 対称安定分布の 特性 関数は次のとおりです。
φ ( t ; μ , c ) = exp [ i t μ − | c t | α ] , {\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=\exp \left[~it\mu \!-\!\left|ct\right|^{\alpha }\right],}
ここで 、 は形状パラメータ、つまり安定性の指標、 は 位置パラメータ 、 cは スケールパラメータ です 。 α {\displaystyle \alpha } μ {\displaystyle \mu }
ホルツマーク分布の 特性関数は次の通りである: [5] α = 3 / 2 , {\displaystyle \alpha =3/2,}
φ ( t ; μ , c ) = exp [ i t μ − | c t | 3 / 2 ] . {\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=\exp \left[~it\mu \!-\!\left|ct\right|^{3/2}\right].}
ホルツマーク分布はα > 1 の安定分布であるため 、 分布の 平均 を表します。 [6] [7] β = 0 であるため 、 分布の 中央値 と 最頻値 も表します。また、 α < 2 であるため、 ホルツマーク分布の 分散は無限大です。 [6] 分布の 高次の モーメントもすべて無限大です。 [6] 他の安定分布（正規分布以外）と同様に、分散が無限大であるため、分布の分散は 尺度パラメータ cに反映されます。分布の分散を記述する別の方法は、分数モーメントを使用することです。 [6] μ {\displaystyle \mu } μ {\displaystyle \mu }
確率密度関数 一般に、 連続 確率分布の 確率密度関数 f ( x ) は、 その特性関数から次のように導出できる。
f ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ φ ( t ) e − i x t d t . {\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t)e^{-ixt}\,dt.}
ほとんどの安定分布は、確率密度関数の閉形式表現が知られていません。 正規 分布、 コーシー 分布、 レヴィ分布のみが 、基本関数 を用いた閉形式表現が知られています 。 [1] ホルツマーク分布は、 超幾何関数 を 用いた閉形式表現が知られている2つの対称安定分布のうちの1つです。 [1] が0で尺度パラメータが1の場合 、ホルツマーク分布の確率密度関数は次のようになります。 μ {\displaystyle \mu }
f ( x ; 0 , 1 ) = 1 π Γ ( 5 3 ) 2 F 3 ( 5 12 , 11 12 ; 1 3 , 1 2 , 5 6 ; − 4 x 6 729 ) − x 2 3 π 3 F 4 ( 3 4 , 1 , 5 4 ; 2 3 , 5 6 , 7 6 , 4 3 ; − 4 x 6 729 ) + 7 x 4 81 π Γ ( 4 3 ) 2 F 3 ( 13 12 , 19 12 ; 7 6 , 3 2 , 5 3 ; − 4 x 6 729 ) , {\displaystyle {\begin{aligned}f(x;0,1)&={\frac {1}{\pi }}\,\Gamma {\left({\frac {5}{3}}\right)}\;{_{2}F_{3}}\!\left({\frac {5}{12}},{\frac {11}{12}};{\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}},{\frac {5}{6}};-{\frac {4x^{6}}{729}}\right)\\&{}\quad {}-{\frac {x^{2}}{3\pi }}\;{_{3}F_{4}}\!\left({\frac {3}{4}},{1},{\frac {5}{4}};{\frac {2}{3}},{\frac {5}{6}},{\frac {7}{6}},{\frac {4}{3}};-{\frac {4x^{6}}{729}}\right)\\&{}\quad {}+{\frac {7x^{4}}{81\pi }}\,\Gamma {\left({\frac {4}{3}}\right)}\;{_{2}F_{3}}\!\left({\frac {13}{12}},{\frac {19}{12}};{\frac {7}{6}},{\frac {3}{2}},{\frac {5}{3}};-{\frac {4x^{6}}{729}}\right),\end{aligned}}}
ここで は ガンマ関数 であり、は 超幾何関数 である 。 [1] また、 [8] Γ ( x ) {\displaystyle {\Gamma (x)}} m F n ( ⋅ ) {\displaystyle _{m}F_{n}(\cdot )}
f ( x ; 0 , 1 ) = − x 2 6 π [ 2 F 2 ( 1 , 3 2 ; 4 3 , 5 3 ; − 4 i x 3 27 ) + 2 F 2 ( 1 , 3 2 ; 4 3 , 5 3 ; 4 i x 3 27 ) ] + 4 3 5 / 3 [ Bi ′ ( − x 2 3 4 / 3 ) cos ( 2 x 3 27 ) + x 3 2 / 3 Bi ( − x 2 3 4 / 3 ) sin ( 2 x 3 27 ) ] , {\displaystyle {\begin{aligned}f(x;0,1)&=-{\frac {x^{2}}{6\pi }}\left[~_{2}F_{2}{\left(1,{\frac {3}{2}};{\frac {4}{3}},{\frac {5}{3}};-{\frac {4ix^{3}}{27}}\right)}+~{_{2}F_{2}}{\left(1,{\frac {3}{2}};{\frac {4}{3}},{\frac {5}{3}};{\frac {4ix^{3}}{27}}\right)}\right]\\[2pt]&\quad +{\frac {4}{3^{5/3}}}\left[\operatorname {Bi} '\left(-{\frac {x^{2}}{3^{4/3}}}\right)\cos \left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)+{\frac {x}{3^{2/3}}}~\operatorname {Bi} \left(-{\frac {x^{2}}{3^{4/3}}}\right)\sin \left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)\right],\end{aligned}}}
ここで 、は第二種エアリー関数と その導関数である。関数の引数は 純虚複素数であるが、2つの関数の和は実数である。が 正のとき、関数は 分数階のベッセル関数およびと関連しており 、 その導関数は分数階のベッセル関数およびと関連している 。したがって、 [8] と書くことができる。 B i {\displaystyle \mathrm {Bi} } B i ′ {\displaystyle \mathrm {Bi} '} 2 F 2 {\displaystyle _{2}F_{2}} x {\displaystyle x} B i ( − x ) {\displaystyle \mathrm {Bi} (-x)} J − 1 / 3 {\displaystyle J_{-1/3}} J 1 / 3 {\displaystyle J_{1/3}} J − 2 / 3 {\displaystyle J_{-2/3}} J 2 / 3 {\displaystyle J_{2/3}}
f ( x ; 0 , 1 ) = 4 x 2 3 7 / 2 cos ( 2 x 3 27 ) [ J − 2 / 3 ( 2 x 3 27 ) + J 2 / 3 ( 2 x 3 27 ) ] + 4 x 2 3 7 / 2 sin ( 2 x 3 27 ) [ J − 1 / 3 ( 2 x 3 27 ) − J 1 / 3 ( 2 x 3 27 ) ] − x 2 6 π [ 2 F 2 ( 1 , 3 2 ; 4 3 , 5 3 ; − 4 i x 3 27 ) + 2 F 2 ( 1 , 3 2 ; 4 3 , 5 3 ; 4 i x 3 27 ) ] . {\displaystyle {\begin{aligned}f(x;0,1)&={\frac {4x^{2}}{3^{7/2}}}\cos \left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)\left[J_{-2/3}{\left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)}+J_{2/3}{\left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)}\right]\\[1ex]&+{\frac {4x^{2}}{3^{7/2}}}\sin \left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)\left[J_{-1/3}{\left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)}-J_{1/3}{\left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)}\right]\\[1ex]&-{\frac {x^{2}}{6\pi }}\left[~_{2}F_{2}{\left(1,{\frac {3}{2}};{\frac {4}{3}},{\frac {5}{3}};-{\frac {4ix^{3}}{27}}\right)}+~_{2}F_{2}{\left(1,{\frac {3}{2}};{\frac {4}{3}},{\frac {5}{3}};{\frac {4ix^{3}}{27}}\right)}\right].\end{aligned}}}
参考文献 ^ abcd Lee, WH (2010). 確率過程の連続的および離散的性質 (PDF) (博士論文). ノッティンガム大学 . pp. 37– 39. {{cite book }}: CS1 maint: location missing publisher (link )[ 永久リンク切れ ] ^ Holtsmark、J. (1919)。 「Uber die Verbreiterung von Spektrallinien」。 アンナレン・デア・フィジーク 。 363 (7): 577–630 。 ビブコード :1919AnP...363..577H。 土井 ：10.1002/andp.19193630702。 ^ Chandrasekhar, S.; J. von Neumann (1942). 「星のランダムな分布から生じる重力場の統計 I. 変動の速度」. 天体物理学ジャーナル . 95 : 489. Bibcode :1942ApJ....95..489C. doi :10.1086/144420. ISSN 0004-637X. ^ Chandrasekhar, S. (1943-01-01). 「物理学と天文学における確率的問題」. 現代物理学レビュー . 15 (1): 1– 89. 書誌コード :1943RvMP...15....1C. doi :10.1103/RevModPhys.15.1. ^ Zolotarev, VM (1986). 1次元安定分布 . プロビデンス, RI: アメリカ数学会 . pp. 1, 41. ISBN 978-0-8218-4519-6 . ホルツマーク。 ^ abcd Nolan, JP (2008). 「一変量安定分布の基本特性」 (PDF) . 安定分布：裾の厚いデータのためのモデル . pp. 3, 15– 16. 2011年2月6日 閲覧 . ^ Nolan, JP (2003). 「金融データのモデリング」. Rachev, ST (編). 『 金融におけるヘビーテール分布ハンドブック』 . アムステルダム: Elsevier . pp. 111–112. ISBN 978-0-444-50896-6 。 ^ ab Pain, Jean-Christophe (2020). 「ホルツマルク関数の超幾何関数 とエアリー 関数 による表現」 Eur. Phys. J. Plus . 135 : 236. arXiv : 2001.11893 . doi :10.1140/epjp/s13360-020-00248-4. S2CID 211030564. 2 F 2 {\displaystyle _{2}F_{2}} B i {\displaystyle \mathrm {Bi} }
離散 一変数
連続 一変量
制限された間隔 でサポートされている 半無限 間隔 でサポートされている 実数直線 全体で サポートされている さまざまなタイプの サポート付き
混合 単変量
多変量 （ジョイント） 方向性 退化 と 特異性 家族
![{\displaystyle \exp \left[~it\mu \!-\!|ct|^{3/2}~\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cecac37c356d97825ee71493f6b83cfe576fff54)
![{\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=\exp \left[~it\mu \!-\!\left|ct\right|^{\alpha }\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3643a881c422c42f32ed0381415e4388eebd5da)
![{\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=\exp \left[~it\mu \!-\!\left|ct\right|^{3/2}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7f335fa7808fbdcaf62e4eadd615d83748bb69d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x;0,1)&=-{\frac {x^{2}}{6\pi }}\left[~_{2}F_{2}{\left(1,{\frac {3}{2}};{\frac {4}{3}},{\frac {5}{3}};-{\frac {4ix^{3}}{27}}\right)}+~{_{2}F_{2}}{\left(1,{\frac {3}{2}};{\frac {4}{3}},{\frac {5}{3}};{\frac {4ix^{3}}{27}}\right)}\right]\\[2pt]&\quad +{\frac {4}{3^{5/3}}}\left[\operatorname {Bi} '\left(-{\frac {x^{2}}{3^{4/3}}}\right)\cos \left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)+{\frac {x}{3^{2/3}}}~\operatorname {Bi} \left(-{\frac {x^{2}}{3^{4/3}}}\right)\sin \left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)\right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0754a937e7bf67d55fca41ea731b8bd7217fb77)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x;0,1)&={\frac {4x^{2}}{3^{7/2}}}\cos \left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)\left[J_{-2/3}{\left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)}+J_{2/3}{\left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)}\right]\\[1ex]&+{\frac {4x^{2}}{3^{7/2}}}\sin \left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)\left[J_{-1/3}{\left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)}-J_{1/3}{\left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)}\right]\\[1ex]&-{\frac {x^{2}}{6\pi }}\left[~_{2}F_{2}{\left(1,{\frac {3}{2}};{\frac {4}{3}},{\frac {5}{3}};-{\frac {4ix^{3}}{27}}\right)}+~_{2}F_{2}{\left(1,{\frac {3}{2}};{\frac {4}{3}},{\frac {5}{3}};{\frac {4ix^{3}}{27}}\right)}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d61d40843676d90d7ff261105f193af7d6a9f21)
