サンプル情報の期待値

意思決定理論において、サンプル情報の期待値（EVSI）とは、意思決定者が意思決定前に追加の観測サンプルにアクセスすることで得られる効用増加の期待値である。サンプルから得られる追加情報により、意思決定者はより多くの情報に基づいた、したがってより良い意思決定を行うことができ、結果として期待効用が増加する。EVSIは、実際のサンプルデータを見る前にこの改善がどの程度になるかを推定しようとするため、EVSIは事後分析と呼ばれるものの一種である。意思決定理論におけるEVSIの使用は、1960年代にロバート・シュライファーとハワード・ライファによって普及した。 ^[1]

処方

させて

${\displaystyle {\begin{array}{ll}d\in D&{\mbox{the decision being made, chosen from space }}D\\x\in X&{\mbox{an uncertain state, with true value in space }}X\\z\in Z&{\mbox{an observed sample composed of }}n{\mbox{ observations }}\langle z_{1},z_{2},..,z_{n}\rangle \\U(d,x)&{\mbox{the utility of selecting decision }}d{\mbox{ from }}x\\p(x)&{\mbox{the prior subjective probability distribution (density function) on }}x\\p(z|x)&{\mbox{the conditional prior probability of observing the sample }}z\end{array}}}$

EVSI シナリオでは、、およびが一般的ですが (必須ではありません) 、各観測は基礎状態 の偏りのないセンサー読み取りであり、各センサー読み取りは独立しており、同じように分布しています。 ${\displaystyle Z_{i}=X}$ ${\displaystyle p(z|x)=\prod p(z_{i}|x)}$ ${\displaystyle \int zp(z|x)dz=x}$ ${\displaystyle x}$

事前分布のみに基づいて、それ以上の観察を行わずに、最適な決定から得られる効用は次のように与えられる。

${\displaystyle E[U]=\max _{d\in D}~\int _{X}U(d,x)p(x)~dx.}$

意思決定者が単一のサンプルにアクセスできれば、最適な事後効用は ${\displaystyle z}$

${\displaystyle E[U|z]=\max _{d\in D}~\int _{X}U(d,x)p(x|z)~dx}$

ここで、はベイズの定理から得られる。 ${\displaystyle p(x|z)}$

${\displaystyle p(x|z)={{p(z|x)p(x)} \over {p(z)}};}$

${\displaystyle p(z)=\int p(z|x)p(x)~dx.}$

サンプルが得られたとしても実際にどのようなサンプルが得られるかわからないため、サンプルが与えられた場合の期待効用を得るためには、すべての可能なサンプルを平均化する必要があります。

${\displaystyle E[U|SI]=\int _{Z}E[U|z]p(z)dz=\int _{Z}\max _{d\in D}~\int _{X}U(d,x)p(z|x)p(x)~dx~dz.}$

サンプル情報の期待値は次のように定義される。

${\displaystyle {\begin{array}{rl}EVSI&=E[U|SI]-E[U]\\&=\left(\int _{Z}\max _{d\in D}~\int _{X}U(d,x)p(z|x)p(x)~dx~dz\right)-\left(\max _{d\in D}~\int _{X}U(d,x)p(x)~dx\right).\end{array}}}$

計算

E[U|SI]における観測可能な空間全体にわたって積分を解析的に実行することはほとんど不可能であるため、EVSIの計算には通常、モンテカルロシミュレーションが必要となる。この手法では、サンプルをランダムにシミュレートし、それを用いて事後分布を計算し、に基づいて効用を最大化する。このプロセス全体を何度も繰り返し、最適な効用のモンテカルロサンプルを得る。これらのサンプルを平均化することで、仮想サンプルを与えられた場合の期待効用が得られる。 ${\displaystyle z^{i}=\langle z_{1}^{i},z_{2}^{i},..,z_{n}^{i}\rangle }$ ${\displaystyle p(x|z^{i})}$ ${\displaystyle p(x|z^{i})}$ ${\displaystyle i=1,..,M}$

例

規制当局は、新しい治療法の承認を決定する権限を有します。最終的な承認・却下の決定を下す前に、被験者を対象とした更なる試験研究を実施することの価値は何かを問うことになります。この問いにEVSIが答えます。 ${\displaystyle n}$

EVSIモデルの図

この図は、この例で EVSI を計算するための 影響図を示しています。

このモデルは、特定の主題の結果を次の 5 つのカテゴリのいずれかに分類します。

${\displaystyle Z_{i}=}${「治癒」、「改善」、「効果なし」、「軽度の副作用」、「重篤な副作用」}

そして、これらの結果それぞれに対して、その結果の推定患者相当金銭的価値に等しい効用を割り当てます。

この例では、意思決定状態は0から1までの5つの数値のベクトルであり、合計が1となり、5つの可能性のある結果それぞれを経験する将来の患者の割合を示します。例えば、患者の5%が治癒し、60%が症状の改善、20%が治療効果なし、10%が軽度の副作用を経験し、5%が危険な副作用を経験する場合を、ある状態と呼びます。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=[5\%,60\%,20\%,10\%,5\%]}$

事前確率はディリクレ分布を用いて符号化され、5つの数値（合計が1にならない）を必要とします。これらの数値の相対値は各結果の期待される相対割合を表し、その和はこの事前確信の強さを表します。図では、ディリクレ分布のパラメータは変数dirichlet alpha priorに含まれており、事前分布自体は確率変数Priorに含まれています。周辺分布の確率密度グラフを以下に示します。 ${\displaystyle p(x)}$

確率変数Trial dataにおいて、 Trial data は多項分布のモンテカルロ標本としてシミュレートされます。例えば、Trial_size=100 の場合、Trial_dataの各モンテカルロ標本には、合計が100 になるベクトルが含まれます。これは、シミュレートされた調査において、5 つの可能な結果のそれぞれを経験した被験者の数を示します。次の結果表は、最初の 8 つのシミュレートされた試験結果を示しています。

この試験データをディリクレ事前分布と組み合わせるには、結果頻度をディリクレ事前分布のアルファ値に加えるだけで済み、シミュレーションされた各試験のディリクレ事後分布が得られます。これらの各試験について、平均効用が正であるかどうかに基づいて承認の決定が行われ、治療が承認されない場合の効用をゼロとして、事後分布の事前効用が得られます。この計算を可能な試験規模の範囲で繰り返すと、以下のグラフに示すように、候補となる各試験規模におけるEVSIが得られます。

関連指標との比較

サンプル情報の期待値（EVSI）は、完全情報の期待値（EVPI）指標を緩和したもので、真の基礎状態を学習した場合に得られる効用の増加を符号化する。本質的に、EVPIは完全情報の価値を示すのに対し、EVSIは限定的で不完全な情報の価値を示す。 ${\displaystyle x}$

不確実性を考慮した場合の期待値（EVIU）は、不確実な情報をモデル化した場合の価値と、不確実性を考慮しない場合の状況をモデル化した場合の価値を比較するものです。不確実性が計算結果に与える影響はモンテカルロ法を用いて分析されることが多いため、EVIUはモンテカルロサンプルを用いた分析の価値と非常に類似しているように見えます。これは、EVSIの概念と表現上非常に似ています。しかし、EVSIとEVIUは全く異なるものであり、EVSIがベイズ更新を用いてシミュレートされたサンプルを組み込む方法には顕著な違いがあります。

参照

• ベイズ実験計画
• 完全情報の期待値（EVPI）
• 不確実性を考慮した期待値（EVIU）

参考文献

1. Schlaifer, R.; Raiffa, H. (1968).応用統計的意思決定理論. ケンブリッジ: MIT Press. OCLC  443816.

さらに読む

• ハンバーグ、モリス、ヤング、ペグ( 1993).「サンプリング前の最適戦略の考案」意思決定のための統計分析.フォートワース:ドライデン・プレス .pp.731-766.ISBN 0-03-096914-X。

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