散乱パラメータ

Values which describe behavior of a linear electric circuit

散乱パラメータまたはSパラメータ（散乱行列またはS行列の要素）は、電気信号による 様々な定常刺激を受けたときの線形 電気回路網の電気的挙動を記述します

これらのパラメータは、電子工学、通信システム設計、特にマイクロ波工学など、電気工学のいくつかの分野で有用です。

Sパラメータは、類似のパラメータ群に属し、他の例としては、YパラメータとZパラメータ^[1] 、Hパラメータ、Tパラメータ、ABCDパラメータ[2]などがあります。^{[3 ]} Sパラメータは、線形電気ネットワークの特性評価に開放または短絡条件を使用せず、代わりに整合負荷を使用する点で、これらとは異なります。これらの終端は、開放回路や短絡回路の終端よりも、高信号周波数ではるかに簡単に使用できます。一般に考えられているのとは異なり、これらの量は電力で測定されるわけではありません（現在では旧式の6ポート・ネットワーク・アナライザを除く）。最新のベクトル・ネットワーク・アナライザは、デジタル変調された無線信号の復調に使用されるものと基本的に同じ回路を使用して、電圧進行波位相器の振幅と位相を測定します。

部品ネットワーク（インダクタ、コンデンサ、抵抗器）の多くの電気的特性は、利得、反射損失、電圧定在波比（VSWR）、反射係数、増幅器の安定性など、Sパラメータを用いて表すことができます。「散乱」という用語は、RF工学よりも光工学で一般的であり、平面電磁波が障害物に入射したり、異なる誘電体媒体を通過したりするときに観察される効果を指します。Sパラメータの文脈では、散乱とは、伝送線路にネットワークを挿入することによって生じる不連続性に遭遇したときに、伝送線路を流れる電流と電圧がどのように影響を受けるかを指します。これは、波が線路の特性インピーダンスとは異なるインピーダンスに遭遇することと同等です

Sパラメータはどの周波数でも適用可能ですが、主に無線周波数（RF）およびマイクロ波周波数で動作するネットワークで使用されます。一般的に使用されているSパラメータ（従来のSパラメータ）は線形量です（後述する黒川兼行による「電力波」アプローチのような電力量ではありません ）。Sパラメータは測定周波数によって変化するため、Sパラメータ測定では、特性インピーダンスまたはシステムインピーダンスに加えて、周波数を指定する必要があります。

Sパラメータ行列形式で簡単に表すことができ、行列代数の規則に従います。

背景

Sパラメータの最初の発表された記述は、 1945年のVitold Belevitchの論文でした。^[4] Belevitchが使用した名前は再分割行列であり、集中定数ネットワークに限定して考慮されていました。散乱行列という用語は、1947年に物理学者でエンジニアのRobert Henry Dickeによって使用されました。彼は戦時中のレーダー研究中にこのアイデアを独自に開発しました^{[5] [6]}これらのSパラメータと散乱行列において、散乱波はいわゆる進行波です。1960年代には、異なる種類のSパラメータが導入されました。^[7]後者は黒川兼行 [ja] (黒川兼行) ^[8]によって普及され、彼はこの新しい散乱波を「パワー波」と呼びました。2種類のSパラメータは非常に異なる特性を持つため、混同してはいけません。^[9]黒川は彼の独創的な論文^[10]で、パワー波Sパラメータと従来の進行波Sパラメータを明確に区別しています。後者の変種として、疑似進行波Sパラメータがあります。^[11]

Sパラメータアプローチでは、電気回路網は「ブラックボックス」とみなされ、抵抗器、コンデンサ、インダクタ、トランジスタなどの様々な基本電気回路部品、あるいは集中定数が相互接続され、ポートを介して他の回路と相互作用します。この回路網は、Sパラメータ行列と呼ばれる複素数の正方行列によって特徴付けられ、これを用いてポートに印加された信号に対する応答を計算することができます。

Sパラメータの定義では、ネットワーク全体が入射する小信号に対して線形に動作する限り、ネットワークには任意のコンポーネントを含めることができると理解されています。また、増幅器、減衰器、フィルタ、カプラ、イコライザなど、多くの一般的な通信システムコンポーネントまたは「ブロック」も、線形かつ定義された条件下で動作している限り、含めることができます。

Sパラメータで記述される電気ネットワークには、任意の数のポートを含めることができます。ポートとは、電気信号がネットワークに出入りするポイントです。ポートは通常、一方の端子に流入する電流がもう一方の端子から流出する電流と等しいという要件を持つ端子のペアです。^{[12] [13] Sパラメータは、ポートが}同軸または導波管接続であることが多い周波数で使用されます

Nポートネットワークを記述するSパラメータ行列はN次元の正方形であり、したがって要素を含みます。試験周波数において、各要素またはSパラメータは、大きさと角度、すなわち振幅と位相を表す単位のない複素数で表されます。複素数は、直交座標形式または、より一般的には極座標形式で表されます。Sパラメータの振幅は、線形形式または対数形式で表されます。対数形式で表される場合、振幅は「無次元単位」であるデシベルを持ちます。Sパラメータの角度は、最も一般的には度で表されますが、ラジアンで表される場合もあります。Sパラメータは、極座標図上で、1つの周波数の場合は点、周波数範囲の場合は軌跡でグラフィカルに表示できます。1つのポートのみに適用される場合（形式は）、システムインピーダンスに正規化されたインピーダンスまたはアドミタンスのスミスチャートに表示できます。スミスチャートを使用すると、電圧反射係数に相当するパラメータと、そのポートで「見られる」関連する（正規化された）インピーダンス（またはアドミタンス）と の間の簡単な変換が可能です ${\displaystyle N^{2}}$ ${\displaystyle S_{nn}}$ ${\displaystyle S_{nn}}$

Sパラメータセットを指定する場合、以下の情報を定義する必要があります。

1. 周波数
2. 公称特性インピーダンス（多くの場合50Ω）
3. ポート番号の割り当て
4. 温度、制御電圧、バイアス電流など、ネットワークに影響を与える可能性のある条件（該当する場合）。

黒川電力波Sパラメータ

一般的なマルチポートネットワークでは、ポートには1からNまでの番号が付けられます。ここで、Nはポートの総数です。ポートiの場合、関連するSパラメータの定義は、それぞれ入射および反射の「電力波」、およびで表されます。 ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$

黒川^[14]は、各ポートの入射電力波を次のように定義しています。

${\displaystyle a_{i}={\frac {1}{2}}\,k_{i}(V_{i}+Z_{i}I_{i})}$

そして、各ポートの反射波は次のように定義されています。

${\displaystyle b_{i}={\frac {1}{2}}\,k_{i}(V_{i}-Z_{i}^{*}I_{i})}$

ここで、はポートiのインピーダンス、はの複素共役、およびはそれぞれポートiにおける電圧と電流の複素振幅、および ${\displaystyle Z_{i}}$ ${\displaystyle Z_{i}^{*}}$ ${\displaystyle Z_{i}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle I_{i}}$

${\displaystyle k_{i}=\left({\sqrt {\left|\Re \{Z_{i}\}\right|}}\right)^{-1}}$

基準インピーダンスがすべてのポートで同じであると仮定することが有用な場合があります。その場合、入射波と反射波の定義は次のように簡略化できます。

${\displaystyle a_{i}={\frac {1}{2}}\,{\frac {(V_{i}+Z_{0}I_{i})}{\sqrt {\left|\Re \{Z_{0}\}\right|}}}}$

および

${\displaystyle b_{i}={\frac {1}{2}}\,{\frac {(V_{i}-Z_{0}^{*}I_{i})}{\sqrt {\left|\Re \{Z_{0}\}\right|}}}}$

黒川自身が指摘したように、上記のおよびの定義は一意ではないことに注意してください。 ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$

i番目の成分がそれぞれ電力波とであるベクトルaとbの関係は、Sパラメータ行列Sを使用して表すことができます。 ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$

${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {S} \mathbf {a} }$

または明示的な成分を使用して：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&\dots &S_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\S_{n1}&\dots &S_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}}$

相反性

ネットワークが受動的で、伝送信号に影響を与える可逆材料のみを含む場合、そのネットワークは可逆的になります。例えば、減衰器、ケーブル、スプリッタ、コンバイナはすべて可逆ネットワークであり、それぞれの場合、またはSパラメータ行列はその転置行列に等しくなります。磁気的にバイアスされたフェライト部品を含むネットワークなど、伝送媒体に非可逆材料を含むネットワークは非可逆的になります。増幅器は非可逆ネットワークの別の例です。 ${\displaystyle S_{mn}=S_{nm}}$

ただし、3ポートネットワークの特性として、可逆、無損失、完全整合を同時に実現することはできません。^[15]

無損失ネットワーク

ロスレスネットワークとは、電力を全く消費しないネットワーク、つまり：すべてのポートへの入射電力の合計は、すべてのポートからの出力（例えば「反射」）電力の合計に等しいネットワークです。これは、Sパラメータ行列がユニタリ行列であることを意味します。つまり、は の共役転置行列であり、は単位行列です。 ${\displaystyle \Sigma \left|a_{n}\right|^{2}=\Sigma \left|b_{n}\right|^{2}}$ ${\displaystyle (S)^{\mathrm {H} }(S)=(I)}$ ${\displaystyle (S)^{\mathrm {H} }}$ ${\displaystyle (S)}$ ${\displaystyle (I)}$

ロスレスネットワーク

損失のある受動ネットワークとは、すべてのポートにおける入射電力の合計が、すべてのポートにおける出力（例えば「反射」）電力の合計よりも大きいネットワークです。したがって、電力消費は となります。したがって、 であり、は正定値です。^[16] ${\displaystyle \Sigma \left|a_{n}\right|^{2}\neq \Sigma \left|b_{n}\right|^{2}}$ ${\displaystyle \Sigma \left|a_{n}\right|^{2}>\Sigma \left|b_{n}\right|^{2}}$ ${\displaystyle (I)-(S)^{\mathrm {H} }(S)}$

2ポートSパラメータ

2ポートネットワークのSパラメータ行列はおそらく最も一般的に使用されており、より大規模なネットワークの高次行列を生成するための基本的な構成要素として機能します。^[17]この場合、出力波（反射波）、入射波、およびSパラメータ行列の関係は次のように表されます。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}}$。

行列を式に展開すると、次のようになります。

${\displaystyle b_{1}=S_{11}a_{1}+S_{12}a_{2}}$

および

${\displaystyle b_{2}=S_{21}a_{1}+S_{22}a_{2}}$。

各式は、ネットワークの各ポート1と2における出力波（反射波など）と入射波の関係を、ネットワークの個々のSパラメータ、、、およびを用いて示しています。ポート1 （）への入射波を考えると、ポート1自体（ ）またはポート2（ ）のいずれかから出力される波が生じる可能性があります。しかし、Sパラメータの定義によれば、ポート2がシステムインピーダンス（）と同一の負荷で終端されている場合、最大電力伝達定理により、は完全に吸収され、ゼロになります。したがって、入射電圧波を、出力波/反射波を、と定義すると、 ${\displaystyle S_{11}}$ ${\displaystyle S_{12}}$ ${\displaystyle S_{21}}$ ${\displaystyle S_{22}}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle b_{1}}$ ${\displaystyle b_{2}}$ ${\displaystyle Z_{0}}$ ${\displaystyle b_{2}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle a_{1}=V_{1}^{+}}$ ${\displaystyle a_{2}=V_{2}^{+}}$ ${\displaystyle b_{1}=V_{1}^{-}}$ ${\displaystyle b_{2}=V_{2}^{-}}$

${\displaystyle S_{11}={\frac {b_{1}}{a_{1}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{1}^{+}}}}$および。 ${\displaystyle S_{21}={\frac {b_{2}}{a_{1}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{1}^{+}}}}$

同様に、ポート1がシステムインピーダンスで終端されている場合、はゼロになり、 ${\displaystyle a_{1}}$

${\displaystyle S_{12}={\frac {b_{1}}{a_{2}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{2}^{+}}}}$および ${\displaystyle S_{22}={\frac {b_{2}}{a_{2}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{2}^{+}}}}$

2ポートSパラメータは、次のように一般的に記述されます。

${\displaystyle S_{11}}$は入力ポートの電圧反射係数です。

${\displaystyle S_{12}}$は逆方向電圧利得です。

${\displaystyle S_{21}}$は順方向電圧利得です。

${\displaystyle S_{22}}$は出力ポートの電圧反射係数です

各ポートに対する電圧波の方向を定義する代わりに、絶対方向によって順方向波と逆方向波として定義すると、およびとなります。Sパラメータは、順方向電圧利得が順方向電圧の比によって定義されるなど、より直感的な意味を持ちます。 ${\displaystyle V^{+}}$ ${\displaystyle V^{-}}$ ${\displaystyle b_{2}=V_{2}^{+}}$ ${\displaystyle a_{1}=V_{1}^{+}}$ ${\displaystyle S_{21}=V_{2}^{+}/V_{1}^{+}}$

これらの定義を用いると、上記の行列を展開して、入射波とに関して反射波とを与えることができます ${\displaystyle V_{1}^{-}}$ ${\displaystyle V_{2}^{+}}$ ${\displaystyle V_{1}^{+}}$ ${\displaystyle V_{2}^{-}}$

${\displaystyle V_{1}^{-}=S_{11}V_{1}^{+}+S_{12}V_{2}^{-}}$

${\displaystyle V_{2}^{+}=S_{21}V_{1}^{+}+S_{22}V_{2}^{-}}$

2ポートネットワークのSパラメータ特性

線形（小信号）条件下で動作する増幅器は非可逆ネットワークの良い例であり、整合減衰器は可逆ネットワークの例です。以下のケースでは、入力と出力の接続がそれぞれポート1と2であると仮定します。これは最も一般的な慣例です。公称システムインピーダンス、周波数、および温度など、デバイスに影響を与える可能性のあるその他の要因も指定する必要があります。

複素線形ゲイン

複素線形ゲインGは次のように与えられます。

${\displaystyle G=S_{21}={\frac {b_{2}}{a_{1}}}}$。

これは、出力反射電力波を入力入射電力波で割った線形比であり、すべての値は複素量として表されます。損失ネットワークではサブユニタリ、アクティブネットワークでは。デバイスの入力インピーダンスと出力インピーダンスが等しい場合にのみ、電圧ゲインと等しくなります。 ${\displaystyle |G|>1}$

スカラー線形ゲイン

スカラー線形ゲイン（または線形ゲインの大きさ）は次のように与えられます

${\displaystyle \left|G\right|=\left|S_{21}\right|}$。

これはゲインの大きさ（絶対値）、つまり出力電力波と入力電力波の比を表し、電力ゲインの平方根に等しくなります。これは実数値（またはスカラー）であり、位相情報は省略されます。

スカラー対数ゲイン

ゲイン（g）のスカラー対数（デシベルまたはdB）表現は次のとおりです。

${\displaystyle g=20\log _{10}\left|S_{21}\right|}$dB

これはスカラー線形ゲインよりも一般的に使用され、正の量は通常単に「ゲイン」として理解され、負の量は「負のゲイン」（「損失」）であり、dBで表した大きさに相当します。たとえば、100MHzでは、10mの長さのケーブルのゲインは-1dBで、これは1dBの損失に等しい場合があります。

挿入損失

2つの測定ポートが同じ基準インピーダンスを使用する場合、挿入損失（IL ）はデシベル単位で表される伝送係数| S ₂₁ |の振幅の逆数です。したがって、次のように表されます。^[18]

${\displaystyle IL=10\log _{10}\left|{\frac {1}{{S_{21}}^{2}}}\right|=-20\log _{10}\left|S_{21}\right|}$dB

これは、測定の2つの基準面の間に被試験デバイス（DUT）を導入することによって生じる追加の損失です。追加の損失は、DUTの固有損失および／または不整合に起因する可能性があります。追加の損失がある場合、挿入損失は正と定義されます。デシベルで表される挿入損失の負の値は挿入利得と定義され、スカラー対数利得に等しくなります（上記の定義を参照）。

入力リターンロス

入力リターンロス（RL _in）は、ネットワークの実際の入力インピーダンスが公称システムインピーダンス値にどれだけ近いかを示す尺度と考えることができます。デシベルで表される入力リターンロスは、次のように表されます 。

${\displaystyle RL_{\mathrm {in} }=10\log _{10}\left|{\frac {1}{{S_{11}}^{2}}}\right|=-20\log _{10}\left|S_{11}\right|}$dB

| S ₁₁ | ≤ 1の受動2ポートネットワークの場合、リターンロスは非負の量、つまりRL _in ≥ 0 となることに注意してください。また、やや紛らわしいことに、リターンロスは上記で定義された量の負の値として使用されることがありますが、この用法は、厳密に言えば、損失の定義に基づいて誤りです。^[19]

出力リターンロス

出力リターンロス（RL _out）は入力リターンロスと同様の定義を持ちますが、入力ポートではなく出力ポート（ポート2）に適用されます。これは次のように表されます。

${\displaystyle RL_{\mathrm {out} }=-20\log _{10}\left|S_{22}\right|}$dB

逆ゲインと逆アイソレーション

逆ゲイン（ ）のスカラー対数（デシベルまたはdB）表現は次のとおりです。 ${\displaystyle g_{\mathrm {rev} }}$

${\displaystyle g_{\mathrm {rev} }=20\log _{10}\left|S_{12}\right|}$dB

これは多くの場合、逆アイソレーション（ ）と表され、その場合、 の大きさに等しい正の量となり、表現は次のとおりです。 ${\displaystyle I_{\mathrm {rev} }}$ ${\displaystyle g_{\mathrm {rev} }}$

${\displaystyle I_{\mathrm {rev} }=\left|g_{\mathrm {rev} }\right|=\left|20\log _{10}\left|S_{12}\right|\right|}$dB

反射係数

ネットワークが両方のポートで完全に整合していると仮定すると、入力ポートでの反射係数、または出力ポートでの反射係数 はそれぞれと に等しいため、 ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {in} }}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {out} }}$ ${\displaystyle S_{11}}$ ${\displaystyle S_{22}}$

${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {in} }=S_{11}}$および ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {out} }=S_{22}}$

とは複素数なので、と も同様です。 ${\displaystyle S_{11}}$ ${\displaystyle S_{22}}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {in} }}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {out} }}$

信号源および／または負荷がネットワークと完全に整合していない場合、負荷から出力への反射 が入力での反射に影響を与える可能性があり、同様に信号源から入力への反射 が出力での反射に影響を与える可能性があります。この場合、入力および出力反射係数は次の式で与えられます。^[20] ${\displaystyle \Gamma _{L}}$ ${\displaystyle \Gamma _{S}}$

${\displaystyle |\Gamma _{\mathrm {in} }|=\left|S_{11}+{\frac {S_{12}S_{21}\Gamma _{L}}{1-S_{22}\Gamma _{L}}}\right|}$および ${\displaystyle |\Gamma _{\mathrm {out} }|=\left|S_{22}+{\frac {S_{12}S_{21}\Gamma _{S}}{1-S_{11}\Gamma _{S}}}\right|}$

完全に整合している場合、 の場合、これらの式は予想どおりにとを与えることがわかります。 ${\displaystyle \Gamma _{L}=\Gamma _{S}=0}$ ${\displaystyle S_{11}}$ ${\displaystyle S_{22}}$

電圧定在波比

ポートにおける電圧定在波比（VSWR）は、小文字の「s」で表され、リターンロスと同様のポート整合の尺度ですが、スカラー線形量、つまり定在波の最大電圧と定在波の最小電圧の比です。したがって、これは電圧反射係数の大きさ、ひいては入力ポートまたは出力ポートの大きさに関連します。 ${\displaystyle S_{11}}$ ${\displaystyle S_{22}}$

入力ポートにおけるVSWRは、次のように表されます ${\displaystyle s_{\mathrm {in} }}$

${\displaystyle s_{\mathrm {in} }={\frac {1+\left|S_{11}\right|}{1-\left|S_{11}\right|}}}$

出力ポートにおけるVSWRは、次のように表される。 ${\displaystyle s_{\mathrm {out} }}$

${\displaystyle s_{\mathrm {out} }={\frac {1+\left|S_{22}\right|}{1-\left|S_{22}\right|}}}$

これは、反射係数の大きさが1以下の場合には正しいです。トンネルダイオード増幅器のように、反射係数の大きさが1より大きい場合、この式は負の値になります。しかし、VSWRは定義上、常に正です。マルチポートの ポートkのより正確な式は次のとおりです。

${\displaystyle s_{k}={\frac {1+\left|S_{kk}\right|}{|1-\left|S_{kk}\right||}}}$

4ポートSパラメータ

4ポートSパラメータは、4ポートネットワークの特性を表すために使用されます。ネットワークの4つのポート間の反射波と入射波に関する情報が含まれています

${\displaystyle {\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}&S_{14}\\S_{21}&S_{22}&S_{23}&S_{24}\\S_{31}&S_{32}&S_{33}&S_{34}\\S_{41}&S_{42}&S_{43}&S_{44}\end{pmatrix}}}$

これらは通常、2つの別々のシングルエンド信号で駆動されている場合の結合伝送線路間のクロストーク量、またはそれらを介して駆動される差動信号の反射電力と入射電力を決定するために、2つの結合伝送線路を解析するために使用されます。高速差動信号の多くの仕様では、通信チャネルを4ポートSパラメータで定義しています。たとえば、10ギガビット・アタッチメント・ユニット・インターフェース（XAUI）、SATA、PCI-X、InfiniBandシステムなどです。

4ポート・ミックスドモードSパラメータ

4ポート・ミックスドモードSパラメータは、4ポートネットワークを、コモンモードおよび差動刺激信号に対するネットワークの応答の観点から特性評価します。次の表は、4ポート・ミックスドモードSパラメータを示しています。

4ポート・ミックスドモードSパラメータ

			刺激
			差動		コモンモード
			ポート1	ポート2	ポート1	ポート2
応答	差動	ポート1	SDD11	SDD12	SDC11	SDC12
		ポート2	SDD21	SDD22	SDC21	SDC22
	コモンモード	ポート1	SCD11	SCD12	SCC11	SCC12
		ポート2	SCD21	SCD22	SCC21	SCC22

パラメータ表記SXYabの形式に注意してください。ここで、「S」は散乱パラメータまたはSパラメータ、「X」は応答モード（差動または共通）、「Y」は刺激モード（差動または共通）、「a」は応答（出力）ポート、「b」は刺激（入力）ポートです。これは散乱パラメータの一般的な命名法です

第1象限は、被試験デバイスの差動刺激特性と差動応答特性を表す左上の4つのパラメータとして定義されます。これは、ほとんどの高速差動相互接続の実際の動作モードであり、最も注目される象限です。これには、入力差動リターンロス（SDD11）、入力差動挿入損失（SDD21）、出力差動リターンロス（SDD22）、および出力差動挿入損失（SDD12）が含まれます。差動信号処理の利点は次のとおりです。

• 電磁干渉感受性の低減
• 平衡差動回路からの電磁放射の低減
• 偶数次差動歪み成分がコモンモード信号に変換される
• シングルエンドに比べて電圧レベルが2倍に増加
• 差動信号へのコモンモード電源およびグランドノイズのエンコードの除去

第2象限と第3象限は、それぞれ右上と左下の4つのパラメータです。これらはクロスモード象限とも呼ばれます。これは、被試験デバイスで発生するあらゆるモード変換、つまりコモンモードから差動モードへのSDCab変換（意図された差動信号SDD伝送アプリケーションにおけるEMI感受性）や差動モードからコモンモードへのSCDab変換（差動アプリケーションにおけるEMI放射）を完全に特性評価できるためです。モード変換を理解することは、ギガビットデータスループットを実現するインターコネクト設計の最適化を図る際に非常に役立ちます。

第4象限は右下の4つのパラメータであり、被試験デバイスを伝播する同相モード信号SCCabの性能特性を表します。適切に設計されたSDDab差動デバイスでは、同相モード出力SCCabは最小限に抑えられるはずです。しかし、第4象限の同相モード応答データは、同相モード伝送応答の尺度であり、差動伝送応答との比率でネットワークの同相モード除去比を決定するために使用されます。この同相モード除去比は差動信号処理の重要な利点であり、一部の差動回路実装では1にまで低減できます。^{[21] [22]}

アンプ設計におけるSパラメータ

逆アイソレーションパラメータは、増幅器の出力から入力へのフィードバックレベルを決定し、したがって、順方向ゲインと共に増幅器の安定性（発振を抑制する傾向）に影響を与えます。入力ポートと出力ポートが互いに完全に分離された増幅器は、無限大のスカラー対数振幅アイソレーションを持つか、または線形振幅のアイソレーションはゼロになります。このような増幅器はユニラテラルと呼ばれます。しかし、ほとんどの実用的な増幅器は、入力で「見られる」反射係数が出力に接続された負荷によってある程度影響を受けることを可能にする有限のアイソレーションを持ちます。の値が可能な限り小さくなるように意図的に設計された増幅器は、しばしばバッファ増幅器と呼ばれます。 ${\displaystyle S_{12}}$ ${\displaystyle S_{21}}$ ${\displaystyle S_{12}}$ ${\displaystyle \left|S_{12}\right|}$

実際の（ユニラテラルまたはバイラテラルではない）増幅器の出力ポートが、反射係数の任意の負荷に接続されていると仮定します。入力ポートで「見られる」実際の反射係数は^[23]で与えられます。 ${\displaystyle \Gamma _{L}}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {in} }}$

${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {in} }=S_{11}+{\frac {S_{12}S_{21}\Gamma _{L}}{1-S_{22}\Gamma _{L}}}}$。

増幅器がユニラテラルである場合、および、言い換えれば、出力負荷は入力に影響を与えません ${\displaystyle S_{12}=0}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {in} }=S_{11}}$

同様の特性が反対方向にも存在します。この場合、は出力ポートで観測される反射係数、は入力ポートに接続された信号源の反射係数です。 ${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {out} }}$ ${\displaystyle \Gamma _{s}}$

${\displaystyle \Gamma _{out}=S_{22}+{\frac {S_{12}S_{21}\Gamma _{s}}{1-S_{11}\Gamma _{s}}}}$

増幅器が無条件に安定するためのポート負荷条件

増幅器は、任意の反射係数の負荷または信号源を不安定性を引き起こさずに接続できる場合、無条件に安定しています。この条件は、信号源、負荷、および増幅器の入力ポートと出力ポートにおける反射係数の値が同時に1より小さい場合に発生します。見落とされがちな重要な要件は、増幅器が右半平面に極を持たない線形ネットワークであることです。^[24]不安定性は、増幅器の利得周波数応答に深刻な歪みを引き起こし、極端な場合には発振を引き起こす可能性があります。対象周波数で無条件に安定するには、増幅器は次の4つの式を同時に満たす必要があります。^[25]

${\displaystyle \left|\Gamma _{s}\right|<1}$

${\displaystyle \left|\Gamma _{L}\right|<1}$

${\displaystyle \left|\Gamma _{\mathrm {in} }\right|<1}$

${\displaystyle \left|\Gamma _{\mathrm {out} }\right|<1}$

これらの値がそれぞれ1に等しい場合の境界条件は、（複素）反射係数を表す極座標図上に描かれた円で表すことができます。1つは入力ポート用、もう1つは出力ポート用です。多くの場合、これらはスミスチャートとしてスケーリングされます。いずれの場合も、円の中心の座標と関連する半径は、次の式で与えられます

Γ _Lの値| Γ _in | = 1（出力安定円）

半径 ${\displaystyle r_{L}=\left|{\frac {S_{12}S_{21}}{\left|S_{22}\right|^{2}-\left|\Delta \right|^{2}}}\right|.}$

中心 ${\displaystyle c_{L}={\frac {(S_{22}-\Delta S_{11}^{*})^{*}}{\left|S_{22}\right|^{2}-\left|\Delta \right|^{2}}}.}$

Γ _Sの値| Γ _out | = 1（入力安定円）

半径 ${\displaystyle r_{s}=\left|{\frac {S_{12}S_{21}}{|S_{11}|^{2}-|\Delta |^{2}}}\right|.}$

中心 ${\displaystyle c_{s}={\frac {(S_{11}-\Delta S_{22}^{*})^{*}}{|S_{11}|^{2}-|\Delta |^{2}}}.}$

どちらの場合も

${\displaystyle \Delta =S_{11}S_{22}-S_{12}S_{21}}$は散乱行列の行列式です。

上付きの星印（*）は複素共役を示します。

円は反射係数の複素単位であるため、システムインピーダンスに正規化されたインピーダンスまたはアドミタンスベースのスミスチャートに描くことができます。これは、予測される無条件安定性の正規化インピーダンス（またはアドミタンス）領域を容易に示すのに役立ちます。無条件安定性を示す別の方法は、次のように定義されるロレット安定係数（ ） を使用することです。 ${\displaystyle K}$

${\displaystyle K={\frac {1-|S_{11}|^{2}-|S_{22}|^{2}+|\Delta |^{2}}{2|S_{12}S_{21}|}}.}$

無条件安定性は、およびの場合に達成されます。 ${\displaystyle K>1}$ ${\displaystyle |\Delta |<1.}$

散乱伝達パラメータ

2ポートネットワークの散乱伝達パラメータ、つまりTパラメータは、Tパラメータ行列で表され、対応するSパラメータ行列と密接に関連しています。しかし、Sパラメータとは異なり、システム内のTパラメータ（ユーラ波と呼ばれることもあります）を測定するための単純な物理的手段はありません。Tパラメータ行列は、各ポートにおける入射波と反射波の正規化波と次のように関連しています。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}b_{1}\\a_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{2}\\b_{2}\end{pmatrix}}}$

ただし、次のように異なる定義も可能です

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1}\\b_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{2}\\a_{2}\end{pmatrix}}}$

MATLABのRF Toolboxアドオン^[26]やいくつかの書籍（例えば「ネットワーク散乱パラメータ」^[27]）ではこの最後の定義が使用されているため、注意が必要です。この記事の「SからTへ」および「TからSへ」の段落は最初の定義に基づいています。2番目の定義への適応は簡単です（T ₁₁をT ₂₂に、T ₁₂をT ₂₁に置き換えます）。Sパラメータと比較したTパラメータの利点は、基準インピーダンスが純粋実共役または複素共役である場合、関連する個々のTパラメータ行列を単純に掛け合わせるだけで、2つ以上の2ポートネットワークをカスケード接続した場合の効果を容易に判定できることです。例えば、3つの異なる2ポートネットワーク1、2、3のTパラメータがそれぞれ、、、である場合、 3つのネットワークすべてを直列にカスケード接続した場合のTパラメータ行列（ ）は次のように表されます。 ${\displaystyle {\begin{pmatrix}T_{1}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}T_{2}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}T_{3}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}T_{T}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}T_{T}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}T_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}T_{3}\end{pmatrix}}}$

行列の乗算は可換ではないため、順序が重要であることに注意してください。Sパラメータと同様に、Tパラメータは複素値であり、2つのタイプ間で直接変換できます。カスケードTパラメータは個々のTパラメータの単純な行列乗算ですが、各ネットワークのSパラメータを対応するTパラメータに変換し、カスケードTパラメータを等価なカスケードSパラメータに戻す変換（通常必要）は簡単ではありません。ただし、操作が完了すると、両方向のすべてのポート間の複素全波相互作用が考慮されます。次の式は、2ポートネットワークのSパラメータとTパラメータ間の変換を提供します。^[28]

SからTへ：

${\displaystyle T_{11}={\frac {-\det {\begin{pmatrix}S\end{pmatrix}}}{S_{21}}}}$

${\displaystyle T_{12}={\frac {S_{11}}{S_{21}}}}$

${\displaystyle T_{21}={\frac {-S_{22}}{S_{21}}}}$

${\displaystyle T_{22}={\frac {1}{S_{21}}}}$

ここで、は行列の行列式を示します。 ${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}S\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}S\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}S\end{pmatrix}}\ =S_{11}\cdot S_{22}-S_{12}\cdot S_{21}}$。

TからSへ

${\displaystyle S_{11}={\frac {T_{12}}{T_{22}}}}$

${\displaystyle S_{12}={\frac {\det {\begin{pmatrix}T\end{pmatrix}}}{T_{22}}}}$

${\displaystyle S_{21}={\frac {1}{T_{22}}}}$

${\displaystyle S_{22}={\frac {-T_{21}}{T_{22}}},}$

ここで、は行列の行列式を示します。 ${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}T\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}T\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}T\end{pmatrix}}\ =T_{11}.T_{22}-T_{12}.T_{21}.}$

1ポートSパラメータ

1ポートネットワークのSパラメータは、nが割り当てられたポート番号である、単純な1×1行列で表されます。Sパラメータの線形性の定義に従うと、これは通常、何らかの受動負荷となります。アンテナは一般的な1ポートネットワークであり、の値が小さい場合、アンテナが電力を放射するか、消散/蓄積するかを示します。 ${\displaystyle (s_{nn})}$ ${\displaystyle s_{11}}$

高次Sパラメータ行列

異なるポートのペア（ ）の高次Sパラメータは、 2ポートネットワークの場合と同様に、ポートのペアを順に検討することで推定できます。各ケースにおいて、残りの（未使用の）ポートすべてがシステムインピーダンスと同一のインピーダンスで負荷されていることを確認します。このようにして、未使用のポートのそれぞれへの入射電力波はゼロになり、2ポートの場合と同様の式が得られます。単一ポートのみに関連するSパラメータ（）では、残りのすべてのポートがシステムインピーダンスと同一のインピーダンスで負荷されている必要があるため、検討中のポートを除くすべての入射電力波はゼロになります。したがって、一般に次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle S_{mn}}$ ${\displaystyle m\neq \;n}$ ${\displaystyle S_{mm}}$

${\displaystyle S_{mn}={\frac {b_{m}}{a_{n}}}}$

および

${\displaystyle S_{mm}={\frac {b_{m}}{a_{m}}}.}$

例えば、2ウェイスプリッタなどの3ポートネットワークでは、次のSパラメータ定義が成り立ちます。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}\\S_{21}&S_{22}&S_{23}\\S_{31}&S_{32}&S_{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}}$

で

${\displaystyle S_{11}={\frac {b_{1}}{a_{1}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{1}^{+}}}}$; ; ${\displaystyle S_{12}={\frac {b_{1}}{a_{2}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{2}^{+}}}}$ ${\displaystyle S_{13}={\frac {b_{1}}{a_{3}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{3}^{+}}}}$

${\displaystyle S_{21}={\frac {b_{2}}{a_{1}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{1}^{+}}}}$; ; ${\displaystyle S_{22}={\frac {b_{2}}{a_{2}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{2}^{+}}}}$ ${\displaystyle S_{23}={\frac {b_{2}}{a_{3}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{3}^{+}}}}$

${\displaystyle S_{31}={\frac {b_{3}}{a_{1}}}={\frac {V_{3}^{-}}{V_{1}^{+}}}}$; ; ${\displaystyle S_{32}={\frac {b_{3}}{a_{2}}}={\frac {V_{3}^{-}}{V_{2}^{+}}}}$ ${\displaystyle S_{33}={\frac {b_{3}}{a_{3}}}={\frac {V_{3}^{-}}{V_{3}^{+}}}}$

ここで、はポートnへの入射波によって誘起されるポートmへの出力波を指します。 ${\displaystyle S_{mn}}$

Sパラメータの測定

Sパラメータは、ベクトルネットワークアナライザ（VNA）で最も一般的に測定されます。

デバイスのSパラメータは、一度決定されると、いくつかの異なる形式で保存できます。多くの場合、SパラメータはTouchstoneファイル（ SnPファイルとも呼ばれます）に周波数に対して単純に表形式で表されます。ここで、nはポート数です。これらは、ファイル名拡張子が「.s1p」、「.s2p」などの、特別にフォーマットされたテキストファイルです。この形式はIBIS Open Forumによって標準化されており、2024年1月に更新されました。^[29]

2ポートSパラメータは、極座標を使用してスミスチャートに表示できますが、最も意味があるのは、システムインピーダンスに適したスミスチャートの特性インピーダンス（またはアドミタンス）スケーリングを使用して、等価な正規化インピーダンス（またはアドミタンス）に直接変換できるためです。2ポートSパラメータは、極座標を使用して極座標図に表示することもできます ${\displaystyle S_{11}}$ ${\displaystyle S_{22}}$

どちらのグラフ形式でも、Sパラメータは通常、対象となる周波数範囲全体にわたってスイープとしてプロットされます。

2ポート以上のネットワークのSパラメータ測定

2ポート以上のネットワークのSパラメータを同時に測定できるように設計されたVNAは実現可能ですが、すぐに複雑になり、高価になります。必要な測定値は、標準の2ポート校正済みVNAで追加測定を行い、得られた結果を正しく解釈することで得られるため、通常、その購入は正当化されません。必要なSパラメータマトリックスは、未使用のポートをシステムインピーダンスに等しい高品質負荷で終端した状態で、2ポートずつ段階的に連続的に測定することで作成できます。この方法のリスクの1つは、負荷自体のリターンロスまたはVSWRを、完全な50Ω、または公称システムインピーダンスに可能な限り近くなるように適切に指定する必要があることです。多数のポートを持つネットワークでは、コストを理由に、負荷のVSWRを適切に指定しない誘惑に駆られる可能性があります。負荷の許容可能な最悪のVSWRを決定するには、何らかの分析が必要になります。

追加の負荷が適切に指定されていると仮定し、必要に応じて、Sパラメータの添え字のうち2つ以上を、VNAに関連するもの（上記のケースでは1と2）から、試験対象ネットワークに関連するもの（NがDUTポートの総数である場合、1～N）に変更します。例えば、DUTに5つのポートがあり、2ポートVNAがVNAポート1をDUTポート3に、VNAポート2をDUTポート5に接続されている場合、DUTポート1、2、4が適切な50Ω負荷で終端されていると仮定すると、測定されたVNA結果（、、）はそれぞれ、、、、に相当します。これにより、必要な25個のSパラメータのうち4個が得られます。 ${\displaystyle S_{11}}$ ${\displaystyle S_{12}}$ ${\displaystyle S_{21}}$ ${\displaystyle S_{22}}$ ${\displaystyle S_{33}}$ ${\displaystyle S_{35}}$ ${\displaystyle S_{53}}$ ${\displaystyle S_{55}}$

参照

• アドミタンスパラメータ
• インピーダンスパラメータ
• 2ポートネットワーク
• Xパラメータ、Sパラメータの非線形スーパーセット
• ベレビッチの定理

参考文献

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参考文献

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• 「Sパラメータ設計」、アプリケーションノートAN 154、キーサイト・テクノロジーズ
• 「より高速でより正確なネットワーク設計のためのSパラメータ手法」、アプリケーションノートAN 95-1、Keysight Technologies、PDFスライドとQuickTimeビデオ、またはRichard W. Andersonの原著論文のスキャン
• AJ Baden Fuller著『マイクロ波理論と技術入門』第2版、Pergammon International Library; ISBN 0-08-024227-8
• Ramo、Whinnery、Van Duzer著『通信エレクトロニクスにおける場と波』 John Wiley & Sons; ISBN 0-471-70721-X
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