スキーム（数学）

Generalization of algebraic variety

数学、特に代数幾何学において、スキームとは、重複度を考慮する（方程式x = 0とx ² = 0は同じ代数多様体を定義するが異なるスキームである）ことや、任意の可換環上で定義された「多様体」を許可する（たとえば、フェルマー曲線は整数上で定義される）ことなど、いくつかの方法で代数多様体の概念を拡張する構造である。

スキーム理論は、1960年にアレクサンダー・グロタンディークによって論文『代数幾何学要論』（EGA）で導入されました。その目的の一つは、ヴェイユ予想（最後のものはピエール・ドリーニュによって証明されました）のような代数幾何学の深遠な問題を解くために必要な形式論を開発することでした。^[1]可換代数に強く基づくスキーム理論は、位相幾何学やホモロジー代数の手法を体系的に利用することを可能にします。また、スキーム理論は代数幾何学と数論の多くを統合し、最終的にはワイルズによるフェルマーの最終定理の証明につながりました。

スキームは、代数多様体はそれ（またはその部分集合）上で定義される正則代数関数の座標環を通して最もよく解析され、各部分多様体は部分多様体上で消える関数のイデアルに対応するという基本的な考え方を詳しく説明する。直感的には、スキームは、幾何学的な点に対応する閉点と、既約部分多様体のジェネリック点である非閉点から構成される位相空間である。この空間は開集合のアトラスで覆われ、各開集合には正則関数の座標環が備わっており、交差する開集合上の関数間では指定された座標変換が行われる。このような構造は環付き空間または環の層と呼ばれる。主な関心事は、座標環がネーター環であるネータースキームである。

正式には、スキームとはアフィンスキームで覆われた環空間である。アフィンスキームは可換環のスペクトルであり、その点は環の素イデアルであり、その閉点は極大イデアルである。アフィンスキームの座標環はその環自体であり、開部分集合の座標環は分数の環である。

相対的な観点からは、代数幾何学の多くは、個々のスキームではなく、スキームの射X → Y （基底Y上のスキームX と呼ばれる）に対して展開されるべきである。例えば、代数曲面を研究する際には、任意のスキームY上の代数曲面の族を考慮することが有用となる場合がある。多くの場合、与えられた型のすべての多様体の族自体が、モジュライ空間と呼ばれる多様体またはスキームと見なすことができる。

スキーム理論の詳細な定義の一部については、スキーム理論の用語集を参照してください。

発達

代数幾何学の起源は、主に実数上の多項式方程式の研究にある。19世紀までには、実数上の代数幾何学は、代数的に閉じているという利点を持つ複素数体上で作業することによって簡略化されることが明らかになった（特にジャン＝ヴィクトル・ポンスレとベルンハルト・リーマンの研究） 。^[2] 20世紀初頭には代数幾何学と数論の類似性が見られ、次のような疑問が浮かび上がった。代数幾何学は、正の標数を持つ体や、もっと一般的には整数のような数環など、複素多様体を研究するために使用される位相幾何学や複素解析のツールが適用できないような体上で展開できるのか？

ヒルベルトの零点定理は、任意の代数閉体k上の代数幾何学へのアプローチを示唆している 。すなわち、多項式環k [ x ₁ , ... , x _n ]の最大イデアルはkのn組の元の集合k ⁿと一対一に対応し、素イデアルはアフィン多様体として知られるk ⁿの既約代数集合に対応する。これらのアイデアに触発されて、エミー・ネーターとヴォルフガング・クルルは1920 年代と 1930 年代に可換代数を開発した。^[3]彼らの研究は代数幾何学を純粋に代数の方向に一般化し、点 (多項式環の最大イデアル) の研究を任意の可換環の素イデアルの研究に一般化した。例えば、クルルは可換環の次元を素イデアルで定義し、少なくとも環がネーター環である場合、この定義が幾何学的次元の直感的な特性の多くを満たすことを証明しました。

ネーターとクルルの可換代数は、アフィン代数多様体への代数的アプローチとみなすことができる。しかし、代数幾何学における多くの議論は、本質的にコンパクトであるため、射影多様体に対してよりうまく機能する。1920年代から1940年代にかけて、B.L.ファン・デル・ワールデン、アンドレ・ヴェイユ、オスカー・ザリスキは、射影多様体（または準射影多様体）というより豊かな設定において、可換代数を代数幾何学の新しい基礎として適用した。 ^[4]特に、ザリスキ位相は、任意の代数閉体上の多様体上の有用な位相であり、ある程度、複素数の距離位相に基づく複素多様体上の古典的な位相に取って代わるものである。

数論への応用として、ファン・デル・ワールデンとヴェイユは、必ずしも代数的に閉じている必要のない任意の体上の代数幾何学を定式化した。ヴェイユは、位相幾何学における抽象多様体のモデルにおいて、開集合に沿ってアフィン多様体を貼り合わせることで、（射影空間に埋め込まれていない）抽象多様体を初めて定義した。彼はこの一般性を利用して、任意の体上の曲線のヤコビ多様体を構築した。（後に、ヤコビ多様体はヴェイユ、チョウ、マツサカによって射影多様体であることが示された。）

イタリア学派の代数幾何学者は、代数多様体の一般点という、いくぶん曖昧な概念をしばしば用いてきた。一般点について成り立つことは、その多様体の「ほとんどの」点についても成り立つ。ヴェイユの『代数幾何学の基礎』 （1946年）では、一般点は普遍領域と呼ばれる非常に大きな代数閉体上の点を取ることによって構成される。^[4]この方法は不便であった。同じ多様体に対して、多くの異なる一般点が存在したからである。（後のスキーム理論では、各代数多様体は単一の一般点を持つ。）

1950年代、クロード・シュヴァレー、永田正義、ジャン＝ピエール・セールは、数論と代数幾何学を結びつけるヴェイユ予想に一部触発され、例えば許容される基環の一般化などにより、代数幾何学の対象をさらに拡張した。「スキーム」という言葉は、1956年のシュヴァレー・セミナーで初めて使用され、シュヴァレーはザリスキのアイデアを推敲した。^[5]ピエール・カルティエによると、任意の可換環のスペクトルを代数幾何学の基礎として用いる可能​​性をセールに示唆したのはアンドレ・マルティノーであった。^[6]

計画の起源

この理論はグロタンディークの代数幾何学要綱（EGA）と後の代数幾何学セミナー（SGA）で決定的な形を取り、一連の実験的な提案と部分的な発展を完結させた。^[7]グロタンディークは、可換環のスペクトル を自然な位相（ザリスキ位相として知られる）を持つ の素イデアルの空間として定義したが、それを環の層で拡張した。つまり、すべての開部分集合に可換環 を割り当てたが、これは 上の正則関数の座標環と考えることができる。これらのオブジェクトがアフィンスキームであり、一般のスキームはアフィンスキームを「接着」することで得られる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$

代数幾何学の多くは、体上の射影多様体または準射影多様体、特に複素数体上の射影多様体に焦点を当てています。グロタンディークは、多様体に対する幾何学的直観の多くを拡張する、任意のスキームに関する膨大な理論体系を開発しました。例えば、モジュライ空間をまずスキームとして構築し、その後、それが射影多様体のようなより具体的な対象であるかどうかを検討するのが一般的です。グロタンディークの理論を整数体やその他の数体上のスキームに適用することで、数論における強力な新しい視点が生まれました。 ${\displaystyle k}$

意味

アフィンスキームは、可換環 のスペクトルと同型な局所環空間である。スキームは、開集合 による被覆を許容する局所環空間であり、各 は（局所環空間として）アフィンスキームとなる。^[8]特に、は層 を伴い、これはすべての開部分集合に上の正則関数の環と呼ばれる可換環を割り当てる。スキームは、アフィンスキームである「座標チャート」で覆われていると考えることができる。定義は、スキームがザリスキー位相を用いてアフィンスキームを貼り合わせることによって得られることを正確に意味する。 ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ ${\displaystyle U}$

初期の頃は、これはプレスキームと呼ばれ、スキームは分離されたプレスキームとして定義されていました。プレスキームという用語は現在では使われなくなっていますが、グロタンディークの『Éléments de géométrie algébrique』やマンフォードの『Red Book』といった古い書籍にはまだ見られます。^[9]の層特性とは、その元（必ずしも関数ではない）が、関数と同様に、その制約からつなぎ合わせることができることを意味します。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$

アフィンスキームの基本的な例として、自然数に対する体 上のアフィン-空間 ${\displaystyle n}$が挙げられます。定義により、は多項式環 のスペクトルです。スキーム理論の精神に則り、アフィン-空間 は任意の可換環 上に定義することができ、つまり となります。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A_{k}^{n}}$ ${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R[x_{1},\dots ,x_{n}])}$

スキームのカテゴリー

スキームはカテゴリを形成し、射は局所環空間の射として定義されます。（スキームの射も参照してください。）スキームYに対して、 Y上のスキームX （またはY -スキーム）は、スキームの射X → Yを意味します。可換環R上のスキームXは、射X → Spec( R ) を意味します。

体k上の代数多様体は、特定の性質を持つk上のスキームとして定義できます。どのスキームを多様体と呼ぶべきかについては、様々な慣習があります。標準的な定義の一つは、k上の多様体とはk上の有限型の整分離スキームを指すというものです。^[10]

スキームの射f : X → Yは、正則関数の環上の引き戻し準同型f *: O ( Y ) → O ( X ) を決定する。アフィンスキームの場合、この構成はスキームの射 Spec( A ) → Spec( B ) と環準同型B → Aの間に一対一対応を与える。^[11]この意味で、スキーム理論は可換環の理論を完全に包含する。

Zは可換環のカテゴリにおける始対象なので、スキームのカテゴリには終対象として Spec( Z )があります。

可換環R上のスキームXにおいて、XのR点とは、射X → Spec( R ) の切断を意味する。XのR点の集合をX ( R )と書く。例において、この定義は、Rに値を持つXの定義方程式の解の集合という従来の概念を再構築したものである。Rが体kである場合、X ( k ) はXのk有理点の集合とも呼ばれる。

より一般的には、可換環Rと任意の可換R代数S上のスキームXに対して、XのS点はR上の射 Spec( S ) → X を意味する。 XのS点の集合をX ( S )と書く。（これは、体k上のいくつかの方程式が与えられたとき、 kの任意の体拡大Eにおける方程式の解の集合を考えることができるという古くからの観察を一般化したものである。） R上のスキームXに対して、割り当てS ↦ X ( S ) は可換R代数から集合への関手である。 R上のスキームXがこの点の関手によって決定されることは重要な観察である。^[12]

スキームのファイバー積は常に存在する。つまり、スキームYへの射を持つ任意のスキームXとZに対して、スキームの圏に圏的ファイバー積が存在する。XとZ が体k 上のスキームである場合、それらの Spec( k )上のファイバー積は、k -スキームの圏における積X × Zと呼ばれることがある。例えば、k上のアフィン空間との積は、 k上のアフィン空間である。 ${\displaystyle X\times _{Y}Z}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{m+n}}$

スキームのカテゴリにはファイバー積と終端オブジェクトSpec( Z )があるため、すべての有限極限が存在します。

例

ここで、および以下で考慮されるすべての環は可換です。

アフィン空間

k を代数的に閉体とする。アフィン空間はk内の座標を持つすべての点のなす代数多様体である。その座標環は多項式環 である。対応するスキームはザリスキ位相を持つ位相空間であり、その閉点は最大イデアル、つまり で消える多項式の集合である。スキームには、各非最大素イデアル に対して閉でない点も含まれており、その消滅によって既約部分多様体 が定義される。スキーム点の位相閉包は部分スキーム であり、特に部分多様体のすべての閉点、すなわち、またはそれと同等のを含む。 ${\displaystyle {\bar {X}}=\mathbb {A} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle a=(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ ${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle X=\mathrm {Spec} (R)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{a}=(x_{1}-a_{1},\ldots ,x_{n}-a_{n})}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset R}$ ${\displaystyle {\bar {V}}={\bar {V}}({\mathfrak {p}})\subset {\bar {X}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle V({\mathfrak {p}})=\{{\mathfrak {q}}\in X\ \ {\text{with}}\ \ {\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {q}}\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{a}}$ ${\displaystyle a\in {\bar {V}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {m}}_{a}}$

このスキームは、既約多項式 に対して、超曲面の補集合によって与えられる開集合の基底を持つ 。この集合は、その正則関数の座標環を備えている。 これにより、与えられた開集合 上に正則な有理関数の通常の環を与える唯一の層が誘導される。 ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle U_{f}=X\setminus V(f)=\{{\mathfrak {p}}\in X\ \ {\text{with}}\ \ f\notin {\mathfrak {p}}\}}$$ ${\displaystyle f\in R}$ $${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U_{f})=R[f^{-1}]=\left\{{\tfrac {r}{f^{m}}}\ \ {\text{for}}\ \ r\in R,\ m\in \mathbb {Z} _{\geq 0}\right\}.}$$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle U}$

上の多項式関数である各環元は、スキームの点上の関数も定義します。この関数の値は商環 （留数環）に含まれます。 を自然写像 によるの像 として定義します。最大イデアルは、自然同型 を持つ留数体を与え、これは元の値 に対応します。 ${\displaystyle r=r(x_{1},\ldots ,x_{n})\in R}$ ${\displaystyle {\bar {X}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle r({\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R\to R/{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{a}}$ ${\displaystyle k({\mathfrak {m}}_{a})=R/{\mathfrak {m}}_{a}\cong k}$ ${\displaystyle x_{i}\mapsto a_{i}}$ ${\displaystyle r({\mathfrak {m}}_{a})}$ ${\displaystyle r(a)}$

多項式の消失軌跡は超曲面部分多様体であり、主イデアルに対応する。対応するスキームは であり、これはアフィン空間の閉部分スキームである。例えば、k を複素数または実数とすると、方程式 はアフィン平面 における節点3次曲線を定義し、これはスキーム に対応する。 ${\displaystyle f=f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle {\bar {V}}(f)\subset \mathbb {A} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle (f)\subset R}$ ${\textstyle V(f)=\operatorname {Spec} (R/(f))}$ ${\displaystyle x^{2}=y^{2}(y+1)}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{2}}$ ${\displaystyle V=\operatorname {Spec} k[x,y]/(x^{2}-y^{2}(y+1))}$

整数の仕様

整数環は、スキーム の座標環とみなすことができます。ザリスキー位相には、素数の主イデアルである閉点 と、スキーム 全体を閉包とするジェネリック点である零点イデアルが存在します。閉集合は有限集合であり、開集合はその補集合、すなわち余有限集合です。任意の無限点集合は稠密です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle Z=\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}=(p)}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}=(0)}$

既約元に対応する基底開集合は であり、座標環は である。開集合 に対して、これは を誘導する。 ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle U_{p}=Z\smallsetminus \{{\mathfrak {m}}_{p}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Z}(U_{p})=\mathbb {Z} [p^{-1}]=\{{\tfrac {n}{p^{m}}}\ {\text{for}}\ n\in \mathbb {Z} ,\ m\geq 0\}}$ ${\displaystyle U=Z\smallsetminus \{{\mathfrak {m}}_{p_{1}},\ldots ,{\mathfrak {m}}_{p_{\ell }}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Z}(U)=\mathbb {Z} [p_{1}^{-1},\ldots ,p_{\ell }^{-1}]}$

数はスキーム 上の関数に対応します。この関数は における値が を法とする整数の有限体 である留数体に存在します。この関数は によって定義され、また一般留数環 によっても定義されます。この関数はにおける値のみで決定されるため、 は閉点上の一種の「正則関数」、つまり を持つ任意関数の中でも非常に特殊な型と考えることができます。 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}$ ${\displaystyle k({\mathfrak {m}}_{p})=\mathbb {Z} /(p)=\mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n({\mathfrak {m}}_{p})=n\ {\text{mod}}\ p}$ ${\displaystyle n({\mathfrak {p}}_{0})=n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /(0)=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f({\mathfrak {m}}_{p})\in \mathbb {F} _{p}}$

点は関数 の消失軌跡、つまり留数体において の値がゼロとなる点であることに注意してください。 上の「有理関数」の体とは、一般留数環 の分数体です。分数は、分母の素因数に対応する 点に「極」を持ちます。 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}$ ${\displaystyle n=p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle k({\mathfrak {p}}_{0})=\operatorname {Frac} (\mathbb {Z} )=\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}$

これはまた、整数 が共通の素因数を持たない場合、 となる整数が存在するというベズーの補題の幾何学的解釈を与える。幾何学的には、これはのスキームに対する弱ヒルベルト零点定理の一種である。すなわち、関数 がにおいて共通の消失点を持たない場合、それらは座標環 において単位イデアルを生成する。実際、これらの項は、 の開集合 による被覆に従属する一種の単位分割を形成すると考えることができる。 ${\displaystyle n_{1},\ldots ,n_{r}}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{r}}$ ${\displaystyle a_{1}n_{1}+\cdots +a_{r}n_{r}=1}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle n_{1},\ldots ,n_{r}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle (n_{1},\ldots ,n_{r})=(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \rho _{i}=a_{i}n_{i}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle U_{i}=Z\smallsetminus V(n_{i})}$

整数上のアフィン直線

アフィン空間は、座標環 を持つ多様体であり、多項式 は整数係数を持つ。対応するスキームは であり、その点はすべて素イデアル である。閉点は の形の極大イデアルである。ここでは素数であり、 は整数因子を持たない非定数多項式であり、 を法として既約である。したがって、 は座標 で測られる「特性方向」と、座標 を持つ「空間方向」を持つ2次元として描くことができる。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{1}=\{a\ {\text{for}}\ a\in \mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle Y=\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} [x])}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(p,f(x))}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$

与えられた素数は、素イデアル の部分スキームである「垂直線」を定義します。これは、すべての に対して、スキームの「特性点」を含みます。 -座標を固定すると、素イデアル の部分スキームである「水平線」が得られます。また、有理座標 に対応する直線 も得られます。これは、を割り切るものについては交差しません。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V(p)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=(p)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(p,f(x))}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle V(x-a)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=(x-a)}$ ${\displaystyle V(bx-a)}$ ${\displaystyle x=a/b}$ ${\displaystyle V(p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle b}$

のような高次の「水平」部分スキームは、の根である -値、つまりに対応します。これは、異なる-座標では異なる振る舞いをします。 では、であるため、2つの点 が得られます。 では、であるため、1つの分岐した2点が得られます。また、では、は の拡大体におけるに対応する素イデアルです。これらの値は区別できないため（ガロア群の下では対称であるため）、 2つの融合点として描く必要があります。全体として、は2つのガロア対称な水平線の融合、つまり次数2の曲線の一種です。 ${\displaystyle V(x^{2}+1)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{2}+1}$ ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=5}$ ${\displaystyle x=\pm 2\ {\text{mod}}\ 5}$ ${\displaystyle (5,x^{2}+1)=(5,x-2)\cap (5,x+2)}$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle x=1\ {\text{mod}}\ 2}$ ${\displaystyle (2,x^{2}+1)=(2,(x-1)^{2})}$ ${\displaystyle p=3}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(3,x^{2}+1)}$ ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}}$ ${\displaystyle V(3,x^{2}+1)}$ ${\displaystyle V(x^{2}+1)}$

における留数体はであり、の根に隣接するの体拡大です。これはを元とする有限体です。多項式はの値を持つスキーム上の関数、つまりに対応します。ここでも、それぞれは閉点における値によって決定されます。は定数多項式 の消失軌跡です。また、 には、代数閉包 におけるの根のガロア軌道に対応する各特性の点が含まれます。 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(p,f(x))}$ ${\displaystyle k({\mathfrak {m}})=\mathbb {Z} [x]/{\mathfrak {m}}=\mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))\cong \mathbb {F} _{p}(\alpha )}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle x=\alpha }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle p^{d}}$ ${\displaystyle d=\operatorname {deg} (f)}$ ${\displaystyle r(x)\in \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle r({\mathfrak {m}})=r\ \mathrm {mod} \ {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle r({\mathfrak {m}})=r(\alpha )\in \mathbb {F} _{p}(\alpha )}$ ${\displaystyle r(x)\in \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle r({\mathfrak {m}})}$ ${\displaystyle V(p)}$ ${\displaystyle r(x)=p}$ ${\displaystyle V(f(x))}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {F} }}_{p}}$

このスキームは適切ではないため、曲線のペアが期待される重複度で交差しない可能性があります。これは、幾何学的ツールを用いてディオファントス方程式を解析する際の大きな障害です。アラケロフ理論は、アフィン算術スキームをコンパクト化し、付値に対応する無限遠点を追加することで、この障害を克服します。 ${\displaystyle Y}$

算術曲面

多項式を考えると、アフィンスキームはへの標準射を持ち、算術曲面と呼ばれる。ファイバーは有限体 上の代数曲線である。 が楕円曲線である場合、その判別式軌跡 上のファイバーは すべて特異スキームである。^[13]例えば、が素数である場合、その判別式は である。この曲線は素数 上で特異である。 ${\displaystyle f\in \mathbb {Z} [x,y]}$ ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} [x,y]/(f))}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle X_{p}=X\times _{\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}\operatorname {Spec} (\mathbb {F} _{p})}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle f(x,y)=y^{2}-x^{3}+ax^{2}+bx+c}$ $${\displaystyle \Delta _{f}=-4a^{3}c+a^{2}b^{2}+18abc-4b^{3}-27c^{2}=0\ {\text{mod}}\ p,}$$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle X=\operatorname {Spec} {\frac {\mathbb {Z} [x,y]}{(y^{2}-x^{3}-p)}}}$$ ${\displaystyle -27p^{2}}$ ${\displaystyle 3,p}$

非アフィンスキーム

• 任意の可換環Rと自然数nに対して、R上のアフィンn空間のn + 1 個のコピーを開集合に沿って貼り合わせることで、射影空間を スキームとして構成できます。これは、アフィンスキームを超える動機となる基本的な例です。射影空間がアフィン空間よりも優れている主な利点は、R上で真であることであり、これはコンパクト性の代数幾何学的バージョンです。実際、複素射影空間は古典位相においてコンパクト空間ですが、 はそうではありません。 ${\displaystyle \mathbb {P} _{R}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{R}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
• 多項式環R [ x ₀ , ..., x _n ]上の正次同次多項式 fは、射影空間における閉部分スキームf = 0を決定します。これは射影超曲面と呼ばれます。Proj構成を用いると、この部分スキームは次のように表すことができます。例えば、の閉部分スキームx ³ + y ³ = z ³は、有理数上の楕円曲線です。 ${\displaystyle \mathbb {P} _{R}^{n}}$ $${\displaystyle \operatorname {Proj} R[x_{0},\ldots ,x_{n}]/(f).}$$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {Q} }^{2}}$
• 体k上の2つの原点を持つ直線は、 k上のアフィン直線の2つのコピーから始まり、2つの開集合 A ¹ − 0 を恒等写像で貼り合わせることによって定義される。これは非分離型スキームの単純な例である。特に、これはアフィンではない。^[14]
• アフィンスキームを超える単純な理由は、アフィンスキームの開部分集合が必ずしもアフィンである必要はないということである。例えば、 を複素数 上で考えると、n ≥ 2 に対してXはアフィンではない。（しかし、原点を引いたアフィン直線はアフィンスキーム と同型である。 ） Xがアフィンでないことを示すには、 n ≥ 2 のとき、 X上のすべての正則関数が 上の正則関数に拡張されることを計算します。これは複素解析におけるハートッグスの補題に類似していますが、証明はより容易です。つまり、包含によりからへの同型が誘導されます。もしX がアフィンであれば、f^は同型であるが、fは射影的でないため同型ではないという ${\displaystyle X=\mathbb {A} ^{n}\smallsetminus \{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathrm {Spec} \,\mathbb {C} [x,x^{-1}]}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle O(\mathbb {A} ^{n})=\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle O(X)}$
• kを体とする。すると、このスキームは、基礎となる位相空間が正の整数のStone–Čech コンパクト化(離散位相を持つ)であるアフィン スキームとなる。実際、この環の素イデアルは、正の整数上のウルトラフィルターと 1 対 1 に対応しており、このイデアルは、正の整数nに関連付けられた主ウルトラフィルターに対応する。^[16]この位相空間は0 次元であり、特に、各点は既約成分である。アフィン スキームは準コンパクトであるため、これは、無限個の既約成分を持つ非ノイザン準コンパクト スキームの例である (対照的に、ノイザン スキームは有限個の既約成分しか持たない)。 ${\textstyle \operatorname {Spec} \left(\prod _{n=1}^{\infty }k\right)}$ ${\textstyle \prod _{m\neq n}k}$

射の例

代数幾何学や数論幾何学における多くの研究対象をカプセル化するための技術的有効性を示すため、射影の例を図式の例として検討することも有益です。

計画の動機

ここでは、スキームが代数多様体の古い概念を超える方法とその重要性のいくつかを示します。

• 体の拡大。体k上のn変数の多項式方程式が与えられれば、積集合k ⁿの方程式の解の集合X ( k ) を調べることができます。体k が代数的に閉じている場合 (たとえば複素数)、X ( k ) などの集合に基づいて代数幾何学を構築できます。つまり、 X ( k )上にザリスキ位相を定義したり、このタイプの異なる集合間の多項式写像を考えたりすることができます。しかし、kが代数的に閉じていない場合は、集合X ( k ) は十分に豊富ではありません。確かに、kの任意の体拡大Eにある方程式の解X ( E ) を調べることはできますが、これらの集合はX ( k ) によっていかなる合理的な意味でも決定されません。たとえば、 x ² + y ² = −1で定義される実数上の平面曲線Xでは、 X ( R ) は空ですが、X ( C ) は空ではありません。 （実際、X ( C ) はC − 0と同一視できる。）対照的に、体k上のスキームXは、 kのすべての拡大体Eに対してE有理点の集合X ( E )を決定するのに十分な情報を持つ。（特に、A の閉部分スキーム^2R
  _​x ² + y ² = −1で定義される位相空間は空でない位相空間である。
• 一般点。アフィン直線Aの点は¹
  _℃スキームとしての複素点（各複素数につき1つ）と、スキーム全体を包括する一般点（ジェネリックポイント）から構成される。ジェネリックポイントは、自然射 Spec( C ( x )) → Aの像である。¹
  _℃ここで、C ( x ) は一変数有理関数体です。この図式において実際の「一般点」を持つことがなぜ有用であるかを理解するために、次の例を考えてみましょう。
• Xを複素数上の平面曲線y ² = x ( x −1)( x −5)とする。これはAの閉部分曲線である。²
  _℃これはアフィン直線Aの分岐二重被覆として見ることができる。¹
  _℃をx座標に射影することによって得られる。 A ¹のジェネリック点上の射X → A ¹のファイバーは、まさにXのジェネリック点であり、射 を与える。これは、今度は体の -2次拡大 と同値である。したがって、多様体の実際のジェネリック点を持つことは、代数多様体の次数 2 の射と、それに対応する関数体の次数 2 の拡大 との間に幾何学的な関係を与える。これは、基本群(位相における被覆空間を分類する) とガロア群(特定の体の拡大を分類する)との関係に一般化される。実際、グロタンディークのエタール基本群の理論では、基本群とガロア群を同じ土台で扱っている。 $${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbf {C} (x)\left({\sqrt {x(x-1)(x-5)}}\right)\to \operatorname {Spec} \mathbf {C} (x).}$$ $${\displaystyle \mathbf {C} (x)\subset \mathbf {C} (x)\left({\sqrt {x(x-1)(x-5)}}\right).}$$

• べき零元。Xをアフィン直線Aの閉部分スキームとする。¹
  _℃x ² = 0で定義され、太点と呼ばれることもある。X上の正則関数の環はC [ x ]/( x ² )である。特に、X上の正則関数xは冪零であるが零ではない。このスキームの意味を示すと、アフィン直線上の2つの正則関数がXに対して同じ制約を持つのは、原点において同じ値と1次導関数を持つ場合のみである。このような非縮約スキームを許容することで、微積分学と無限小の概念を代数幾何学に導入することができる。
• 冪零元は交差理論において自然に生じる。例えば、座標環 を持つ体 上の平面において、多様体 であるx軸と、である放物線を考える。これらのスキーム理論的交差は、イデアル によって定義される。交差は横断的ではないため、これは単にイデアル によって定義される点ではなく、 x軸の接線方向（2つの曲線の共通接線）を含み、座標環 を持つ太い点である。交差多重度2は、この - 加群の長さ、すなわち - ベクトル空間としての次元として定義される。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k[x,y]}$ ${\displaystyle V(y)}$ ${\displaystyle y=x^{2}}$ ${\displaystyle V(x^{2}-y)}$ ${\displaystyle (y)+(x^{2}-y)=(x^{2},\,y)}$ ${\displaystyle (x,y)=(0,0)}$ ${\displaystyle (x,y)\subset k[x,y]}$ $${\displaystyle {\frac {k[x,y]}{(x^{2},\,y)}}\cong {\frac {k[x]}{(x^{2})}}.}$$ ${\displaystyle k[x,y]}$ ${\displaystyle k}$
• より複雑な例として、滑らかな複素多様体Yにおける 2 次零次元閉部分スキームをすべて記述することができる。このような部分スキームは、 Yの二つの異なる複素点、あるいは前段落で述べたようにX = Spec C [ x ]/( x ² ) と同型な部分スキームから構成される。後者のタイプの部分スキームは、Yの複素点yと接空間T _y Y内の直線によって決定される。^[17]これはまた、非既約部分スキームが微分や接ベクトルに関連した幾何学的な意味を持つことを示している。

コヒーレント層

スキーム理論の中核を成す概念は、（代数的）ベクトル束の概念を一般化した連接層の概念である。スキームXについて、まずO _X加群のアーベル圏を考える。これは、 X上のアーベル群の層であり、正則関数O _{X の}層上の加群を形成する。特に、可換環R上の加群Mは、関連するO _X加群を決定する。 〜MX = Spec( R )上の準連接層とは、 Xの各アフィン開部分集合上の加群に付随する層である O X 加群のこと_である。最後に、（例えばノイザンスキームX上の）連接層とは、 Xの各アフィン開部分集合上の有限生成加群に付随する層である O X 加群のこと_である。

連接層にはベクトル束の重要なクラスが含まれる。ベクトル束は有限生成自由加群から局所的に生じる層である。一例として、体上の滑らかな多様体の接束が挙げられる。しかし、連接層はより豊かである。例えば、Xの閉部分スキームY上のベクトル束は、（直接像構成により） Y の外側で零となるX上の連接層とみなすことができる。このように、スキームX上の連接層には、 Xのすべての閉部分スキームに関する情報が含まれる。さらに、層コホモロジーは連接層（および準連接層）に対して優れた特性を持つ。結果として得られる連接層コホモロジーの理論は、おそらく代数幾何学における主要な技術的ツールである。^{[18] [19]}

一般化

スキームは、点の関数として考えると、可換環の圏上のザリスキー位相の集合の層である関数であり、ザリスキー位相において局所的にアフィンスキームとなる関数である。これはいくつかの方法で一般化できる。1つは、エタール位相を用いる方法である。マイケル・アルティンは、代数空間を、エタール位相の層であり、エタール位相において局所的にアフィンスキームとなる関数として定義した。同様に、代数空間はスキームをエタール同値関係で割ったものである。強力な結果であるアルティンの表現可能性定理は、関数が代数空間によって表現されるための簡単な条件を与える。^[20]

さらに一般化したものとして、スタックの概念がある。大まかに言えば、代数スタックは、各点に代数群を付加することで代数空間を一般化する。代数群は、その点の自己同型群とみなされる。例えば、代数群Gの代数多様体Xへの任意の作用は、商スタック[ X / G ]を決定し、これはGの作用の安定部分群を記憶する。より一般的には、代数幾何学におけるモジュライ空間は、多くの場合スタックとして捉えるのが最適であり、それによって分類対象の自己同型群を追跡することができる。

グロタンディークはもともとスタックを降下理論のツールとして導入した。その定式化において、スタックは（非公式に言えば）圏の層である。^[21]この一般的な概念から、アルティンはより狭いクラスの代数的スタック（または「アルティンスタック」）を定義した。これは幾何学的対象と見なすことができる。これには、安定化群が有限であるドリーニュ・マンフォードスタック（位相幾何学におけるオービフォールドに類似）と、安定化群が自明である代数的空間が含まれる。キール・モリの定理によれば、有限安定化群を持つ代数的スタックは、代数的空間で ある粗いモジュライ空間を持つ。

もう 1 つのタイプの一般化は、構造層を充実させて代数幾何学をホモトピー理論に近づけることです。導来代数幾何学または「スペクトル代数幾何学」として知られるこの設定では、構造層は可換環の層のホモトピー的類似物 (たとえば、E 無限大環スペクトルの層) に置き換えられます。これらの層では、同値関係を除いて結合的かつ可換的な代数演算が可能です。この同値関係で商を取ると、通常のスキームの構造層が得られます。ただし、商を取らないと、ホモロジー代数の導来関手がテンソル積や加群上のHom 関手などの演算に関するより高度な情報を与えるのと同じように、より高度な情報を記憶できる理論になります。

参照

• 平面射、滑らかな射、固有射、有限射、エタール射
• 安定した曲線
• 双有理幾何学
• エタールコホモロジー、チャウ群、ホッジ理論
• 群スキーム、アーベル多様体、線型代数群、簡約群
• 代数曲線のモジュライ
• 接着スキーム

引用

1. 『 Éléments de géométrie algébrique 』の初版の紹介。
2. デュドネ 1985、第 IV 章および第 V 章。
3. Dieudonné 1985、セクション VII.2 および VII.5。
4. Dieudonné 1985、セクション VII.4。
5. Chevalley, C. (1955–1956)、Les schémas、Séminaire Henri Cartan、vol. 8、1  ～ 6ページ
6. Cartier 2001、注29。
7. Dieudonné 1985、セクション VII.4、VIII.2、VIII.3。
8. Hartshorne 1997、セクションII.2。
9. マムフォード 1999、第II章。
10. スタックスプロジェクト、タグ020D。
11. Hartshorne 1997、命題II.2.3。
12. アイゼンバッド＆ハリス 1998、命題VI-2。
13. 「楕円曲線」（PDF） p.20。
14. Hartshorne 1997、例II.4.0.1。
15. Hartshorne 1997、演習I.3.6およびIII.4.3。
16. Arapura 2011、セクション1。
17. アイゼンバッド＆ハリス 1998、例 II-10。
18. Dieudonné 1985、セクション VIII.2 および VIII.3。
19. ハーツホーン 1997、第3章。
20. スタックスプロジェクト、タグ 07Y1。
21. Vistoli 2005、定義 4.6。

参考文献

• アラプラ、ドヌ（2011）「フロベニウスの振幅、超積、特異空間における消失」イリノイ数学ジャーナル、55（4）：1367–1384、arXiv：0806.1033、doi：10.1215/ijm/1373636688、MR  3082873
• カルティエ、ピエール（2001）「狂った一日の仕事：グロタンディークからコンヌ、コンツェビッチまで。空間と対称性の概念の進化」アメリカ数学会報、38（4）：389–408、doi：10.1090/S0273-0979-01-00913-2、MR  1848254
• Jean Dieudonné (1985)、代数幾何学の歴史、ワズワース、ISBN 978-0-534-03723-9、MR  0780183
• アイゼンバッド、デイヴィッド、ハリス、ジョー(1998). 『図式の幾何学』Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98637-1. MR  1730819。
• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1960)。 「幾何学計算の要素: I. スキーマの言語」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。４．土井：10.1007/bf02684778。MR  0217083。
• ハーツホーン、ロビン(1997) [1977].代数幾何学. シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-0-387-90244-9. MR  0463157。
• イゴール・R・シャファレヴィッチ (2013). 『基礎代数幾何学 2：スキームと複素多様体』 シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-3642380099. MR  0456457。
• Qing Liu (2002).代数幾何学と算術曲線.オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0-19-850284-5. MR  1917232。
• マンフォード、デイヴィッド(1999). 『多様体とスキームのレッドブック：曲線とそのヤコビアンに関するミシガン講義 (1974) を収録』 . 数学講義ノート. 第1358巻 (第2版). Springer-Verlag. doi :10.1007/b62130. ISBN 978-3-540-63293-1. MR  1748380。
• Vistoli, Angelo (2005)、「Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory」、Fundamental Algebraic Geometry、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、pp.  1– 104、arXiv : math/0412512、Bibcode :2004math.....12512V、MR  2223406

外部リンク

• デイヴィッド・マンフォード、生物学者にスキームを説明できますか?
• スタックス・プロジェクトの著者、スタックス・プロジェクト
• https://quomodocumque.wordpress.com/2012/09/03/mochizuki-on-abc/ – コメント欄にはスキーム理論に関する興味深い議論がいくつか掲載されています（Terence Taoの投稿も含む）。

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