円形セグメント

Area bounded by a circular arc and a straight line

円弧 (緑色) は、割線/弦 (破線) と、その終点が弦の終点と等しい円弧 (緑色の領域の上に表示されている円弧) の間に囲まれています。

幾何学において、円弧または円板部分（記号：⌓ ）とは、円板^[1]の残りの部分から直線によって「切り離された」領域である。この直線は割線と呼ばれ、円板内部の切断線は弦と呼ばれる。^[2]

より正式には、円セグメントは、円弧(慣例により π ラジアン未満) とその端点を結ぶ円弦によって囲まれた平面領域です。

公式

R を線分の周囲の一部を形成する円弧の半径、θをラジアンで表した円弧の中心角、 c を弦の長さ、s を円弧の長さ、h を線分の矢状面(高さ)、dを線分の遠心線、a を線分の面積とします。

通常、弦の長さと高さは既知または測定され、場合によっては円弧の長さも周囲長の一部として与えられます。未知数は面積と円弧の長さです。これらは弦の長さと高さから単純に計算することはできないため、通常は中間値である半径と中心角を最初に計算します。

半径と中心角

半径は次のとおりです。

${\displaystyle R={\tfrac {h}{2}}+{\tfrac {c^{2}}{8h}}}$^[3]

中心角は

${\displaystyle \theta =2\arcsin {\tfrac {c}{2R}}}$

弦の長さと高さ

弦の長さと高さは、半径と中心角から次のように逆計算できます。

弦の長さは

${\displaystyle c=2R\sin {\tfrac {\theta }{2}}=R{\sqrt {2(1-\cos \theta )}}}$

${\displaystyle c=2{\sqrt {R^{2}-(R-h)^{2}}}=2{\sqrt {2Rh-h^{2}}}}$

矢状面は

${\displaystyle h=R-{\sqrt {R^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}=R(1-\cos {\tfrac {\theta }{2}})=R\left(1-{\sqrt {\tfrac {1+\cos \theta }{2}}}\right)={\frac {c}{2}}\tan {\frac {\theta }{4}}}$

神格は​

${\displaystyle d=R-h={\sqrt {R^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}=R\cos {\tfrac {\theta }{2}}}$

弧の長さと面積

円弧の長さは、円の幾何学からわかるように、

${\displaystyle s={\theta }R}$

円弧の面積は、円弧の面積から三角形部分の面積を引いた値に等しくなります（2倍角の公式を使用して、次のように表されます）。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle a={\tfrac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\sin \theta \right)}$

cとRに関しては、

${\displaystyle a={\tfrac {R^{2}}{2}}\left(2\arcsin {\tfrac {c}{2R}}-\sin \left(2\arcsin {\tfrac {c}{2R}}\right)\right)=R^{2}\left(\arcsin {\frac {c}{2R}}-{\frac {c}{2R}}{\sqrt {1-\left({\frac {c}{2R}}\right)^{2}}}\right)}$

Rとhに関しては、

${\displaystyle a=R^{2}\arccos \left(1-{\frac {h}{R}}\right)-\left(R-h\right){\sqrt {2Rh-h^{2}}}}$

cとhに関しては、

${\displaystyle a=\left({\frac {c^{2}+4h^{2}}{8h}}\right)^{2}\arccos \left({\frac {c^{2}-4h^{2}}{c^{2}+4h^{2}}}\right)-{\frac {c}{16h}}(c^{2}-4h^{2})}$

中心角が小さくなる（あるいは半径が大きくなる）につれて、面積 a は急速に漸近的に に近づくと言える。 の場合、は実質的に良好な近似値となる。 ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}c\cdot h}$ ${\displaystyle \theta \ll 1}$ ${\displaystyle a={\tfrac {2}{3}}c\cdot h}$

が一定で半径が変化することを許容すると、 ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle {\frac {\partial a}{\partial s}}=R}$$

中心角がπに近づくと、線分の面積は半円の面積に収束するので、後者の面積からのデルタオフセットが適切な近似値となります。 ${\displaystyle {\tfrac {\pi R^{2}}{2}}}$

${\displaystyle a\approx {\tfrac {\pi R^{2}}{2}}-(R+{\tfrac {c}{2}})(R-h)}$h>.75 Rの場合

例えば、θ が約 2.31 ラジアン (132.3°) のとき、面積は円の 4 分の 1 になります。これは、高さが半径の約 59.6%、弦の長さが半径の約 183% に相当します。^{[説明が必要]}

その他の特性

周囲長p は弧の長さと弦の長さを加えたものです。

${\displaystyle p=c+s=c+\theta R}$

円全体の面積の割合:

${\displaystyle {\frac {a}{A}}={\frac {\theta -\sin \theta }{2\pi }}}$

アプリケーション

面積の公式は、水平に置かれた部分的に満たされた円筒形のタンクの容積を計算するときに使用できます。

丸い上部を持つ窓やドアの設計では、cとh が唯一の既知の値である可能性があり、製図者のコンパス設定のR を計算するために使用できます。

断片の弧の長さと弦の長さを測定することで、断片から完全な円形物体の完全な寸法を再構築することができます。

円形パターン上の穴位置を確認します。特に機械加工製品の品質検査に便利です。

円弧を含む平面図形の面積を計算したり、重心の位置を特定したりします。

参照

• 弦（幾何学）
• 球状キャップ
• 円形セクター

参考文献

1. 円と円板という言葉を区別します。円板は円を境界とする平面領域であり、円は境界自体を形成する閉曲線です。
2. これらの用語は、曲線と交差する直線を指します。この場合、曲線とは円板の境界を形成する円を指します。
3. 、、およびを直角三角形の要素としてピタゴラスの定理から直接導き出される 、、および の間の基本的な関係は次のとおりです。これは、必要に応じて、、またはについて解くことができます。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle c/2}$ ${\displaystyle R-h}$ ${\displaystyle R^{2}=({\tfrac {c}{2}})^{2}+(R-h)^{2}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle h}$

• ワイスタイン、エリック W.「円セグメント」。マスワールド。

外部リンク

• 円弧の定義 インタラクティブアニメーション付き
• 円弧の面積の公式（インタラクティブアニメーション付き）

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