選択原則

Rule in mathematics

選択原則の図解 ${\displaystyle {\text{S}}_{1}(\mathbf {A} ,\mathbf {B} )}$

数学において、選択原理とは、与えられた集合の列から要素を選択することで数学的に意味のある対象が得られる可能性を主張する規則である。選択原理の理論は、これらの原理と他の数学的性質との関係を研究する。選択原理は主に、 位相空間、特に関数空間における、カバー特性、測度論的特性、圏論的特性、局所特性 を記述する。選択原理を用いて数学的性質を特徴付けることは、しばしば容易ではない作業であり、特徴付けられた性質に関する新たな知見をもたらす。

主な選択原則

1924年、カール・メンガー^[1]は計量空間 の基底性質として、次のような性質を導入した。位相空間の基底には、その空間を覆う、直径が消失する集合の列が含まれる。その後まもなく、 ヴィトルド・ヒューレヴィッツ^{[2]は、メンガーの基底性質が、次のような選択性質と同値であることを指摘した。空間の}開被覆 の列ごとに、その列の各被覆から有限個の開集合を選択し、選択されたすべての集合の族が空間を覆うようにすることができる。この被覆性質を持つ位相空間は、メンガー空間と呼ばれる。

ヒューレヴィッツによるメンガーの性質の再定式化は、選択原理によって記述された最初の重要な 位相的性質であった。と を数学的対象の類とする。1996年、マリオン・シェーパーズ^[3]は 、多数の古典的な数学的性質を捉えた以下の選択仮説を提唱した。 ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

• ${\displaystyle {\text{S}}_{1}(\mathbf {A} ,\mathbf {B} )}$:クラス の要素のすべてのシーケンスに対して、となる要素が存在します。 ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {U}}_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle U_{1}\in {\mathcal {U}}_{1},U_{2}\in {\mathcal {U}}_{2},\dots }$ ${\displaystyle \{U_{n}:n\in \mathbb {N} \}\in \mathbf {B} }$
• ${\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {A} ,\mathbf {B} )}$:クラス の要素のすべてのシーケンスに対して、となる有限部分集合が存在します。 ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {U}}_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\subseteq {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {F}}_{2}\subseteq {\mathcal {U}}_{2},\dots }$ ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {F}}_{n}\in \mathbf {B} }$

クラスとが何らかの周囲空間の被覆から構成される場合、Scheepers は次の選択原理も導入しました。 ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

• ${\displaystyle {\text{U}}_{\text{fin}}(\mathbf {A} ,\mathbf {B} )}$:クラス の要素のすべてのシーケンス(いずれも有限部分カバーを含まない) に対して、となる有限部分集合が存在します。 ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {U}}_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\subseteq {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {F}}_{2}\subseteq {\mathcal {U}}_{2},\dots }$ ${\displaystyle \{\bigcup {\mathcal {F}}_{1},\bigcup {\mathcal {F}}_{2},\dotsc \}\in \mathbf {B} }$

その後、ボアズ・ツァバンは次のような関連原則が広く普及していることを確認しました。

• ${\displaystyle {\binom {\mathbf {A} }{\mathbf {B} }}}$: クラスのすべてのメンバーには、クラスのメンバーが含まれます。 ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

このように定義された概念は選択原理である。特定のクラスとを考慮することによって選択原理を具体化すると、選択（または選択的）特性が得られる。しかし、これらの用語は文献では互換的に使用されている。 ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

バリエーション

集合と の部分集合の族に対して、におけるのスターは集合 です。 ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\text{St}}(A,{\mathcal {F}})=\bigcup \{F\in {\mathcal {F}}:A\cap F\neq \emptyset \}}$

1999年にリュビサ・DR・コシナツは次のようなスター選択原則を導入した。^[4]

• ${\displaystyle {\text{S}}_{1}^{*}(\mathbf {A} ,\mathbf {B} )}$:クラス の要素のすべてのシーケンスに対して、となる要素が存在します。 ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {U}}_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle U_{1}\in {\mathcal {U}}_{1},U_{2}\in {\mathcal {U}}_{2},\dots }$ ${\displaystyle \{{\text{St}}(U_{n},{\mathcal {U}}_{n}):n\in \mathbb {N} \}\in \mathbf {B} }$
• ${\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}^{*}(\mathbf {A} ,\mathbf {B} )}$:クラス の要素のすべてのシーケンスに対して、となる有限部分集合が存在します。 ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {U}}_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\subseteq {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {F}}_{2}\subseteq {\mathcal {U}}_{2},\dots }$ ${\displaystyle \{{\text{St}}(\bigcup {\mathcal {F}}_{n},{\mathcal {U}}_{n}):n\in \mathbb {N} \}\in \mathbf {B} }$

スター選択原理は、一般的な選択原理の特殊なケースです。これは、ファミリーの定義を適宜変更することで確認できます。 ${\displaystyle \mathbf {B} }$

カバー特性

被覆特性は選択原理理論の中核を成す。被覆特性ではない選択特性は、関連する空間の選択被覆特性との含意を用いて研究されることが多い。

を位相空間とします。の開被覆は、その和が空間全体 となる開集合の族です。 技術的な理由から、空間全体が被覆の要素ではないことも要求します。空間 の開被覆の類は と表記されます 。(正式にはですが、通常、空間 は背景に固定されています。) 上記の Menger の性質は、したがって、 です。1942 年、Fritz Rothberger は Borel の強測度零集合を検討し、後にRothberger 空間( C空間とも呼ばれる) と呼ばれる位相的変分を導入しました。選択の表記法では、Rothberger の性質は の性質です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {O} }$ ${\displaystyle \mathbf {O} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$ ${\displaystyle ''}$ ${\displaystyle {\text{S}}_{1}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$

の開被覆は、それが無限個の元を持ち、かつすべての点が 有限個以外のすべての集合 に属するとき、点-余有限である。(このタイプの被覆は、ゲルリッツとナジが論文のあるリストの3番目の項目で考察した。リストはギリシャ文字で列挙されていたため、これらの被覆はしばしば-被覆と呼ばれる。) の点-余有限開被覆のクラスはで表される。位相空間がを満たすとき、それ はHurewicz 空間である。 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {\Gamma } }$ ${\displaystyle {\text{U}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } )}$

の開被覆が-被覆であるとは、 のすべての有限部分集合がのいずれかの元に含まれることを意味する。の -被覆の類は で表される。位相空間がを満たすとき、それ はγ-空間である。 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$ ${\displaystyle {\binom {\mathbf {\Omega } }{\mathbf {\Gamma } }}}$

スター選択仮説を使用することで、スターメンガー（）、スターロスバーガー（）、スターヒューレヴィッツ（ ）などの特性が得られます。 ${\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}^{*}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$ ${\displaystyle {\text{S}}_{1}^{*}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$ ${\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}^{*}(\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } )}$

シェーパーズ図

形式には、および に対して36 個の選択特性があります。そのうちのいくつかは自明です（すべての空間で成立するか、すべての空間で成立しない）。リンデレフ空間に着目すると、シェーパーズ図として知られる以下の図は、上記の形式の非自明な選択特性を示しており、^{[3] [5]}、すべての非自明な選択特性は図中のいずれか1つと等価です。矢印は含意を示します。 ${\displaystyle \Pi (\mathbf {A} ,\mathbf {B} )}$ ${\displaystyle \Pi \in \{{\text{S}}_{1},{\text{S}}_{\text{fin}},{\text{U}}_{\text{fin}},{\bigl (}~~{\bigr )}\}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \in \{\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } ,\mathbf {\Omega } \}}$

ローカルプロパティ

選択原則では、重要なローカル プロパティも取得されます。

を位相空間とし、 とする。空間内の集合のクラスで、閉包に点を含むものは で表される。クラスはクラス の可算な元から構成される。に収束する内の数列のクラスはで表される。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mathbf {\Omega _{y}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\Omega _{y}^{\text{ctbl}}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\Omega _{y}} }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mathbf {\Gamma _{y}} }$

• 空間がフレシェ・ウリゾーンであるのは、すべての点 に対してが満たされる場合のみです。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\binom {\mathbf {\Omega _{y}} }{\mathbf {\Gamma _{y}} }}}$ ${\displaystyle y\in Y}$
• 空間が強くフレシェ・ウリゾーン的であるためには、すべての点に対して が満たされる必要があります。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\text{S}}_{1}(\mathbf {\Omega _{y}} ,\mathbf {\Gamma _{y}} )}$ ${\displaystyle y\in Y}$
• 空間が可算な緊密性を持つのは、すべての点 に対してが満たされる場合のみです。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\binom {\mathbf {\Omega _{y}} }{\mathbf {\Omega _{y}^{\text{ctbl}}} }}}$ ${\displaystyle y\in Y}$
• 空間が可算なファンタイトネスを持つのは、すべての点に対してが満たされる場合のみです。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {\Omega _{y}} ,\mathbf {\Omega _{y}} )}$ ${\displaystyle y\in Y}$
• 空間が可算な強ファンタイトネスを持つのは、すべての点に対してが満たされる場合のみです。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\text{S}}_{1}(\mathbf {\Omega _{y}} ,\mathbf {\Omega _{y}} )}$ ${\displaystyle y\in Y}$

位相ゲーム

選択原理と位相ゲームの間には密接な関係があります。

メンガーゲーム

を位相空間とする。メンガーゲームは、アリスとボブという2人のプレイヤーが行うゲームである。このゲームは、自然数 ごとに1イニングずつ行われる。イニングにおいて、アリスはの開被覆を選択し、ボブはの有限部分集合を選択する。もし族が空間 の被覆であれば、ボブがゲームに勝つ。そうでなければ、アリスが勝つ。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{G}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n^{th}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {F}}_{n}}$ ${\displaystyle X}$

プレイヤーにとっての戦略とは、両プレイヤーの以前の動きに基づいて、自身の動きを決定する関数です。プレイヤーにとっての戦略とは、そのプレイヤーがその戦略を貫くたびに勝利する戦略です。

• 位相空間とは、アリスがこの空間でプレイするゲームで勝利戦略を持たない場合のみである。 ^{[2] [3]} ${\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$ ${\displaystyle {\text{G}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$
• を計量空間とする。ボブがこの空間上で行うゲームにおいて、その空間が-コンパクトであることと同値である。^{[6] [7]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{G}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma }$

リンデレフ空間のうち、計量化可能空間は正則空間および第2可算空間と同等であることに注意されたい。したがって、前述の結果は、限定情報戦略を考慮することによっても得られる可能性がある。[ ^8]マルコフ戦略は、対戦相手の最新の動きと現在のラウンド番号のみを使用する戦略である。

• を正則空間とする。ボブが空間上で行われるゲームにおいて、空間が -コンパクトである場合にのみ、勝利のマルコフ戦略を持つ。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{G}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma }$
• を第二可算空間とする。ボブがこの空間でプレイするゲームにおいて、完全情報戦略で勝てる場合と同値である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{G}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$ ${\displaystyle X}$

同様に、与えられたシェーパーズ図から他の選択原理に対するゲームを定義する。これらのすべての場合において、位相空間がシェーパーズ図から得られる性質を持つのは、アリスが対応するゲームにおいて勝利戦略を持たない場合のみである^[9] 。しかし、これは一般には成立しない。空間のk被覆族をk被覆族とする。つまり、空間内のすべてのコンパクト集合が被覆の何らかの要素によって覆われるような空間である。フランシス・ジョーダンは、選択原理が成立するが、アリスがゲームにおいて勝利戦略を持つ空間を示した^[10]。 ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle {\text{S}}_{1}(\mathbf {K} ,\mathbf {O} )}$ ${\displaystyle {\text{G}}_{1}(\mathbf {K} ,\mathbf {O} )}$

例と特性

• すべての空間はリンデレフ空間です。 ${\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$
• すべてのσ-コンパクト空間（コンパクト空間の可算な和）は です。 ${\displaystyle {\text{U}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } )}$
• ${\displaystyle {\binom {\mathbf {\Omega } }{\mathbf {\Gamma } }}\Rightarrow {\text{U}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } )\Rightarrow {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$。
• ${\displaystyle {\binom {\mathbf {\Omega } }{\mathbf {\Gamma } }}\Rightarrow {\text{S}}_{1}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )\Rightarrow {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$。
• 連続体仮説を仮定すると、上記の意味が覆せないことを証明する実数の集合が存在します。^[5]
• あらゆるルージン集合はそうではない。^{[11] [12]} ${\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$ ${\displaystyle {\text{U}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } )}$
• シェルピンスキーのセットはすべてフレヴィチです。^[13]

選択原理の性質を持つ実数直線の部分集合（誘導部分空間位相）は、特にメンガー空間とヒューレヴィツ空間において、ベール空間における連続像によって特徴付けられる。関数 について、有限個の自然数 を除くすべての自然数 に対してとなる場合、と書く。を の部分集合とする。集合が有界であるとは、すべての関数 に対してとなる関数が存在することである。集合 が支配的であるとは、各関数 に対して となる関数が存在することである。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle f,g\in \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle f\leq ^{*}g}$ ${\displaystyle f(n)\leq g(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle g\in \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle f\leq ^{*}g}$ ${\displaystyle f\in A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f\in \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle g\in A}$ ${\displaystyle f\leq ^{*}g}$

• 実数直線の部分集合とは、その空間のベール空間への連続像がすべて支配的でない場合に限ります。^[14] ${\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$
• 実数直線の部分集合とは、その空間のベール空間への連続像がすべて有界である場合に限ります。^[14] ${\displaystyle {\text{U}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } )}$

他の分野とのつながり

一般的な位相幾何学

• あらゆる空間はD空間である。^[15] ${\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$

P を空間の性質とする。ある空間が生成的に Pであるとは、性質Pを持つ各空間に対して、その積空間が性質Pを持つことを意味する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$

• すべての可分な生産的パラコンパクト空間は です。 ${\displaystyle {\text{U}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } )}$
• 連続体仮説を仮定すると、すべての生産的リンデレフ空間は生産的^[16] ${\displaystyle {\text{U}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } )}$
• を実数直線の部分集合とし、を実数直線の希薄部分集合とする。すると、集合は希薄である。^[17] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\binom {\mathbf {\Omega } }{\mathbf {\Gamma } }}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A+M=\{a+x:a\in A,x\in M\}}$

測度論

• 実数直線上の任意の部分集合は強測度零集合である。[ 11 ^] ${\displaystyle {\text{S}}_{1}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )}$

機能スペース

をティコノフ空間とし、を点収束位相を持つ連続関数の空間とします。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle X}$が強いフレシェ・ウリゾーンである場合、かつその場合に限り、強いフレシェ・ウリゾーンである。^[18] ${\displaystyle {\binom {\mathbf {\Omega } }{\mathbf {\Gamma } }}}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle C(X)}$
• ${\displaystyle X}$が満たすべき条件は、可算な強いファンタイトネスを持つ場合である。^[19] ${\displaystyle {\text{S}}_{1}(\mathbf {\Omega } ,\mathbf {\Omega } )}$ ${\displaystyle C(X)}$
• ${\displaystyle X}$が満たされるとき、そしてそれが可算なファンタイトネスを持つときのみ。^{[20] [5]} ${\displaystyle {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {\Omega } ,\mathbf {\Omega } )}$ ${\displaystyle C(X)}$

参照

• コンパクトなスペース
• シグマコンパクト
• メンガー空間
• ヒューレヴィッツ空間
• ロスバーガー空間

参考文献

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