自己随伴演算子

数学において、内積を持つ複素ベクトル空間上の自己随伴作用素は、（からそれ自身への）線型写像であり、それ自体が随伴である。すなわち、すべてのに対してである。が与えられた直交基底を持つ有限次元である場合、これはの行列がエルミート行列であるという条件と同等である、すなわち、その共役転置に等しい。有限次元スペクトル定理により、は直交基底を持ち、この基底を基準とするの行列は、実数を要素とする対角行列になる。この記事では、この概念の一般化を任意次元のヒルベルト空間上の作用素に適用することについて述べる。 $V$ $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ $A$ $V$ $\langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle$ $x,y\in V$ $V$ $A$ $A^{*}$ $V$ $A$

自己随伴作用素は関数解析と量子力学で用いられる。量子力学において、その重要性はディラック・フォン・ノイマン定式化にある。この定式化では、位置、運動量、角運動量、スピンといった物理量がヒルベルト空間上の自己随伴作用素として表現される。特に重要なのは、次式で定義されるハミルトニアン作用素である。 ${\hat {H}}$

{\hat {H}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi ,

これは観測量として、実ポテンシャル場における質量を持つ粒子の全エネルギーに対応する。微分作用素は非有界作用素の重要なクラスである。 $m$ $V$

無限次元ヒルベルト空間上の自己随伴作用素の構造は、本質的に有限次元の場合と類似している。すなわち、作用素が自己随伴的であるためには、それらが実数値乗算作用素とユニタリ同値でなければならない。適切な修正を加えることで、この結果は無限次元空間上の非有界な作用素にも拡張できる。あらゆる場所で定義された自己随伴作用素は必然的に有界であるため、非有界な場合の定義域の問題にはより注意を払う必要がある。これについては以下でより詳しく説明する。

定義

をヒルベルト空間とし、稠密な領域を持つ有界でない（つまり必ずしも有界ではない）線型作用素とします。この条件は、有限次元空間上のすべての線型作用素に対してとなるため、が有限次元のときに自動的に成立します。 $H$ $A$ $\operatorname {Dom} A\subseteq H.$ $H$ $\operatorname {Dom} A=H$

（任意の）作用素のグラフは集合である。作用素が拡張されると言われるのは^[1]である。これは次のように書かれる。 $A$ $G(A)=\{(x,Ax)\mid x\in \operatorname {Dom} A\}.$ $B$ $A$ $G(A)\subseteq G(B).$ $A\subseteq B.$

内積は第二引数に関して共役線形であるとする。随伴作用素は、以下の要素から成る部分空間に作用する。 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ $A^{*}$ $\operatorname {Dom} A^{*}\subseteq H$ $y$

\langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle ,\quad \forall x\in \operatorname {Dom} A.

稠密に定義された演算子は、、すなわちかつすべてのに対してであるとき、対称（またはエルミート）と呼ばれます。同様に、が対称であることは、 $A$ $A\subseteq A^{*}$ $\operatorname {Dom} A\subseteq \operatorname {Dom} A^{*}$ $Ax=A^{*}x$ $x\in \operatorname {Dom} A$ $A$

\langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle ,\quad \forall x,y\in \operatorname {Dom} A.

はに稠密なので、対称演算子は常に閉包可能である（つまり、の閉包は演算子のグラフである）。^[2]がの閉拡大である場合、の最小の閉拡大はに含まれなければならない。したがって、 $\operatorname {Dom} A^{*}\supseteq \operatorname {Dom} A$ $H$ $G(A)$ $A^{*}$ $A$ $A^{**}$ $A$ $A^{*}$

A\subseteq A^{**}\subseteq A^{*}

対称演算子と

A=A^{**}\subseteq A^{*}

閉じた対称演算子の場合。^[3]

稠密に定義された作用素は、が対称での場合に限り自己随伴である。同様に、閉じた対称作用素が自己随伴であるのは、が対称である場合に限ります。が自己随伴であるならば、はすべてのに対して実数であり、すなわち、^[4] $A$ $A=A^{*}$ $A$ $\operatorname {Dom} A=\operatorname {Dom} A^{*}$ $A$ $A^{*}$ $A$ $\left\langle x,Ax\right\rangle$ $x\in \operatorname {Dom} A$

\langle x,Ax\rangle ={\overline {\langle Ax,x\rangle }}={\overline {\langle x,Ax\rangle }}\in \mathbb {R} ,\quad \forall x\in \operatorname {Dom} A.

対称作用素は、の閉包が自己随伴であるとき、本質的に自己随伴であるといわれます。同様に、が本質的に自己随伴であるとは、が一意の自己随伴拡大を持つときです。実際上、本質的に自己随伴である作用素を持つことは、自己随伴である作用素を持つこととほぼ同じです。なぜなら、自己随伴作用素を得るには閉包を取るだけでよいからです。 $A$ $A$ $A$

物理学において、「エルミート」という用語は、対称作用素と自己随伴作用素の両方を指します。この2つの微妙な違いは、しばしば見過ごされがちです。

有界自己随伴作用素

をヒルベルト空間とし、対称作用素とする。ヘリンガー・テプリッツの定理によれば、が有界であれば、は必ず有界となる。^[5]有界作用素が自己随伴であるとは、 $H$ $A:\operatorname {Dom} (A)\to H$ $\operatorname {Dom} (A)=H$ $A$ $A:H\to H$

\langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle ,\quad \forall x,y\in H.

あらゆる有界演算子は複素形式で書くことができ、ここでと有界自己随伴演算子である。^[6] $T:H\to H$ $T=A+iB$ $A:H\to H$ $B:H\to H$

あるいは、ヒルベルト空間が複素数であれば、すべての正の有界線型作用素は自己随伴である。 [ 7 ^] $A:H\to H$ $H$

プロパティ

で定義される有界自己随伴作用素は次のような性質を持つ: ^[8]^[9] $A:H\to H$ $\operatorname {Dom} \left(A\right)=H$

$A:H\to \operatorname {Im} A\subseteq H$ の像が稠密であれば可逆である $A$ $H.$
演算子ノルムは次のように与えられる。 $\left\|A\right\|=\sup \left\{|\langle x,Ax\rangle |:\|x\|=1\right\}$
がの固有値である場合、 ; 固有値は実数であり、対応する固有ベクトルは直交します。 $\lambda$ $A$ $|\lambda |\leq \sup \left\{|\langle x,Ax\rangle |:\|x\|\leq 1\right\}$

有界自己随伴作用素は必ずしも固有値を持たない。しかし、がコンパクト自己随伴作用素である場合、それは常に固有値とそれに対応する正規化固有ベクトルを持つ。^[10] $A$ $|\lambda |=\|A\|$

自己随伴作用素のスペクトル

を非有界作用素とする。[ ^11]の解決集合（または正規集合）は次のように定義される。 $A:\operatorname {Dom} (A)\to H$ $A$

\rho (A)=\left\{\lambda \in \mathbb {C} \,:\,\exists (A-\lambda I)^{-1}\;{\text{bounded and densely defined}}\right\}.

が有界ならば、定義はに単射となる。のスペクトルは補集合として定義される。 $A$ $A-\lambda I$ $H$ $A$

\sigma (A)=\mathbb {C} \setminus \rho (A).

有限次元では、（複素）固有値のみで構成されます。^[12]自己随伴演算子のスペクトルは常に実数（つまり）ですが、実スペクトルを持つ非自己随伴演算子も存在します。^[13]^[14]ただし、有界（正規）演算子の場合、スペクトルが実数になるのは、演算子が自己随伴である場合のみです。 ^[15]これは、たとえば、実スペクトルを持つ非自己随伴演算子は必然的に有界ではないことを意味します。 $\sigma (A)\subseteq \mathbb {C}$ $\sigma (A)\subseteq \mathbb {R}$

予備として、とをで定義します。すると、すべてのとすべてのに対して、 $S=\{x\in \operatorname {Dom} A\mid \Vert x\Vert =1\},$ $\textstyle m=\inf _{x\in S}\langle Ax,x\rangle$ $\textstyle M=\sup _{x\in S}\langle Ax,x\rangle$ $m,M\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ $\lambda \in \mathbb {C}$ $x\in \operatorname {Dom} A,$

\Vert (A-\lambda )x\Vert \geq d(\lambda )\cdot \Vert x\Vert ,

どこ $\textstyle d(\lambda )=\inf _{r\in [m,M]}|r-\lambda |.$

実際、コーシー・シュワルツの不等式により、 $x\in \operatorname {Dom} A\setminus \{0\}.$

\Vert (A-\lambda )x\Vert \geq {\frac {|\langle (A-\lambda )x,x\rangle |}{\Vert x\Vert }}=\left|\left\langle A{\frac {x}{\Vert x\Vert }},{\frac {x}{\Vert x\Vert }}\right\rangle -\lambda \right|\cdot \Vert x\Vert \geq d(\lambda )\cdot \Vert x\Vert .

の場合、は以下に有界であるといわれます。 $\lambda \notin [m,M],$ $d(\lambda )>0,$ $A-\lambda I$

定理—自己随伴作用素は実スペクトルを持つ

証拠

を自己随伴とし、と表記する。次のことを証明すれば十分である。 $A$ $R_{\lambda }=A-\lambda I$ $\lambda \in \mathbb {C} .$ $\sigma (A)\subseteq [m,M].$

目標は、の存在と有界性を証明し、であることを証明することである。まず、であることを示し、 $\lambda \in \mathbb {C} \setminus [m,M].$ $R_{\lambda }^{-1},$ $\operatorname {Dom} R_{\lambda }^{-1}=H.$ $\ker R_{\lambda }=\{0\}$ $\operatorname {Im} R_{\lambda }=H.$
1. 上で示したように、は下に制限されます。つまり、の自明性は次のようになります。 $R_{\lambda }$ $\Vert R_{\lambda }x\Vert \geq d(\lambda )\cdot \Vert x\Vert ,$ $d(\lambda )>0.$ $\ker R_{\lambda }$
2. 残っているのは、確かに、 $\operatorname {Im} R_{\lambda }=H.$
  1. $\operatorname {Im} R_{\lambda }$ は閉じている。これを証明するには、あるに収束する列を選ぶ。は基本であるから。したがって、それはあるに収束する。さらに、そしてこれまでの議論は任意の対称作用素に対して成り立つ。自己随伴性からは閉じていることが導かれるので、したがって $y_{n}=R_{\lambda }x_{n}\in \operatorname {Im} R_{\lambda }$ $y\in H.$ $\|x_{n}-x_{m}\|\leq {\frac {1}{d(\lambda )}}\|y_{n}-y_{m}\|,$ $x_{n}$ $x\in H.$ $y_{n}+\lambda x_{n}=Ax_{n}$ $y_{n}+\lambda x_{n}\to y+\lambda x.$ $A$ $x\in \operatorname {Dom} A=\operatorname {Dom} R_{\lambda },$ $Ax=y+\lambda x\in \operatorname {Im} A,$ $y=R_{\lambda }x\in \operatorname {Im} R_{\lambda }.$
  2. $\operatorname {Im} R_{\lambda }$ はに稠密である。の自己随伴性(すなわち) はを意味し、したがってである。それに続く包含はを意味し、したがって、 $H.$ $A$ $A^{*}=A$ $R_{\lambda }^{*}=R_{\bar {\lambda }}$ $\left(\operatorname {Im} R_{\lambda }\right)^{\perp }=\ker R_{\bar {\lambda }}$ ${\bar {\lambda }}\in \mathbb {C} \setminus [m,M]$ $d({\bar {\lambda }})>0$ $\ker R_{\bar {\lambda }}=\{0\}.$
演算子は単射であることが証明されたので、存在し、どこでも定義されます。のグラフは集合です。は閉じているので（なぜなら）、です。閉グラフ定理により、は有界なので、 $R_{\lambda }\colon \operatorname {Dom} A\to H$ $R_{\lambda }^{-1}$ $R_{\lambda }^{-1}$ $\{(R_{\lambda }x,x)\mid x\in \operatorname {Dom} A\}.$ $R_{\lambda }$ $A$ $R_{\lambda }^{-1}.$ $R_{\lambda }^{-1}$ $\lambda \notin \sigma (A).$

定理-実スペクトルを持つ対称作用素は自己随伴である

証拠

$A$ は対称なので、任意のに対してとなります。との場合には、演算子は両方とも一対一です。 $A\subseteq A^{*}$ $A-\lambda I\subseteq A^{*}-\lambda I$ $\lambda \in \mathbb {C}$ $\sigma (A)\subseteq [m,M].$ $\lambda \notin [m,M]$ ${\bar {\lambda }}\notin [m,M]$ $\{A-\lambda I,A-{\bar {\lambda }}I\}:\operatorname {Dom} A\to H$
$A-\lambda I=A^{*}-\lambda I.$ 確かに、。つまり、の場合、は単射ではない（すなわち）。しかし、であり、したがってである。これは単射性と矛盾する。 $H=\operatorname {Im} (A-\lambda I)\subseteq \operatorname {Im} (A^{*}-\lambda I)$ $\operatorname {Dom} (A-\lambda I)\subsetneq \operatorname {Dom} (A^{*}-\lambda I)$ $A^{*}-\lambda I$ $\ker(A^{*}-\lambda I)\neq \{0\}$ $\operatorname {Im} (A-{\bar {\lambda }}I)^{\perp }=\ker(A^{*}-\lambda I)$ $\operatorname {Im} (A-{\bar {\lambda }}I)\neq H.$
この等式は、 ieが自己随伴であることを示しています。実際、すべてのとについて、 $A-\lambda I=A^{*}-\lambda I$ $A=A^{*},$ $A$ $A^{*}\subseteq A.$ $x\in \operatorname {Dom} A^{*}$ $y=A^{*}x,$ $A^{*}x=y\Leftrightarrow (A^{*}-\lambda I)x=y-\lambda x\Leftrightarrow (A-\lambda I)x=y-\lambda x\Leftrightarrow Ax=y.$

スペクトル定理

物理学の文献では、スペクトル定理はしばしば、自己随伴作用素が固有ベクトルの正規直交基底を持つと述べて述べられる。しかしながら、物理学者は「連続スペクトル」という現象をよく知っている。したがって、「正規直交基底」について語る場合、彼らは古典的な意味での正規直交基底、あるいはその連続的な類似物のいずれかを意味する。例えば、運動量作用素の場合、物理学者は固有ベクトルは関数であると言うだろうが、これは明らかにヒルベルト空間には存在しない。（物理学者は固有ベクトルは「正規化不可能」であると言うだろう。）そして物理学者は、これらの「一般化固有ベクトル」は、通常のクロネッカーデルタをディラックデルタ関数に置き換えた後、の「連続的な意味での正規直交基底」を形成すると言うだろう。^[16] ${\textstyle P=-i{\frac {d}{dx}}}$ $f_{p}(x):=e^{ipx}$ $L^{2}(\mathbb {R} )$ $L^{2}(\mathbb {R} )$ $\delta _{i,j}$ $\delta \left(p-p'\right)$

これらの記述は数学者にとって当惑させるかもしれないが、フーリエ変換を用いることで厳密に表現することができる。フーリエ変換では、一般関数を、これらの関数がに含まれない場合でも、関数の「重ね合わせ」（すなわち積分）として表すことができる。フーリエ変換は運動量演算子を「対角化」する。つまり、運動量演算子を（はフーリエ変換の変数）を掛け合わせた演算子に変換する。 $L^{2}$ $e^{ipx}$ $L^{2}$ $p$ $p$

スペクトル定理は一般に、作用素が乗算作用素とユニタリ同値であることを示すことによって、作用素を「対角化」する可能性として同様に表現できる。スペクトル定理の他のバージョンも同様に、自己随伴作用素が、問題のヒルベルト空間に実際には存在しない「固有ベクトル」を持つ可能性があるという考えを捉えることを意図している。

スペクトル定理の乗算演算子形式

まず、をσ 有限測度空間とし、上の可測関数とする。すると、によって定義される演算子は、 $(X,\Sigma ,\mu )$ $h:X\to \mathbb {R}$ $X$ $T_{h}:\operatorname {Dom} T_{h}\to L^{2}(X,\mu )$

T_{h}\psi (x)=h(x)\psi (x),\quad \forall \psi \in \operatorname {Dom} T_{h},

どこ

\operatorname {Dom} T_{h}:=\left\{\psi \in L^{2}(X,\mu )\;|\;h\psi \in L^{2}(X,\mu )\right\},

は乗算演算子と呼ばれます。^[17]任意の乗算演算子は自己随伴演算子です。^[18]

第二に、ヒルベルト空間とにおける稠密領域を持つ二つの作用素とがユニタリ同値であるための必要十分条件は、次のユニタリ変換が存在することである：^[19] $A$ $B$ $\operatorname {Dom} A\subseteq H_{1}$ $\operatorname {Dom} B\subseteq H_{2}$ $H_{1}$ $H_{2}$ $U:H_{1}\to H_{2}$

$U\operatorname {Dom} A=\operatorname {Dom} B,$
$UAU^{-1}\xi =B\xi ,\quad \forall \xi \in \operatorname {Dom} B.$

ユニタリ同値でとが有界である場合、となります。が自己随伴である場合、も自己随伴となります。 $A$ $B$ $\|A\|_{H_{1}}=\|B\|_{H_{2}}$ $A$ $B$

定理—可分ヒルベルト空間上の任意の自己随伴作用素は、乗算作用素とユニタリ同値である。すなわち、^[20] $A$

UAU^{-1}\psi (x)=h(x)\psi (x),\quad \forall \psi \in U\operatorname {Dom} (A)

スペクトル定理は、有界および非有界自己随伴作用素の両方に対して成立する。後者の証明は、ユニタリ作用素に対するスペクトル定理への還元によって得られる。^[21]がによるの乗算である場合、のスペクトルはの本質的な範囲にちょうど一致することに注意されたい。 $T$ $h$ $T$ $h$

スペクトル定理のより完全なバージョンも存在し、直接積分を含み、「一般化固有ベクトル」の概念を伴う。^[22]

関数微積分

スペクトル定理の応用の一つは、関数計算を定義することである。つまり、が実数直線上の関数であり、が自己随伴作用素であるとき、という作用素を定義する。スペクトル定理は、がによる乗算の作用素として表されるとき、がによる合成の乗算の作用素であることを示す。 $f$ $T$ $f(T)$ $T$ $h$ $f(T)$ $f\circ h$

量子力学における一つの例として、がハミルトン作用素である場合が挙げられます。が固有値を持つ固有ベクトルの真の直交基底を持つ場合、は固有値を持つ唯一の有界作用素として定義でき、その固有値は以下のようになります。 $T$ ${\hat {H}}$ ${\hat {H}}$ $e_{j}$ $\lambda _{j}$ $f({\hat {H}}):=e^{-it{\hat {H}}/\hbar }$ $f(\lambda _{j}):=e^{-it\lambda _{j}/\hbar }$

f({\hat {H}})e_{j}=f(\lambda _{j})e_{j}.

関数計算の目標は、この考え方を、が連続スペクトルを持つ場合（つまり、が正規化可能な固有ベクトルを持たない場合）に拡張することです。 $T$ $T$

次のような表記法を導入するのが慣例となっている。

\operatorname {E} (\lambda )=\mathbf {1} _{(-\infty ,\lambda ]}(T)

ここでは区間の指示関数である。射影作用素 E(λ) の族はTの恒等式の分解と呼ばれる。さらに、 Tのスティルチェス積分表現は次の式で表される。 $\mathbf {1} _{(-\infty ,\lambda ]}$ $(-\infty ,\lambda ]$

T=\int _{-\infty }^{+\infty }\lambda d\operatorname {E} (\lambda ).

物理学文献における定式化

量子力学では、ディラック記法はスペクトル定理とボレル関数計算の両方の複合表現として用いられる。つまり、Hが自己随伴でfがボレル関数であるとき、

f(H)=\int dE\left|\Psi _{E}\rangle f(E)\langle \Psi _{E}\right|

と

H\left|\Psi _{E}\right\rangle =E\left|\Psi _{E}\right\rangle

ここで、積分はHのスペクトル全体にわたります。表記は、H が固有ベクトル Ψ _Eによって対角化されることを示唆しています。このような表記は純粋に形式的です。恒等式の解決 (射影値測度と呼ばれることもある) は、ランク 1 射影に形式的に似ています。ディラック表記では、(射影)測定は、両方とも純粋に形式的なオブジェクトである固有値と固有状態によって記述されます。予想どおり、これは恒等式の解決に進むと消えてしまいます。後者の定式化では、システムが測定前にで準備されている場合、測定はのスペクトル測度を使用して記述されます。あるいは、固有状態の概念を保存してそれを単なる形式ではなく厳密にしたい場合は、状態空間を適切なリグされたヒルベルト空間で置き換えることができます。 $\left|\Psi _{E}\right\rangle \left\langle \Psi _{E}\right|$ $|\Psi \rangle$ $|\Psi \rangle$

f = 1の場合、この定理は「単位元の分解」と呼ばれます。

I=\int dE\left|\Psi _{E}\right\rangle \left\langle \Psi _{E}\right|

がエルミートHと歪エルミート（歪エルミート行列を参照）演算子の和である場合、双直交基底関数を定義する。 $H_{\text{eff}}=H-i\Gamma$ $-i\Gamma$

H_{\text{eff}}^{*}\left|\Psi _{E}^{*}\right\rangle =E^{*}\left|\Psi _{E}^{*}\right\rangle

スペクトル定理は次のように書きます。

f\left(H_{\text{eff}}\right)=\int dE\left|\Psi _{E}\right\rangle f(E)\left\langle \Psi _{E}^{*}\right|

(このような演算子が散乱理論で現れる文脈については、フェシュバッハ-ファノ分割を参照してください)。

対称演算子の定式化

スペクトル定理は自己随伴作用素にのみ適用され、対称作用素には一般には適用されない。しかしながら、この時点で、固有ベクトルの直交基底を持つ対称作用素（具体的には本質的に自己随伴な）の簡単な例を示すことができる。複素ヒルベルト空間L ² [0,1]と微分作用素を考える。

A=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}

は[0, 1]上のすべての複素数値無限微分可能関数fから成り、境界条件を満たす。 $\mathrm {Dom} (A)$

f(0)=f(1)=0.

すると、内積の部分積分により、 Aは対称であることが示される。^[注1]Aの固有関数は正弦波である。

f_{n}(x)=\sin(n\pi x)\qquad n=1,2,\ldots

実固有値はn ² π ²です。正弦関数のよく知られた直交性は、Aが対称であることの結果として生じます。

作用素Aにはコンパクトな逆作用素が存在することが分かる。つまり、対応する微分方程式Af = gは、何らかの積分（したがってコンパクトな）作用素Gによって解かれる。すると、コンパクト対称作用素G は、 $L 2$ において完備な固有ベクトルの可算な族を持つ。Aについても同様である。

純粋な点スペクトル

H上の自己随伴演算子Aが純粋な点スペクトルを持つのは、 HがAの固有ベクトルからなる直交基底{ e _i } _i_{∈ Iを}持つ場合のみです。

例: 調和振動子のハミルトニアンは2次ポテンシャルVを持ち、

-\Delta +|x|^{2}.

このハミルトニアンは純粋な点スペクトルを持ち、これは量子力学における束縛状態ハミルトニアンの典型である。 ^{[説明が必要]}^[23]前の例で指摘したように、非有界対称演算子がヒルベルト空間基底を形成する固有ベクトルを持つための十分な条件は、コンパクトな逆演算子を持つことである。

対称演算子と自己随伴演算子

対称作用素と（本質的に）自己随伴作用素の区別は微妙ですが、自己随伴性はスペクトル定理における仮定であるため、重要です。ここでは、この区別の具体的な例をいくつか挙げます。

境界条件

ヒルベルト空間が有界領域上の関数の空間である場合、これらの区別は量子物理学におけるよく知られた問題と関係している。すなわち、境界条件を指定せずに、運動量演算子やハミルトン演算子などの演算子を有界領域上で定義することはできない。数学的に言えば、境界条件を選択することは、演算子の適切な領域を選択することに相当する。例えば、ヒルベルト空間（区間[0,1]上の2乗可積分関数の空間）を考えてみよう。プランク定数を1として、通常の公式を用いてこの空間上の運動量演算子Aを定義しよう。 $L^{2}([0,1])$

Af=-i{\frac {df}{dx}}.

ここで、 Aの領域を指定する必要があります。これは境界条件を選択することを意味します。

\operatorname {Dom} (A)=\left\{{\text{smooth functions}}\right\},

Aは対称ではありません (部分積分の境界項が消えないため)。

もし私たちが選ぶなら

\operatorname {Dom} (A)=\left\{{\text{smooth functions}}\,f\mid f(0)=f(1)=0\right\},

部分積分を用いることで、Aが対称であることは容易に検証できる。しかし、この演算子は本質的には自己随伴ではない^{[24]。これは主に、}Aの領域に境界条件を過剰に指定したため、随伴演算子の領域が大きくなりすぎているためである（以下の例も参照）。

具体的には、Aの定義域を上記のように選択すると、 Aの閉包の定義域は次のようになる。 $A^{\mathrm {cl} }$

\operatorname {Dom} \left(A^{\mathrm {cl} }\right)=\left\{{\text{functions }}f{\text{ with two derivatives in }}L^{2}\mid f(0)=f(1)=0\right\},

一方、 Aの随伴関数の定義域は $A^{*}$

\operatorname {Dom} \left(A^{*}\right)=\left\{{\text{functions }}f{\text{ with two derivatives in }}L^{2}\right\}.

つまり、閉包の領域はA自体の領域と同じ境界条件を持ちますが、滑らかさの仮定が緩いだけです。一方、Aには「多すぎる」境界条件があるため、には「少なすぎる」（実際にはこの場合は全くない）境界条件があります。部分積分を用いてを計算すると、は区間の両端でゼロになるため、部分積分の境界項を打ち消すためのの境界条件は不要です。したがって、十分に滑らかな関数はの領域にあり、となります。^[25] $A^{*}$ $\langle g,Af\rangle$ $f\in \operatorname {Dom} (A)$ $f$ $g$ $g$ $A^{*}$ $A^{*}g=-i\,dg/dx$

閉包の領域と随伴の領域が一致しないため、Aは本質的に自己随伴ではない。結局のところ、一般的な帰結として、随伴の領域はAの随伴の領域と同じである。したがって、この場合、随伴の領域は自身の領域よりも大きく、が自己随伴ではないことを示している。これは定義により、Aが本質的に自己随伴ではないことを意味する。 $A^{\mathrm {cl} }$ $A^{\mathrm {cl} }$ $A^{\mathrm {cl} }$ $A^{\mathrm {cl} }$

前述の例の問題点は、 Aの領域に課した境界条件が多すぎることです。より良い領域選択としては、周期境界条件を用いるのがよいでしょう。

\operatorname {Dom} (A)=\{{\text{smooth functions}}\,f\mid f(0)=f(1)\}.

この領域では、Aは本質的に自己随伴である。^[26]

この場合、領域の問題がスペクトル定理に及ぼす影響を理解できます。最初に選択した領域（境界条件なし）を使用する場合、のすべての関数は固有ベクトルであり、固有値はなので、スペクトルは複素平面全体になります。 2 番目に選択した領域（ディリクレ境界条件あり）を使用する場合、A には固有ベクトルがまったくありません。 3 番目に選択した領域（周期境界条件あり）を使用する場合、Aの固有ベクトルの直交基底、つまり関数を見つけることができます。したがって、この場合、 Aが自己随伴となるような領域を見つけることは妥協です。領域は、 Aが対称となるように十分小さく、となるように十分大きくする必要があります。 $f_{\beta }(x)=e^{\beta x}$ $\beta \in \mathbb {C}$ $-i\beta$ $f_{n}(x):=e^{2\pi inx}$ $D(A^{*})=D(A)$

特異ポテンシャルを持つシュレーディンガー作用素

対称作用素と（本質的に）自己随伴作用素との区別に関するより微妙な例は、量子力学におけるシュレーディンガー作用素から得られる。ポテンシャルエネルギーが特異値である場合、特にポテンシャルが下方に非有界である場合、関連するシュレーディンガー作用素は本質的に自己随伴ではなくなる可能性がある。例えば、1次元では、作用素

{\hat {H}}:={\frac {P^{2}}{2m}}-X^{4}

は、滑らかで急速に減衰する関数の空間上で本質的に自己随伴ではない。^[27]この場合、本質的な自己随伴性の破綻は、基礎となる古典系における病理を反映している。すなわち、ポテンシャルを持つ古典粒子は有限時間内に無限遠に逃避する。この作用素は一意な自己随伴を持たないが、「無限遠における境界条件」を指定することによって得られる自己随伴拡張を許容する。（は実作用素であるため、複素共役と可換である。したがって、欠陥指数は自動的に等しくなり、これが自己随伴拡張を持つための条件である。） $-x^{4}$ ${\hat {H}}$

この場合、滑らかで急速に減衰する関数の空間で最初に定義すると、随伴関数は「同じ」演算子（つまり、同じ式で与えられる）になりますが、最大の可能な領域、つまり ${\hat {H}}$

\operatorname {Dom} \left({\hat {H}}^{*}\right)=\left\{{\text{twice differentiable functions }}f\in L^{2}(\mathbb {R} )\left|\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}-x^{4}f(x)\right)\in L^{2}(\mathbb {R} )\right.\right\}.

すると、が対称演算子ではないことが示され、これは確かにが本質的に自己随伴ではないことを意味します。実際、は純虚数固有値を持つ固有ベクトルを持ちますが、^[28]^{[29] 、}これは対称演算子ではあり得ません。この奇妙な現象は、の 2 つの項の間のキャンセルによって可能になります。の領域には、もも単独でには含まれない関数がありますが、に現れるそれらの組み合わせはに含まれます。これにより、とがどちらも対称演算子であるにもかかわらず、が非対称になることが可能になります。このようなキャンセルは、反発ポテンシャルを閉じ込めポテンシャルに置き換えた場合は発生しません。 ${\hat {H}}^{*}$ ${\hat {H}}$ ${\hat {H}}^{*}$ ${\hat {H}}^{*}$ $f$ ${\hat {H}}^{*}$ $d^{2}f/dx^{2}$ $x^{4}f(x)$ $L^{2}(\mathbb {R} )$ ${\hat {H}}^{*}$ $L^{2}(\mathbb {R} )$ ${\hat {H}}^{*}$ $d^{2}/dx^{2}$ $X^{4}$ $-x^{4}$ $x^{4}$

量子力学における非自己随伴作用素

量子力学において、観測量は自己随伴作用素に対応する。1パラメータユニタリ群に関するストーンの定理によれば、自己随伴作用素はまさに時間発展作用素のユニタリ群の無限小生成子である。しかしながら、多くの物理的問題は、ハミルトニアンが対称性を持つ微分作用素を含む時間発展方程式として定式化される。このような場合、ハミルトニアンは本質的に自己随伴であり、その場合物理的問題は唯一の解を持つ。あるいは、異なる種類の境界条件や無限遠点における条件に対応するハミルトニアンの自己随伴拡張を見つけようとする。

例：ポテンシャルを持つ1次元シュレーディンガー作用素は、最初は滑らかでコンパクトに支えられた関数上で定義され、 $0 <$ $α$ $\leq 2$ では本質的に自己随伴であるが、 $α$ $> 2$ ではそうではない。^[30]^[31] $V(x)=-(1+|x|)^{\alpha }$

の本質的自己随伴性の破綻は、ポテンシャルを持つ粒子の古典力学に対応する。古典粒子は有限時間内に無限遠に逃げる。^[32] $\alpha >2$ $V(x)$

例：半直線上を運動する粒子には自己随伴運動量演算子は存在しない。しかしながら、半直線上の「自由」粒子のハミルトニアンは、異なる種類の境界条件に対応する複数の自己随伴拡張を持つ。物理的には、これらの境界条件は粒子の原点における反射と関連している。^[33] $p$ $p^{2}$

例

本質的に自己随伴ではない対称演算子

まずヒルベルト空間と微分作用素を考える。 $L^{2}[0,1]$

D:\phi \mapsto {\frac {1}{i}}\phi '

[0,1]上の連続微分可能な複素数値関数の空間上で定義され、境界条件を満たす

\phi (0)=\phi (1)=0.

すると、Dは対称作用素であり、部分積分によって示される。空間N ₊、N ₋ （以下で定義）は、それぞれ方程式の超関数解によって与えられる。

{\begin{aligned}-iu'&=iu\\-iu'&=-iu\end{aligned}}

これらはL ^{2 [0, 1]に存在します。これらの解空間はそれぞれ1次元であり、関数}x → e ^−xとx → e ^xによって生成されることがわかります。これは、Dが本質的に自己随伴ではないことを示していますが、^{[34]自己随伴拡張を持っています。これらの自己随伴拡張は、ユニタリ写像}N ₊ → N ₋の空間によってパラメータ化されており、この場合、単位円Tになります。

この場合、本質的な自己随伴性が成り立たないのは、の領域の定義における境界条件の「誤った」選択によるものである。は1階作用素なので、が対称であることを保証するために必要な境界条件は1つだけである。上記の境界条件を、単一の境界条件に置き換えたとすると、 $D$ $D$ $D$

\phi (0)=\phi (1)

、

すると、D は依然として対称であり、事実上本質的に自己随伴となる。この境界条件の変更により、 Dの本質的に自己随伴な拡張が1つ得られる。他の本質的に自己随伴な拡張は、という形式の境界条件を課すことで得られる。 $\phi (1)=e^{i\theta }\phi (0)$

この単純な例は、開集合M上の対称微分作用素Pの自己随伴拡大に関する一般的な事実を示している。それらは、固有値空間間のユニタリ写像によって決定される。

N_{\pm }=\left\{u\in L^{2}(M):P_{\operatorname {dist} }u=\pm iu\right\}

ここで、P _distはPの分布拡張です。

定数係数演算子

次に定数係数の微分作用素の例を挙げる。

P\left({\vec {x}}\right)=\sum _{\alpha }c_{\alpha }x^{\alpha }

はR ⁿ上の実係数多項式で、αは（有限の）多重添字集合にわたって変化する。したがって、

\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})

そして

x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}.

また、次のような表記も使用します

D^{\alpha }={\frac {1}{i^{|\alpha |}}}\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\partial _{x_{2}}^{\alpha _{2}}\cdots \partial _{x_{n}}^{\alpha _{n}}.

このとき、 R ⁿ上のコンパクト台を持つ無限微分可能関数の空間上で定義される作用素P (D) は、

P(\operatorname {D} )\phi =\sum _{\alpha }c_{\alpha }\operatorname {D} ^{\alpha }\phi

は本質的にL ² ( R ⁿ )上で自己随伴である。

定理— P をR ⁿ上の実係数多項式関数とし、Fをユニタリ写像L ² ( R ⁿ ) → L ² ( R ⁿ ) として考えると、F * P (D) Fは本質的に自己随伴であり、その唯一の自己随伴拡張は関数Pによる乗算の演算子である。

より一般的には、コンパクト台を持つ無限微分可能な複素数値関数に作用する線型微分作用素を考える。MがR n^の開集合であるとする。

P\phi (x)=\sum _{\alpha }a_{\alpha }(x)\left[D^{\alpha }\phi \right](x)

ここで、α_は（必ずしも定数ではない）無限微分可能な関数である。Pは線形演算子である。

C_{0}^{\infty }(M)\to C_{0}^{\infty }(M).

Pに対応する別の微分作用素、すなわちPの形式的随伴作用素が存在する。

P^{\mathrm {*form} }\phi =\sum _{\alpha }D^{\alpha }\left({\overline {a_{\alpha }}}\phi \right)

定理— Pの随伴P *は、形式的随伴の適切な部分空間への分布拡張の制限です。具体的には、 $L^{2}$ $\operatorname {dom} P^{*}=\left\{u\in L^{2}(M):P^{\mathrm {*form} }u\in L^{2}(M)\right\}.$

スペクトル多重度理論

自己随伴作用素の乗法表現は非常に有用ではあるものの、標準的な表現ではありません。これは、この表現から自己随伴作用素AとBがユニタリ同値であるかどうかを判断する基準を抽出することが容易ではないことを示唆しています。ここで議論する最も細分化された表現は、スペクトル多重度に関するものです。この結果の循環は、スペクトル多重度のハーン・ヘリンガー理論と呼ばれています。

均一な多重度

まず均一重複度を定義します。

定義自己随伴作用素Aは一様重複度nを持つ。ただしnは1≤n≤ωとなるようなものであり、 Aが関数f ( λ )= λによる乗算の作用素_Mfとユニタリ同値である場合に限る。

L_{\mu }^{2}\left(\mathbf {R} ,\mathbf {H} _{n}\right)=\left\{\psi :\mathbf {R} \to \mathbf {H} _{n}:\psi {\text{ measurable and }}\int _{\mathbf {R} }\|\psi (t)\|^{2}d\mu (t)<\infty \right\}

ここでH _nはn次元のヒルベルト空間である。M _fの定義域はR上のベクトル値関数ψから成り、

\int _{\mathbf {R} }|\lambda |^{2}\ \|\psi (\lambda )\|^{2}\,d\mu (\lambda )<\infty .

非負の可算加法測度μ、νは、互いに素なボレル集合でサポートされている場合のみ、互いに特異です。

定理— A を可分ヒルベルト空間H上の自己随伴作用素とする。すると、R上に可算加法的有限測度のω列（その一部は恒等的に 0 であってもよい）が存在し、その測度は対ごとに特異であり、A は関数f ( λ ) = λによる乗算の作用素とユニタリ同値である。 $\left\{\mu _{\ell }\right\}_{1\leq \ell \leq \omega }$ $\bigoplus _{1\leq \ell \leq \omega }L_{\mu _{\ell }}^{2}\left(\mathbf {R} ,\mathbf {H} _{\ell }\right).$

この表現は、次の意味で一意です。同じAの任意の 2 つの表現については、対応する測度は、同じ測度 0 の集合を持つという意味で同等です。

直積分

スペクトル多重定理は、ヒルベルト空間の直接積分の言語を使用して再定式化することができます。

定理— ^[35]可分ヒルベルト空間上の任意の自己随伴作用素は、関数λ↦λによる乗算とユニタリ同値である。 $\int _{\mathbf {R} }^{\oplus }H_{\lambda }\,d\mu (\lambda ).$

スペクトル定理の乗算演算子バージョンとは異なり、直接積分バージョンは、μの測度同値類（またはそれと同値な測度0の集合）が一意に決定され、測定可能な関数がμに関してほぼすべての点で決定されるという意味で一意です。^[36]関数は演算子のスペクトル多重度関数です。 $\lambda \mapsto \mathrm {dim} (H_{\lambda })$ $\lambda \mapsto \operatorname {dim} \left(H_{\lambda }\right)$

自己随伴作用素の分類結果を述べると次のようになる。2つの自己随伴作用素がユニタリ同値であるためには、(1)それらのスペクトルが集合として一致すること、(2)それらの直接積分表現に現れる測度が同じ測度零の集合を持つこと、(3)それらのスペクトル多重度関数が直接積分における測度に関してほぼすべての点で一致することが必要である。^[37]

例: ラプラシアンの構造

R ⁿ上のラプラシアンは演算子

\Delta =\sum _{i=1}^{n}\partial _{x_{i}}^{2}.

上で述べたように、ラプラシアンはフーリエ変換によって対角化されます。実際には、ラプラシアンの負数−Δ は非負の演算子であるため、より自然な表現となります（楕円演算子を参照）。

定理— n = 1の場合、 −Δ は一様重複度を持ち、そうでない場合、 −Δ は一様重複度を持つ。さらに、測度μ _multは [0, ∞) 上のルベーグ測度とみなすことができる。 ${\text{mult}}=2$ ${\text{mult}}=\omega$

参照

備考

^ 読者は部分積分を 2 回実行し、与えられた境界条件によって部分積分の境界項が消えることを検証してください。 $\operatorname {Dom} (A)$

注記

^ リード＆サイモン 1980年、250ページ。
^ ペダーセン 1989, 5.1.4.
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^ ホール 2013 系 9.9
^ グリフェル 2002, p. 238
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^ ホール 2013、144–147、206–207ページ
^ ルエル 1969
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^ ホール 2013 提案 9.28
^ ホール 2013 例 9.25
^ ホール 2013 定理 9.41
^ ベレジン＆シュビン 1991年 85ページ
^ ホール 2013 セクション 9.10
^ ベレジン＆シュービン、1991年、55、86ページ
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^ ホール 2013 第2章、演習4
^ ボノー、ファラウト、ヴァラン 2001
^ ホール 2013 セクション 9.6
^ ホール 2013 定理 7.19 および 10.9
^ ホール 2013 提案 7.22
^ ホール 2013 提案 7.24

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[23] 読者は部分積分を 2 回実行し、与えられた境界条件によって部分積分の境界項が消えることを検証してください。 $\operatorname {Dom} (A)$

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[5] ホール 2013 系 9.9

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[FOOTNOTEHall2013133,_177-11] ホール 2013、133、177ページ

[FOOTNOTEde_la_Madrid_Modino200195–97-12] デ・ラ・マドリッド・モディーノ、2001 年、95–97 ページ

[13] ホール 2013 セクション 9.4

[FOOTNOTEBebianoda_Providência2019-14] ベビアーノ＆ダ・プロビデンシア 2019.

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[FOOTNOTEHall2013123–130-16] ホール 2013、123～130ページ

[FOOTNOTEHall2013207-17] ホール 2013、207ページ

[FOOTNOTEAkhiezer1981152-18] アキエザー 1981, 152ページ

[FOOTNOTEAkhiezer1981115–116-19] アキエザー 1981, 115–116ページ

[FOOTNOTEHall2013127,_207-20] ホール 2013、127、207ページ

[21] ホール 2013 セクション 10.4

[FOOTNOTEHall2013144–147,_206–207-22] ホール 2013、144–147、206–207ページ

[FOOTNOTERuelle1969-24] ルエル 1969

[25] ホール 2013 提案 9.27

[26] ホール 2013 提案 9.28

[27] ホール 2013 例 9.25

[28] ホール 2013 定理 9.41

[29] ベレジン＆シュビン 1991年 85ページ

[30] ホール 2013 セクション 9.10

[FOOTNOTEBerezinShubin199155,_86-31] ベレジン＆シュービン、1991年、55、86ページ

[FOOTNOTEHall2013193–196-32] ホール 2013、193–196ページ

[33] ホール 2013 第2章、演習4

[FOOTNOTEBonneauFarautValent2001-34] ボノー、ファラウト、ヴァラン 2001

[35] ホール 2013 セクション 9.6

[36] ホール 2013 定理 7.19 および 10.9

[37] ホール 2013 提案 7.22

[38] ホール 2013 提案 7.24

v t e ヒルベルト空間
基本概念	副次的内積とL半内積ヒルベルト空間とプレヒルベルト空間直交補集合直交基底
主な結果	ベッセルの不等式コーシー・シュワルツの不等式リース表現
その他の結果	ヒルベルト射影定理パーセヴァルの正体偏光の同一性（平行四辺形の法則）
地図	ヒルベルト空間上のコンパクト作用素緻密に定義されたエルミート形式ヒルベルト・シュミット普通自己随伴セクスティリニア形式トレースクラスユニタリー
例	C ⁿ ( K ) （Kコンパクト、n <∞）シーガル・バーグマンF

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