代数的閉包

数学、特に抽象代数学において、体Kの代数的閉包（だいすうてんかん）とは、代数的に閉じたKの代数的拡大である。これは数学における多くの閉包の一つである。

ゾルンの補題^[1]^[2]^[3]あるいはより弱い超フィルタ補題^[4]^[5]を用いると、すべての体には代数的閉包が存在し、体Kの代数的閉包はKのすべての元を固定する同型を除いて一意であることが示せる。この本質的な一意性のため、我々はしばしばKの代数的閉包ではなくKの代数的閉包と呼ぶ。

体Kの代数的閉包は、 Kの最大の代数的拡大と考えることができます。これを理解するには、L がKの任意の代数的拡大である場合、Lの代数的閉包はKの代数的閉包でもあり、したがってLはKの代数的閉包に含まれることに留意してください。 Kの代数的閉包は、 Kを含む最小の代数的閉体でもあります。なぜなら、 MがK を含む任意の代数的閉体である場合、 K上で代数的であるMの元はKの代数的閉包を形成するからです。

体Kの代数的閉包は、 Kが無限大の場合にはKと同じ濃度を持ち、Kが有限の場合には可算無限である。 ^[3]

例

代数学の基本定理によれば、実数体の代数閉包は複素数体である。
有理数体の代数閉包は代数的数体である。
複素数内には、代数的数体を厳密に含む可算な代数的閉体が多く存在します。これらは有理数の超越拡張の代数的閉体であり、例えばQ (π) の代数的閉体です。
素数冪位数qの有限体に対して、代数閉包は、正の整数nごとにq ⁿ位の体のコピーを含む可算無限体である（そして実際にはこれらのコピーの和集合である）。^[6]

代数的閉包の存在と分割体

K [ x ]のすべてのモニック既約多項式全体の集合をとする。各に対して、となる新しい変数を導入する。Rを、すべてのに対してによって生成されるK上の多項式環とし、すべてのに対してとを書く。 $S=\{f_{\lambda }|\lambda \in \Lambda \}$ $f_{\lambda }\in S$ $u_{\lambda ,1},\ldots ,u_{\lambda ,d}$ $d={\rm {degree}}(f_{\lambda })$ $u_{\lambda ,i}$ $\lambda \in \Lambda$ $i\leq {\rm {degree}}(f_{\lambda }).$

f_{\lambda }-\prod _{i=1}^{d}(x-u_{\lambda ,i})=\sum _{j=0}^{d-1}r_{\lambda ,j}\cdot x^{j}\in R[x]

で定義される。I をによって生成されるRのイデアルとする。IはRより確実に小さいので、ゾルンの補題はIを含むRの最大イデアルMが存在することを意味する。体K ₁ = R / Mには、 Kに係数を持つすべての多項式がの積として分解されるという特性があり、したがってすべての根がK ₁に存在する。同様に、K ₁の拡大K ₂を構成することもできる。これらすべての拡大の和集合はKの代数閉包である。なぜなら、この新しい体に係数を持つ任意の多項式は、十分に大きいnを持つあるK _nに係数を持ち、そのときその根はK _n₊₁に存在し、したがって和集合自体に存在するからである。 $r_{\lambda ,j}\in R$ $r_{\lambda ,j}$ $f_{\lambda }$ $x-(u_{\lambda ,i}+M),$

同様に、K [ x ]の任意の部分集合Sに対して、 K上のSの分割体が存在することも示せます。

分離可能な閉鎖

Kの代数的閉包K ^{alg は}、 Kのすべての（代数的）可分拡大をK ^alg内に含めるKの唯一の可分拡大K ^sepを含む。この部分拡大はKの可分閉包と呼ばれる。可分拡大の可分拡大は再び可分であるため、K ^sepの次数 > 1 の有限可分拡大は存在しない。言い換えれば、Kは可分閉代数的拡大体に含まれる。これは（同型性を除いて）唯一のものである。^[7]

可分閉包は、 Kが完全体である場合に限り、完全な代数的閉包となる。例えば、K が特性 pの体であり、X がK上で超越的である場合、 Xは非可分な代数体拡大となる。 $K(X)({\sqrt[{p}]{X}})\supset K(X)$

一般に、Kの絶対ガロア群はK上のK ^sepのガロア群である。^[8]

参照

参考文献

^ マッカーシー（1991）p.21
^ MF AtiyahとIG Macdonald (1969).可換代数入門. Addison-Wesley出版社. pp. 11–12.
^ ab カプランスキー (1972) pp.74-76
^ Banaschewski, Bernhard (1992)、「選択のない代数的閉包」、Z. Math. Logik Grundlagen Math.、38 (4): 383– 385、doi :10.1002/malq.19920380136、Zbl 0739.03027
^ Mathoverflowの議論
^ ブローリー、ジョエル・V.; シュニッベン、ジョージ・E. (1989)、「2.2 有限体の代数的閉包」、有限体の無限代数的拡大、現代数学、第95巻、アメリカ数学会、pp. 22– 23、ISBN 978-0-8218-5428-0、Zbl 0674.12009。
^ マッカーシー（1991）p.22
^ フリード、マイケル D.ジャーデン、モーシェ (2008)。フィールド演算。 Ergebnisse der Mathematik および ihrer Grenzgebiete。 3.フォルゲ。 Vol. 11（第3版）。スプリンガー・フェルラーグ。 p. 12.ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl 1145.12001。

カプランスキー、アーヴィング(1972). 『体と環』シカゴ数学講義（第2版）. シカゴ大学出版局. ISBN 0-226-42451-0. Zbl 1001.16500。
マッカーシー, ポール・J. (1991).体の代数的拡大（第2版の訂正再版）. ニューヨーク: Dover Publications. Zbl 0768.12001.

[McC21-1] マッカーシー（1991）p.21

[2] MF AtiyahとIG Macdonald (1969).可換代数入門. Addison-Wesley出版社. pp. 11–12.

[Kap7476-3] カプランスキー (1972) pp.74-76

[4] Banaschewski, Bernhard (1992)、「選択のない代数的閉包」、Z. Math. Logik Grundlagen Math.、38 (4): 383– 385、doi :10.1002/malq.19920380136、Zbl 0739.03027

[5] Mathoverflowの議論

[6] ブローリー、ジョエル・V.; シュニッベン、ジョージ・E. (1989)、「2.2 有限体の代数的閉包」、有限体の無限代数的拡大、現代数学、第95巻、アメリカ数学会、pp. 22– 23、ISBN 978-0-8218-5428-0、Zbl 0674.12009。

[McC22-7] マッカーシー（1991）p.22

[FJ12-8] フリード、マイケル D.ジャーデン、モーシェ (2008)。フィールド演算。 Ergebnisse der Mathematik および ihrer Grenzgebiete。 3.フォルゲ。 Vol. 11（第3版）。スプリンガー・フェルラーグ。 p. 12.ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl 1145.12001。