分離セット

関数の集合の性質

数学では、定義域を持つ関数の集合は の分離集合と呼ばれ、の任意の2つの異なる元と に対して、 となる関数が存在するとき、の点を分離する （または単に の点を分離する）と言われる^[1]。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle D,}$ ${\displaystyle f\in S}$ ${\displaystyle f(x)\neq f(y).}$

分離集合は、一様収束位相を持つコンパクトハウスドルフ空間上の実数値関数に対するストーン・ヴァイエルシュトラスの定理の一種を定式化するために用いることができる。この定理は、この関数空間の任意の部分代数が稠密であるためには、それが点を分離する必要があることを述べている。これは、マーシャル・H・ストーンによって最初に証明された定理の一種である。^[1] ${\displaystyle X,}$

例

• 上の恒等関数からなる単集合は、 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• がT1正規位相空間であるとき、ウリゾーンの補題によれば、実数値（または複素数値）を持つ連続関数の集合は、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• がまたは上の局所凸ハウスドルフ位相ベクトル空間である場合、ハーン-バナッハの分離定理は、別々の点上の連続線型関数がであることを意味します。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle X}$

参照

• 双対システム – ベクトル空間の双対

参考文献

1. Carothers, NL (2000), Real Analysis, Cambridge University Press, pp.  201– 204, ISBN 9781139643160。

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