シーケンス

数学において、数列とは、繰り返しが許可され、順序が重要な、列挙されたオブジェクトの集合です。集合と同様に、メンバー（要素または項とも呼ばれます）が含まれます。要素の数（無限の場合もあります）は、数列の長さと呼ばれます。集合とは異なり、同じ要素が数列内の異なる位置に複数回出現する可能性があり、集合とは異なり、順序は重要です。正式には、数列は自然数（数列内の要素の位置）から各位置の要素への関数として定義できます。数列の概念は、任意のインデックス集合からの関数として定義される、インデックス付き族に一般化できます

例えば、(M, A, R, Y) は、文字「M」が最初で「Y」が最後である文字の並びです。この並びは (A, R, M, Y) とは異なります。また、2 つの異なる位置に数字 1 が含まれる並び (1, 1, 2, 3, 5, 8) も有効な並びです。並びは、これらの例のように有限であることも、すべての偶数の正の整数(2, 4, 6, ...)の並びのように無限であることもあります。

並び内の要素の位置は、その階数またはインデックスです。これは、その要素が像となる自然数です。最初の要素のインデックスは、文脈または特定の規則に応じて 0 または 1 になります。数学的解析では、並びは、、、の形式で文字で表されることが多く、添え字n は並びのn番目の要素を表します。たとえば、フィボナッチ数列のn番目の要素は、一般的にと表されます $a_{n}$ $b_{n}$ $c_{n}$ $F$ $F_{n}$

コンピューティングとコンピュータサイエンスにおいて、有限シーケンスは通常、文字列、ワード、またはリストと呼ばれ、シーケンスが列挙するオブジェクトの種類と、コンピュータメモリ内でシーケンスを表現するさまざまな方法に応じて、特定の技術用語が選択されます。無限シーケンスはストリームと呼ばれます。

空シーケンス（）は、ほとんどのシーケンスの概念に含まれます。文脈によっては除外される場合があります。

例と表記

数列は、特定の順序を持つ要素のリストと考えることができます。^[1]^{[2]数列は、}関数、空間、その他の数学的構造を数列の収束特性を用いて研究する多くの数学分野において有用です。特に、数列は級数の基礎であり、級数は微分方程式や解析において重要です。数列はそれ自体でも興味深いものであり、素数の研究のように、パターンやパズルとして研究することができます。

数列を表す方法はいくつかありますが、特定の種類の数列に便利なものもあります。数列を指定する方法の1つは、すべての要素をリストすることです。たとえば、最初の4つの奇数は数列(1, 3, 5, 7)を形成します。この表記法は無限数列にも使用されます。たとえば、正の奇数の無限数列は(1, 3, 5, 7, ...)と書きます。省略記号を使用して数列を表記すると曖昧さが生じるため、最初の数個の要素から簡単に認識できる慣習的な無限数列には、リスト表記が最も便利です。数列を表す他の方法については、例の後で説明します。

例

素数とは、1とそれ自身以外に約数を持たない1より大きい自然数のことです。これらを自然順に並べると、(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...) という数列になります。素数は数学、特に数論において広く用いられており、関連する多くの結果が存在します

フィボナッチ数は、各要素が前の2つの要素の和となる整数列です。最初の2つの要素は0と1、または1と1のいずれかであるため、数列は（0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、…）となります。^[1]

数列の他の例としては、有理数、実数、複素数で構成される数列があります。例えば、数列 (.9, .99, .999, .9999, ...) は1に近づきます。実際、すべての実数は有理数列の極限として表すことができます（例えば、その小数展開を介して。実数の完全性も参照）。別の例として、 $π$ は数列 (3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ...) の極限であり、これは増加します。関連する数列は、 $π$ の小数の桁の列、つまり (3, 1, 4, 1, 5, 9, ...) です。前の数列とは異なり、この数列には検査によって容易に識別できるパターンはありません。

他の例としては、要素が数ではなく関数である関数の数列があります

オンライン整数列百科事典には、整数列の膨大な例が掲載されています。^[3]

インデックス

$パターンが容易に推測できない列や、 π$ の数字のようなパターンを持たない列には、他の表記法が役立つ場合があります。そのような表記法の1つは、 n番目の項をnの関数として計算するための一般的な式を書き、それを括弧で囲み、 nが取り得る値の集合を示す添え字を含めることです。たとえば、この表記法では、偶数の列はと書くことができます。平方数の列はと書くことができます。変数nはインデックスと呼ばれ、それが取り得る値の集合はインデックス集合と呼ばれます。 ${\textstyle (2n)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\textstyle (n^{2})_{n\in \mathbb {N} }}$

この表記法を、列の要素を個々の変数として扱う手法と組み合わせると便利なことがよくあります。これにより、のような式が生成され、これはn番目の要素が変数によって与えられる列を表します。たとえば、 ${\textstyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ $a_{n}$

{\begin{aligned}a_{1}&=1{\text{st element of }}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\\a_{2}&=2{\text{nd element }}\\a_{3}&=3{\text{rd element }}\\&\;\;\vdots \\a_{n-1}&=(n-1){\text{th element}}\\a_{n}&=n{\text{th element}}\\a_{n+1}&=(n+1){\text{th element}}\\&\;\;\vdots \end{aligned}}

異なる変数を用いることで、複数のシーケンスを同時に考えることができます。例えば、はシーケンスとは異なるシーケンスである可能性があります。シーケンスのシーケンスを考えることもできます。は、m番目の項がシーケンスであるシーケンスを表します ${\textstyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\textstyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\textstyle ((a_{m,n})_{n\in \mathbb {N} })_{m\in \mathbb {N} }}$ ${\textstyle (a_{m,n})_{n\in \mathbb {N} }}$

数列の定義域を下付き文字で書く代わりに、インデックスが取り得る値の範囲を、その最大値と最小値を列挙することによって示すこともできます。例えば、表記は10項の平方数列を表します。極限とは許容されますが、これらはインデックスの有効な値を表すものではなく、それぞれそのような値の上限または下限のみを表します。例えば、数列は数列と同じであり、「無限大」という追加の項は含まれていません。数列は双無限数列であり、と書くこともできます。 ${\textstyle (k^{2}){\vphantom {)}}_{k=1}^{10}}$ $(1,4,9,\ldots ,100)$ $\infty$ $-\infty$ ${\textstyle {(a_{n})}_{n=1}^{\infty }}$ ${\textstyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\textstyle {(a_{n})}_{n=-\infty }^{\infty }}$ ${\textstyle (\ldots ,a_{-1},a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )}$

インデックス番号の集合が理解されている場合、下付き文字と上付き文字は省略されることがよくあります。つまり、任意の数列と書くだけです。多くの場合、インデックスk は1から∞までであると理解されています。ただし、数列は0から始まるインデックスが付けられることがよくあります ${\textstyle (a_{k})}$

{(a_{k})}_{k=0}^{\infty }=(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ).

場合によっては、数列の要素は、パターンを容易に推測できる整数の列と自然に関連付けられます。このような場合、インデックスセットは最初のいくつかの抽象的な要素をリストすることによって暗示されることがあります。たとえば、奇数の平方の数列は、次のいずれかの方法で表すことができます。

$(1,9,25,\ldots )$
$(a_{1},a_{3},a_{5},\ldots ),\qquad a_{k}=k^{2}$
${(a_{2k-1})}_{k=1}^{\infty },\qquad a_{k}=k^{2}$
${(a_{k})}_{k=1}^{\infty },\qquad a_{k}=(2k-1)^{2}$
${\bigl (}(2k-1)^{2}{\bigr )}_{k=1}^{\infty }$

さらに、インデックスセットが自然数であると理解されている場合、3番目、4番目、および5番目の表記では下付き文字と上付き文字を省略できます。2番目と3番目の箇条書きには、明確に定義された数列がありますが、式によって表される数列と同じではありません。 ${\textstyle {(a_{k})}_{k=1}^{\infty }}$

再帰による数列の定義

要素が前の要素と直接的に関連付けられている数列は、多くの場合、再帰を使用して定義されます。これは、要素の数列をその位置の関数として定義することとは対照的です

再帰によって数列を定義するには、各要素をその前の要素に基づいて構成するための、再帰関係と呼ばれる規則が必要です。さらに、数列の後続のすべての要素が再帰関係の連続的な適用によって計算できるように、十分な初期要素を用意する必要があります。

フィボナッチ数列は、再帰関係によって定義される単純な古典的な例です

a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2},

初期項はおよびです。簡単な計算により、この数列の最初の10項は0、1、1、2、3、5、8、13、21、34であることがわかります。 $a_{0}=0$ $a_{1}=1$

再帰関係によって定義される数列の複雑な例として、レカマンの数列^[4]が挙げられます。これは再帰関係によって定義されます。

{\begin{cases}a_{n}=a_{n-1}-n,\quad {\text{if the result is positive and not already in the previous terms,}}\\a_{n}=a_{n-1}+n,\quad {\text{otherwise}},\end{cases}}

初期項を持つ $a_{0}=0.$

定数係数の線形再帰は、次の形式の再帰関係です。

a_{n}=c_{0}+c_{1}a_{n-1}+\dots +c_{k}a_{n-k},

ここで、は定数です。このような数列の一般項を $nの関数として表す一般的な方法があります。$ 線形再帰を参照してください。フィボナッチ数列の場合、となり、結果として得られる $n$ の関数はビネーの公式で与えられます。 $c_{0},\dots ,c_{k}$ $a_{n}$ $c_{0}=0,c_{1}=c_{2}=1,$

ホロノミック数列は、次の形式の再帰関係によって定義される数列です。

a_{n}=c_{1}a_{n-1}+\dots +c_{k}a_{n-k},

ここで、は $nの$ 多項式です。ほとんどのホロノミック数列では、を $n$ の関数として表すための明示的な式はありません。それでも、ホロノミック数列は数学のさまざまな分野で重要な役割を果たします。たとえば、多くの特殊関数には、係数の列がホロノミックであるテイラー級数があります。再帰関係を使用することで、このような特殊関数の値を高速に計算できます $c_{1},\dots ,c_{k}$ $a_{n}$

すべての数列が漸化式で指定できるわけではありません。例としては、自然順序（2、3、5、7、11、13、17、…）の素数の数列が挙げられます。

正式な定義と基本的な性質

数学には数列に関する多くの異なる概念があり、そのうちのいくつか（例えば、正確な数列）は、以下で紹介する定義と表記法ではカバーされていません。

定義

本稿では、数列は、定義域が整数の区間である関数として正式に定義される。この定義は、「数列」という語の様々な用法、例えば片側無限数列、双無限数列、有限数列（これらの数列の定義については後述）を包含する。しかし、多くの著者は、数列の定義域を自然数の集合とすることで、より狭義の定義を用いている。この狭義の定義には、有限数列と双無限数列（どちらも標準的な数学の実践では数列と呼ばれる）を排除してしまうという欠点がある。また、数列の最初の項を削除した場合、この定義に適合させるために残りの項の添字付けをやり直す必要があるという欠点もある。文脈によっては、説明を簡略化するために、数列の余定義域が文脈によって固定される。例えば、実数の集合^[5] 、複素数の集合^[6] 、または位相空間^[7]とすることが求められる。 $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

$数列は$ 関数の一種ですが、通常、入力が括弧ではなく添え字として表記される（つまり、 $($ $n$ $)ではなくn$ $）$ という $点$ で、関数とは表記上区別されます。用語上の違いもあります。数列の最小入力（多くの場合1）における値は数列の「最初の要素」と呼ばれ、2番目に小さい入力（多くの場合2）における値は「2番目の要素」などと呼ばれます。また、入力から抽象化された関数は通常、1文字（例：f）で表されますが、入力から抽象化された数列は通常、、または単になどの表記で表されます。ここで、 $A$ は数列の定義域、または添字集合です。 ${\textstyle (a_{n})_{n\in A}}$ ${\textstyle (a_{n}).}$

数列とその極限（以下を参照）は、位相空間を研究するための重要な概念です。数列の重要な一般化は、ネットの概念です。ネットとは、（おそらく非可算な）有向集合から位相空間への関数です。数列の表記規則は通常、ネットにも適用されます

有限と無限

数列の長さは、数列内の項の数として定義されます

有限長の列は有限列です。長さ $n$ の有限列は $n$ 組とも呼ばれます。有限列には、要素を持たない空列 $（）が含まれます。$

通常、無限列という用語は、一方向に無限で、他方向に有限な列を指します。このような列は最初の要素を持ちますが、最後の要素はなく、明確に区別する必要がある場合は単無限列または片側無限列と呼ばれます。対照的に、両方向に無限である列、つまり最初の要素も最後の要素も持たない列は、双無限列、双方向無限列、または二重無限列と呼ばれます。すべての整数の集合から集合、例えばすべての偶数の整数の列（…、−4、−2、0、2、4、6、8、…）への関数は双無限列です。この列はと表記できます。 $\mathbb {Z}$ ${\textstyle {(2n)}_{n=-\infty }^{\infty }}$

増加と減少

数列は、各項が前の項以上である場合、単調増加であると言われます。例えば、数列が単調増加であるための必要十分条件は、すべての項に対して、連続する各項が前の項より厳密に大きい（>）場合、数列は厳密に単調増加と呼ばれます。数列は、連続する各項が前の項より小さいか等しい場合、単調減少であり、各項が前の項より厳密に小さい場合、厳密に単調減少です。数列が増加または減少する場合、単調数列と呼ばれます。これは、より一般的な単調関数の概念の特殊なケースです。 ${\textstyle {(a_{n})}_{n=1}^{\infty }}$ ${\textstyle a_{n+1}\geq a_{n}}$ $n\in \mathbf {N} .$

非減少および非増加という用語は、それぞれ厳密に増加するおよび厳密に減少するとの混同を避けるために、増加するおよび減少の代わりによく使用されます。

有界

実数列 ( a _n ) のすべての項が実数Mより小さい場合、その列は上から有界であると言われます。言い換えれば、すべてのnに対してa _n ≤ MとなるM が存在することを意味します。そのようなMは上限と呼ばれます。同様に、ある実数mに対して、あるNより大きいすべてのnに対してa _n ≥ mとなる場合、その列は下から有界であり、そのようなmは下限と呼ばれます。列が上からも下からも有界である場合、その列は有界であると言われます。

部分列

与えられた数列の部分列とは、与えられた数列から、残りの要素の相対的な位置を崩さずにいくつかの要素を削除することによって形成される数列です。例えば、正の偶数の数列 (2, 4, 6, ...) は、正の整数の数列 (1, 2, 3, ...) の部分列です。他の要素を削除すると、一部の要素の位置は変化します。ただし、相対的な位置は保持されます。

正式には、数列の部分列とは、の形式で表される数列のことです。ここで、は正の整数の厳密に増加する数列です。 $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ${\textstyle (a_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }}$ $(n_{k})_{k\in \mathbb {N} }$

その他の種類の数列

簡単に定義できる他の種類の数列には、以下のものがあります。

整数数列とは、項が整数である数列です。
多項式数列とは、項が多項式である数列です
正の整数列は、nとmが互いに素であるすべてのn、mのペアに対してa _nm = a _n a _mである場合、乗法列と呼ばれることがあります。^{[8]また、すべての}nに対してa _n = na ₁である場合、列は乗法列と呼ばれることがよくあります。さらに、乗法フィボナッチ数列^[9]は、再帰関係a _n = a _n₋₁a _n₋₂を満たします。
2進数列とは、項が2つの離散値のいずれかを持つ列です。たとえば、 2進数の値（0、1、1、0、…）、コインを投げた時の連続（表/裏）H、T、H、H、T、…、一連の正誤問題への答え（T、F、T、T、…）などです。

極限と収束

数列の重要な特性は収束です。数列が収束する場合、極限と呼ばれる特定の値に収束します。数列がある極限に収束する場合、それは収束します。収束しない数列は発散します。

非公式には、数列の要素がある値（数列の極限と呼ばれる）にどんどん近づき、それらがに任意に近くなり、その状態を維持する場合、数列には極限があります。つまり、0より大きい実数が与えられた場合、数列の有限個の要素を除くすべての要素はからの距離が未満になります。 $L$ $L$ $d$ $L$ $d$

たとえば、右に示されている数列は値 0 に収束します。一方、数列（1、8、27、…で始まる）と数列（-1、1、-1、1、…で始まる）はどちらも発散します ${\textstyle a_{n}={\frac {n+1}{2n^{2}}}}$ ${\textstyle b_{n}=n^{3}}$ $c_{n}=(-1)^{n}$

数列が収束する場合、収束する値は一意です。この値は数列の極限と呼ばれます。収束数列の極限は通常と表されます。が発散数列の場合、この式は無意味です。 $(a_{n})$ ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$ $(a_{n})$ ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$

収束の正式な定義

実数列が実数に収束するとは、すべてのに対して、すべてのに対してとなる自然数が存在する場合です。 ^[5] $(a_{n})$ $L$ $\varepsilon >0$ $N$ $n\geq N$

|a_{n}-L|<\varepsilon .

が実数列ではなく複素数列である場合、この最後の式は、が複素絶対値、すなわちを表すという条件で、収束を定義するために使用できます。が距離空間内の点の列である場合、式をとの間の距離を表す式に置き換えることで、式を使用して収束を定義できます。 $(a_{n})$ $|\cdot |$ $|z|={\sqrt {z^{*}z}}$ $(a_{n})$ $|a_{n}-L|$ $\operatorname {dist} (a_{n},L)$ $a_{n}$ $L$

応用と重要な結果

とが収束する列である場合、次の極限が存在し、次のように計算できます。^[5]^[10] $(a_{n})$ $(b_{n})$

$\lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}$
$\lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\lim _{n\to \infty }a_{n}$ すべての実数に対して $c$
$\lim _{n\to \infty }(a_{n}b_{n})={\bigl (}\lim _{n\to \infty }a_{n}{\bigr )}{\bigl (}\lim _{n\to \infty }b_{n}{\bigr )}$
$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\bigl (}\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}{\bigr )}{\big /}{\bigl (}\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}{\bigr )}$ ただし、が成り立つことを条件とします。 $\lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0$
$\lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}={\bigl (}\lim _{n\to \infty }a_{n}{\bigr )}^{p}$ すべてのとに対して $p>0$ $a_{n}>0$

さらに、

あるより大きいすべてのに対してである場合、となる。^[a] $a_{n}\leq b_{n}$ $n$ $N$ $\lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}$
（スクイーズ定理）がすべてのとに対してとなる列である
場合、は収束し、となる。 $(c_{n})$ $a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}$ $n>N$ $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L$
$(c_{n})$ $\lim _{n\to \infty }c_{n}=L$
列が有界かつ単調である場合、それは収束する
数列が収束する場合、かつそのすべての部分数列が収束する場合に限ります。

コーシー数列

コーシー数列とは、n が非常に大きくなるにつれて項が任意に近づく数列です。コーシー数列の概念は、距離空間における数列の研究、特に実解析において重要です。実解析における特に重要な結果の1つは、数列の収束のコーシー特徴付けです。

実数数列が（実数において）収束する場合、かつその場合に限り、それがコーシー数列である

対照的に、有理数において収束しない有理数のコーシー列も存在します。例えば、とで定義される列はコーシー列ですが、有理数極限を持ちません（コーシー列 § 非例：有理数を参照）。より一般的には、無理数に収束する有理数列はすべてコーシー列ですが、有理数集合における列として解釈した場合には収束しません。 $x_{1}=1$ $x_{n+1}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}x_{n}+{\tfrac {2}{x_{n}}}{\bigr )}$

列の収束のコーシー特徴づけを満たす距離空間は完全距離空間と呼ばれ、特に解析に適しています。

無限極限

微積分学では、上記の意味で収束せず、代わりに任意に大きくなり、その状態を維持する、または任意に負になり、その状態を維持する数列の表記法を定義するのが一般的です。がとして任意に大きくなる場合、次のように書きます $a_{n}$ $n\to \infty$

\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty .

この場合、数列は発散する、または無限大に収束すると言います。このような数列の例としては、_n = nが挙げられます。

がのように任意に負（つまり、負で大きさが大きい）になる場合、次のように書きます $a_{n}$ $n\to \infty$

\lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty

そして、その数列は負の無限大に発散または収束すると言います。

級数

級数とは、非公式には、数列の項の和です。つまり、またはの形式の式で、は実数または複素数の列です。級数の部分和は、無限大記号を有限数に置き換えた式です。つまり、級数のN番目の部分和は数です。 ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ $a_{1}+a_{2}+\cdots$ $(a_{n})$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

S_{N}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{N}.

部分和自体は数列を形成し、これは級数の部分和の列と呼ばれます。部分和の列が収束する場合、その級数は収束すると言い、極限は級数の値と呼ばれます。同じ表記法が級数とその値を表すために使用されます。つまり、と書きます。 $(S_{N})_{N\in \mathbb {N} }$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \lim _{N\to \infty }S_{N}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\lim _{N\to \infty }S_{N}}$

数学の他の分野での用途

位相幾何学

数列は位相幾何学、特に計量空間の研究において重要な役割を果たします例えば、

計量空間がコンパクトであるのは、まさにそれが逐次コンパクトであるときです
ある計量空間から別の計量空間への関数は、収束列を収束列に変えるときに連続となる。
計量空間が連結空間であるための必要十分条件は、空間が2つの集合に分割されるとき、どちらかの集合がもう一方の集合の点に収束する列を含むことである。
位相空間は、点の稠密列が存在するときにのみ分離可能である。

列はネットまたはフィルターに一般化できる。これらの一般化により、上記の定理のいくつかを計量を持たない空間に拡張することができる。

積位相

位相空間の列の位相積は、それらの空間の直積であり、積位相と呼ばれる自然な位相を備えている。

には、空間の列が与えられたとき、積空間は $(X_{i})_{i\in \mathbb {N} }$

X:=\prod _{i\in \mathbb {N} }X_{i},

は、各iに対してがの元となるようなすべての列の集合として定義されます。標準的な射影は、方程式で定義される写像p _i : X → X _iです。すると、X上の積位相は、すべての射影p _iが連続となる最も粗い位相（つまり、開集合が最も少ない位相）として定義されます。積位相は、ティコノフ位相と呼ばれることもあります。 $(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ $x_{i}$ $X_{i}$ $p_{i}((x_{j})_{j\in \mathbb {N} })=x_{i}$

解析

解析における列について議論する場合、一般的には

(x_{1},x_{2},x_{3},\dots ){\text{ or }}(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )

つまり、自然数でインデックス付けされた要素の無限列について考えます。

列は、1 または 0 以外のインデックスで始まる場合があります。たとえば、x _n = 1/ log ( n ) で定義される列は、 n ≥ 2の場合にのみ定義されます。このような無限列について議論する場合、通常は、列の要素が少なくとも十分に大きいすべてのインデックス、つまりある与えられたNより大きいすべてのインデックスに対して定義されていると仮定すれば十分です（そして、ほとんどの考察においてあまり変わりません）。

最も基本的な種類の数列は数値数列、つまり実数または複素数の数列です。この種類は、あるベクトル空間の元の数列に一般化できます。解析学では、考慮されるベクトル空間はしばしば関数空間です。さらに一般的には、ある位相空間の元を持つ数列を研究することができます。

数列空間

数列空間は、実数または複素数の無限数列を要素とするベクトル空間である。同様に、数列空間は、自然数から体Kへの関数を要素とする関数空間でもある。ここで、Kは実数体または複素数体である。このような関数全体の集合は、Kを要素とするすべての可能な無限数列の集合と自然に同一視され、関数の点ごとの加法および点ごとのスカラー乗算の演算によってベクトル空間に変換できる。すべての数列空間はこの空間の線型部分空間である。数列空間は通常、ノルム、または少なくとも位相ベクトル空間の構造を備えている。

解析学において最も重要な列空間は、 p乗の加法列から成り、 pノルムを持つ ℓ ^p空間です。これらは、自然数集合上の計数測度に対するL ^p 空間の特殊なケースです。収束列やヌル列のような他の重要な列のクラスは、それぞれcおよびc _{0と表記され、sup ノルムを持つ列空間を形成します。任意の列空間は、}点収束の位相を備えることもでき、その場合、FK 空間と呼ばれる特別な種類のフレシェ空間になります。

線型代数

体上の列は、ベクトル空間内のベクトルと見なすこともできます。具体的には、 F値列の集合（ Fは体）は、自然数集合上のF値関数の関数空間（実際には積空間）です。

抽象代数

抽象代数は、群や環などの数学的対象の列を含む、いくつかの種類の列を使用します。

自由モノイド

A が集合である場合、 A上の自由モノイド（A ^*と表記され、Aのクリーネスターとも呼ばれる）は、 Aの 0 個以上の要素の有限列（または文字列）すべてを含み、二項演算として連結を持つモノイドです。自由半群A ⁺は、空列を除くすべての要素を含むA ^*の部分半群です。

完全列

群論の文脈では、列

G_{0}\;{\overset {f_{1}}{\longrightarrow }}\;G_{1}\;{\overset {f_{2}}{\longrightarrow }}\;G_{2}\;{\overset {f_{3}}{\longrightarrow }}\;\cdots \;{\overset {f_{n}}{\longrightarrow }}\;G_{n}

群と群準同型の列は、各準同型の像（または値域）が次の準同型の核と等しい場合、完全列と呼ばれます。

\mathrm {im} (f_{k})=\mathrm {ker} (f_{k+1})

群と準同型の列は、有限または無限のいずれかです。

同様の定義は、他の特定の代数構造にも適用できます。たとえば、ベクトル空間と線型写像の完全列、または加群と加群準同型の完全列を持つことができます。

スペクトル列

ホモロジー代数と代数的位相幾何学において、スペクトル列は逐次近似をとることでホモロジー群を計算する手段です。スペクトル列は完全列の一般化であり、ジャン・ルレー（1946）によって導入されて以来、特にホモトピー理論において重要な研究ツールとなっています。

集合論

順序数付き列は列の一般化です。αが極限順序数でXが集合である場合、Xの元のα付き列はαからXへの関数です。この用語では、ω付き列は通常の列です。

コンピューティング

コンピュータサイエンスでは、有限列はリストと呼ばれます。潜在的に無限の列はストリームと呼ばれます。文字または数字の有限列は文字列と呼ばれます。

ストリーム

有限のアルファベットから抽出された数字（または文字）の無限列は、理論計算機科学において特に興味深いものです。これらは、有限の文字列とは対照的に、単に列またはストリームと呼ばれることがよくあります。例えば、無限2進列は、ビット（アルファベット{0, 1}から抽出された文字）の無限列です。すべての無限2進列の集合C = {0, 1} ^∞は、カントール空間と呼ばれることもあります。

無限2進列は、n番目の文字列（ショートレックス順）が言語に含まれる場合にのみ、列のn番目のビットを1に設定することによって、形式言語（文字列の集合）を表すことができます。この表現は、証明のための対角化法で役立ちます。^[11]

参照

演算

コーシー積

例

種類

関連概念

注釈

^ 不等式を厳密な不等式に置き換えると、これは誤りです。すべてのに対してとなる数列がありますが、となります。 $a_{n}<b_{n}$ $n$ $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}$

参考文献

^ ab "Sequences". www.mathsisfun.com 。2020年8月12日にオリジナルからアーカイブ。2020年8月17日閲覧
^ Weisstein, Eric W. 「数列」. mathworld.wolfram.com . 2020年7月25日にオリジナルからアーカイブ。2020年8月17日閲覧。
^ OEIS索引、 Wayback Machineに2022年10月18日にアーカイブ、オンライン整数数列百科事典、2020年12月3日
^ Sloane, N. J. A. (編). 「数列A005132 (Recamánの数列)」.オンライン整数数列百科事典. OEIS Foundation . 2018年1月26日閲覧。
^ abc Gaughan, Edward (2009). 「1.1 数列と収束」. Introduction to Analysis . AMS (2009). ISBN 978-0-8218-4787-9.
^ Edward B. Saff & Arthur David Snider (2003). 「第2章 1.複素解析の基礎」 . Prentice Hall. ISBN 978-01-390-7874-3. 2023年3月23日にオリジナルからアーカイブ。 2015年11月15日閲覧。
^ James R. Munkres (2000). 「第1章と第2章」.位相幾何学. Prentice Hall, Incorporated. ISBN 978-01-318-1629-9. 2023年3月23日にオリジナルからアーカイブ。 2015年11月15日閲覧。
^ Lando, Sergei K. (2003-10-21). 「7.4 乗法列」.生成関数講義. AMS. ISBN 978-0-8218-3481-7.
^ ファルコン、セルジオ (2003). 「フィボナッチの乗法数列」.国際科学技術数学教育ジャーナル. 34 (2): 310– 315.書誌コード: 2003IJMES..34..310F. doi : 10.1080/0020739031000158362. S2CID 121280842.
^ ダウィキンス、ポール. 「級数と数列」.ポールのオンライン数学ノート/Calc II (ノート) . 2012年11月30日時点のオリジナルからのアーカイブ。2012年12月18日閲覧
^ Oflazer, Kemal. 「FORMAL LANGUAGES, AUTOMATA AND COMPUTATION: DECIDABILITY」(PDF) . cmu.edu . カーネギーメロン大学. 2015年5月29日時点のオリジナルからアーカイブ(PDF) 。 2015年4月24日閲覧。

外部リンク

「Sequence」、Encyclopedia of Mathematics、EMS Press、2001 [1994]
整数列のオンライン百科事典
Journal of Integer Sequences (無料)

[11] 不等式を厳密な不等式に置き換えると、これは誤りです。すべてのに対してとなる数列がありますが、となります。 $a_{n}<b_{n}$ $n$ $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}$

[:0-1] "Sequences". www.mathsisfun.com 。2020年8月12日にオリジナルからアーカイブ。2020年8月17日閲覧

[2] Weisstein, Eric W. 「数列」. mathworld.wolfram.com . 2020年7月25日にオリジナルからアーカイブ。2020年8月17日閲覧。

[3] OEIS索引、 Wayback Machineに2022年10月18日にアーカイブ、オンライン整数数列百科事典、2020年12月3日

[4] Sloane, N. J. A. (編). 「数列A005132 (Recamánの数列)」.オンライン整数数列百科事典. OEIS Foundation . 2018年1月26日閲覧。

[Gaughan-5] Gaughan, Edward (2009). 「1.1 数列と収束」. Introduction to Analysis . AMS (2009). ISBN 978-0-8218-4787-9.

[Saff-6] Edward B. Saff & Arthur David Snider (2003). 「第2章 1.複素解析の基礎」 . Prentice Hall. ISBN 978-01-390-7874-3. 2023年3月23日にオリジナルからアーカイブ。 2015年11月15日閲覧。

[Munkres-7] James R. Munkres (2000). 「第1章と第2章」.位相幾何学. Prentice Hall, Incorporated. ISBN 978-01-318-1629-9. 2023年3月23日にオリジナルからアーカイブ。 2015年11月15日閲覧。

[8] Lando, Sergei K. (2003-10-21). 「7.4 乗法列」.生成関数講義. AMS. ISBN 978-0-8218-3481-7.

[9] ファルコン、セルジオ (2003). 「フィボナッチの乗法数列」.国際科学技術数学教育ジャーナル. 34 (2): 310– 315.書誌コード: 2003IJMES..34..310F. doi : 10.1080/0020739031000158362. S2CID 121280842.

[Dawkins-10] ダウィキンス、ポール. 「級数と数列」.ポールのオンライン数学ノート/Calc II (ノート) . 2012年11月30日時点のオリジナルからのアーカイブ。2012年12月18日閲覧

[Oflazer2011-12] Oflazer, Kemal. 「FORMAL LANGUAGES, AUTOMATA AND COMPUTATION: DECIDABILITY」(PDF) . cmu.edu . カーネギーメロン大学. 2015年5月29日時点のオリジナルからアーカイブ(PDF) 。 2015年4月24日閲覧。

v t e 関数
歴史特定の関数の一覧
定義域と余定義域による型	$X \to 𝔹$ $𝔹 \to X$ $𝔹ⁿ \to X$ $X \to ℤ$ ℤ → X $X \to ℝ$ $ℝ \to X$ $ℝⁿ \to X$ $X \to ℂ$ $ℂ \to X$ $ℂⁿ \to X$
クラス／プロパティ	定数恒等式線型多項式有理式代数式解析的滑らかな連続的測定可能単射射影的全単射
構成	制約合成 λ 逆
一般化	関係（二項関係）集合値<extra_id_1> 多値部分暗黙空間高階射関手権威管理データベース
カテゴリー

国際
GND	FAST 国内
アメリカ合衆国	フランス BnFデータチェコ共和国スペインイスラエルその他
Yale LUX	カテゴリ：