Mathematical concept
数学 において 、 7 次元クロス積は、 7 次元ユークリッド空間 の ベクトル に対する 双線型演算 です。 内の任意の 2 つのベクトル a 、 b に、 同じく 内のベクトル a × b を割り当てます 。 [1] 3 次元の クロス積 と同様に 、7 次元積は 反可換で あり、 a × b はa と b の両方に直交します。 3 次元とは異なり、 ヤコビ恒等式 を満たさず、3 次元クロス積は符号を除いて一意ですが、7 次元クロス積は多数存在します。 7 次元クロス積と八元数の関係 は、3 次元積と 四元 数の 関係と同じです 。 R 7 {\displaystyle \mathbb {R} ^{7}} R 7 {\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}
7次元クロス積は、クロス積を3次元以外の次元に一般化する1つの方法であり、ベクトル値を持ち、直交し、3次元の場合と同じ大きさを持つ2つのベクトルの唯一の他の双線形積です。 [2] 他の次元では、これらの条件を満たす3つ以上のベクトルのベクトル値積と、結果が双 ベクトル である2進積があります。
掛け算表 × e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 e 1 0 e 3 − e 2 e 5 − e 4 − e 7 e 6 e 2 − e 3 0 e 1 e 6 e 7 − e 4 − e 5 e 3 e 2 − e 1 0 e 7 − e 6 e 5 − e 4 e 4 − e 5 − e 6 − e 7 0 e 1 e 2 e 3 e 5 e 4 − e 7 e 6 − e 1 0 − e 3 e 2 e 6 e 7 e 4 − e 5 − e 2 e 3 0 − e 1 e 7 − e 6 e 5 e 4 − e 3 − e 2 e 1 0
積は、ここに挙げたような乗算表で表すことができます。この表は、ケイリー [3] [4] によるもので、1から7までの各 i 、 jについて、直交基底ベクトル e i と e j の積を与えます。 例えば、次の表から
e 1 × e 2 = e 3 = − e 2 × e 1 {\displaystyle \mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{3}=-\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{1}} この表は任意の2つのベクトルの積を計算するのに使えます。例えば、 x × y の e 1成分を計算するには、 e 1 を生成する基底ベクトル をそれぞれ選び出すことで、
( x × y ) 1 = x 2 y 3 − x 3 y 2 + x 4 y 5 − x 5 y 4 + x 7 y 6 − x 6 y 7 . {\displaystyle \left(\mathbf {x\times y} \right)_{1}=x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}+x_{4}y_{5}-x_{5}y_{4}+x_{7}y_{6}-x_{6}y_{7}.} 他の 6 つのコンポーネントについてもこれを繰り返すことができます。
任意の直交基底ベクトルの集合に対して、このような表が480個存在し、定義を満たす積ごとに1つずつ存在し、表の各要素は基底の単一の要素で表現できる。 [5] この表は、次の関係式で要約できる。 [4]
e i × e j = ε i j k e k , {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {\times } \mathbf {e} _{j}=\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} _{k},} ここで、 は レヴィ・チヴィタ記号 であり、 ijk = 123、145、176、246、257、347、365 のときに正の値 +1 を持つ完全に反対称なテンソルです。 ε i j k {\displaystyle \varepsilon _{ijk}}
この表の左上の 3 × 3 コーナーは、3 次元の外積を示します。
意味 ユークリッド空間 V 上の外積は、 V × V から V への 双線型写像 であり、 V 内のベクトル x と y を同じく V 内の別のベクトル x × y に写す。 ここで、 x × y は以下の性質を持つ [1] [6]
直交性 ： x ⋅ ( x × y ) = ( x × y ) ⋅ y = 0 , {\displaystyle \mathbf {x} \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=(\mathbf {x} \times \mathbf {y} )\cdot \mathbf {y} =0,} 大きさ : | x × y | 2 = | x | 2 | y | 2 − ( x ⋅ y ) 2 {\displaystyle |\mathbf {x} \times \mathbf {y} |^{2}=|\mathbf {x} |^{2}|\mathbf {y} |^{2}-(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )^{2}} ここで、( x · y ) はユークリッド 内積 、| x | は ユークリッドノルム である。最初の性質は積が引数に対して垂直であることを示し、2番目の性質は積の大きさを与える。ベクトル間の 角度 θ を用いた等価な表現は [7] 、 [8] である。
| x × y | = | x | | y | sin θ , {\displaystyle |\mathbf {x} \times \mathbf {y} |=|\mathbf {x} ||\mathbf {y} |\sin \theta ,} これは、 2つのベクトルを辺とする x と y の平面における 平行四辺形 の面積である。 [9] 大きさの条件の3番目の記述は、
| x × y | = | x | | y | if ( x ⋅ y ) = 0 , {\displaystyle |\mathbf {x} \times \mathbf {y} |=|\mathbf {x} ||\mathbf {y} |~{\mbox{if}}\ \left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} \right)=0,} x × x = 0が 別の公理として仮定される。 [10]
定義特性の結果 双線性、直交性、大きさの特性を考慮すると、非ゼロのクロス積は3次元と7次元でのみ存在します。 [2] [10] これは、クロス積に必要な特性を仮定し、次元が0、1、3、または7の場合にのみ満たされる方程式を導き出すことで示せます。ゼロ次元ではゼロベクトルのみが存在し、1次元ではすべてのベクトルが平行であるため、どちらの場合も積は必ずゼロになります。
0、1、3、7次元への制限は、 ノルム除算代数は 1、2、4、8次元でのみ可能であるという ハーヴィッツの定理 に関連している。外積は、ノルム除算代数の積を代数の虚数次元0、1、3、または7に制限することによって形成され、3次元と7次元でのみ非ゼロの積を与える。 [12]
3次元の外積は（符号を除いて）一意ですが、7次元では2元外積は数多く存在します。これを理解するための一つの方法は、ベクトル x と yの任意のペアと、 x と y が 張る平面に垂直な5次元空間にある 大きさ | v | = | x || y | sin θ のベクトル vが与えられれば、 x × y = v となるような乗算表（および関連する基底ベクトルの集合）を持つ外積を求めることができるということです 。3次元とは異なり、 x × y = a × b は a と b が x と y と同じ平面にある ことを意味しません 。 ∈ R 7 {\displaystyle \in \mathbb {R} ^{7}}
定義からは、次の恒等式を含むさらなる特性が得られます。
反可換性 : x × y = − y × x {\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =-\mathbf {y} \times \mathbf {x} } スカラー三重積 : x ⋅ ( y × z ) = y ⋅ ( z × x ) = z ⋅ ( x × y ) {\displaystyle \mathbf {x} \cdot (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )=\mathbf {y} \cdot (\mathbf {z} \times \mathbf {x} )=\mathbf {z} \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )} マルチェフのアイデンティティ ： ( x × y ) × ( x × z ) = ( ( x × y ) × z ) × x + ( ( y × z ) × x ) × x + ( ( z × x ) × x ) × y {\displaystyle (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )\times (\mathbf {x} \times \mathbf {z} )=((\mathbf {x} \times \mathbf {y} )\times \mathbf {z} )\times \mathbf {x} +((\mathbf {y} \times \mathbf {z} )\times \mathbf {x} )\times \mathbf {x} +((\mathbf {z} \times \mathbf {x} )\times \mathbf {x} )\times \mathbf {y} } x × ( x × y ) = − | x | 2 y + ( x ⋅ y ) x . {\displaystyle \mathbf {x} \times (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=-|\mathbf {x} |^{2}\mathbf {y} +(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )\mathbf {x} .} その他の特性は3次元の場合のみ成り立ち、7次元のクロス積では満たされない。特に、
ベクトル三重積 : x × ( y × z ) = ( x ⋅ z ) y − ( x ⋅ y ) z {\displaystyle \mathbf {x} \times (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )=(\mathbf {x} \cdot \mathbf {z} )\mathbf {y} -(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )\mathbf {z} } ヤコビ恒等式 ： x × ( y × z ) + y × ( z × x ) + z × ( x × y ) = 0 {\displaystyle \mathbf {x} \times (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )+\mathbf {y} \times (\mathbf {z} \times \mathbf {x} )+\mathbf {z} \times (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=0} ヤコビ恒等式のおかげで、3次元外積は リー代数 の構造を与え 、これは 3次元回転群 のリー代数 と同型である。ヤコビ恒等式は7次元では成立しないため、7次元外積は リー代数の構造を 与えない。 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} s o ( 3 ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)} R 7 {\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}
座標式 特定の外積を定義するために、 直交基底 { e j } を選択し、すべての積 { e i × e j } を決定する乗算表を用意すればよい。可能な乗算表の1つは「乗算表」のセクションで説明されているが、これは一意ではない。 [5] 3次元とは異なり、単位ベクトルのすべてのペアは他の5つの単位ベクトルに直交するため、各外積に対して多くの選択肢があり、多くの表が存在する。
掛け算の表ができたら、 x と y を 基底で 表し、双線型性を通じて x × y を展開することで、それを一般ベクトルx と y に適用します。
× e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 e 1 0 e 4 e 7 − e 2 e 6 − e 5 − e 3 e 2 − e 4 0 e 5 e 1 − e 3 e 7 − e 6 e 3 − e 7 − e 5 0 e 6 e 2 − e 4 e 1 e 4 e 2 − e 1 − e 6 0 e 7 e 3 − e 5 e 5 − e 6 e 3 − e 2 − e 7 0 e 1 e 4 e 6 e 5 − e 7 e 4 − e 3 − e 1 0 e 2 e 7 e 3 e 6 − e 1 e 5 − e 4 − e 2 0
基底ベクトルとしてe 1 から e 7 を用いると 、導入部とは異なる乗算表が得られる。これは異なる外積を導き、反可換性を持つ
e 1 × e 2 = e 4 , e 2 × e 4 = e 1 , e 4 × e 1 = e 2 , {\displaystyle \mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{4},\quad \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{4}=\mathbf {e} _{1},\quad \mathbf {e} _{4}\times \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2},} e 2 × e 3 = e 5 , e 3 × e 5 = e 2 , e 5 × e 2 = e 3 , {\displaystyle \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{5},\quad \mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{5}=\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {e} _{5}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{3},} e 3 × e 4 = e 6 , e 4 × e 6 = e 3 , e 6 × e 3 = e 4 , {\displaystyle \mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{4}=\mathbf {e} _{6},\quad \mathbf {e} _{4}\times \mathbf {e} _{6}=\mathbf {e} _{3},\quad \mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{4},} e 4 × e 5 = e 7 , e 5 × e 7 = e 4 , e 7 × e 4 = e 5 , {\displaystyle \mathbf {e} _{4}\times \mathbf {e} _{5}=\mathbf {e} _{7},\quad \mathbf {e} _{5}\times \mathbf {e} _{7}=\mathbf {e} _{4},\quad \mathbf {e} _{7}\times \mathbf {e} _{4}=\mathbf {e} _{5},} e 5 × e 6 = e 1 , e 6 × e 1 = e 5 , e 1 × e 5 = e 6 , {\displaystyle \mathbf {e} _{5}\times \mathbf {e} _{6}=\mathbf {e} _{1},\quad \mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{5},\quad \mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{5}=\mathbf {e} _{6},} e 6 × e 7 = e 2 , e 7 × e 2 = e 6 , e 2 × e 6 = e 7 , {\displaystyle \mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{7}=\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {e} _{7}\times \mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{6},\quad \mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{6}=\mathbf {e} _{7},} e 7 × e 1 = e 3 , e 1 × e 3 = e 7 , e 3 × e 7 = e 1 . {\displaystyle \mathbf {e} _{7}\times \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{3},\quad \mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{7},\quad \mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{7}=\mathbf {e} _{1}.} この規則はより簡潔に次のように書ける。
e i × e i + 1 = e i + 3 {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{i+1}=\mathbf {e} _{i+3}} ここで、 i = 1, ..., 7を法として、 添え 字 i 、 i + 1 、 i + 3 は 均等に並べ替えることができます。反交換性と組み合わせると、積が生成されます。この規則は、表の零点の対角線に隣接する2つの対角線を直接生成します。また、帰結に関する小節の恒等式から、
e i × ( e i × e i + 1 ) = − e i + 1 = e i × e i + 3 , {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\times \left(\mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{i+1}\right)=-\mathbf {e} _{i+1}=\mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{i+3}\ ,} これにより、さらに外側に対角線が生成されます。
外積 x × y のe j 成分は、表中の e j をすべて選択し、左列から xの対応する成分、上行から y の対応する成分を集めることによって求められます 。結果は次のようになります 。
x × y = ( x 2 y 4 − x 4 y 2 + x 3 y 7 − x 7 y 3 + x 5 y 6 − x 6 y 5 ) e 1 + ( x 3 y 5 − x 5 y 3 + x 4 y 1 − x 1 y 4 + x 6 y 7 − x 7 y 6 ) e 2 + ( x 4 y 6 − x 6 y 4 + x 5 y 2 − x 2 y 5 + x 7 y 1 − x 1 y 7 ) e 3 + ( x 5 y 7 − x 7 y 5 + x 6 y 3 − x 3 y 6 + x 1 y 2 − x 2 y 1 ) e 4 + ( x 6 y 1 − x 1 y 6 + x 7 y 4 − x 4 y 7 + x 2 y 3 − x 3 y 2 ) e 5 + ( x 7 y 2 − x 2 y 7 + x 1 y 5 − x 5 y 1 + x 3 y 4 − x 4 y 3 ) e 6 + ( x 1 y 3 − x 3 y 1 + x 2 y 6 − x 6 y 2 + x 4 y 5 − x 5 y 4 ) e 7 . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} \times \mathbf {y} =(x_{2}y_{4}-x_{4}y_{2}+x_{3}y_{7}-x_{7}y_{3}+x_{5}y_{6}-x_{6}y_{5})\,&\mathbf {e} _{1}\\{}+(x_{3}y_{5}-x_{5}y_{3}+x_{4}y_{1}-x_{1}y_{4}+x_{6}y_{7}-x_{7}y_{6})\,&\mathbf {e} _{2}\\{}+(x_{4}y_{6}-x_{6}y_{4}+x_{5}y_{2}-x_{2}y_{5}+x_{7}y_{1}-x_{1}y_{7})\,&\mathbf {e} _{3}\\{}+(x_{5}y_{7}-x_{7}y_{5}+x_{6}y_{3}-x_{3}y_{6}+x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})\,&\mathbf {e} _{4}\\{}+(x_{6}y_{1}-x_{1}y_{6}+x_{7}y_{4}-x_{4}y_{7}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})\,&\mathbf {e} _{5}\\{}+(x_{7}y_{2}-x_{2}y_{7}+x_{1}y_{5}-x_{5}y_{1}+x_{3}y_{4}-x_{4}y_{3})\,&\mathbf {e} _{6}\\{}+(x_{1}y_{3}-x_{3}y_{1}+x_{2}y_{6}-x_{6}y_{2}+x_{4}y_{5}-x_{5}y_{4})\,&\mathbf {e} _{7}.\end{aligned}}} 外積は双線型なので、演算子 x × – は 行列として表すことができ、その形式は次のようになる [ 要出典 ]。
T x = [ 0 − x 4 − x 7 x 2 − x 6 x 5 x 3 x 4 0 − x 5 − x 1 x 3 − x 7 x 6 x 7 x 5 0 − x 6 − x 2 x 4 − x 1 − x 2 x 1 x 6 0 − x 7 − x 3 x 5 x 6 − x 3 x 2 x 7 0 − x 1 − x 4 − x 5 x 7 − x 4 x 3 x 1 0 − x 2 − x 3 − x 6 x 1 − x 5 x 4 x 2 0 ] . {\displaystyle T_{\mathbf {x} }={\begin{bmatrix}0&-x_{4}&-x_{7}&x_{2}&-x_{6}&x_{5}&x_{3}\\x_{4}&0&-x_{5}&-x_{1}&x_{3}&-x_{7}&x_{6}\\x_{7}&x_{5}&0&-x_{6}&-x_{2}&x_{4}&-x_{1}\\-x_{2}&x_{1}&x_{6}&0&-x_{7}&-x_{3}&x_{5}\\x_{6}&-x_{3}&x_{2}&x_{7}&0&-x_{1}&-x_{4}\\-x_{5}&x_{7}&-x_{4}&x_{3}&x_{1}&0&-x_{2}\\-x_{3}&-x_{6}&x_{1}&-x_{5}&x_{4}&x_{2}&0\end{bmatrix}}.} 外積は次のように表される。
x × y = T x y . {\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =T_{\mathbf {x} }\mathbf {y} .}
さまざまな掛け算表 ここで使用される2つの掛け算表のファノ平面 この記事では 2 つの異なる掛け算表が使用されていますが、他にも存在します。 [5] [13]これらの掛け算表は ファノ平面 [ 14] [15] によって特徴付けられ 、ここで使用されている 2 つの表の図に示されています。上は Sabinin、Sbitneva、Shestakov によって説明されたもので、下は Lounesto によって説明されたものです。ファノ図 (図の線の集合) の下の数字は、それぞれの場合の 7 つの独立した積のインデックスの集合を示しており、 ijk → e i × e j = e k と解釈されます。掛け算表は、任意の 3 点を結ぶ直線、または矢印で示される符号の付いた中央の円をたどることでファノ図から復元されます。たとえば、 上記のリストで e 1 になる乗算の最初の行は、下のファノ図で e 1に接続されている 3 つのパス、つまり円形パス e 2 × e 4 、対角パス e 3 × e 7 、およびエッジ パス e 6 × e 1 = e 5 を、上記のいずれかの恒等式を使用して次のように並べ替えることによって得られます。
e 6 × ( e 6 × e 1 ) = − e 1 = e 6 × e 5 , {\displaystyle \mathbf {e} _{6}\times \left(\mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{1}\right)=-\mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{6}\times \mathbf {e} _{5},} または
e 5 × e 6 = e 1 , {\displaystyle \mathbf {e} _{5}\times \mathbf {e} _{6}=\mathbf {e} _{1},} また、直線上の任意の 2 つの単位ベクトルは、矢印に従った符号 (単位ベクトルを順序付ける順列の符号) を持つ直線上の 3 番目の単位ベクトルに乗算によって接続されるという規則を使用して、図から直接取得されます。
単位ベクトルの名前を変え、中心の単位ベクトルの向きを変えるだけで、両方の乗法規則が同じファノ図から導かれることがわかります。基底のあらゆる可能な順列を考慮すると、480通りの乗算表があり、したがってこのような外積も480通りあります。 [15]
幾何代数の使用 積は、 正定値二次形式 を持つ7次元ベクトル空間の 幾何代数 を用いて計算することもできます。積は 、 2つのベクトルの双ベクトル 積である 外積 から始まります。
B = x ∧ y = 1 2 ( x y − y x ) . {\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {x} \wedge \mathbf {y} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {xy} -\mathbf {yx} ).} これは双線型で交代性があり、目的の大きさを持ちますが、ベクトル値ではありません。ベクトル、つまり外積は、この双ベクトルと三 ベクトル の縮約から得られます。三次元では、スケール係数を除けば、三ベクトルは空間の 擬スカラーで ある1つだけであり、上記の双ベクトルと2つの単位三ベクトルのいずれかとの積は、双ベクトルの 双対である ベクトルの結果を与えます。
同様の計算は7次元でも行われますが、三ベクトルは35次元空間を形成するため、使用できる三ベクトルは多数存在しますが、どの三ベクトルでも使えるわけではありません。上記の座標変換と同じ積を与える三ベクトルは、
v = e 124 + e 235 + e 346 + e 457 + e 561 + e 672 + e 713 . {\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {e} _{124}+\mathbf {e} _{235}+\mathbf {e} _{346}+\mathbf {e} _{457}+\mathbf {e} _{561}+\mathbf {e} _{672}+\mathbf {e} _{713}.} これを外積と組み合わせると外積が得られる。
x × y = − ( x ∧ y ) ⌟ v {\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =-(\mathbf {x} \wedge \mathbf {y} )~\lrcorner ~\mathbf {v} } ここで、幾何代数の 左縮約 演算子は [16] である。 ⌟ {\displaystyle \lrcorner }
八元数との関係 3次元外積が 四元数 で表現できるのと同様に、7次元外積は 八元数で表現できる。R 7 を 虚 八元数（ O の実部の 直交補数 ）と同一視した後、外積は八元数の乗法で次
のように表される 。
x × y = I m ( x y ) = 1 2 ( x y − y x ) . {\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =\mathrm {Im} (\mathbf {xy} )={\frac {1}{2}}(\mathbf {xy} -\mathbf {yx} ).} 逆に、 V が 与えられた外積を持つ 7 次元ユークリッド空間であると仮定します。このとき、 R ⊕ V 上の双線型乗法を次のように定義できます。
( a , x ) ( b , y ) = ( a b − x ⋅ y , a y + b x + x × y ) . {\displaystyle (a,\mathbf {x} )(b,\mathbf {y} )=(ab-\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} ,a\mathbf {y} +b\mathbf {x} +\mathbf {x} \times \mathbf {y} ).} この乗算を 持つ空間 R⊕V は 八元数と同型である。 [17]
外積は3次元と7次元にのみ存在する。なぜなら、上記のように1次元高い空間上では常に乗算を定義でき、この空間は ノルム除算代数 であることが示されるからである。 ハーヴィッツの定理 によれば、そのような代数は1次元、2次元、4次元、8次元にのみ存在するため、外積は0次元、1次元、3次元、または7次元に存在する必要がある。0次元と1次元における積は自明であるため、自明でない外積は3次元と7次元にのみ存在する。 [18] [19]
7次元外積がヤコビ恒等式を満たさないのは、八元数の非結合性に関係している。実際、
x × ( y × z ) + y × ( z × x ) + z × ( x × y ) = − 3 2 [ x , y , z ] {\displaystyle \mathbf {x} \times (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )+\mathbf {y} \times (\mathbf {z} \times \mathbf {x} )+\mathbf {z} \times (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=-{\frac {3}{2}}[\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} ]} ここで、[ x , y , z ]は 連想子 です。
回転 3次元では、外積は回転群 SO(3) の作用に対して不変であるため、回転後の x と y の外積は、回転による x × y の像となる。しかし、この不変性は7次元では成立しない。つまり、外積は7次元の回転群 SO(7) に対して不変ではない。その代わりに、SO(7)の部分群である例外リー群 G 2 に対して不変となる。 [17]
一般化 非零の二項積は3次元と7次元でのみ存在する。二項積でなければならないという制約を外すと、他の積も可能となる。 [21] 積は 多重線形 、 交代 、ベクトル値、そして各入力ベクトル a i に直交していることが求められる。直交性の要件は、 n次元では n − 1個 以下のベクトルしか使用できないことを意味する。積の大きさは、ベクトルを辺とする 平行四辺形 の体積に等しく、 グラム行列式 を用いて計算できる 。条件は以下の通りである。
直交性: i = 1, ..., k の場合 。 ( a 1 × ⋯ × a k ) ⋅ a i = 0 {\displaystyle \left(\mathbf {a} _{1}\times \ \cdots \ \times \mathbf {a} _{k}\right)\cdot \mathbf {a} _{i}=0} グラム行列式: | a 1 × ⋯ × a k | 2 = det ( a i ⋅ a j ) = | a 1 ⋅ a 1 a 1 ⋅ a 2 ⋯ a 1 ⋅ a k a 2 ⋅ a 1 a 2 ⋅ a 2 ⋯ a 2 ⋅ a k ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a k ⋅ a 1 a k ⋅ a 2 ⋯ a k ⋅ a k | {\displaystyle |\mathbf {a} _{1}\times \cdots \times \mathbf {a} _{k}|^{2}=\det(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {a} _{j})={\begin{vmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{2}&\cdots &\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{k}\\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{2}&\cdots &\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {a} _{k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{2}&\cdots &\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{k}\\\end{vmatrix}}} グラム行列式は、a 1 、...、 a k を辺とする平行四辺形の体積の 2 乗です 。
これらの条件では、非自明な外積のみが存在します。
3次元および7次元のバイナリ製品として n ≥ 3次元の n − 1個 のベクトル の積として 、 ベクトルの外積の ホッジ双対である。 8次元の3つのベクトルの積として 8 次元の 3 つのベクトルの積の 1 つのバージョンは、次のように与えられます
。 ここで、 v は 7 次元で使用されるのと同じ 3 ベクトルであり、 これも左縮約であり、 w = − ve 12...7 は 4 ベクトルです。 a × b × c = ( a ∧ b ∧ c ) ⌟ ( w − v e 8 ) {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} \times \mathbf {c} =(\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )~\lrcorner ~(\mathbf {w} -\mathbf {ve} _{8})} ⌟ {\displaystyle \lrcorner }
自明な積も存在します。既に述べたように、二元積は7次元、3次元、1次元、0次元でのみ存在し、最後の2次元は0となります。さらに、偶数次元では自明な「積」が生じます。これは、単一のベクトルから、適切な二元ベクトルとの左縮約によって、それと直交する同じ大きさのベクトルを生成するものです。2次元では、これは直角回転です。
さらに一般化すると、多重線性と大きさの要件を緩和し、次の 2 つの特性を満たすことだけが要求される一般的な連続関数 V d → V (ここで、 V は ユークリッド内積を持つ R nで、 d ≥ 2 ) を考えることができます。
外積は常にすべての入力ベクトルに対して直交します。 入力ベクトルが線形独立である場合、外積はゼロ以外になります。 これらの要件の下では、外積は（I） n = 3、 d = 2 、（II） n = 7、 d = 2 、（III） n = 8、 d = 3 、および（IV）任意の d = n − 1の 場合にのみ存在します。 [1]
別の方向では、ベクトル積代数は任意の体 上で定義されており 、特性2以外の体では次元は0、1、3、または7でなければならない。実際、この結果はさらに一般化されており、例えば2が キャンセル可能 な任意の可換環上で作用し、2x = 2yであればx = yとなる。 [22]
参照
注記 ^ abc Massey, WS (1983). 「高次元ユークリッド空間におけるベクトルの外積」. アメリカ数学月刊誌 . 90 (10). アメリカ数学会誌: 697–701 . doi :10.2307/2323537. JSTOR 2323537. ^ ab Massey (1983): 「外積の 3 つの基本的な特性のみを必要とする場合、ベクトルの外積は 3 次元および 7 次元のユークリッド空間にのみ存在することがわかります。」 ^ G Gentili, C Stoppato, DC Struppa, F Vlacci (2009). 「超複素変数の正則関数に関する最近の発展」. Irene Sabadini , M Shapiro, F Sommen (編). 超複素解析 (四元数とクリフォード解析に関する会議; 議事録編集). Birkhäuser. p. 168. ISBN 978-3-7643-9892-7 。 {{cite book }}: CS1 maint: multiple names: authors list (link )^ ab Lev Vasilʹevitch Sabinin; Larissa Sbitneva; IP Shestakov (2006). 「§17.2 八元数とその正則双加群表現」. 非結合代数とその応用 . CRC Press. p. 235. ISBN 0-8247-2669-3 。 ^ abc Rafał Abłamowicz; Pertti Lounesto; Josep M. Parra (1996). 「§ Four octonionic basis numberings」. Clifford algebras with numeric and symbolic computes . Birkhäuser. p. 202. ISBN 0-8176-3907-1 。 ^ マッピングはMassey (1983)およびRobert B Brown & Alfred Gray (1967)によって双線型に制限されています 。「ベクトル積」 Commentarii Mathematici Helvetici . 42 (12月1日). Birkhäuser Basel: 222– 236. doi :10.1007/BF02564418. S2CID 121135913. 。 ^ フランシス・ベグノー・ヒルデブランド (1992). 『応用数学の方法』（プレンティス・ホール社 1965年第2版復刻版）. クーリエ・ドーバー出版. p. 24. ISBN 0-486-67002-3 。 ^ Lounesto, Pertti (2001). Clifford algebras and spinors. Cambridge University Press. pp. 96– 97. ISBN 0-521-00551-5 。 ^ ケンドール、MG（2004年）『N次元幾何学講座』クーリエ・ドーバー出版、19頁 。ISBN 0-486-43927-5 。 ^ ab ZK Silagadze (2002). 「多次元ベクトル積」. Journal of Physics A: Mathematical and General . 35 (23) 310: 4949– 4953. arXiv : math.RA/0204357 . Bibcode :2002JPhA...35.4949S. doi :10.1088/0305-4470/35/23/310. S2CID 119165783. ^ ネイサン・ジェイコブソン (2009). 『基礎代数 I』（フリーマン 1974 第2版の再版）. ドーバー出版. pp. 417– 427. ISBN 978-0-486-47189-1 。 ^ 表に関する詳細な議論と、ファノ平面とこれらの表との関連については、 Tony Smith「Octonion products and lattices」を参照してください。 2018年5月12日 閲覧 。 ^ ラファウ・アブワモヴィッチ、バートフリート・ファウザー (2000). クリフォード代数とその数理物理学への応用：代数と物理学. シュプリンガー. p. 26. ISBN 0-8176-4182-3 。 ^ ab Jörg Schray; Corinne A. Manogue (1996). 「クリフォード代数の八元数的表現と三元性」. Foundations of Physics . 26 (1/January): 17– 70. arXiv : hep-th/9407179 . Bibcode :1996FoPh...26...17S. doi :10.1007/BF02058887. S2CID 119604596. ArXive プレプリントとして入手可能。図 1 はここにあります。 ^ Bertfried Fauser (2004). "§18.4.2 縮約". Pertti Lounesto; Rafał Abłamowicz (編). Clifford algebras: applications to math, physics, and engineering . Birkhäuser. pp. 292 ff . ISBN 0-8176-3525-4 。 ^ ab John C. Baez (2002). "The Octonions" (PDF) . Bull. Amer. Math. Soc . 39 (2): 145– 205. arXiv : math/0105155 . doi :10.1090/s0273-0979-01-00934-x. S2CID 586512. 2010年7月7日時点のオリジナル (PDF) からのアーカイブ。 ^ Elduque, Alberto (2004)、ベクトル積 (PDF) ^ Darpö, Erik (2009). 「ベクトル積代数」. ロンドン数学会報 . 41 (5): 898– 902. arXiv : 0810.5464 . doi :10.1112/blms/bdp066. S2CID 122615967. 参照: 実ベクトル積代数 、 CiteSeerX 10.1.1.66.4 ^ Jean H. Gallier (2001). 「問題7.10 (2)」. 幾何学的手法とその応用：コンピュータサイエンスとエンジニアリングのために. Springer. p. 244. ISBN 0-387-95044-3 。 ^ ストリート、ロス (2018). 「編み込みモノイド加法圏におけるベクトル積と合成代数」. arXiv : 1812.04143 [math.CT].
![{\displaystyle \mathbf {x} \times (\mathbf {y} \times \mathbf {z} )+\mathbf {y} \times (\mathbf {z} \times \mathbf {x} )+\mathbf {z} \times (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=-{\frac {3}{2}}[\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e1df21788077be1f4fa1af5ce928cb33af23730)
