マイナス1、ゼロ、またはプラス1を返す関数
Signum function y = sgn x {\displaystyle y=\operatorname {sgn} x} In mathematics , the sign function or signum function (from signum Latin for "sign") is a function that has the value −1 , +1 or 0 according to whether the sign of a given real number is positive or negative, or the given number is itself zero. In mathematical notation the sign function is often represented as sgn x {\displaystyle \operatorname {sgn} x} sgn ( x ) {\displaystyle \operatorname {sgn}(x)} [ 1]
The signum function of a real number x {\displaystyle x} piecewise function which is defined as follows:[ 1] sgn x := { − 1 もし x < 0 , 0 もし x = 0 , 1 もし x > 0. {\displaystyle \operatorname {sgn} x:={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}}
三分法則に よれ ば、すべての実数は正、負、またはゼロでなければならない。符号関数は、数を -1 、 +1 、または 0 のいずれかの値にマッピングすることで、 どの一意のカテゴリに属するかを示し、数式やさらなる計算で使用できる。
例： sgn ( 2 ) = + 1 , sgn ( π ) = + 1 , sgn ( − 8 ) = − 1 , sgn ( − 1 2 ) = − 1 , sgn ( 0 ) = 0 . {\displaystyle {\begin{array}{lcr}\operatorname {sgn}(2)&=&+1\,,\\\operatorname {sgn}(\pi )&=&+1\,,\\\operatorname {sgn}(-8)&=&-1\,,\\\operatorname {sgn}(-{\frac {1}{2}})&=&-1\,,\\\operatorname {sgn}(0)&=&0\,.\end{array}}}
任意の実数は、その絶対値 と符号 の積として表すことができる。 x = | x | sgn x . {\displaystyle x=|x|\operatorname {sgn} x\,.}
したがって、 が0に等しくない
場合は常に、 x {\displaystyle x} sgn x = x | x | = | x | x . {\displaystyle \operatorname {sgn} x={\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}}\,.}
同様に、任意の実数 について 、 また 、 次のことも確かである。 したがって、 x {\displaystyle x} | x | = x sgn x . {\displaystyle |x|=x\operatorname {sgn} x\,.} sgn ( x y ) = ( sgn x ) ( sgn y ) , {\displaystyle \operatorname {sgn}(xy)=(\operatorname {sgn} x)(\operatorname {sgn} y)\,,} sgn ( x n ) = ( sgn x ) n . {\displaystyle \operatorname {sgn}(x^{n})=(\operatorname {sgn} x)^{n}\,.}
符号は、アイバーソン括弧 記法を 使用して表すこともできる。 sgn x = − [ x < 0 ] + [ x > 0 ] . {\displaystyle \operatorname {sgn} x=-[x<0]+[x>0]\,.}
符号は、床関数 と絶対値関数 を使用して表すこともできる。 が 1に等しいと仮定すると、すべての実数について、符号は次のように表すこともできる。 sgn x = ⌊ x | x | + 1 ⌋ − ⌊ − x | x | + 1 ⌋ . {\displaystyle \operatorname {sgn} x={\Biggl \lfloor }{\frac {x}{|x|+1}}{\Biggr \rfloor }-{\Biggl \lfloor }{\frac {-x}{|x|+1}}{\Biggr \rfloor }\,.} 0 0 {\displaystyle 0^{0}} sgn x = 0 ( − x + | x | ) − 0 ( x + | x | ) . {\displaystyle \operatorname {sgn} x=0^{\left(-x+\left\vert x\right\vert \right)}-0^{\left(x+\left\vert x\right\vert \right)}\,.}
符号関数 は で 連続 ではない x = 0 {\displaystyle x=0} が負のとき、 符号関数は値 -1 を取りますが、のグラフの 環状の点 (0, -1) は 、 のときはそうではないことを示しています 。代わりに、値は のとき (0, 0) の実線の点に急激にジャンプします。次に、 が正のとき 、 に同様のジャンプがあります。どちらのジャンプも 、 が正または負の
いずれの点でも連続であるにもかかわらず、 符号関数は ゼロで不連続であることを視覚的に示しています x {\displaystyle x} sgn x {\displaystyle \operatorname {sgn} x} x = 0 {\displaystyle x=0} sgn ( 0 ) = 0 {\displaystyle \operatorname {sgn}(0)=0} sgn ( x ) = + 1 {\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=+1} x {\displaystyle x} sgn x {\displaystyle \operatorname {sgn} x} x {\displaystyle x}
これらの観察は、数学的解析 における 連続性 の様々な同等な形式的定義のいずれによっても確認されます 。関数 （例： ）が 点において連続である と は、その値が の 列 によって任意に近似できる場合です。 ここで、は が十分に大きくなる につれて に 任意に近づく任意の無限列を構成します。数学的 極限 の表記法では、 における の連続性は、 と なる 任意の列について が で あることを必要とします。 矢印記号は に 近づく 、または に向かうことを 意味すると解釈でき、それは列全体に適用されます。 f ( x ) {\displaystyle f(x)} sgn ( x ) , {\displaystyle \operatorname {sgn}(x),} x = a {\displaystyle x=a} f ( a ) {\displaystyle f(a)} f ( a 1 ) , f ( a 2 ) , f ( a 3 ) , … , {\displaystyle f(a_{1}),f(a_{2}),f(a_{3}),\dots ,} a n {\displaystyle a_{n}} a {\displaystyle a} n {\displaystyle n} f {\displaystyle f} a {\displaystyle a} f ( a n ) → f ( a ) {\displaystyle f(a_{n})\to f(a)} n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } ( a n ) n = 1 ∞ {\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty }} a n → a . {\displaystyle a_{n}\to a.}
この基準は、符号関数の では成り立ちません 。例えば、 が無限大に向かって増加する につれてゼロに向かう 数列 を選ぶことができます 。この場合、 が要求どおりですが、 それぞれ に対してとなり 、 と なります。この反例は 、プロットに見えるゼロにおける の不連続性をより形式的に確認しています。 a = 0 {\displaystyle a=0} a n {\displaystyle a_{n}} 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 , … , {\displaystyle 1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\dots ,} n {\displaystyle n} a n → a {\displaystyle a_{n}\to a} sgn ( a ) = 0 {\displaystyle \operatorname {sgn}(a)=0} sgn ( a n ) = + 1 {\displaystyle \operatorname {sgn}(a_{n})=+1} n , {\displaystyle n,} sgn ( a n ) → 1 ≠ sgn ( a ) {\displaystyle \operatorname {sgn}(a_{n})\to 1\neq \operatorname {sgn}(a)} sgn x {\displaystyle \operatorname {sgn} x}
符号関数は非常に単純な形をしているにもかかわらず、ゼロにおけるステップ変化は、要件が非常に厳しい従来の 微積分 技術にとって困難を引き起こします。連続性は頻繁に制約されます。1つの解決策は、滑らかな連続関数で符号関数を近似することです。他の解決策は、より大きな関数のクラスに対応するために古典的な方法に基づいた、それほど厳密ではないアプローチを必要とするかもしれません。
符号関数は、いくつかの異なる（点ごとの）極限として与えることができます。 ここで、 は 双曲正接 、は 逆正接 です 。これらの最後の極限は の微分です。これは、 がすべての非ゼロ に対して が正確に等しいという事実に着想を得ており 、符号関数の高次元類似物（例えば、 の偏微分）に簡単に一般化できるという利点があります 。 sgn x = lim n → ∞ 1 − 2 − n x 1 + 2 − n x = lim n → ∞ 2 π arctan ( n x ) = lim n → ∞ tanh ( n x ) = lim ε → 0 x x 2 + ε 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sgn} x&=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-2^{-nx}}{1+2^{-nx}}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {2}{\pi }}\operatorname {arctan} (nx)\\&=\lim _{n\to \infty }\tanh(nx)\\&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+\varepsilon ^{2}}}}.\end{aligned}}} tanh {\displaystyle \tanh } arctan {\displaystyle \operatorname {arctan} } x 2 + ε 2 {\displaystyle {\sqrt {x^{2}+\varepsilon ^{2}}}} x {\displaystyle x} ε = 0 {\displaystyle \varepsilon =0} x 2 + y 2 {\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
ヘビサイドの階段関数 § 解析的近似 を 参照してください 。
符号関数は 、 が非ゼロの
とき、 その 導関数 がゼロになる 場合を除き、どこでも微分 可能です。 sgn x {\displaystyle \operatorname {sgn} x} x = 0. {\displaystyle x=0.} x {\displaystyle x} d ( sgn x ) d x = 0 for x ≠ 0 . {\displaystyle {\frac {{\text{d}}\,(\operatorname {sgn} x)}{{\text{d}}x}}=0\qquad {\text{for }}x\neq 0\,.}
これは、定義域上で導関数が常にゼロになる任意の定数関数 の微分可能性から生じます 。符号関数は、負の 開領域 （−1 に等しい） に制限されている場合、定数関数として機能します。同様に、 対応する定数が +1 である正の開領域内では、定数関数と見なすことができます 。これらは2つの異なる定数関数ですが、それぞれの場合で導関数はゼロになります sgn x {\displaystyle \operatorname {sgn} x} x < 0 , {\displaystyle x<0,} x > 0 , {\displaystyle x>0,}
そこに不連続性があるため、 古典微分を定義することはできません x = 0 {\displaystyle x=0}
通常の意味では で 微分可能ではありませんが、 分布理論 における一般化された微分の概念の下では、シグナム関数の導関数は ディラックのデルタ関数の 2倍です。これは、標準的な形式を用いた ヘビサイドの階段関数 で ある恒等式 [ 2 ] を用いて証明できます 。この恒等式を用いると、分布微分を簡単に導くことができます。 [ 3 ] x = 0 {\displaystyle x=0} sgn x = 2 H ( x ) − 1 , {\displaystyle \operatorname {sgn} x=2H(x)-1\,,} H ( x ) {\displaystyle H(x)} H ( 0 ) = 1 2 {\displaystyle H(0)={\frac {1}{2}}} d sgn x d x = 2 d H ( x ) d x = 2 δ ( x ) . {\displaystyle {\frac {{\text{d}}\operatorname {sgn} x}{{\text{d}}x}}=2{\frac {{\text{d}}H(x)}{{\text{d}}x}}=2\delta (x)\,.}
シグナム関数は、 積分区間にゼロが含まれる場合でも、任意の有限値 a と b の間で 定積分を持ちます。その結果得られる a と b の 積分は、それらの絶対値の差に等しくなります。 ∫ a b ( sgn x ) d x = | b | − | a | . {\displaystyle \int _{a}^{b}(\operatorname {sgn} x)\,{\text{d}}x=|b|-|a|\,.}
実際、シグナム関数は、 ゼロで 勾配が急激に変化する場合を除き、絶対値関数の導関数です。 d | x | d x = sgn x for x ≠ 0 . {\displaystyle {\frac {{\text{d}}|x|}{{\text{d}}x}}=\operatorname {sgn} x\qquad {\text{for }}x\neq 0\,.}
これは、別々の領域とにおける絶対値の定義を考えることで 、 前と同じように理解できます。 例えば、絶対値関数は、 導関数が定数値 +1 である領域では と同一であり、これは そこで の値に等しくなります | x | {\displaystyle |x|} x > 0 {\displaystyle x>0} x < 0. {\displaystyle x<0.} x {\displaystyle x} x > 0 , {\displaystyle x>0,} sgn x {\displaystyle \operatorname {sgn} x}
絶対値は 凸関数 であるため、原点を含むすべての点で 少なくとも1つの 劣微分が存在します。ゼロを除くすべての点で、結果として得られる 劣微分は 単一の値で構成され、符号関数の値に等しくなります。対照的に、ゼロには多くの劣微分があり、そのうちの1つだけが値を取ります。 絶対値関数が最小値であるため、ここで劣 微分値 0 が発生します。ゼロにおける有効な劣微分の完全な族は劣微分区間を構成します。これは、非公式には、符号関数のグラフを原点を通る垂直線で「埋める」こと、つまり2次元曲線として連続させることと考えることができます。 sgn ( 0 ) = 0 {\displaystyle \operatorname {sgn}(0)=0} [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]}
積分理論において、符号関数は絶対値関数の 弱微分です。弱微分は、 ほぼすべての点で 等しい場合 、同値であり、単一点における孤立した異常の影響を受けません。これには、古典的な微分の存在を禁じる、ゼロにおける絶対値関数の勾配の変化が含まれます。
符号関数のフーリエ変換は [ 4 ] であり、 ここ で は コーシー 主 値 を 取ることを意味します 。 P V ∫ − ∞ ∞ ( sgn x ) e − i k x d x = 2 i k for k ≠ 0 , {\displaystyle PV\int _{-\infty }^{\infty }(\operatorname {sgn} x)e^{-ikx}{\text{d}}x={\frac {2}{ik}}\qquad {\text{for }}k\neq 0,} P V {\displaystyle PV}
符号関数は、 を除く 任意の複素数に対して 、 と
一般化できます 。与えられた複素数の符号は、 に最も近い 複素平面 の 単位円 上の 点 です 。したがって、 に対して 、 は 複素偏角関数 です 。 sgn z = z | z | {\displaystyle \operatorname {sgn} z={\frac {z}{|z|}}} z {\displaystyle z} z = 0 {\displaystyle z=0} z {\displaystyle z} z {\displaystyle z} z ≠ 0 {\displaystyle z\neq 0} sgn z = e i arg z , {\displaystyle \operatorname {sgn} z=e^{i\arg z}\,,} arg {\displaystyle \arg }
対称性の理由と、これを実数上の符号関数の適切な一般化に保つために、複素領域でも通常、 に対して と定義します 。 z = 0 {\displaystyle z=0} sgn ( 0 + 0 i ) = 0 {\displaystyle \operatorname {sgn}(0+0i)=0}
実数および複素数式に対する符号関数の別の一般化は であり 、 [ 5 ] は次のように定義されます。 ここで 、 は の実部 、 は の虚部です 。 csgn {\displaystyle {\text{csgn}}} csgn z = { 1 if R e ( z ) > 0 , − 1 if R e ( z ) < 0 , sgn I m ( z ) if R e ( z ) = 0 {\displaystyle \operatorname {csgn} z={\begin{cases}1&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)>0,\\-1&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)<0,\\\operatorname {sgn} \mathrm {Im} (z)&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)=0\end{cases}}} Re ( z ) {\displaystyle {\text{Re}}(z)} z {\displaystyle z} Im ( z ) {\displaystyle {\text{Im}}(z)} z {\displaystyle z}
すると、 に対して、 となります 。 z ≠ 0 {\displaystyle z\neq 0} csgn z = z z 2 = z 2 z . {\displaystyle \operatorname {csgn} z={\frac {z}{\sqrt {z^{2}}}}={\frac {\sqrt {z^{2}}}{z}}.}
極分解 定理により 、行列 ( および )は、積として分解できます。 ここで 、は ユニタリ行列 、は 自己随伴、またはエルミート正定値行列で、どちらも です 。 が 可逆であれば、そのような分解は一意であり、 の符号 の役割を果たします。 がユニタリ で あるが、一般に とは異なる 分解によって双対構成が与えられます 。これにより、各 可逆行列は 一意の左符号 と右符号を持ちます 。 A ∈ K n × n {\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in \mathbb {K} ^{n\times n}} n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} Q P {\displaystyle {\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {P}}} Q {\displaystyle {\boldsymbol {Q}}} P {\displaystyle {\boldsymbol {P}}} K n × n {\displaystyle \mathbb {K} ^{n\times n}} A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} Q {\displaystyle {\boldsymbol {Q}}} A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} A = S R {\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {S}}{\boldsymbol {R}}} R {\displaystyle {\boldsymbol {R}}} Q {\displaystyle {\boldsymbol {Q}}} Q {\displaystyle {\boldsymbol {Q}}} R {\displaystyle {\boldsymbol {R}}}
が（可逆）行列であり 、（非ゼロ）複素数 と同一視される 特殊な場合 、符号行列は を満たし 、 の複素符号と同一視されます 。 この意味で、極分解は複素数の符号-係数分解を行列に一般化します。 K = R , n = 2 , {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\ n=2,} A = [ a − b b a ] {\displaystyle {\boldsymbol {A}}=\left[{\begin{array}{rr}a&-b\\b&a\end{array}}\right]} a + i b = c {\displaystyle a+\mathrm {i} b=c} Q = P = [ a − b b a ] / | c | {\displaystyle {\boldsymbol {Q}}={\boldsymbol {P}}=\left[{\begin{array}{rr}a&-b\\b&a\end{array}}\right]/|c|} c {\displaystyle c} sgn c = c / | c | {\displaystyle \operatorname {sgn} c=c/|c|}
の実数値において、 一般化 関数 バージョンのシグナム関数 を定義することが可能であり、 点 を含むあらゆる場所で 、とは 異なり 、 に対して となる 。この一般化シグナムにより、 一般化関数の代数の構成が可能になるが、そのような一般化の代償として 可換性 が失われる 。特に、一般化シグナムはディラックのデルタ関数 [ 6 ] と反交換する。
さらに、 は では評価できず、 関数 と区別するために 特別な名前が必要である 。（ は定義されていないが、 である 。） x {\displaystyle x} ε ( x ) {\displaystyle \varepsilon (x)} ε ( x ) 2 = 1 {\displaystyle \varepsilon (x)^{2}=1} x = 0 {\displaystyle x=0} sgn {\displaystyle \operatorname {sgn} } ( sgn 0 ) 2 = 0 {\displaystyle (\operatorname {sgn} 0)^{2}=0} ε ( x ) δ ( x ) + δ ( x ) ε ( x ) = 0 ; {\displaystyle \varepsilon (x)\delta (x)+\delta (x)\varepsilon (x)=0\,;} ε ( x ) {\displaystyle \varepsilon (x)} x = 0 {\displaystyle x=0} ε {\displaystyle \varepsilon } sgn {\displaystyle \operatorname {sgn} } ε ( 0 ) {\displaystyle \varepsilon (0)} sgn 0 = 0 {\displaystyle \operatorname {sgn} 0=0}
![{\displaystyle \operatorname {sgn} x=-[x<0]+[x>0]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da96ec12809d22870d03fc8b22fb16a66ad383a9)
![{\displaystyle {\boldsymbol {A}}=\left[{\begin{array}{rr}a&-b\\b&a\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11d1907b0fe28351347d9ba7b63a33549a72a636)
![{\displaystyle {\boldsymbol {Q}}={\boldsymbol {P}}=\left[{\begin{array}{rr}a&-b\\b&a\end{array}}\right]/|c|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d491d90e057f67de0f0b15d29bc01ff4fa58d73d)
