モジュールの束

Sheaf consisting of modules on a ringed space; generalizing vector bundles

数学において、環空間( X、O )上のO加群の層、ま​​たは単にO加群は、 Xの任意の開部分集合 U に対して、F ( U )がO ( U ) 加群であり、制限写像 F ( U ) → F ( V ) が制限写像 O ( U ) → O ( V ) と互換性があるようなアーベル群 F の層です。つまり、O ( U )内の 任意のfとF ( U  )内のsに対して、fsの制限はfの制限とsの制限を掛け合わせたものです。

標準的なケースは、Xがスキームで、O がその構造層である場合です。O が定数層 の場合、O 加群の層はアーベル群の層（すなわちアーベル層）と同じです。 ${\displaystyle {\underline {\mathbf {Z} }}}$

Xが環Rの素スペクトルである場合、任意のR加群は自然にO _X加群（随伴層と呼ばれる）を定義します。同様に、 Rが次数付き環で、X がRの射影である場合、任意の次数付き加群は自然にO _X加群を定義します。このようにして生じるO加群は準連接層の例であり、実際、アフィンスキームまたは射影スキームでは、すべての準連接層はこのようにして得られます。

環空間上の加群の層はアーベル圏を形成する。^[1]さらに、この圏には十分な数の入射項があり、^{[2]結果として、}層コホモロジーを 大域切断関数のi番目の右導来関数として定義することができる。^[3] ${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,-)}$ ${\displaystyle \Gamma (X,-)}$

例

• 環空間 ( X、O ) が与えられ、FがOのO部分加群である場合、Xの各開部分集合Uに対してF ( U )は環O ( U ) のイデアルとなるため、これはイデアル層またはOのイデアル層と呼ばれます。
• X をn次元の滑らかな多様体とする。Xの接層は余接層の双対であり、標準層はのn乗外冪（行列式）である。 ${\displaystyle \Omega _{X}}$ ${\displaystyle \omega _{X}}$ ${\displaystyle \Omega _{X}}$
• 代数の層は、環の層でもあるモジュールの層です。

オペレーション

( X , O ) を環空間とする。FとGがO加群ならば、それらのテンソル積は

${\displaystyle F\otimes _{O}G}$または、 ${\displaystyle F\otimes G}$

は前層に関連付けられた層であるO加群である（層化が避けられないことを確認するには、射影空間上のセールのねじり層であるO（1）のグローバルセクションを計算します）。 ${\displaystyle U\mapsto F(U)\otimes _{O(U)}G(U).}$ ${\displaystyle O(1)\otimes O(-1)=O}$

同様に、FとGがO加群であれば、

${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{O}(F,G)}$

はO加群を表し、それは層である。^[4]特に、O加群 ${\displaystyle U\mapsto \operatorname {Hom} _{O|_{U}}(F|_{U},G|_{U})}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{O}(F,O)}$

はFの双対加群と呼ばれ、 と表記される。注: 任意のO加群E , Fに対して、標準準同型が存在する。 ${\displaystyle {\check {F}}}$

${\displaystyle {\check {E}}\otimes F\to {\mathcal {H}}om_{O}(E,F)}$、

これは、 Eが有限階数の局所自由層であるとき同型である。特に、Lが階数1の局所自由層である場合（このようなLは可逆層または線束と呼ばれる）、^[5]は次のように表される。

${\displaystyle {\check {L}}\otimes L\simeq O,}$

可逆層の同型類が群を形成することを意味する。この群はXのピカール群と呼ばれ、（チェフコホモロジーを用いた標準的な議論により）第一コホモロジー群と標準的に同一視される。 ${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(X,{\mathcal {O}}^{*})}$

E が有限ランクの局所自由層である場合、ペアリングによって与えられるO線型写像が存在し、これはEのトレース写像と呼ばれます。 ${\displaystyle {\check {E}}\otimes E\simeq \operatorname {End} _{O}(E)\to O}$

任意のO加群Fに対して、Fのテンソル代数、外積代数、対称代数は同様に定義される。例えば、k番目の外積冪

${\displaystyle \bigwedge ^{k}F}$

は前層 に付随する層である。Fが局所的に階数nを持たない場合、 はFの行列式直線束（ただし技術的には可逆層）と呼ばれ、 det( F ) と表記される。自然な完全対が存在する。 ${\textstyle U\mapsto \bigwedge _{O(U)}^{k}F(U)}$ ${\textstyle \bigwedge ^{n}F}$

${\displaystyle \bigwedge ^{r}F\otimes \bigwedge ^{n-r}F\to \det(F).}$

f : ( X , O ) →( X ' , O ' ) を環空間の射とする。F が O 加群ならば、直像層は自然写像O ' → f * O を通して O ' 加群となる（この_ような自然写像は環空間の射のデータの一部である）。 ${\displaystyle f_{*}F}$

GがO '加群の場合、 Gの加群逆像は加群のテンソル積として与えられるO加群です。 ${\displaystyle f^{*}G}$

${\displaystyle f^{-1}G\otimes _{f^{-1}O'}O}$

ここではGの逆像層であり、から の加法によって得られます。 ${\displaystyle f^{-1}G}$ ${\displaystyle f^{-1}O'\to O}$ ${\displaystyle O'\to f_{*}O}$

との間には随伴関係がある。任意のO-モジュールFとO'-モジュールGに対して、 ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle f^{*}}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{O}(f^{*}G,F)\simeq \operatorname {Hom} _{O'}(G,f_{*}F)}$

アーベル群として。また、射影公式も存在する：O加群Fと有限階数の局所自由O'加群Eに対して、

${\displaystyle f_{*}(F\otimes f^{*}E)\simeq f_{*}F\otimes E.}$

プロパティ

( X , O ) を環空間とする。O加群Fが大域切断によって生成されるとは、 O加群の全射が存在することを意味する。

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}O\to F\to 0.}$

明示的には、これは、 Fのグローバルセクションs _iが存在し、各茎F _x内のs _iの像がO _xモジュールとしてF _xを生成することを意味します。

そのような層の例としては、代数幾何学において、任意の可換環 R が環 Spec ( R ) のスペクトル上にある R 加群 M に関連付けられている層が挙げられる。別の例として、カルタンの定理Aによれば、スタイン多様体上の任意の連接層は大域切断によって張られる。（下記のセールの定理 A を参照。）スキーム理論において、関連する概念として、十分な直線束がある。（例えば、Lが十分な直線束である場合、そのある冪は大域切断によって生成される。）

入射的なO加群はフラスク層である（すなわち、すべての制約写像F ( U )→ F ( V )は射影的である）。^[6]フラスク層はアーベル層のカテゴリでは非巡回的であるため、これはO加群のカテゴリにおける大域セクション関数のi番目の右導来関数が、アーベル層のカテゴリにおける通常のi番目の層コホモロジーと一致することを意味する。 ^[7] ${\displaystyle \Gamma (X,-)}$

モジュールに関連付けられた束

を環 上の加群とする。をと書き表す。各対 に対して、局所化の普遍性により、自然な写像が存在する。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (A)}$ ${\displaystyle D(f)=\{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} (A[f^{-1}])}$ ${\displaystyle D(f)\subseteq D(g)}$

${\displaystyle \rho _{g,f}:M[g^{-1}]\to M[f^{-1}]}$

という性質を持つ。すると ${\displaystyle \rho _{g,f}=\rho _{g,h}\circ \rho _{h,f}}$

${\displaystyle D(f)\mapsto M[f^{-1}]}$

は、集合D ( f ) を対象とし、集合のアーベル群の圏への包含を射とする圏からの反変関手である。 ^[8]によれば、 これは実際にはB-層（すなわち、接着公理を満たす）であり、したがってX上の層、すなわちMに付随する層を定義する。 ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$

最も基本的な例は、X上の構造層、すなわち である。さらに、は-加群の構造を持つため、 Mod _A （ A上の加群の圏）から上の加群の圏への正確な関数が得られる。これは、 Mod _AからX上の準連接層の圏への同値性を定義し、その逆関数として大域セクション関数 を定義する。Xがネーターである場合、この関数は有限生成A -加群の圏からX上の連接層の圏への同値性を持つ。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}={\widetilde {A}}}$ ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}={\widetilde {A}}}$ ${\displaystyle M\mapsto {\widetilde {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle \Gamma (X,-)}$

この構成は次のような性質を持つ：任意のA加群M、N、および任意の射に対して、 ${\displaystyle \varphi :M\to N}$

• ${\displaystyle M[f^{-1}]^{\sim }={\widetilde {M}}|_{D(f)}}$. ^[9]
• Aの任意の素イデアルpに対して、O _p = A _p -モジュールとなります。 ${\displaystyle {\widetilde {M}}_{p}\simeq M_{p}}$
• ${\displaystyle (M\otimes _{A}N)^{\sim }\simeq {\widetilde {M}}\otimes _{\widetilde {A}}{\widetilde {N}}}$. ^[10]
• Mが有限に提示されている場合、. ^[10] ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}(M,N)^{\sim }\simeq {\mathcal {H}}om_{\widetilde {A}}({\widetilde {M}},{\widetilde {N}})}$
• ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}(M,N)\simeq \Gamma (X,{\mathcal {H}}om_{\widetilde {A}}({\widetilde {M}},{\widetilde {N}}))}$なぜなら、Mod _AとX上の準連接層のカテゴリは同値であるからです。
• ${\displaystyle (\varinjlim M_{i})^{\sim }\simeq \varinjlim {\widetilde {M_{i}}}}$; ^[11]特に、直和と〜交換をとる。
• A加群の列が正確であるためには、 による誘導列が正確である必要があります。特に、. ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle (\ker(\varphi ))^{\sim }=\ker({\widetilde {\varphi }}),(\operatorname {coker} (\varphi ))^{\sim }=\operatorname {coker} ({\widetilde {\varphi }}),(\operatorname {im} (\varphi ))^{\sim }=\operatorname {im} ({\widetilde {\varphi }})}$

段階的モジュールに関連付けられた束

前節の構成と同値性の次数付き類似が存在する。Rを次数_1の元によって生成される次数付き環とし（R _{0 は}次数0のピースを意味する）、M を次数付きR加群とする。XをRの射影とする（したがって、RがノイザンであればXは射影スキームとなる）。すると、 Rの正次同次元fに対して自然同型が存在するようなO加群が存在する。 ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$

${\displaystyle {\widetilde {M}}|_{\{f\neq 0\}}\simeq (M[f^{-1}]_{0})^{\sim }}$

アフィンスキーム上の加群の層として定義される。^[12]実際、これは接着によって定義される。 ${\displaystyle \{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} (R[f^{-1}]_{0})}$ ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$

例：R (1)をR (1) _n = R _{n +1}で与えられる次数付きR加群とする。このとき、Rが次数1で有限生成であるとき、 Rはセールのねじれ層と呼ばれ、トートロジー直線束の双対となる。 ${\displaystyle O(1)={\widetilde {R(1)}}}$

FがX上のO加群である場合、 と書くと、標準準同型が存在します。 ${\displaystyle F(n)=F\otimes O(n)}$

${\displaystyle \left(\bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,F(n))\right)^{\sim }\to F,}$

これは、 Fが準整合である場合に限り同型である。

層コホモロジーの計算

層コホモロジーは計算が難しいことで知られています。そのため、次の一般的な事実はあらゆる実用的な計算において基本的なものとなります。

定理— X を位相空間とし、Fをその上のアーベル層とし、Xの開被覆として、任意のi 、 p 、およびが に属するとする。すると、任意のiに対して、 ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$ ${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(U_{i_{0}}\cap \cdots \cap U_{i_{p}},F)=0}$ ${\displaystyle U_{i_{j}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$

${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F)=\operatorname {H} ^{i}(C^{\bullet }({\mathfrak {U}},F))}$

ここで、右辺はi番目のチェフコホモロジーです。

セールの消失定理^[13]によれば、Xが射影多様体でFがその上の連接層であるとき、十分に大きいnに対して、セールツイスト F ( n )は有限個の大域切断によって生成される。さらに、

1. 各iに対して、 H ⁱ ( X , F ) はR ₀上に有限生成され、
2. Fに依存した整数n ₀が存在し、 $${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F(n))=0,\,i\geq 1,n\geq n_{0}.}$$

^{[14] [15] [16]}

束の拡張

( X , O ) を環空間とし、F , HをX上のO -加群の層とする。FによるHの拡大はO -加群の短完全列となる。

${\displaystyle 0\rightarrow F\rightarrow G\rightarrow H\rightarrow 0.}$

群の拡大と同様に、 FとH を固定すると、 FによるHの拡大の同値類はすべてアーベル群を形成します( Baer 和を参照)。これはExt 群と同型で、 の単位元は自明な拡大に対応します。 ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{O}^{1}(H,F)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{O}^{1}(H,F)}$

HがOの場合、任意のi ≥ 0に対して、

${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F)=\operatorname {Ext} _{O}^{i}(O,F),}$

両辺は同じ関数の右導来関数なので ${\displaystyle \Gamma (X,-)=\operatorname {Hom} _{O}(O,-).}$

注: 一部の著者、特にハーツホーンは下付き文字のOを省略します。

Xがノイザン環上の射影スキームであるとする。F , G をX上の連接層とし、i を整数とする。すると、n ₀が存在し、

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{O}^{i}(F,G(n))=\Gamma (X,{\mathcal {Ext}}_{O}^{i}(F,G(n))),\,n\geq n_{0}}$、

ここで はの導来関数を表す。^[17] ${\displaystyle {\mathcal {Ext}}_{O}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Hom}}_{O}}$

ローカルフリー解像度

${\displaystyle {\mathcal {Ext}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})}$任意のコヒーレント層に対して、局所自由分解法を用いて容易に計算できる。^[18]複素 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \cdots \to {\mathcal {L}}_{2}\to {\mathcal {L}}_{1}\to {\mathcal {L}}_{0}\to {\mathcal {F}}\to 0}$

それから

${\displaystyle {\mathcal {RHom}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})={\mathcal {Hom}}({\mathcal {L}}_{\bullet },{\mathcal {G}})}$

したがって

${\displaystyle {\mathcal {Ext}}^{k}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})=h^{k}({\mathcal {Hom}}({\mathcal {L}}_{\bullet },{\mathcal {G}}))}$

例

超曲面

次数の滑らかな超曲面 を考える。すると、解を計算できる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}(-d)\to {\mathcal {O}}}$

そして、

${\displaystyle {\mathcal {Ext}}^{i}({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {F}})=h^{i}({\mathcal {Hom}}({\mathcal {O}}(-d)\to {\mathcal {O}},{\mathcal {F}}))}$

滑らかな完全交差の和

計画を検討する

${\displaystyle X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f)(g_{1},g_{2},g_{3})}}\right)\subseteq \mathbb {P} ^{n}}$

ここで、 は滑らかな完全交差であり、である。複素 ${\displaystyle (f,g_{1},g_{2},g_{3})}$ ${\displaystyle \deg(f)=d}$ ${\displaystyle \deg(g_{i})=e_{i}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}(-d-e_{1}-e_{2}-e_{3}){\xrightarrow {\begin{bmatrix}g_{3}\\-g_{2}\\-g_{1}\end{bmatrix}}}{\begin{matrix}{\mathcal {O}}(-d-e_{1}-e_{2})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{1}-e_{3})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{2}-e_{3})\end{matrix}}{\xrightarrow {\begin{bmatrix}g_{2}&g_{3}&0\\-g_{1}&0&-g_{3}\\0&-g_{1}&g_{2}\end{bmatrix}}}{\begin{matrix}{\mathcal {O}}(-d-e_{1})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{2})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{3})\end{matrix}}{\xrightarrow {\begin{bmatrix}fg_{1}&fg_{2}&fg_{3}\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}}$

これを解決して、 を計算することができます。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X},}$ ${\displaystyle {\mathcal {Ext}}^{i}({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {F}})}$

参照

• D 加群( Oの代わりに、微分演算子の層であるDも考慮できます。)
• 分数イデアル
• 正則ベクトル束
• ジェネリックフリーネス

注記

1. Vakil、数学216：代数幾何学の基礎、2.5。
2. ハーツホーン、第3章、命題2.2。
3. このコホモロジー関数は、アーベル層のカテゴリにおける大域セクション関数の右導来関数と一致する。Hartshorne, Ch. III, Proposition 2.6 を参照。
4. 標準的な準同型が存在する:

   ${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{O}(F,O)_{x}\to \operatorname {Hom} _{O_{x}}(F_{x},O_{x}),}$

   これは、 Fが有限表現である 場合に同型となる(EGA, Ch. 0, 5.2.6.)
5. 連接層の場合、テンソル逆を持つということは、局所的に階数 1 から自由であるということと同じです。実際、次の事実があります。 Fが連接である場合、 F、 Gは局所的に階数 1 から自由です。 (EGA、Ch 0、5.4.3 を参照) ${\displaystyle F\otimes G\simeq O}$
6. ハーツホーン、第3章、補題2.4。
7. 参照: https://math.stackexchange.com/q/447234
8. ハーツホーン、第II章、命題5.1。
9. EGA I 1971、第1章、命題1.3.6。
10. EGA I 1971、Ch.私、コロレア 1.3.12。
11. EGA I 1971、Ch.私、コロレア 1.3.9。
12. ハーツホーン、第2章、命題5.11。
13. 「Section 30.2 (01X8): 準コヒーレント層のチェフコホモロジー—スタックスプロジェクト」. stacks.math.columbia.edu . 2023年12月7日閲覧。
14. コスタ、ミロ＝ロイグ、ポンス＝ロピス 2021、定理 1.3.1
15. 「層コホモロジーとの関連」.局所コホモロジー. ケンブリッジ高等数学研究. ケンブリッジ大学出版局. 2012年. pp.  438– 479. doi :10.1017/CBO9781139044059.023. ISBN 9780521513630。
16. Serre 1955、§.66 Faisceaux algébriques cohérents sur les variétés projectives。
17. ハーツホーン、第3章、命題6.9。
18. ハーツホーン、ロビン.代数幾何学. pp.  233– 235.

参考文献

• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1960)。 「幾何学計算の要素: I. スキーマの言語」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。４．土井：10.1007/bf02684778。MR  0217083。
• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157
• コスタ、ローラ。ミロ＝ロイグ、ローザ・マリア。ポンス＝ロピス、ジョアン（2021）。ウルリッヒバンドル。土井：10.1515/9783110647686。ISBN 9783110647686。
• 「層コホモロジーとの関連」局所コホモロジー. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press. 2012. pp.  438– 479. doi :10.1017/CBO9781139044059.023. ISBN 9780521513630。
• Serre, Jean-Pierre (1955)、「Faisceaux algébriques cohérents (§.66 Faisceaux algébriques cohérents sur les variétés projectives.)」(PDF)、Annals of Mathematics、61 (2): 197–278、doi :10.2307/1969915、JSTOR  1969915、MR  0068874

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