撮影方法

数値解析において、シューティング法とは、境界値問題を初期値問題に帰着させることで解く手法です。この手法では、異なる初期条件に対して初期値問題の解を求め、境界値問題の境界条件も満たす解が見つかるまで続けます。簡単に言えば、一方の境界から異なる方向に軌道を「射出し」、もう一方の境界条件に「当たる」軌道を見つけるまで続けます。

数学的記述

境界値問題を解きたいとします。で初期値問題を解きます。の場合、も境界値問題の解です。 $y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y(t_{1})=y_{1}.$ $y(t;a)$ $y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y'(t_{0})=a.$ $y(t_{1};a)=y_{1}$ $y(t;a)$

シューティング法とは、の様々な値に対して初期値問題を解き、所望の境界条件を満たす解を見つけるプロセスです。通常、数値的にこの解を求めます。この解はの根に対応します。シューティングパラメータを体系的に変化させて根を求めるには、二分法やニュートン法などの標準的な根探索アルゴリズムを使用することができます。 $a$ $y(t;a)$ $F(a)=y(t_{1};a)-y_{1}.$ $a$

の根と境界値問題の解は同値です。がの根である場合、は境界値問題の解です。逆に、境界値問題にの解がある場合、それはとなる初期値問題の唯一の解でもあります。したがって、はの根です。 $F$ $a$ $F$ $y(t;a)$ $y(t)$ $y(t;a)$ $a=y'(t_{0})$ $a$ $F$

語源と直感

「射撃法」という用語は砲兵に由来する。射撃法の類似例としては、

位置に大砲を設置し、 $y(t_{0})=y_{0}$
大砲の角度を変えて $a=y'(t_{0})$
境界値に達するまで大砲を発射します。 $y(t_{1})=y_{1}$

各射撃の間に、大砲の方向は前の射撃に基づいて調整されるため、毎回の射撃は前の射撃よりも近い距離に命中します。望ましい境界値に「当たる」軌道が境界値問題の解であり、これが「射撃法」と呼ばれる理由です。

リニア撮影法

境界値問題は、fが次の形式を持つとき線形である。この場合、境界値問題の解は通常次のように与えられる。ここで、は初期値問題の解である。そして、は初期値問題の解である。この結果が成り立つ正確な条件については証明を参照のこと。^[1] $f(t,y(t),y'(t))=p(t)y'(t)+q(t)y(t)+r(t).$ $y(t)=y_{(1)}(t)+{\frac {y_{1}-y_{(1)}(t_{1})}{y_{(2)}(t_{1})}}y_{(2)}(t)$ $y_{(1)}(t)$ $y_{(1)}''(t)=p(t)y_{(1)}'(t)+q(t)y_{(1)}(t)+r(t),\quad y_{(1)}(t_{0})=y_{0},\quad y_{(1)}'(t_{0})=0,$ $y_{(2)}(t)$ $y_{(2)}''(t)=p(t)y_{(2)}'(t)+q(t)y_{(2)}(t),\quad y_{(2)}(t_{0})=0,\quad y_{(2)}'(t_{0})=1.$

例

標準境界値問題

境界値問題はStoerとBulirsch ^[2]によって次のように与えられている（セクション7.3.1）。

$w''(t)={\frac {3}{2}}w^{2}(t),\quad w(0)=4,\quad w(1)=1$

初期値問題はs = −1, −2, −3, ..., −100について解かれ、 F ( s ) = w (1; s ) − 1 が図2にプロットされている。 Fのプロットを調べると、−8と−36付近に根があることがわかる。w ( t ; s ) のいくつかの軌跡を図1に示す。 $w''(t)={\frac {3}{2}}w^{2}(t),\quad w(0)=4,\quad w'(0)=s$

StoerとBulirsch ^[2]は、代数的手法で見つけることができる2つの解があると述べています。

これらは初期条件w ′(0) = −8およびw ′(0) = −35.9（おおよそ）に対応する。

固有値問題

シューティング法は固有値問題を解くのにも使えます。量子調和振動子の時間独立シュレーディンガー方程式を考えてみましょう。量子力学では、境界条件を前提として、正規化可能な波動関数とそれに対応するエネルギーを求めます。この問題は解析的に解いてのエネルギーを求めることができますが、シューティング法の優れた例証にもなります。シューティング法を適用するには、まずシュレーディンガー方程式の一般的な性質をいくつか確認しましょう。 $-{\frac {1}{2}}\psi _{n}''(x)+{\frac {1}{2}}x^{2}\psi _{n}(x)=E_{n}\psi _{n}(x).$ $\psi _{n}(x)$ $\psi _{n}(x\rightarrow +\infty )=\psi _{n}(x\rightarrow -\infty )=0.$ $E_{n}=n+1/2$ $n=0,1,2,\dots$

が固有関数である場合、任意の非ゼロ定数に対してもが成り立ちます。 $\psi _{n}(x)$ $C\psi _{n}(x)$ $C$
-番目の励起状態にはという根があります。 $n$ $\psi _{n}(x)$ $n$ $\psi _{n}(x)=0$
の場合でも、- 番目の励起状態は対称であり、原点でゼロではありません。 $n$ $n$ $\psi _{n}(x)=\psi _{n}(-x)$
奇数の場合、- 番目の励起状態は反対称となり、原点ではゼロになります。 $n$ $n$ $\psi _{n}(x)=-\psi _{n}(-x)$

番目の励起状態とそのエネルギーを見つけるには、次のようにします。 $n$ $\psi _{n}(x)$ $E_{n}$

エネルギーを推測します。 $E_{n}$
シュレーディンガー方程式を積分する。例えば、中心差分法を使う。 $-{\frac {1}{2}}{\frac {\psi _{n}^{i+1}-2\psi _{n}^{i}+\psi _{n}^{i-1}}{{\Delta x}^{2}}}+{\frac {1}{2}}(x^{i})^{2}\psi _{n}^{i}=E_{n}\psi _{n}^{i}.$
- が偶数の場合は、任意の数（つまり、積分後に波動関数は正規化できる）に設定し、対称性を使用して残りのをすべて見つけます。 $n$ $\psi _{0}$ $\psi _{n}^{0}=1$ $\psi _{n}^{i}$
- が奇数の場合、とを任意の数に設定し（つまり、波動関数は積分後に正規化できます）、残りのをすべて見つけます。 $n$ $\psi _{n}^{0}=0$ $\psi _{n}^{1}$ $\psi _{n}^{1}=1$ $\psi _{n}^{i}$
の根を数えて、エネルギーの推測値を精度向上します。 $\psi _{n}$ $E_{n}$
- 根の数がこれより少ない場合は、推定エネルギーが低すぎるため、それを増やしてプロセスを繰り返します。 $n$
- 根の数が多い場合は、推定エネルギーが高すぎるため、それを減らしてプロセスを繰り返します。 $n$

エネルギー推定は二分法を用いて行うことができ、エネルギー差が十分に小さくなった時点で処理を終了できる。そうすれば、区間内の任意のエネルギーを正しいエネルギーと見なすことができる。

参照

注記

^ Mathews, John H.; Fink, Kurtis K. (2004). 「9.8 境界値問題」. MATLABを用いた数値解析(PDF) (第4版). Upper Saddle River, NJ: Pearson. ISBN 0-13-065248-22006年12月9日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。
^ ab Stoer, J. および Bulirsch, R.数値解析入門ニューヨーク: Springer-Verlag, 1980.

参考文献

Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). 「セクション18.1. 射撃法」.数値レシピ：科学計算の芸術（第3版）. ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-88068-8。

外部リンク

ODEPACK の簡単な説明( Netlib ; LSODE を含む)
境界値問題を解く射撃法 - Holistic Numerical Methods Instituteのノート、PPT、Maple、Mathcad、Matlab、Mathematica [1]

[1] Mathews, John H.; Fink, Kurtis K. (2004). 「9.8 境界値問題」. MATLABを用いた数値解析(PDF) (第4版). Upper Saddle River, NJ: Pearson. ISBN 0-13-065248-22006年12月9日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。

[Stoer1980-2] Stoer, J. および Bulirsch, R.数値解析入門ニューヨーク: Springer-Verlag, 1980.