白銀比

Number, approximately 2.41421

白銀比

合理性	無理数代数
シンボル	σ
表現
小数点	2.414 213 562 373 095 048 80 ...
代数形式	${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$
連分数	${\displaystyle 2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}$ 純粋に周期的な 無限

数学において、白銀比とは、正確な値が1 + √2 であり、方程式x ² = 2 x + 1 の正の解である幾何学的比率です。

白銀比という名前は、方程式x ² = x + 1の正の解である黄金比との類推によるものです。

白銀比（または白銀平均）は、名前が付けられたのは最近のことですが、 2 の平方根、ほぼ二等辺のピタゴラス数列、正方形三角数、ペル数、八角形、および八面体対称の6 つの多面体との関連から、古くから研究されてきました。

正八角形の中に銀色の長方形。

意味

2つの量の比a > b > 0が、2つの量の和とその逆数の比に比例する場合、それらは白銀比である。ここで、この比は⁠ ⁠ ^[a]と表記される。 $${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {2a+b}{a}}}$$ ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ ${\displaystyle \sigma .}$

2番目の分数を代入すると、白銀比は2次方程式の正の解であることがわかります。2次方程式は2つの解を与え、正の根の小数展開は次のように始まります。 ${\displaystyle a=\sigma b\,}$ $${\displaystyle \sigma ={\frac {b(2\sigma +1)}{\sigma b}}.}$$ ${\displaystyle \sigma ^{2}-2\sigma -1=0.}$ ${\displaystyle 1\pm {\sqrt {2}},}$2.414 213 562 373 095 ... （ OEISの配列A014176）。

正接関数 ^[4]または双曲線正弦関数 $${\displaystyle \sigma =\tan \left({\frac {3\pi }{8}}\right)=\cot \left({\frac {\pi }{8}}\right),}$$ $${\displaystyle \sigma =\exp(\operatorname {arsinh} (1)).}$$

⁠ ⁠ ${\displaystyle \sigma }$とその代数共役は1 の 8乗根の和として表すことができます。 これはクロネッカー・ウェーバーの定理によって保証されています。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{with }}\omega =&\ \exp(2\pi i/8)={\sqrt {i}},\\\sigma &=\omega -\omega ^{4}+\omega ^{-1}\\-\sigma ^{-1}&=\omega ^{3}-\omega ^{4}+\omega ^{-3},\end{aligned}}}$$

⁠ ⁠は ${\displaystyle \sigma }$ニュートン反復法の超安定不動点である ${\displaystyle x\gets {\tfrac {1}{2}}(x^{2}+1)/(x-1),{\text{ with }}x_{0}\in [2,3]}$

反復により、根本的な変化が継続する ${\displaystyle x\gets {\sqrt {1+2x{\vphantom {/}}}}}$ $${\displaystyle \sigma ={\sqrt {1+2{\sqrt {1+2{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}$$

プロパティ

縦横比がσに関連する長方形を正方形に並べます。

定義式は次のように書ける。 $${\displaystyle {\begin{aligned}1&={\frac {1}{\sigma -1}}+{\frac {1}{\sigma +1}}\\&={\frac {2}{\sigma +1}}+{\frac {1}{\sigma }}.\end{aligned}}}$$

白銀比は分数で表すことができる $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &={\frac {1}{\sigma -2}}\\\sigma ^{2}&={\frac {\sigma -1}{\sigma -2}}+{\frac {\sigma +1}{\sigma -1}}.\end{aligned}}}$$

無限等比級数と同様に $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &=2\sum _{n=0}^{\infty }\sigma ^{-2n}\\\sigma ^{2}&=-1+2\sum _{n=0}^{\infty }(\sigma -1)^{-n}.\end{aligned}}}$$

あらゆる整数⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$に対して、ここから無限の数の関係を見つけることができます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{n}&=2\sigma ^{n-1}+\sigma ^{n-2}\\&=\sigma ^{n-1}+3\sigma ^{n-2}+\sigma ^{n-3}\\&=2\sigma ^{n-1}+2\sigma ^{n-3}+\sigma ^{n-4}\end{aligned}}}$$

いくつかの低べき乗の連分数パターン $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{-1}&=[0;2,2,2,2,...]\approx 0.4142\;(17/41)\\\sigma ^{0}&=[1]\\\sigma ^{1}&=[2;2,2,2,2,...]\approx 2.4142\;(70/29)\\\sigma ^{2}&=[5;1,4,1,4,...]\approx 5.8284\;(5+29/35)\\\sigma ^{3}&=[14;14,14,14,...]\approx 14.0711\;(14+1/14)\\\sigma ^{4}&=[33;1,32,1,32,...]\approx 33.9706\;(33+33/34)\\\sigma ^{5}&=[82;82,82,82,...]\approx 82.0122\;(82+1/82)\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \sigma ^{-n}\equiv (-1)^{n-1}\sigma ^{n}{\bmod {1}}.}$$

白銀比はピゾ数であり、黄金比の次に大きい二次ピゾ数である。^[5]これらの数の定義により、代数共役の絶対値は 1より小さいため、 ⁠ ⁠のべき乗はほぼ整数を生成し、数列は単位区間の境界で稠密である。^[6] ${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma ^{n}{\bmod {1}}}$

二次体ℚ(√2)

マッピングι (ξ) = ( ξ , ξ)は、整数ξ = a + bσの両方の共役を、単位ベクトルι (1)とι (σ)にまたがる点格子 Λに埋め込みます。銀の面積δ(Λ) = √8の基本的な平行四辺形。ミンコフスキーダイヤモンドの面積は4δ(Λ) です。

⁠ ⁠ ${\displaystyle \sigma }$は判別式を持つ実二次体の基本単位です。整数は共役ノルムとトレースを持つ数です[ ^7]ノルムとして現れる最初のいくつかの正の数は、1、2、4、7、8、9、14、16、17、18、23、25です。^[8]環の算術は有理整数、つまり ⁠ ⁠ の元に似ています。素因数分解は、位数と単位因数まで一意であり、ノルムの絶対値にはユークリッド関数があります。 ^[9] ⁠ ⁠の素数には、次の3つの種類があります。 ${\displaystyle K=\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)}$ ${\displaystyle \Delta _{k}=8.}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\sigma ]{\text{ of }}K}$ ${\displaystyle \xi =a+b\sigma {\text{ }}(a,b\in \mathbb {Z} ),}$ ${\displaystyle {\overline {\xi }}=(a+2b)-b\sigma ,}$ ${\displaystyle \xi {\overline {\xi }}=(a+b)^{2}-2b^{2}}$ ${\displaystyle \xi +{\overline {\xi }}=2(a+b).}$ ${\displaystyle O_{k}=\mathbb {Z} [\sigma ]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle \pm \sigma ^{\pm n}(n=0,1,2,\ldots ),}$ ${\displaystyle O_{k}}$

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle \sigma -1}$ノルム⁠ ⁠ ${\displaystyle 2,}$Δ _kを割り切る唯一の有理数素数、
• ノルムを持つ有理数素数 ${\displaystyle a+b\sigma }$の因数[ 10 ^] ${\displaystyle p=8n\pm 1}$ ${\displaystyle p,}$
• ノルムを持つ有理数素数⁠ ⁠ ^[11] ${\displaystyle p=8n\pm 3}$ ${\displaystyle p^{2},}$

これらの数字のいずれかに単位を掛けたもの。^[12]

白銀比は、ここではシグマリスケールと呼ばれる数値体系のベースとして使用できます。^[b] [0,1]内のすべての実数xは、重みを持つ収束級数として表すことができます。 $${\displaystyle x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{\sigma ^{n}}},}$$ ${\displaystyle a_{n}\in [0,1,2].}$

シグマリー・スケールの音階は、対数スケールにおけるミクソリディアン・モードの音程に似ています。次のオクターブへの進行は、21と22のキャリーと並行しています。

正弦展開は一意ではありません。単位元により、数字ブロックを⁠ ⁠の次のべき乗に繰り上げると、次のようになります。数 ⁠ ⁠には有限表現と無限表現があり、各ペアの最初のものは標準形です。代数的数⁠ ⁠は⁠ ⁠または非標準的に⁠ ⁠ と表記できます。十進数と $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{n+1}&=2\sigma ^{n}+\sigma ^{n-1}\\\sigma ^{n+1}+\sigma ^{n-1}&=2\sigma ^{n}+2\sigma ^{n-1},\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle 21_{\sigma }{\text{ and }}22_{\sigma }}$ ${\displaystyle \sigma ,}$ ${\displaystyle 100_{\sigma }{\text{ and }}101_{\sigma }.}$ ${\displaystyle 1.0_{\sigma },0.21_{\sigma }}$ ${\displaystyle 0.{\overline {20}}_{\sigma },0.1{\overline {2}}_{\sigma },}$ ${\displaystyle 2(3\sigma -7)}$ ${\displaystyle 0.101_{\sigma },}$ ${\displaystyle 0.022_{\sigma }.}$ ${\displaystyle 10=111.12_{\sigma },}$ ${\displaystyle 7\sigma +3=1100_{\sigma }\,}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sigma -1}}=0.{\overline {1}}_{\sigma }.}$

係数付き正準シグマ展開の性質 ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} :}$

• すべての代数的整数 は有限展開を持つ。^[13] ${\displaystyle \xi =a+b\sigma {\text{ in }}K}$
• すべての有理数 は純粋に周期的な展開を持つ。^[14] ${\displaystyle \rho ={\tfrac {a+b\sigma }{c}}{\text{ in }}K}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle K}$に含まれないすべての数は、カオス展開を持ちます。

驚くべきことに、同じことは、整数n > 0の一般方程式⁠ ⁠を満たすすべての二次ピゾ数に対して準用されます。 ^[15] ⁠ ⁠を繰り返し代入することにより、すべての正の解は純粋に周期的な連分数展開を持つことがわかります。Vera de Spinadelはこれらの無理数の性質を説明し、金属的手段という呼び名を導入しました。^[16] ${\displaystyle x^{2}=nx+1,}$ ${\displaystyle x=n+{\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(n+{\sqrt {n^{2}+4{\vphantom {/}}}}\right)}$ $${\displaystyle \sigma _{n}=n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}$$

白銀比は、n×nの正方格子の対角間の「キングウォーク」の数を数える中心デラノワ数 ⁠ ⁠ ${\displaystyle D_{n}}$ = 1, 3, 13, 63, 321, 1683, 8989,... と関連している。この数列は生成関数^{[17]を持ち、そこから}積分表現^[18]と漸近式^[19]が得られる。  $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-6x+x^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }D_{n}x^{n}{\text{ for }}\vert x\vert <{\tfrac {1}{\sigma ^{2}}},}$$  $${\displaystyle D_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{\sigma ^{-2}}^{\sigma ^{2}}{\frac {\mathrm {d} t}{{\sqrt {(t-\sigma ^{-2})(\sigma ^{2}-t)}}\;t^{n+1}}}}$$  $${\displaystyle D_{n}\sim {\frac {\sigma ^{2n+1}}{2{\sqrt {\pi (\sigma -1)\,n}}}}\left(1-{\frac {11-3\sigma }{32\,n}}+{\frac {221-36\sigma ^{2}}{(32\,n)^{2}}}+{\mathcal {O}}{\bigl (}n^{-3}{\bigr )}\right).}$$

シグマリスケールの応用として、白銀比を用いて可能な3次係数cを書く問題を考えてみましょう。cの小数値は約0.006865233で、中心デラノワ数の漸化式を用いたドミナントバランス法で求めることができます。 ^[20]「係数はすべて⁠ ⁠内にあり、分母は素数⁠ ⁠の何らかのべき乗に等しい」^[21]分母d = 32768を選択すると、近似分子dcはシグマリ展開され⁠ ⁠次数の桁をすべて落として2次の整数に切り捨てられます。残りのべき乗をペル数を係数として線形形式で書き（次のセクションを参照）、加重和を取って簡略化すると、項⁠ ⁠が得られます。ただし、cの認定値はまだ不明です。 ${\displaystyle n\,D_{n}=(6n-3)D_{n-1}-(n-1)D_{n-2},}$ ${\displaystyle D_{-1}=D_{0}=1,n_{max}=10^{5}.}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}\,\mathbb {Z} [\sigma ].}$ ${\displaystyle 1001201.010201012000000110..._{\sigma }}$ ${\displaystyle k<-9.}$ ${\displaystyle \sigma ^{k}}$ ${\displaystyle -{\frac {4123-309\sigma ^{3}}{(32\,n)^{3}}}.}$

ペルシーケンス

銀色の高調波: 長方形とその色付きのサブゾーンの面積の比率は7σ + 3 : σ ³  : σ ²  : σ : 1 です。

これらの数字は、フィボナッチ数列とルーカス数が黄金比と関連しているのと同じように、白銀比と関連しています。

基本列は初期値を伴う再帰関係によって定義される $${\displaystyle P_{n}=2P_{n-1}+P_{n-2}{\text{ for }}n>1,}$$ $${\displaystyle P_{0}=0,P_{1}=1.}$$

最初の数項は0、1、2、5、12、29、70、169、… OEIS : A000129です。
連続する項の極限比は白銀平均です。

ペル数の分数は、誤差を伴う有理近似値を与える。 ${\displaystyle \sigma }$ $${\displaystyle \left\vert \sigma -{\frac {P_{n+1}}{P_{n}}}\right\vert <{\frac {1}{{\sqrt {8}}P_{n}^{2}}}}$$

このシーケンスは、負のインデックスに拡張され、 $${\displaystyle P_{-n}=(-1)^{n-1}P_{n}.}$$

⁠ ⁠ ${\displaystyle \sigma }$のべき乗はペル数の線形係数として表すことができ、これはnに関する数学的帰納法によって証明されます。この関係はn < 0の場合にも成り立ちます。 $${\displaystyle \sigma ^{n}=\sigma P_{n}+P_{n-1},}$$

この数列の生成関数は[22]で 与えられる^。 $${\displaystyle {\frac {x}{1-2x-x^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}x^{n}{\text{ for }}\vert x\vert <{\tfrac {1}{\sigma }}.}$$

p(z) = (z ² − 2z − 1)(z ² − 2z + σ) / σに対するニュートン法：白銀比（右）と、その共役で、その引力域の核における摂動複素根1 ± i√ σ − 1 を持つもの。ニュートン写像のジュリア集合はオレンジ色で表示され、単位円と実曲線は参考として示されている。

再帰の特性方程式は判別式⁠ ⁠を持つ。2つの解が白銀比⁠ ⁠で共役⁠ ⁠なので、ペル数はビネの公式で計算され、 ⁠ ⁠の正の根を持つ。 ${\displaystyle x^{2}-2x-1=0}$ ${\displaystyle D=8.}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\bar {\sigma }},}$ ${\displaystyle \sigma +{\bar {\sigma }}=2\;{\text{ and }}\;\sigma \cdot {\bar {\sigma }}=-1,}$ $${\displaystyle P_{n}=a(\sigma ^{n}-{\bar {\sigma }}^{n}),}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 8x^{2}-1=0.}$

数⁠ ⁠は、n ≥ 0の場合に最も近い整数です。 ${\displaystyle \left\vert a\,{\bar {\sigma }}^{n}\right\vert <1/\sigma ^{2n},}$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle a\,\sigma ^{n},}$ ${\displaystyle a=1/{\sqrt {8}}}$

ビネの式はコンパニオンシーケンスを定義する ${\displaystyle \sigma ^{n}+{\bar {\sigma }}^{n}}$ ${\displaystyle Q_{n}=P_{n+1}+P_{n-1}.}$

最初のいくつかの項は 2、2、6、14、34、82、198、... OEIS : A002203です。

このペル・ルーカス数列はフェルマーの性質を持つ。pが素数の場合、逆は成り立たず、最小奇数擬素数は13^2、385、31^2、1105、1121、3827、4901である^。 [ ²³ ] ^{[ c]} ${\displaystyle Q_{p}\equiv Q_{1}{\bmod {p}}.}$ ${\displaystyle \,n\mid (Q_{n}-2)}$

ペル数は、正の固有値を持つ行列の整数乗n > 2として得られる。 ${\displaystyle \sigma }$ $${\displaystyle M={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}},}$$

$${\displaystyle M^{n}={\begin{pmatrix}P_{n+1}&P_{n}\\P_{n}&P_{n-1}\end{pmatrix}}}$$

⁠ ⁠のトレースは上記の⁠ ⁠を与える ${\displaystyle M^{n}}$ ${\displaystyle Q_{n}.}$

幾何学

銀色の長方形と正八角形

折り目が緑色の、銀色の長方形の折り紙作品。

折り紙の折り方を順に行うことで、正方形の紙から√2∶1の比率の辺を持つ長方形を作ることができます。これは日本の美意識において調和のとれた比率とみなされている「大和比」であり、 √2の長方形を短辺に平行に半分に折ることでこの比率が保たれます。ラバトメントは、白銀比（⁠ 1/σ⁠ = √2 − 1）。 ^[d]

• 正方形の紙を半分に折り、斜め下向きの折り目（90°の角度を二等分する）を付けてから、広げます。
• 右端を対角の折り目（45°の角度を二等分）に合わせて折ります。
• 上端を半分に折り、裏側へ折ります（幅を⁠ 減らします）。1/σ + 1⁠）、三角形を広げます。結果は√2の長方形です。
• 下の端を左端に折ります（高さを ⁠ 減らします）。1/σ − 1⁠）。上部の水平部分は銀色の長方形です。

折り紙を広げると、折り目は正八角形の対角線と重なります。最初の2つの折り目は、正方形を、5∶2∶1の銀色のグノモンと、4∶2∶2（左）と4∶3∶1 （右）の2つの直角三角形に分割します。単位角は22度です。+1/2⁠ 度。

八角形の辺の長さが⁠ ⁠ ${\displaystyle 1,}$で、面積が⁠ ⁠ ${\displaystyle 2\sigma }$で、対角線の長さが ⁠ ⁠ で、頂点の座標は^[26]の8 つの順列で与えられます。正方形の辺の長さは⁠ ⁠で、面積は⁠ ⁠ です。三角形には面積があり、長方形には面積があります。 ${\displaystyle {\sqrt {\sigma +1{\vphantom {/}}}},\;\sigma }$ ${\displaystyle {\sqrt {2(\sigma +1){\vphantom {/}}}}.}$ ${\displaystyle \left(\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {\sigma }{2}}\right).}$ ${\displaystyle \sigma -1}$ ${\displaystyle 2.}$ ${\displaystyle 1,{\frac {\sigma -1}{\sigma }}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sigma }};}$ ${\displaystyle \sigma -1{\text{ and }}{\frac {1}{\sigma }}.}$

銀の渦

銀色の長方形の渦巻き。

1∶2の比を持つ長方形を、4つの等しい長さの辺を持つ合同な直角三角形に分割し、銀色の長方形の形に配置します。この長方形は、係数⁠ ⁠で拡大され、中心の周りに ⁠ ⁠ 回転した相似の長方形を囲みます。この構成を、スケールを小さくしながら繰り返すと、隣接する直角三角形の無限のシーケンスが4つ生成され、収束する銀色の長方形の渦巻きを描きます。^[27] ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sigma }}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}.}$

隣接する三角形の頂点を通る対数螺旋は極傾斜を持ちます 。辺にある一対の灰色の三角形の間にある平行四辺形は、比が垂直な対角線を持つため、銀色の菱形になります。 ${\displaystyle k={\frac {4}{\pi }}\ln(\sigma ).}$ ${\displaystyle \sigma }$

三角形の脚の長さが⁠ ⁠ ${\displaystyle 1}$の場合、各個別の螺旋の長さは ⁠ ⁠ です。各螺旋領域内の三角形の面積と周囲の長さを合計すると、 ⁠ ⁠ (薄い灰色) と⁠ ⁠ (銀色の領域) に等しくなります。 ${\displaystyle {\frac {\sigma }{\sigma -1}}=\sum _{n=0}^{\infty }\sigma ^{-n}.}$ ${\displaystyle {\frac {\sigma }{4}}={\tfrac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\sigma ^{-2n};}$ ${\displaystyle \sigma +2}$ ${\displaystyle 2\sigma -1}$

4 つの斜辺が内側を向くようにタイルを配置すると、正方形の中にダイヤモンドが入った形になります。ローマの建築家ウィトルウィウスは、タウンハウスのアトリウムの比率を決める3つの要素のうちの1つとして、暗黙のad quadratura比を推奨しました。縮尺係数は⁠ ⁠であり、辺の長さ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sigma -1}},}$2の反復により、長さ⁠ ⁠の角螺旋が得られます。 ${\displaystyle \sigma +1.}$

多面体

菱形八面体の次元はσ に関連しています。

銀平均は、八面体対称性を持つ次のアルキメデス立体と関係があります。すべての値は、辺の長さ= 2に基づいています。

• 菱形立方八面体

頂点の座標は、互いに直交する3つの銀色の長方形が正方形の6つの面に接する24通りの順列で与えられます。正方形の面の中心半径である中半径は、 ⁠ ⁠ ^[28] ${\displaystyle (\pm \sigma ,\pm 1,\pm 1),}$
${\displaystyle {\sqrt {2(\sigma +1){\vphantom {/}}}},}$ ${\displaystyle \sigma .}$

• 切り取られた立方体

座標:中半径の24通りの順列: ⁠ ⁠八角形面の中心半径: ⁠ ⁠ ^[29] ${\displaystyle (\pm \sigma ,\pm \sigma ,\pm 1).}$
${\displaystyle \sigma +1,}$ ${\displaystyle \sigma .}$

• 切頂立方八面体

座標:中心半径の48通りの順列:正方形の面の中心半径: ⁠ ⁠八角形の面の中心半径: ⁠ ⁠ ^[30] ${\displaystyle (\pm (2\sigma -1),\pm \sigma ,\pm 1).}$
${\displaystyle {\sqrt {6(\sigma +1){\vphantom {/}}}},}$ ${\displaystyle \sigma +2,}$ ${\displaystyle 2\sigma -1.}$

カタルーニャ語の二重実体も参照

• 正方三八面体
• 三八面体
• ヘキサキス八面体

銀色の三角形

銀色の三角形と回転する日時計。

正八角形の隣接する2つの頂点を中心点に結んで形成される鋭角二等辺三角形を、ここでは銀三角形と呼びます。この三角形 は、その角度の比によって一意に識別されます。頂角は、各底角の度数で測定されます。したがって、高さと底辺の比は、 ${\displaystyle 2:3:3.}$ ${\displaystyle 360/8=45,}$ ${\displaystyle 67{\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\tan(67{\tfrac {1}{2}})={\tfrac {\sigma }{2}}.}$

銀色の三角形の底角の一つを三等分すると、相似三角形と鈍角の 銀色のグノモンに分割されます。三等分線は八角形の中心対角線と一直線上にあります。グノモンは親三角形の頂点を共有し、その角度は⁠ ⁠の比を持ちます。正弦定理より、その辺の比は⁠ ⁠ です。 ${\displaystyle 67{\tfrac {1}{2}}/3=22{\tfrac {1}{2}},45{\text{ and }}112{\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle 1:2:5.}$ ${\displaystyle 1:{\sqrt {\sigma +1}}:\sigma .}$

相似の銀色の三角形は、同様に、親三角形を底辺と脚の比で拡大縮小し、度回転させることによって得られる。 ${\displaystyle 2\cos(67{\tfrac {1}{2}})}$このプロセスを縮小 ${\displaystyle 112{\tfrac {1}{2}}}$縮小で繰り返すと、銀色の三角形の無限の列が得られ、回転の中心に収束する。回転の中心は、対応する脚と底辺の頂点を結ぶ連続する中線の交点であると、証明なしに仮定されている。 ^[31]この仮定は、ベクトル画像に示されているように、構築によって検証されている。

回転の中心は重心座標を持ち 、積み重ねられた3つの渦巻き状のグノモンは比の面積を持つ。 $${\displaystyle \left({\tfrac {\sigma +1}{\sigma +5}}:{\tfrac {2}{\sigma +5}}:{\tfrac {2}{\sigma +5}}\right)\sim \left({\tfrac {\sigma +1}{2}}:1:1\right),}$$ $${\displaystyle \left({\tfrac {\sigma +1}{2}}\right)^{2}:{\tfrac {\sigma +1}{2}}:1.}$$

すべての入れ子になった三角形の頂点を通る対数螺旋は、回転の⁠ ⁠度ごとに極傾斜または拡大率⁠ ⁠を持ちます。 $${\displaystyle k={\frac {4}{5\pi }}\ln \left({\tfrac {\sigma }{\sigma -1}}\right),}$$ ${\displaystyle {\tfrac {\sigma +1}{2}}}$ ${\displaystyle 225}$

銀色の三角形の中心：対称軸上のアフィン座標

外心	${\displaystyle \left({\tfrac {2}{\sigma +1}}:{\tfrac {1}{\sigma }}\right)\sim (\sigma -1:1)}$
重心	${\displaystyle \left({\tfrac {2}{3}}:{\tfrac {1}{3}}\right)\sim (2:1)}$
9点センター	${\displaystyle \left({\tfrac {1}{\sigma -1}}:{\tfrac {1}{\sigma +1}}\right)\sim (\sigma :1)}$
内心、α = ⁠3π/8⁠	${\displaystyle \left([1+\cos(\alpha )]^{-1}:[1+\sec(\alpha )]^{-1}\right)\sim (\sec(\alpha ):1)}$
対称点	${\displaystyle \left({\tfrac {\sigma +1}{\sigma +2}}:{\tfrac {1}{\sigma +2}}\right)\sim (\sigma +1:1)}$
垂心	${\displaystyle \left({\tfrac {2}{\sigma }}:{\tfrac {1}{\sigma ^{2}}}\right)\sim (2\sigma :1)}$

正八角形の長対角線、中対角線、短対角線は、それぞれ銀三角形の頂点、外心、垂心と一致します。

銀色の長方形と銀色の三角形

銀色の長方形内のσの累乗。

上に示したように、高さ1、長さ⁠ ⁠ ${\displaystyle \sigma }$、対角線の長さ の銀色の長方形が描かれていると仮定します。対角線上の三角形の高さは、各垂直フィートが対角線を⁠ ⁠で分割する比率です。 ${\displaystyle {\sqrt {\sigma ^{2}+1}}}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {1+\sigma ^{-2}}}\,;}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}.}$

対角線と格子正方形の内辺の交点を通る水平線を引くと、銀色の長方形とその対角線に沿った2つの拡大されたコピーの面積の比は、対角線の反対側の長方形の面積は両方とも^[32]に等しい。 ${\displaystyle \sigma ^{2}:2:1\,,}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{\sigma +1}}.}$

頂点 Aを基準として、高度UとVのフィートの座標は $${\displaystyle \left({\tfrac {\sigma }{\sigma ^{2}+1}},{\tfrac {1}{\sigma ^{2}+1}}\right){\text{ and }}\left({\tfrac {\sigma }{1+\sigma ^{-2}}},{\tfrac {1}{1+\sigma ^{-2}}}\right).}$$

図をUとVを通る垂直線でさらに細分化すると、対角線とその部分の長さは、銀三角形の底角である引数度の三角関数として表すことができます。 ${\displaystyle \alpha =67{\tfrac {1}{2}}}$

銀色の長方形の対角線は銀色の三角形を測ります。AB :ASの比はσです。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {AB}}={\sqrt {\sigma ^{2}+1}}&=\sec(\alpha )\\{\overline {AV}}=\sigma ^{2}/{\overline {AB}}&=\sigma \sin(\alpha )\\{\overline {UV}}=2/{\overline {AS}}&=2\sin(\alpha )\\{\overline {SB}}=4/{\overline {AB}}&=4\cos(\alpha )\\{\overline {SV}}=3/{\overline {AB}}&=3\cos(\alpha )\\{\overline {AS}}={\sqrt {1+\sigma ^{-2}}}&=\csc(\alpha )\\{\overline {h}}=1/{\overline {AS}}&=\sin(\alpha )\\{\overline {US}}={\overline {AV}}-{\overline {SB}}&=(2\sigma -3)\cos(\alpha )\\{\overline {AU}}=1/{\overline {AB}}&=\cos(\alpha ),\end{aligned}}}$$

⁠ ⁠と ${\displaystyle \sigma =\tan(\alpha ).}$

対角線の長さと三角関数の値はどちらも双四次 数体の要素である。 ${\displaystyle K=\mathbb {Q} \left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right).}$

⁠ ⁠ ${\displaystyle 1}$辺を持つ銀色の菱形の対角線の長さはそれぞれ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\overline {UV}}}$と⁠ ⁠です。⁠ ${\displaystyle 2{\overline {AU}}.}$⁠辺を持つ正八角形は、長さ⁠ ⁠の長い対角線を持ち、それによって8つの銀色の三角形に分割されます。正八角形は辺の長さと銀色の三角形の角度によって定義されるため、すべての測定値はσの累乗と銀色の長方形の対角線で表すことができ、上図に示すように、単一の三角形上では等間隔となります。 ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2{\overline {AB}}}$

脚と底の比率は、スペインの建築家ラファエル・デ・ラ・オス・アルデリウスによって ${\displaystyle {\overline {AB}}/2\approx 1.306563}$コルドバ比率と名付けられました。彼の観察によれば、この比率はアンダルシア地方コルドバの中世のモスクの建築と精巧な装飾において注目すべき尺度となっています。^[33]

シルバースパイラル

σ − 長方形上の異なる初期角度を持つ銀色の螺旋。

銀色の螺旋は、1/4回転ごとに⁠ ⁠倍ずつ幅が広がる対数螺旋です。これは、初期半径⁠ ⁠ ⁠とパラメータを持つ極座標方程式で表されます。銀色の長方形上に描かれた螺旋は、対角線上の三角形の頂点に極を持ち、垂直に並んだ2つの正方形の頂点を通ります。正方形はそれぞれ⁠ ⁠ ⁠倍ずつ拡大縮小されます。 ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle r(\theta )=a\exp(k\theta ),}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle k={\frac {2}{\pi }}\ln(\sigma ).}$ ${\displaystyle \sigma ^{-1}.}$

アマン・ビーンカー・タイリング

係数σ ²を使用した Ammann A5 タイルのパッチインフレ。

白銀比は、正方形と辺の長さが等しい白銀菱形から構成される、八角形対称の非周期的な平面タイリングであるアマン・ベーンカー・タイリングに顕著に現れます。1977年にロバート・アマンによって発見され、その代数的性質は5年後にフランス・ベーンカーによって記述されました。^[34]正方形を2つの三角形に分割すると、アマンA5タイルの膨張係数は、置換行列の支配的な固有値となります。 ${\displaystyle \sigma ^{2},}$ $${\displaystyle M={\begin{pmatrix}3&2\\4&3\end{pmatrix}}.}$$

参照

• 次のような方程式の解: ${\displaystyle x^{2}=2x+1}$
  • 黄金比– 方程式の正の解 ${\displaystyle x^{2}=x+1}$
  • 金属的手段- 一般式の正解 ${\displaystyle x^{2}=nx+1}$
  • スーパーシルバー比– 方程式の真の解 ${\displaystyle x^{3}=2x^{2}+1}$

注記

1. 各種T(2)、^[1] S ₂、 δ _S、 ^[2] σ _Ag。^{[3]最後の表記は下付き文字なしで採用されており、}金属的手段の文脈にのみ関連します。
2. 以下では、 0 ≤ x ≤ 1と仮定する。負の数にはまず-1を掛け、 1 より大きい数にはσ ≥ xの最小のべき乗で割る。次に、 σを乗じて各ステップで整数部をクリアし、符号桁を得る。最後に、「符号点」を復元する。
3. ペル・ルーカステストに合格する10の⁹乗未満の奇数の合成数は3360個ある。これは、フィボナッチ数列、ペル数列、ルーカス・セルフリッジ数列、あるいは2を底とするフェルマー擬素数の奇数の数と比べても遜色ない。^[24]
4. 1979年に英国折紙協会は√2長方形に銀長方形という別名を提案し、これは現在一般的に使用されています。^{[25]この記事では}σ長方形にこの名前が使用されています。

参考文献

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外部リンク

• 白銀比、ペル数列、金属的手段に関するYouTube講義
• ジョルジョ・ピエトロコラ作「タルタペラゴ」の銀色の長方形とペルの連作

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