シンプルな機能

Function that attains finitely many values

実解析という数学の分野において、単純関数とは、実数直線の部分集合上の実数値（または複素数値）関数であり 、階段関数に似ています。単純関数は十分に「良い」ため、数学的な推論、理論、証明が容易になります。例えば、単純関数は有限個の値しか取りません。また、実用上、 単純関数が測定可能であることを要求する著者もいます。

単純関数の基本的な例としては、半開区間 [1, 9) 上の床関数が挙げられます。この関数の値は {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} のみです。より高度な例としては、実数直線上のディリクレ関数が挙げられます。この関数は、 xが有理数の場合に 1 を、そうでない場合は 0 をとります。（したがって、「単純関数」の「単純」という語は、一般的な用語とは多少異なる技術的な意味を持ちます。）すべてのステップ関数は単純です。

単純関数は、ルベーグ積分などの積分理論の発展の第一段階として使用されます。これは、単純関数の積分を定義するのが容易であり、また、より一般的な関数を単純関数のシーケンスで近似するのが簡単であるためです。

意味

形式的には、単純関数とは、可測集合の指示関数の有限線型結合である。より正確には、( X , Σ) を可測空間とする。A 1 , ..., A n ∈ Σ を互いに素な可測集合の列とし、_a 1 , _... , a n を実数_または複素数の_列とする。単純関数とは、以下の形式の関数である。 ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\mathbf {1} }_{A_{k}}(x),}$

ここで、 は集合Aの指示関数です。 ${\displaystyle {\mathbf {1} }_{A}}$

単純な関数の性質

2 つの単純な関数の和、差、積も単純な関数であり、定数による乗算によって単純な関数は単純なままになります。したがって、与えられた測定可能空間上のすべての単純な関数の集合は、上の可換代数を形成します。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$

単純な機能の統合

空間 上で測度 が定義されている場合、に関する単純な関数の積分は次のように定義されます。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \int _{X}fd\mu =\sum _{k=1}^{n}a_{k}\mu (A_{k}),}$

すべての加数が有限の場合。

ルベーグ積分との関係

上記の単純な関数の積分は、より一般的な関数のクラスに拡張することができ、ルベーグ積分はこのように定義されます。この拡張は、以下の事実に基づいています。

定理。任意の非負測定可能関数 は、非負単純関数の単調増加列の各点の極限である。 ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} ^{+}}$

の述語から、余域におけるシグマ代数はボレルσ代数のへの制限であることが示唆される。証明は以下のように進む。を測度空間 上で定義された非負可測関数とする。各 に対して、 の余域を長さ の区間に分割する。すなわち、各 に対して、次のように定義する 。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 2^{2n}+1}$ ${\displaystyle 2^{2n}}$ ${\displaystyle 2^{-n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle I_{n,k}=\left[{\frac {k-1}{2^{n}}},{\frac {k}{2^{n}}}\right)}$、および、 ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,2^{2n}}$ ${\displaystyle I_{n,2^{2n}+1}=[2^{n},\infty )}$

これらは互いに素であり、非負の実数直線 ( ) を覆う。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\subseteq \cup _{k}I_{n,k},\forall n\in \mathbb {N} }$

次にセットを定義します

${\displaystyle A_{n,k}=f^{-1}(I_{n,k})\,}$のために ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,2^{2n}+1,}$

は測定可能であると仮定されているため、測定可能です（）。 ${\displaystyle A_{n,k}\in \Sigma }$ ${\displaystyle f}$

そして、単純な関数の連続が増加する

${\displaystyle f_{n}=\sum _{k=1}^{2^{2n}+1}{\frac {k-1}{2^{n}}}{\mathbf {1} }_{A_{n,k}}}$

は のとき点ごとに に収束します。が有界である場合、収束は一様であることに注意します。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle f}$

参照

ボクナー測定可能関数

参考文献

• JFCキングマン、SJテイラー著『測度と確率入門』、1966年、ケンブリッジ。
• S. Lang .実解析と関数解析、1993年、Springer-Verlag。
• W. Rudin著『実解析と複素解析』、1987年、McGraw-Hill。
• HLロイデン著『実分析』1968年、コリアー・マクミラン社。

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