単体ハニカム

${\tilde {A}}_{2}$	${\tilde {A}}_{3}$
三角形のタイル	四面体-八面体ハニカム
赤と黄色の正三角形	シアンと黄色の四面体と赤色の修正四面体（八面体）

幾何学において、単体ハニカム（または $n$ 単体ハニカム）は、アフィンコクセター群の対称性に基づく、ハニカムの次元無限列である。これは、1 つのノードが環状になった $n$ $+ 1$ ノードの巡回グラフとして、コクセター-ディンキン図で表わされる。これは、 $n$ 単体ファセットと、すべての修正された $n単体で構成される。これは、すべての$ 超平面に沿って細分化された $n$ 次元超立方体ハニカムを主対角線に沿って引き伸ばし、超立方体の端の単体が正則になるまで引き伸ばしたものと考えることができる。 $n$ 単体ハニカムの頂点図は、拡張された $n$ 単体である。 ${\tilde {A}}_{n}$ $x+y+\cdots \in \mathbb {Z}$

2次元では、ハニカムは三角形のタイリングを表し、コクセターグラフは交互に色分けされた三角形で平面を埋める。3次元では、コクセターグラフを持つ四面体-八面体ハニカム構造を表す。空間を交互に正四面体と正八面体のセルで満たす。4次元では 5セルハニカムと呼ばれ、コクセターグラフで表される。5 次元では5単体ハニカムと呼ばれ、コクセターグラフを持つ。5-単体、修正5-単体、および修正5-単体の両面で空間を埋める。6次元では 6-単体ハニカムと呼ばれ、コクセターグラフを持つ。、6 単体、修正 6 単体、および二重修正 6 単体の面で空間を埋めます。

次元別

n	${\tilde {A}}_{2+}$	テッセレーション	頂点図形	頂点あたりのファセット数	頂点あたりの頂点数	エッジ図
1	${\tilde {A}}_{1}$	アペイロゴン	線分	2	2	ポイント
2	${\tilde {A}}_{2}$	三角形のタイル張り 2単体ハニカム	六角形（切頂三角形）	3+3の三角形	6	線分
3	${\tilde {A}}_{3}$	四面体八面体ハニカム 3単体ハニカム	立方八面体（カンテラテッドテトラヘドロン）	4+4四面体 6直角四面体	12	矩形
4	${\tilde {A}}_{4}$	4単体ハニカム	ランシネーテッド5セル	5+5 5セル 10+10整流5セル	20	三角形の反プリズム
5	${\tilde {A}}_{5}$	5単体ハニカム	立体的に配列した5-単体	6+6 5単体 15+15整流5単体 20双整流5単体	30	四面体反プリズム
6	${\tilde {A}}_{6}$	6単体ハニカム	ペンテレート6単体	7+7 6単体 21+21整流6単体 35+35双整流6単体	42	4単体反プリズム
7	${\tilde {A}}_{7}$	7単体ハニカム	六角形7単体	8+8 7単体 28+28整流7単体 56+56 2整流7単体 70 3整流7単体	56	5単体反プリズム
8	${\tilde {A}}_{8}$	8単体ハニカム	七面体8単体	9+9 8単体 36+36整流8単体 84+84 2整流8単体 126+126 3整流8単体	72	6単体反プリズム
9	${\tilde {A}}_{9}$	9単体ハニカム	八面体9単体	10+10 9単体 45+45整流9単体 120+120 2整流9単体 210+210 3整流9単体 252 4整流9単体	90	7単体反プリズム
10	${\tilde {A}}_{10}$	10単体ハニカム	10単体の回腸	11+11 10単体 55+55整流10単体 165+165 2整流10単体 330+330 3整流10単体 462+462 4整流10単体	110	8単体反プリズム
11	${\tilde {A}}_{11}$	11単体ハニカム	...	...	...	...

折り畳みによる投影

(2n−1)単体ハニカムと2n単体ハニカムは、同じ頂点配置を共有する2組の鏡を互いに写像する幾何学的折り畳み操作によって、 n次元超立方ハニカムに投影することができます。

${\tilde {A}}_{2}$	${\tilde {A}}_{4}$	${\tilde {A}}_{6}$	${\tilde {A}}_{8}$	${\tilde {A}}_{10}$	...
${\tilde {A}}_{3}$	${\tilde {A}}_{3}$	${\tilde {A}}_{5}$	${\tilde {A}}_{7}$	${\tilde {A}}_{9}$	...
${\tilde {C}}_{1}$	${\tilde {C}}_{2}$	${\tilde {C}}_{3}$	${\tilde {C}}_{4}$	${\tilde {C}}_{5}$	...

キスナンバー

これらのハニカムは、各ハニカム頂点の中心に位置する接線 n 球として見られ、接触する球の数は固定されており、頂点図の頂点の数に対応しています。これは、2 次元および 3 次元では最大の接線数を表しますが、高次元では不足しています。2 次元では、三角形のタイリングにより、正六角形に配置された 6 つの接線球の円充填が定義され、3 次元では、立方八面体構成に配置された 12 の接線球があります。4 次元から 8 次元では、接線数は20、30、42、56、72 個の球であり、最大の解はそれぞれ 24、40、72、126、240 個の球です。

参照

参考文献

ジョージ・オルシェフスキー『均一な全倍数体テトラコーム』原稿（2006年）（11個の凸均一タイリング、28個の凸均一ハニカム、および143個の凸均一テトラコームの完全なリスト）
Branko Grünbaum , 3次元空間の均一タイリング. Geombinatorics 4(1994), 49 - 56.
ノーマン・ジョンソン 『均一多面体』、原稿（1991年）
コクセター『HSM 正多面体』（第3版、1973年）、ドーバー版、ISBN 0-486-61480-8
万華鏡： HSMコクセター選集、F・アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6[1]
- （論文22）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] （1.9 一様空間充填）
- （論文24）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]

v t e 2～9次元の基本凸正則ハニカムと一様ハニカム
空間	家族	${\tilde {A}}_{n-1}$	${\tilde {C}}_{n-1}$	${\tilde {B}}_{n-1}$	${\チルダ {D}}_{n-1}$	${\tilde {G}}_{2}$ / / ${\tilde {F}}_{4}$ ${\チルダ {E}}_{n-1}$
E ²	均一なタイリング	0 _[3]	δ ₃	hδ ₃	qδ ₃	六角
E ³	均一な凸型ハニカム	0 _[4]	δ ₄	hδ ₄	qδ ₄
E4	均一な4ハニカム	0 _[5]	δ ₅	hδ ₅	qδ ₅	24セルハニカム
E ⁵	均一な5ハニカム	0 _[6]	δ ₆	hδ ₆	qδ ₆
E ⁶	均一な6ハニカム	0 _[7]	δ ₇	hδ ₇	qδ ₇	2 ₂₂
E ⁷	均一な7ハニカム	0 _[8]	δ ₈	hδ ₈	qδ ₈	1 ₃₃ • 3 ₃₁
E8	均一な8ハニカム	0 _[9]	δ ₉	hδ ₉	qδ ₉	1 ₅₂ • 2 ₅₁ • 5 ₂₁
E9	均一な9ハニカム	0 _[10]	δ ₁₀	hδ ₁₀	qδ ₁₀
E ¹⁰	均一な10ハニカム	0 _[11]	δ ₁₁	hδ ₁₁	qδ ₁₁
E ^{n −1}	均一な（n −1）ハニカム	0 _{[ n ]}	δ _n	hδ _n	qδ _n	1 _{k 2} • 2 _{k 1} • k ₂₁