Special mathematical function defined as sin(x)/x
sinc 同じスケールで示された正規化sinc関数（青）と非正規化sinc関数（赤）の一部
一般定義 sinc x = { sin x x , x ≠ 0 1 , x = 0 {\displaystyle \operatorname {sinc} x={\begin{cases}{\dfrac {\sin x}{x}},&x\neq 0\\1,&x=0\end{cases}}} 応用分野 信号処理、分光法 定義域 R {\displaystyle \mathbb {R} } 像 [ − 0.217234 … , 1 ] {\displaystyle [-0.217234\ldots ,1]} パリティ 偶数 ゼロにおける 1 +∞における値 0 -∞における値 0 最大値 1における x = 0 {\displaystyle x=0} 最小値 − 0.21723 … {\displaystyle -0.21723\ldots } における x = ± 4.49341 … {\displaystyle x=\pm 4.49341\ldots } 根号 π k , k ∈ Z ≠ 0 {\displaystyle \pi k,k\in \mathbb {Z} _{\neq 0}} 逆数 { x csc x , x ≠ 0 1 , x = 0 {\displaystyle {\begin{cases}x\csc x,&x\neq 0\\1,&x=0\end{cases}}} 微分 sinc ′ x = { cos x − sinc x x , x ≠ 0 0 , x = 0 {\displaystyle \operatorname {sinc} 'x={\begin{cases}{\dfrac {\cos x-\operatorname {sinc} x}{x}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{cases}}} 不定積分 ∫ sinc x d x = Si ( x ) + C {\displaystyle \int \operatorname {sinc} x\,dx=\operatorname {Si} (x)+C} テイラー級数 sinc x = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k x 2 k ( 2 k + 1 ) ! {\displaystyle \operatorname {sinc} x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k}}{(2k+1)!}}}
数学 、 物理学 、 工学 において 、 sinc関数 （ SINK ）はsinc(x)と表記され として 定義 さ れ ます sinc ( x ) = sin x x . {\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin x}{x}}.} sinc ( x ) = sin π x π x , {\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}},}
後者は 正規化sinc関数と呼ばれることもあります。2つの定義の唯一の違いは、 独立変数 （ x 軸）を π 倍に スケーリングすることです。どちらの場合も、ゼロにおける 除去可能な特異点 における関数の値は 、極限値1であると理解されます。したがって、sinc関数はどこでも 解析的で あり、したがって 整関数 です
正規化sinc関数は、 スケーリングのない 矩形関数 の フーリエ変換 です。これは、信号の 均一間隔の サンプルから連続した帯域制限信号 を再構成するという概念で使用されます。sinc フィルタ は信号処理で使用されます。
この関数自体は、 レイリー卿 によって、第一種 零次球面 ベッセル関数の 式（ レイリーの公式）において、この形で初めて数学的に導出されました。
sinc関数は 、 基数正弦 関数とも呼ばれます 。
定義 2000Hz（零点を中心に±1.5秒）の音声におけるsinc関数 sinc関数には、正規化と非正規化の2つの形式があります。 [1]
数学では、歴史的な 非正規化sinc関数は、 x ≠ 0 に対して
次の ように定義されます。 sinc ( x ) = sin x x . {\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin x}{x}}.}
あるいは、非正規化sinc関数はしばしば サンプリング関数 と呼ばれ、Sa( x )と表記されます。 [2]
デジタル信号処理 と 情報理論 において 、 正規化sinc関数は一般的に x ≠ 0 に対して次 のように定義されます。 sinc ( x ) = sin ( π x ) π x . {\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}.}
どちらの場合も、 x = 0 における値は、 すべての実数 a ≠ 0 に対する極限値として定義されます
（この極限は スクイーズ定理 を用いて証明できます ）。 sinc ( 0 ) := lim x → 0 sin ( a x ) a x = 1 {\displaystyle \operatorname {sinc} (0):=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(ax)}{ax}}=1}
正規 化 により、実数に対する関数の 定積分は 1になります（一方、正規化されていないsinc関数の同じ積分は π になります）。さらに有用な特性として、正規化sinc関数の零点はx の非零の整数値です 。
語源 この関数は、基数正弦関数 または 正弦基数 関数とも呼ばれます 。 [3] [4] 「sinc」という用語は、関数の完全なラテン語名である sinus cardinalis [5] の短縮形であり、 1952年の論文「情報理論と電気通信における 逆確率」の中で、 Philip M. Woodward とI.L. Daviesによって導入されました。 「この関数はフーリエ解析とその応用において非常に頻繁に出現するため、独自の表記法を使用する価値があるように思われる」と述べています。 [6] また、Woodwardの1953年の著書 「確率と情報理論、レーダーへの応用」でも 使用されています。 [5] [7]
特性 正規化されていない赤いsinc関数の極大値と極小値（小さな白い点）は、 青い cos関数との交点に対応します 正規化されていないsinc関数のゼロ 交差は π の非ゼロの整数倍で発生します が、正規化されたsinc関数のゼロ交差は非ゼロの整数倍で発生します。
正規化されていないsinc関数の極大値と極小値は、 cos 関数との交点に対応します。つまり、 sin( ξ ) / ξ = cos( ξ )であり 、 sin( x ) / x d d x sinc ( x ) = { cos ( x ) − sinc ( x ) x , x ≠ 0 0 , x = 0 . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {sinc} (x)={\begin{cases}{\dfrac {\cos(x)-\operatorname {sinc} (x)}{x}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{cases}}.}
正のx座標を持つ n 番目 の極値の x 座標に対する無限級数の最初の数項は [ 要出典 ] で あり 、奇数 n は極小値、偶数 n は極大値となる。y軸周りの対称性のため、 x 座標が −xn の 極値が存在します 。さらに、 ξ0 = (0, 1) で 絶対最大値があります。 x n = q − q − 1 − 2 3 q − 3 − 13 15 q − 5 − 146 105 q − 7 − ⋯ , {\displaystyle x_{n}=q-q^{-1}-{\frac {2}{3}}q^{-3}-{\frac {13}{15}}q^{-5}-{\frac {146}{105}}q^{-7}-\cdots ,} q = ( n + 1 2 ) π , {\displaystyle q=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pi ,}
正規化されたsinc関数は無限積 として簡単に表現できます 。 sin ( π x ) π x = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − x 2 n 2 ) {\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)}
複素平面に-2-2iから2+2iまでプロットされた基数正弦関数sinc(z) は、オイラーの鏡映公式 を通じて ガンマ関数 Γ( x ) と関連付けられています 。 sin ( π x ) π x = 1 Γ ( 1 + x ) Γ ( 1 − x ) . {\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}.}
オイラーは [8]、 積和恒等式 [9] により、そしてである
こと を発見しました。 sin ( x ) x = ∏ n = 1 ∞ cos ( x 2 n ) , {\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right),}
sinc z = の領域彩色 プロット sin z / z ∏ n = 1 k cos ( x 2 n ) = 1 2 k − 1 ∑ n = 1 2 k − 1 cos ( n − 1 / 2 2 k − 1 x ) , ∀ k ≥ 1 , {\displaystyle \prod _{n=1}^{k}\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)={\frac {1}{2^{k-1}}}\sum _{n=1}^{2^{k-1}}\cos \left({\frac {n-1/2}{2^{k-1}}}x\right),\quad \forall k\geq 1,} オイラーの積は和として書き直すことができる sin ( x ) x = lim N → ∞ 1 N ∑ n = 1 N cos ( n − 1 / 2 N x ) . {\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos \left({\frac {n-1/2}{N}}x\right).}
正規 化されたsinc関数（通常の周波数）の 連続フーリエ変換は rect ( f ) である。 ここで、 直交関数は、− ∫ − ∞ ∞ sinc ( t ) e − i 2 π f t d t = rect ( f ) , {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} (t)\,e^{-i2\pi ft}\,dt=\operatorname {rect} (f),} 1 / 2 と 1 / 2 。これは、 sincフィルタ が理想的な（ ブリックウォール 、つまり矩形 周波数応答 ） ローパスフィルタで あるという事実に対応している 。
このフーリエ積分は、特殊な場合を含めて、 不定積分 （ ディリクレ積分を 参照）であり、収束ルベーグ積分ではない 。 ∫ − ∞ ∞ sin ( π x ) π x d x = rect ( 0 ) = 1 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,dx=\operatorname {rect} (0)=1} ∫ − ∞ ∞ | sin ( π x ) π x | d x = + ∞ . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\right|\,dx=+\infty .}
正規化されたsinc関数はサンプリングされた 帯域制限 関数 の 補間 との関係において理想的となる特性を持っている
これは補間関数です。つまり、 sinc(0) = 1 、非ゼロの 整数 k に対して sinc( k ) = 0です 。 関数 x k ( t ) = sinc( t − k ) ( k 整数)は、 関数空間 L 2 ( R ) における 帯域制限 関数の 正規直交基底 を形成し、最高角周波数 ω H = π （つまり、最高周期周波数 f H = 1 / 2 ）です。 2つのsinc関数のその他の特性は次のとおりです。
正規化されていないsincは、第一種 0次球面 ベッセル関数 j 0 ( x ) です。正規化されたsincは j 0 (π x ) です ここで、 Si( x )は 正弦積分 です 。 ∫ 0 x sin ( θ ) θ d θ = Si ( x ) . {\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\operatorname {Si} (x).} λsinc ( λx ) （正規化されていない）は、線形 常微分方程式 の2つの線形独立な解のうちの1つです。もう1つは x d 2 y d x 2 + 2 d y d x + λ 2 x y = 0. {\displaystyle x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2{\frac {dy}{dx}}+\lambda ^{2}xy=0.} cos( λx ) / x は 、 sinc関数とは異なり、 x = 0 で有界ではありません 正規化sinc関数を使用して、 ∫ − ∞ ∞ sin 2 ( θ ) θ 2 d θ = π ⇒ ∫ − ∞ ∞ sinc 2 ( x ) d x = 1 , {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{2}(\theta )}{\theta ^{2}}}\,d\theta =\pi \quad \Rightarrow \quad \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} ^{2}(x)\,dx=1,} ∫ − ∞ ∞ sin ( θ ) θ d θ = ∫ − ∞ ∞ ( sin ( θ ) θ ) 2 d θ = π . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\int _{-\infty }^{\infty }\left({\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\right)^{2}\,d\theta =\pi .} ∫ − ∞ ∞ sin 3 ( θ ) θ 3 d θ = 3 π 4 . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{3}(\theta )}{\theta ^{3}}}\,d\theta ={\frac {3\pi }{4}}.} ∫ − ∞ ∞ sin 4 ( θ ) θ 4 d θ = 2 π 3 . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{4}(\theta )}{\theta ^{4}}}\,d\theta ={\frac {2\pi }{3}}.} 次の不定積分は（正規化されていない）sinc関数を含みます。 ∫ 0 ∞ d x x n + 1 = 1 + 2 ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 ( k n ) 2 − 1 = 1 sinc ( π n ) . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x^{n}+1}}=1+2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{(kn)^{2}-1}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} ({\frac {\pi }{n}})}}.}
ディラックのデルタ分布との関係 正規化sinc関数は新生デルタ関数 として使用でき 、次の 弱極限 が成り立つことを意味します。
lim a → 0 sin ( π x a ) π x = lim a → 0 1 a sinc ( x a ) = δ ( x ) . {\displaystyle \lim _{a\to 0}{\frac {\sin \left({\frac {\pi x}{a}}\right)}{\pi x}}=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\operatorname {sinc} \left({\frac {x}{a}}\right)=\delta (x).}
左辺が収束しないため、これは通常の極限ではありません。むしろ、それは
lim a → 0 ∫ − ∞ ∞ 1 a sinc ( x a ) φ ( x ) d x = φ ( 0 ) {\displaystyle \lim _{a\to 0}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a}}\operatorname {sinc} \left({\frac {x}{a}}\right)\varphi (x)\,dx=\varphi (0)}
フーリエ反転定理 からわかるように、 すべての シュワルツ関数 に対して、次のことを意味します。上記の式では、 a → 0 のときに、sinc関数の単位長さあたりの振動数は無限大に近づきます。それでも、式は常に ± 1 / π x の包絡線内で振動します。 これは、 a の値に関係なく
これは、 x = 0 の点を除くすべての xに対して δ ( x ) が0であるという 非公式な描像を複雑にし 、デルタ関数を分布ではなく関数として考えることの問題点を示しています。同様の状況は ギブス現象 にも見られます。
と書くことで、 標準的なディラック表現と直接関連付けることもできます。 δ ( x ) {\displaystyle \delta (x)} b = 1 / a {\displaystyle b=1/a}
lim b → ∞ sin ( b π x ) π x = lim b → ∞ 1 2 π ∫ − b π b π e i k x d k = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ e i k x d k = δ ( x ) , {\displaystyle \lim _{b\to \infty }{\frac {\sin \left(b\pi x\right)}{\pi x}}=\lim _{b\to \infty }{\frac {1}{2\pi }}\int _{-b\pi }^{b\pi }e^{ikx}dk={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ikx}dk=\delta (x),}
これにより、積分の無限帯域極限としてデルタが回復することが明確に
和 このセクションのすべての和は
1から ∞ までの整数 nに対する sinc( n ) の和は 、 π − 1 / 2 ：
∑ n = 1 ∞ sinc ( n ) = sinc ( 1 ) + sinc ( 2 ) + sinc ( 3 ) + sinc ( 4 ) + ⋯ = π − 1 2 . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {sinc} (n)=\operatorname {sinc} (1)+\operatorname {sinc} (2)+\operatorname {sinc} (3)+\operatorname {sinc} (4)+\cdots ={\frac {\pi -1}{2}}.}
平方和も π − 1 / 2 ： [10] [11]
∑ n = 1 ∞ sinc 2 ( n ) = sinc 2 ( 1 ) + sinc 2 ( 2 ) + sinc 2 ( 3 ) + sinc 2 ( 4 ) + ⋯ = π − 1 2 . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {sinc} ^{2}(n)=\operatorname {sinc} ^{2}(1)+\operatorname {sinc} ^{2}(2)+\operatorname {sinc} ^{2}(3)+\operatorname {sinc} ^{2}(4)+\cdots ={\frac {\pi -1}{2}}.}
加数 の符号が交互になり、+で始まる場合 、 和は 1 / 2 ： ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 sinc ( n ) = sinc ( 1 ) − sinc ( 2 ) + sinc ( 3 ) − sinc ( 4 ) + ⋯ = 1 2 . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} (n)=\operatorname {sinc} (1)-\operatorname {sinc} (2)+\operatorname {sinc} (3)-\operatorname {sinc} (4)+\cdots ={\frac {1}{2}}.}
平方和と立方和の交互になる和も 1 / 2 ： [12] ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 sinc 2 ( n ) = sinc 2 ( 1 ) − sinc 2 ( 2 ) + sinc 2 ( 3 ) − sinc 2 ( 4 ) + ⋯ = 1 2 , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} ^{2}(n)=\operatorname {sinc} ^{2}(1)-\operatorname {sinc} ^{2}(2)+\operatorname {sinc} ^{2}(3)-\operatorname {sinc} ^{2}(4)+\cdots ={\frac {1}{2}},}
∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 sinc 3 ( n ) = sinc 3 ( 1 ) − sinc 3 ( 2 ) + sinc 3 ( 3 ) − sinc 3 ( 4 ) + ⋯ = 1 2 . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} ^{3}(n)=\operatorname {sinc} ^{3}(1)-\operatorname {sinc} ^{3}(2)+\operatorname {sinc} ^{3}(3)-\operatorname {sinc} ^{3}(4)+\cdots ={\frac {1}{2}}.}
シリーズ拡大 正規化されていないsinc 関数の テイラー 級数 は、正弦関数のテイラー級数から得ることができます（正弦関数も x = 0 で1になります）。 sin x x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n + 1 ) ! = 1 − x 2 3 ! + x 4 5 ! − x 6 7 ! + ⋯ {\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n+1)!}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\cdots }
この級数はすべての x に対して収束します。正規化されたバージョンは簡単に得られます。 sin π x π x = 1 − π 2 x 2 3 ! + π 4 x 4 5 ! − π 6 x 6 7 ! + ⋯ {\displaystyle {\frac {\sin \pi x}{\pi x}}=1-{\frac {\pi ^{2}x^{2}}{3!}}+{\frac {\pi ^{4}x^{4}}{5!}}-{\frac {\pi ^{6}x^{6}}{7!}}+\cdots }
オイラーは バーゼル問題を 解くために、この級数を無限積形の展開と比較したことで有名です 。
高次元 1 次元 sinc 関数の積は、 正方直交座標グリッド ( 格子 )の 多変数sinc 関数を簡単に提供します。 sinc C ( x , y ) = sinc( x ) sinc( y ) 、その フーリエ変換は周波数空間内の正方形 (つまり、2 次元空間で定義されたレンガの壁) の 指標関数 です 。非直交座標格子 (たとえば、六方格子 ) の sinc 関数 は 、 フーリエ 変換がその格子のブリルアンゾーンの指標関数である関数です 。 たとえば 、 六方 格子の sinc 関数は、 フーリエ変換が周波数空間内の単位六角形の 指標関数 である 関数です 。非直交座標格子の場合、この関数は単純な テンソル積 では取得できません。しかし、 六方格子 、 体心立方格子 、 面心立方格子 、その他の高次元格子 のsinc関数の明示的な式は、ブリルアンゾーンの幾何学的性質と ゾノトープ との関連を用いて明示的に導出することができます [13] 。
例えば、 六方格子は ベクトルの
（整数） 線形スパン によって生成できます u 1 = [ 1 2 3 2 ] and u 2 = [ 1 2 − 3 2 ] . {\displaystyle \mathbf {u} _{1}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {u} _{2}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}.}
と表記すると 、この六方格子のsinc関数は次のように 導出できます [13] ξ 1 = 2 3 u 1 , ξ 2 = 2 3 u 2 , ξ 3 = − 2 3 ( u 1 + u 2 ) , x = [ x y ] , {\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}_{1}={\tfrac {2}{3}}\mathbf {u} _{1},\quad {\boldsymbol {\xi }}_{2}={\tfrac {2}{3}}\mathbf {u} _{2},\quad {\boldsymbol {\xi }}_{3}=-{\tfrac {2}{3}}(\mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2}),\quad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},} sinc H ( x ) = 1 3 ( cos ( π ξ 1 ⋅ x ) sinc ( ξ 2 ⋅ x ) sinc ( ξ 3 ⋅ x ) + cos ( π ξ 2 ⋅ x ) sinc ( ξ 3 ⋅ x ) sinc ( ξ 1 ⋅ x ) + cos ( π ξ 3 ⋅ x ) sinc ( ξ 1 ⋅ x ) sinc ( ξ 2 ⋅ x ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sinc} _{\text{H}}(\mathbf {x} )={\tfrac {1}{3}}{\big (}&\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\\&{}+\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\\&{}+\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right){\big )}.\end{aligned}}}
この構成は、一般的な多次元格子の ランチョス窓 を設計するために使用できます。 [13]
Sinhc 一部の著者は、類推により、双曲正弦 基数関数 を定義しています。 [14] [15] [16]
s i n h c ( x ) = { sinh ( x ) x , if x ≠ 0 1 , if x = 0 {\displaystyle \mathrm {sinhc} (x)={\begin{cases}{\displaystyle {\frac {\sinh(x)}{x}},}&{\text{if }}x\neq 0\\{\displaystyle 1,}&{\text{if }}x=0\end{cases}}}
参照
参考文献 ^ Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. 編 (2010)、「数値解析法」、 NIST Handbook of Mathematical Functions 、ケンブリッジ大学出版局、 ISBN 978-0-521-19225-5 、 MR 2723248 .. ^ Singh, RP; Sapre, SD (2008). Communication Systems, 2E (illustrated edition). Tata McGraw-Hill Education. p. 15. ISBN 978-0-07-063454-1 . 15ページの抜粋 ^ Weisstein, Eric W. 「Sinc Function」. mathworld.wolfram.com . 2023年6月7日 閲覧 ^ Merca, Mircea (2016-03-01). 「基数正弦関数とチェビシェフ・スターリング数」 . Journal of Number Theory . 160 : 19–31 . doi :10.1016/j.jnt.2015.08.018. ISSN 0022-314X. S2CID 124388262. ^ ab Poynton, Charles A. (2003). デジタルビデオとHDTV . Morgan Kaufmann Publishers. p. 147. ISBN 978-1-55860-792-7 . ^ Woodward, PM; Davies, IL (1952年3月). 「電気通信における情報理論と逆確率」 (PDF) . Proceedings of the IEE - Part III: Radio and Communication Engineering . 99 (58): 37– 44. doi :10.1049/pi-3.1952.0011. ^ Woodward, Phillip M. (1953). 確率と情報理論、レーダーへの応用 . ロンドン: Pergamon Press. p. 29. ISBN 978-0-89006-103-9 OCLC 488749777 ^ Euler, Leonhard (1735) . 「逆数の級数の和について」. arXiv : math/0506415 ^ サンジャー・M・アブラロフ、ブレンダン・M・クワイン (2015). 「sinc関数の不完全コサイン展開によるサンプリング：フォークト/複素誤差関数への応用」. Appl. Math. Comput . 258 : 425–435 . arXiv : 1407.0533 . doi :10.1016/j.amc.2015.01.072 ^ 「上級問題6241」 アメリカ数学月刊誌 、 87 (6)。ワシントンD.C.： アメリカ数学協会 、 496-498 。1980年6-7月 。doi :10.1080/00029890.1980.11995075 ^ Robert Baillie、 David Borwein 、 Jonathan M. Borwein (2008年12月). 「驚くべきSinc和と積分」. American Mathematical Monthly . 115 (10): 888–901 . doi :10.1080/00029890.2008.11920606. hdl : 1959.13/940062 . JSTOR 27642636. S2CID 496934. ^ Baillie, Robert (2008). 「フーリエ級数を楽しむ」. arXiv : 0806.0150v2 [math.CA] ^ abc Ye, W.; Entezari, A. (2012年6月). 「多変数Sinc関数の幾何学的構築」. IEEE Transactions on Image Processing . 21 (6): 2969– 2979. Bibcode :2012ITIP...21.2969Y. doi :10.1109/TIP.2011.2162421. PMID 21775264. S2CID 15313688. ^ Ainslie, Michael (2010). ソナー性能モデリングの原理. Springer. p. 636. ISBN 9783540876625 . ^ Günter, Peter (2012). 非線形光学効果と材料. Springer. p. 258. ISBN 9783540497134 . ^ Schächter, Levi (2013). 周期的および準周期的構造におけるビーム波相互作用. Springer. p. 241. ISBN 9783662033982 .
さらに詳しく Stenger, Frank (1993).数値解析 関数とSinc関数に基づく数値解析法 . Springer Series on Computational Mathematics. Vol. 20. Springer-Verlag New York, Inc. doi :10.1007/978-1-4612-2706-9. ISBN 9781461276371 .
外部リンク 
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