Special mathematical function defined as sin(x)/x
シンク 正規化されたsinc関数（青）と非正規化されたsinc関数（赤）の一部が同じスケールで表示されている
一般的な定義 sinc x = { sin x x , x ≠ 0 1 , x = 0 {\displaystyle \operatorname {sinc} x={\begin{cases}{\dfrac {\sin x}{x}},&x\neq 0\\1,&x=0\end{cases}}} 応用分野 信号処理、分光法 ドメイン R {\displaystyle \mathbb {R} } 画像 [ − 0.217234 … , 1 ] {\displaystyle [-0.217234\ldots ,1]} パリティ 平 ゼロで 1 +∞での値 0 −∞での値 0 マキシマ 1で x = 0 {\displaystyle x=0} 最小値 − 0.21723 … {\displaystyle -0.21723\ldots } で x = ± 4.49341 … {\displaystyle x=\pm 4.49341\ldots } 根 π k , k ∈ Z ≠ 0 {\displaystyle \pi k,k\in \mathbb {Z} _{\neq 0}} 相互 { x csc x , x ≠ 0 1 , x = 0 {\displaystyle {\begin{cases}x\csc x,&x\neq 0\\1,&x=0\end{cases}}} デリバティブ sinc ′ x = { cos x − sinc x x , x ≠ 0 0 , x = 0 {\displaystyle \operatorname {sinc} 'x={\begin{cases}{\dfrac {\cos x-\operatorname {sinc} x}{x}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{cases}}} 反微分 ∫ sinc x d x = Si ( x ) + C {\displaystyle \int \operatorname {sinc} x\,dx=\operatorname {Si} (x)+C} テイラー級数 sinc x = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k x 2 k ( 2 k + 1 ) ! {\displaystyle \operatorname {sinc} x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k}}{(2k+1)!}}}
数学 、 物理学 、 工学 において 、 sinc関数 （ SINK ）は sinc( x ) と表記され、
次 のように定義されます。 sinc ( x ) = sin x x . {\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin x}{x}}.} sinc ( x ) = sin π x π x , {\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}},}
後者は 正規化sinc関数と呼ばれることもあります。2つの定義の唯一の違いは、 独立変数 （ x 軸）を π 倍して スケーリングすることです。どちらの場合も、ゼロにおける 除去可能な特異点 における関数の値は、 極限値1であると理解されます。したがって、sinc関数はあらゆる点で 解析的で あり、したがって 整関数 となります。
正規化sinc関数は、スケーリングのない 矩形関数 の フーリエ変換 です。これは、帯域制限された連続信号を、等間隔に配置された 信号の サンプルから 再構成する 概念で使用されます。sinc フィルタ は信号処理に使用されます。
この関数自体は、 レイリー卿 が第一種 零次球面 ベッセル関数 の表現（ レイリーの公式）の中で初めてこの形式で数学的に導出されました。
sinc関数は 、 基数正弦 関数とも呼ばれます 。
定義 2000 Hz（ゼロを中心に±1.5秒）のオーディオとしての同期関数 sinc関数には正規化と非正規化の2つの形式がある。 [1]
数学では、歴史的な 非正規化sinc関数は x ≠0 に対して次のよう に定義される。 sinc ( x ) = sin x x . {\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin x}{x}}.}
あるいは、正規化されていないsinc関数は サンプリング関数 と呼ばれることが多く、Sa( x )と表記される。 [2]
デジタル信号処理 と 情報理論 では 、 正規化sinc関数は x ≠0 に対して 次のように定義されることが多い。 sinc ( x ) = sin ( π x ) π x . {\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}.}
どちらの場合でも、 x = 0 における値は、 すべての実数 a ≠ 0 の限界値として定義されます (限界は スクイーズ定理 を使用して証明できます)。 sinc ( 0 ) := lim x → 0 sin ( a x ) a x = 1 {\displaystyle \operatorname {sinc} (0):=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(ax)}{ax}}=1}
正規 化 により、 関数の実数に対する 定積分は1になります（一方、正規化されていないsinc関数の同じ積分は π になります）。さらに有用な特性として、正規化されたsinc関数の零点はx の非零の整数値です 。
語源 この関数は、カーディナルサイン または サインカーディナル 関数とも呼ばれる 。 [3] [4] 「sinc」という用語は、関数の完全なラテン語名である sinus cardinalis [5]の短縮形であり、 フィリップ・M・ウッドワード とIL・デイヴィスが 1952年の論文「情報理論と通信における 逆確率 」の中で「この関数はフーリエ解析とその応用において非常に頻繁に出現するため、独自の表記法を用いる価値があると思われる」と述べて導入された。 [6]また、ウッドワードの1953年の著書 「確率と情報理論、レーダーへの応用」でも 使用されている 。 [5] [7]
プロパティ 正規化されていない赤い sinc 関数の極大値と極小値 (小さな白い点) は、青い cosine 関数 との交点に対応します。 正規化されていない sinc のゼロ 交差は π のゼロ以外の整数倍で発生します が、正規化された sinc のゼロ交差はゼロ以外の整数で発生します。
正規化されていないsinc関数の極大値と極小値は、 cos 関数との交点に対応する。つまり、 sin( ξ ) / ξ = cos( ξ ) である。ξ のすべての点において、 の導関数は 、 sin( x ) / × はゼロとなり、極値に達します。これはsinc関数の微分から分かります。 d d x sinc ( x ) = { cos ( x ) − sinc ( x ) x , x ≠ 0 0 , x = 0 . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {sinc} (x)={\begin{cases}{\dfrac {\cos(x)-\operatorname {sinc} (x)}{x}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{cases}}.}
正の x座標を持つ n 番目の極値の x 座標に関する無限級数の最初の数項は [ 要出典 ] であり、 nが 奇数の場合 は 極小値、偶数の場合 は 極大値となる。y軸周りの対称性により、 x 座標が − x n の 極値が存在する 。さらに、 ξ 0 = (0, 1) に絶対最大値が存在する。 x n = q − q − 1 − 2 3 q − 3 − 13 15 q − 5 − 146 105 q − 7 − ⋯ , {\displaystyle x_{n}=q-q^{-1}-{\frac {2}{3}}q^{-3}-{\frac {13}{15}}q^{-5}-{\frac {146}{105}}q^{-7}-\cdots ,} q = ( n + 1 2 ) π , {\displaystyle q=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pi ,}
正規化されたsinc関数は、無限積 として簡単に表現できます 。 sin ( π x ) π x = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − x 2 n 2 ) {\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)}
複素平面上で-2-2iから2+2iまでプロットされた基数正弦関数sinc(z) これは オイラーの反射公式 を通じて ガンマ関数 Γ( x ) と関係している： sin ( π x ) π x = 1 Γ ( 1 + x ) Γ ( 1 − x ) . {\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}.}
オイラーは [ 8] 、
積和の恒等式 [9] により、 sin ( x ) x = ∏ n = 1 ∞ cos ( x 2 n ) , {\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right),}
sinc z = の領域カラーリング プロット 正弦 z / z ∏ n = 1 k cos ( x 2 n ) = 1 2 k − 1 ∑ n = 1 2 k − 1 cos ( n − 1 / 2 2 k − 1 x ) , ∀ k ≥ 1 , {\displaystyle \prod _{n=1}^{k}\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)={\frac {1}{2^{k-1}}}\sum _{n=1}^{2^{k-1}}\cos \left({\frac {n-1/2}{2^{k-1}}}x\right),\quad \forall k\geq 1,} オイラー積は和として書き直すことができる sin ( x ) x = lim N → ∞ 1 N ∑ n = 1 N cos ( n − 1 / 2 N x ) . {\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos \left({\frac {n-1/2}{N}}x\right).}
正規化されたsinc（通常の周波数）の連続フーリエ変換はrect(f)である 。 ここ で 、 直交 関数 は 、 引数 が− の間の場合は1である。 ∫ − ∞ ∞ sinc ( t ) e − i 2 π f t d t = rect ( f ) , {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} (t)\,e^{-i2\pi ft}\,dt=\operatorname {rect} (f),} 1 / 2 と 1 / 2 、それ以外の場合はゼロです。これは、 sincフィルタ が理想的な（ ブリックウォール 、つまり矩形の 周波数応答 ） ローパスフィルタ であるという事実に対応しています 。
このフーリエ積分は、特別な場合も含めて
、 不定積分 （ ディリクレ積分を 参照）
であり 、収束 ルベーグ積分 ではない。 ∫ − ∞ ∞ sin ( π x ) π x d x = rect ( 0 ) = 1 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,dx=\operatorname {rect} (0)=1} ∫ − ∞ ∞ | sin ( π x ) π x | d x = + ∞ . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\right|\,dx=+\infty .}
正規化された sinc 関数には、サンプリングされた 帯域制限 関数の 補間 との関係で理想的な特性があります 。
これは補間関数です。つまり、 sinc(0) = 1 で あり、 sinc( k ) = 0 は非ゼロの 整数 k に対して成り立ちます 。 関数 x k ( t ) = sinc( t − k ) ( k 整数) は、 関数空間 L 2 ( R ) における 帯域制限 関数の 直交基底 を形成し、最高角周波数 ω H = π (つまり、最高サイクル周波数 f H = 1 / 2 ）。 2 つの sinc 関数のその他のプロパティは次のとおりです。
正規化されていないsincは、第一種 0次球面 ベッセル関数 j 0 ( x ) です。正規化されたsincは j 0 (π x ) です。 ここで Si( x )は 正弦積分 であり 、 ∫ 0 x sin ( θ ) θ d θ = Si ( x ) . {\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\operatorname {Si} (x).} λ sinc( λx ) (正規化されていない) は、線形 常微分方程式の2つの線形独立解のうちの1つです 。 もう1つは x d 2 y d x 2 + 2 d y d x + λ 2 x y = 0. {\displaystyle x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2{\frac {dy}{dx}}+\lambda ^{2}xy=0.} cos( λx ) / × 、これはsinc 関数とは異なり、 x = 0 で制限されません 正規化されたsincを使用すると、 ∫ − ∞ ∞ sin 2 ( θ ) θ 2 d θ = π ⇒ ∫ − ∞ ∞ sinc 2 ( x ) d x = 1 , {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{2}(\theta )}{\theta ^{2}}}\,d\theta =\pi \quad \Rightarrow \quad \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} ^{2}(x)\,dx=1,} ∫ − ∞ ∞ sin ( θ ) θ d θ = ∫ − ∞ ∞ ( sin ( θ ) θ ) 2 d θ = π . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\int _{-\infty }^{\infty }\left({\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\right)^{2}\,d\theta =\pi .} ∫ − ∞ ∞ sin 3 ( θ ) θ 3 d θ = 3 π 4 . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{3}(\theta )}{\theta ^{3}}}\,d\theta ={\frac {3\pi }{4}}.} ∫ − ∞ ∞ sin 4 ( θ ) θ 4 d θ = 2 π 3 . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{4}(\theta )}{\theta ^{4}}}\,d\theta ={\frac {2\pi }{3}}.} 次の不定積分には、（正規化されていない）sinc 関数が含まれます。 ∫ 0 ∞ d x x n + 1 = 1 + 2 ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 ( k n ) 2 − 1 = 1 sinc ( π n ) . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x^{n}+1}}=1+2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{(kn)^{2}-1}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} ({\frac {\pi }{n}})}}.}
ディラックのデルタ分布との関係 正規化された sinc 関数は新生デルタ関数 として使用することができ 、次の 弱い極限 が成り立つことを意味します。
lim a → 0 sin ( π x a ) π x = lim a → 0 1 a sinc ( x a ) = δ ( x ) . {\displaystyle \lim _{a\to 0}{\frac {\sin \left({\frac {\pi x}{a}}\right)}{\pi x}}=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\operatorname {sinc} \left({\frac {x}{a}}\right)=\delta (x).}
これは通常の極限ではありません。左辺が収束しないからです。むしろ、これは
lim a → 0 ∫ − ∞ ∞ 1 a sinc ( x a ) φ ( x ) d x = φ ( 0 ) {\displaystyle \lim _{a\to 0}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a}}\operatorname {sinc} \left({\frac {x}{a}}\right)\varphi (x)\,dx=\varphi (0)}
フーリエ反転定理 から分かるように、 すべての シュワルツ関数 に対して が成り立ちます。上記の式では、 a → 0のとき、sinc関数の単位長さあたりの振動数は無限大に近づきます。しかし、この式は常に ± の包絡線内で振動します。 1 / π x 、 a の値に関係なく 。
これは、 x = 0 を除くすべての xに対して δ ( x ) が0であるという 非公式な描像を複雑にし、デルタ関数を分布ではなく関数として考えることの問題点を示している。同様の状況は ギブス現象 にも見られる 。
標準的なディラック表現と直接結び付けるために、 次のように書くこともできる 。 δ ( x ) {\displaystyle \delta (x)} b = 1 / a {\displaystyle b=1/a}
lim b → ∞ sin ( b π x ) π x = lim b → ∞ 1 2 π ∫ − b π b π e i k x d k = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ e i k x d k = δ ( x ) , {\displaystyle \lim _{b\to \infty }{\frac {\sin \left(b\pi x\right)}{\pi x}}=\lim _{b\to \infty }{\frac {1}{2\pi }}\int _{-b\pi }^{b\pi }e^{ikx}dk={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ikx}dk=\delta (x),}
これにより、積分の無限帯域幅の限界としてデルタの回復が明らかになります。
合計 このセクションのすべての合計は、正規化されていない sinc 関数を参照します。
1から ∞ までの整数 nに対する sinc( n ) の合計は 、 π − 1 / 2 :
∑ n = 1 ∞ sinc ( n ) = sinc ( 1 ) + sinc ( 2 ) + sinc ( 3 ) + sinc ( 4 ) + ⋯ = π − 1 2 . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {sinc} (n)=\operatorname {sinc} (1)+\operatorname {sinc} (2)+\operatorname {sinc} (3)+\operatorname {sinc} (4)+\cdots ={\frac {\pi -1}{2}}.}
平方和も等しい π − 1 / 2 : [10] [11]
∑ n = 1 ∞ sinc 2 ( n ) = sinc 2 ( 1 ) + sinc 2 ( 2 ) + sinc 2 ( 3 ) + sinc 2 ( 4 ) + ⋯ = π − 1 2 . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {sinc} ^{2}(n)=\operatorname {sinc} ^{2}(1)+\operatorname {sinc} ^{2}(2)+\operatorname {sinc} ^{2}(3)+\operatorname {sinc} ^{2}(4)+\cdots ={\frac {\pi -1}{2}}.}
加数 の符号が 交互に+で始まる場合、その和は 1 / 2 : ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 sinc ( n ) = sinc ( 1 ) − sinc ( 2 ) + sinc ( 3 ) − sinc ( 4 ) + ⋯ = 1 2 . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} (n)=\operatorname {sinc} (1)-\operatorname {sinc} (2)+\operatorname {sinc} (3)-\operatorname {sinc} (4)+\cdots ={\frac {1}{2}}.}
平方数と立方数の交互和も等しい 1 / 2 : [12] ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 sinc 2 ( n ) = sinc 2 ( 1 ) − sinc 2 ( 2 ) + sinc 2 ( 3 ) − sinc 2 ( 4 ) + ⋯ = 1 2 , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} ^{2}(n)=\operatorname {sinc} ^{2}(1)-\operatorname {sinc} ^{2}(2)+\operatorname {sinc} ^{2}(3)-\operatorname {sinc} ^{2}(4)+\cdots ={\frac {1}{2}},}
∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 sinc 3 ( n ) = sinc 3 ( 1 ) − sinc 3 ( 2 ) + sinc 3 ( 3 ) − sinc 3 ( 4 ) + ⋯ = 1 2 . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} ^{3}(n)=\operatorname {sinc} ^{3}(1)-\operatorname {sinc} ^{3}(2)+\operatorname {sinc} ^{3}(3)-\operatorname {sinc} ^{3}(4)+\cdots ={\frac {1}{2}}.}
シリーズ拡張 正規化されていないsinc 関数の テイラー 級数は、正弦関数のテイラー級数から得ることができます（これも x = 0 で値1になります ）。 sin x x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n + 1 ) ! = 1 − x 2 3 ! + x 4 5 ! − x 6 7 ! + ⋯ {\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n+1)!}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\cdots }
この級数はすべての x に対して収束する。正規化されたバージョンは簡単に次のように書ける。 sin π x π x = 1 − π 2 x 2 3 ! + π 4 x 4 5 ! − π 6 x 6 7 ! + ⋯ {\displaystyle {\frac {\sin \pi x}{\pi x}}=1-{\frac {\pi ^{2}x^{2}}{3!}}+{\frac {\pi ^{4}x^{4}}{5!}}-{\frac {\pi ^{6}x^{6}}{7!}}+\cdots }
オイラーは バーゼル問題を 解決するためにこの級数を無限積形式の展開と比較したことで有名です 。
高次元 1 次元 sinc 関数の積は、 正方直交座標グリッド ( 格子 )の 多変数sinc 関数を簡単に提供します。 sinc C ( x , y ) = sinc( x ) sinc( y ) 、その フーリエ変換は周波数空間内の正方形 (つまり、2 次元空間で定義されたレンガの壁) の 指標関数 です 。非直交座標格子 (たとえば、六方格子 ) の sinc 関数 は 、 フーリエ 変換がその格子のブリルアンゾーンの指標関数である関数です 。 たとえば 、 六方 格子の sinc 関数は、 フーリエ変換が周波数空間内の単位六角形の 指標関数 である 関数です 。非直交座標格子の場合、この関数は単純な テンソル積 では取得できません。しかし、 六方格子 、 体心立方格子 、 面心立方格子 、その他の高次元格子 のsinc関数の明示的な式は、ブリルアンゾーンの幾何学的特性と ゾノトープ との関連を用いて明示的に導くことができる [13] 。
例えば、 六角形格子は ベクトルの
（整数） 線形スパン によって生成できる。 u 1 = [ 1 2 3 2 ] and u 2 = [ 1 2 − 3 2 ] . {\displaystyle \mathbf {u} _{1}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {u} _{2}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}.}
と表すと、 この六方格子のsinc関数は 次のように導かれる [13]。 ξ 1 = 2 3 u 1 , ξ 2 = 2 3 u 2 , ξ 3 = − 2 3 ( u 1 + u 2 ) , x = [ x y ] , {\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}_{1}={\tfrac {2}{3}}\mathbf {u} _{1},\quad {\boldsymbol {\xi }}_{2}={\tfrac {2}{3}}\mathbf {u} _{2},\quad {\boldsymbol {\xi }}_{3}=-{\tfrac {2}{3}}(\mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2}),\quad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},} sinc H ( x ) = 1 3 ( cos ( π ξ 1 ⋅ x ) sinc ( ξ 2 ⋅ x ) sinc ( ξ 3 ⋅ x ) + cos ( π ξ 2 ⋅ x ) sinc ( ξ 3 ⋅ x ) sinc ( ξ 1 ⋅ x ) + cos ( π ξ 3 ⋅ x ) sinc ( ξ 1 ⋅ x ) sinc ( ξ 2 ⋅ x ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sinc} _{\text{H}}(\mathbf {x} )={\tfrac {1}{3}}{\big (}&\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\\&{}+\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\\&{}+\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right){\big )}.\end{aligned}}}
この構成は、一般的な多次元格子に対する ランチョス窓 の設計に使用できる。 [13]
シンハチ 一部の著者は類推により、双曲線 正弦基数関数 を定義している。 [14] [15] [16]
s i n h c ( x ) = { sinh ( x ) x , if x ≠ 0 1 , if x = 0 {\displaystyle \mathrm {sinhc} (x)={\begin{cases}{\displaystyle {\frac {\sinh(x)}{x}},}&{\text{if }}x\neq 0\\{\displaystyle 1,}&{\text{if }}x=0\end{cases}}}
参照
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さらに読む Stenger, Frank (1993). 数値解析関数とSinc関数に基づく数値解析法 . Springer計算数学シリーズ. 第20巻. Springer-Verlag New York, Inc. doi :10.1007/978-1-4612-2706-9. ISBN 9781461276371 。
外部リンク 
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