Square roots of the eigenvalues of the self-adjoint operator
数学 、特に 関数解析 において 、 ヒルベルト空間 と の間に作用する コンパクト演算子 の 特異値は 、自己随伴演算子 （ただし は の 随伴を 表す）の（必ずしも負でない） 固有値 の平方根である 。 T : X → Y {\displaystyle T:X\rightarrow Y} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} T ∗ T {\displaystyle T^{*}T} T ∗ {\displaystyle T^{*}} T {\displaystyle T}
特異値は非負の 実数 であり、通常は降順で並べられます（ σ 1 ( T ), σ 2 ( T ), …）。最大の特異値 σ 1 ( T ) は、 T の 演算子ノルム に等しくなります （ 最小最大定理を 参照）。
2次元実 せん断行列 Mの 特異値分解 （SVD）の可視化。まず、 単位円板 と2つの 標準単位ベクトルを 青色で示します。次に、 円板を 楕円に変形する M の作用を示します 。SVDは、 M を 3つの単純な変換、つまり 回転 V * 、 回転座標軸に沿った スケーリングΣ 、そして2つ目の回転 U に分解します。Σ は（この例では正方行列） 対角行列で、その対角成分には M の特異値が含まれます。これらの特異値は、楕円の 半軸 の 長さ σ 1 と σ 2 を表します。 T が ユークリッド空間 に作用する 場合、特異値に対する単純な幾何学的解釈があります。 単位球 の による像を考えます 。これは 楕円体 であり、その半軸の長さは の特異値です (図は の例を示しています )。 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} T {\displaystyle T} T {\displaystyle T} R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
特異値は 正規行列 A の 固有値 の絶対値です。 これは、 スペクトル定理 を適用して のユニタリ対角化を得ることができるためです 。したがって、 です 。 A {\displaystyle A} A = U Λ U ∗ {\displaystyle A=U\Lambda U^{*}} A ∗ A = U Λ ∗ Λ U ∗ = U | Λ | U ∗ {\textstyle {\sqrt {A^{*}A}}={\sqrt {U\Lambda ^{*}\Lambda U^{*}}}=U\left|\Lambda \right|U^{*}}
研究対象となったヒルベルト空間作用素のノルム のほとんどは 、特異値を用いて定義されます。例えば、 Ky Fan - kノルムは最初の k 個の特異値の和 、トレースノルムはすべての特異値の和、 シャッテンノルムは特異値の p乗の和の p 乗根 です 。各ノルムは特定の作用素のクラスに対してのみ定義されるため、特異値は異なる作用素の分類に役立つことに注意してください。
有限次元の場合、 行列は 常に の形に分解できます 。ここで 、 と は ユニタリ行列 であり、 は 対角線上に特異値を持つ 直交対角行列 です。これが 特異値分解 です。 U Σ V ∗ {\displaystyle \mathbf {U\Sigma V^{*}} } U {\displaystyle \mathbf {U} } V ∗ {\displaystyle \mathbf {V^{*}} } Σ {\displaystyle \mathbf {\Sigma } }
基本的なプロパティ 、および の 場合 。 A ∈ C m × n {\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}} i = 1 , 2 , … , min { m , n } {\displaystyle i=1,2,\ldots ,\min\{m,n\}}
特異値 の最小最大定理 。ここに 次元 の部分空間がある 。 U : dim ( U ) = i {\displaystyle U:\dim(U)=i} C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} i {\displaystyle i}
σ i ( A ) = min dim ( U ) = n − i + 1 max x ∈ U ‖ x ‖ 2 = 1 ‖ A x ‖ 2 . σ i ( A ) = max dim ( U ) = i min x ∈ U ‖ x ‖ 2 = 1 ‖ A x ‖ 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{i}(A)&=\min _{\dim(U)=n-i+1}\max _{\underset {\|x\|_{2}=1}{x\in U}}\left\|Ax\right\|_{2}.\\\sigma _{i}(A)&=\max _{\dim(U)=i}\min _{\underset {\|x\|_{2}=1}{x\in U}}\left\|Ax\right\|_{2}.\end{aligned}}} 行列の転置と共役では特異値は変化しません。
σ i ( A ) = σ i ( A T ) = σ i ( A ∗ ) . {\displaystyle \sigma _{i}(A)=\sigma _{i}\left(A^{\textsf {T}}\right)=\sigma _{i}\left(A^{*}\right).} 任意のユニタリ U ∈ C m × m , V ∈ C n × n . {\displaystyle U\in \mathbb {C} ^{m\times m},V\in \mathbb {C} ^{n\times n}.}
σ i ( A ) = σ i ( U A V ) . {\displaystyle \sigma _{i}(A)=\sigma _{i}(UAV).} 固有値との関係:
σ i 2 ( A ) = λ i ( A A ∗ ) = λ i ( A ∗ A ) . {\displaystyle \sigma _{i}^{2}(A)=\lambda _{i}\left(AA^{*}\right)=\lambda _{i}\left(A^{*}A\right).} トレース との関係 :
∑ i = 1 n σ i 2 = tr A ∗ A {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}={\text{tr}}\ A^{\ast }A} 。 がフルランクの場合 、特異値の積は です 。 A ∗ A {\displaystyle A^{*}A} det A ∗ A {\displaystyle \det {\sqrt {A^{*}A}}}
がフルランクの場合 、特異値の積は です 。 A A ∗ {\displaystyle AA^{*}} det A A ∗ {\displaystyle \det {\sqrt {AA^{*}}}}
が正方でフルランクの場合 、特異値の積は です 。 A {\displaystyle A} | det A | {\displaystyle |\det A|}
が正規 分布 に従う場合 、つまり 、その特異値はその固有値の絶対値になります。 A {\displaystyle A} σ ( A ) = | λ ( A ) | {\displaystyle \sigma (A)=|\lambda (A)|}
一般的な長方行列 について 、 をその拡大行列とする。 は固有値 （ は の特異値 ）を持ち、残りの固有値はゼロである。 を特異値分解とすると、 の固有ベクトルは [1] に対して となる ：52 A {\displaystyle A} A ~ = [ 0 A A ∗ 0 ] {\textstyle {\tilde {A}}={\begin{bmatrix}0&A\\A^{*}&0\end{bmatrix}}} ± σ ( A ) {\textstyle \pm \sigma (A)} σ ( A ) {\textstyle \sigma (A)} A {\textstyle A} A = U Σ V ∗ {\textstyle A=U\Sigma V^{*}} A ~ {\textstyle {\tilde {A}}} [ u i ± v i ] {\textstyle {\begin{bmatrix}\mathbf {u} _{i}\\\pm \mathbf {v} _{i}\end{bmatrix}}} ± σ i {\displaystyle \pm \sigma _{i}}
最小の特異値 行列 Aの最小の特異値は σ n ( A )である 。特異値でない行列Aの場合、以下の性質を持つ。
逆行列A −1 の2ノルムは 逆行列 σ n −1 ( A )に等しい。 [2] : Thm.3.3 逆行列A −1 のすべての要素の絶対値は最大で逆行列 σ n −1 ( A )である。 [2] : Thm.3.3 直感的に言えば、 σ n ( A ) が小さい場合、A の行は「ほぼ」線形従属です。σ n ( A ) = 0 の場合 、 A の行は線形従属であり、A は 逆行列を持ちません。
特異値に関する不等式 参照 [3]
部分行列の特異値 のために A ∈ C m × n . {\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}.}
行 または 列の1つを削除した状態を表す とします 。すると B {\displaystyle B} A {\displaystyle A} σ i + 1 ( A ) ≤ σ i ( B ) ≤ σ i ( A ) {\displaystyle \sigma _{i+1}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)} 2つの行と2つの 列 を削除したものを とします 。 すると B {\displaystyle B} A {\displaystyle A} σ i + 2 ( A ) ≤ σ i ( B ) ≤ σ i ( A ) {\displaystyle \sigma _{i+2}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)} の部分 行列を とすると 、 B {\displaystyle B} ( m − k ) × ( n − ℓ ) {\displaystyle (m-k)\times (n-\ell )} A {\displaystyle A} σ i + k + ℓ ( A ) ≤ σ i ( B ) ≤ σ i ( A ) {\displaystyle \sigma _{i+k+\ell }(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)}
特異値 あ + B のために A , B ∈ C m × n {\displaystyle A,B\in \mathbb {C} ^{m\times n}}
∑ i = 1 k σ i ( A + B ) ≤ ∑ i = 1 k ( σ i ( A ) + σ i ( B ) ) , k = min { m , n } {\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A+B)\leq \sum _{i=1}^{k}(\sigma _{i}(A)+\sigma _{i}(B)),\quad k=\min\{m,n\}} σ i + j − 1 ( A + B ) ≤ σ i ( A ) + σ j ( B ) . i , j ∈ N , i + j − 1 ≤ min { m , n } {\displaystyle \sigma _{i+j-1}(A+B)\leq \sigma _{i}(A)+\sigma _{j}(B).\quad i,j\in \mathbb {N} ,\ i+j-1\leq \min\{m,n\}}
特異値 AB のために A , B ∈ C n × n {\displaystyle A,B\in \mathbb {C} ^{n\times n}}
∏ i = n i = n − k + 1 σ i ( A ) σ i ( B ) ≤ ∏ i = n i = n − k + 1 σ i ( A B ) ∏ i = 1 k σ i ( A B ) ≤ ∏ i = 1 k σ i ( A ) σ i ( B ) , ∑ i = 1 k σ i p ( A B ) ≤ ∑ i = 1 k σ i p ( A ) σ i p ( B ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{i=n}^{i=n-k+1}\sigma _{i}(A)\sigma _{i}(B)&\leq \prod _{i=n}^{i=n-k+1}\sigma _{i}(AB)\\\prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(AB)&\leq \prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A)\sigma _{i}(B),\\\sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(AB)&\leq \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(A)\sigma _{i}^{p}(B),\end{aligned}}} σ n ( A ) σ i ( B ) ≤ σ i ( A B ) ≤ σ 1 ( A ) σ i ( B ) i = 1 , 2 , … , n . {\displaystyle \sigma _{n}(A)\sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(AB)\leq \sigma _{1}(A)\sigma _{i}(B)\quad i=1,2,\ldots ,n.} [ 4] A , B ∈ C m × n {\displaystyle A,B\in \mathbb {C} ^{m\times n}} 2 σ i ( A B ∗ ) ≤ σ i ( A ∗ A + B ∗ B ) , i = 1 , 2 , … , n . {\displaystyle 2\sigma _{i}(AB^{*})\leq \sigma _{i}\left(A^{*}A+B^{*}B\right),\quad i=1,2,\ldots ,n.}
特異値と固有値 のために 。 A ∈ C n × n {\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}
[5] を参照 λ i ( A + A ∗ ) ≤ 2 σ i ( A ) , i = 1 , 2 , … , n . {\displaystyle \lambda _{i}\left(A+A^{*}\right)\leq 2\sigma _{i}(A),\quad i=1,2,\ldots ,n.} と仮定します 。すると、 について ： | λ 1 ( A ) | ≥ ⋯ ≥ | λ n ( A ) | {\displaystyle \left|\lambda _{1}(A)\right|\geq \cdots \geq \left|\lambda _{n}(A)\right|} k = 1 , 2 , … , n {\displaystyle k=1,2,\ldots ,n} ワイルの定理 ∏ i = 1 k | λ i ( A ) | ≤ ∏ i = 1 k σ i ( A ) . {\displaystyle \prod _{i=1}^{k}\left|\lambda _{i}(A)\right|\leq \prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A).} のために 。 p > 0 {\displaystyle p>0} ∑ i = 1 k | λ i p ( A ) | ≤ ∑ i = 1 k σ i p ( A ) . {\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left|\lambda _{i}^{p}(A)\right|\leq \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(A).}
歴史 この概念は1907年に エアハルト・シュミット によって導入されました。シュミットは当時、特異値を「固有値」と呼んでいました。「特異値」という名称は、1937年にスミシーズによって初めて引用されました。1957年、アラーヴェルディエフは n 番目の特異数について以下の特徴付けを証明しました。 [6]
σ n ( T ) = inf { ‖ T − L ‖ : L is an operator of finite rank < n } . {\displaystyle \sigma _{n}(T)=\inf {\big \{}\,\|T-L\|:L{\text{ is an operator of finite rank }}<n\,{\big \}}.} この定式化により、特異値の概念を バナッハ空間の作用素に拡張することが可能になった。より一般的な s数 の概念があり 、これにはゲルファンド幅とコルモゴロフ幅も含まれることに注意されたい。
参照
参考文献 ^ タオ, テレンス (2012). 『ランダム行列理論の話題』 . 数学大学院研究科. プロビデンス, ロードアイランド州: アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-7430-1 。 ^ ab デメル、ジェームズ・W. (1997年1月). 応用数値線形代数. 産業応用数学協会. doi :10.1137/1.9781611971446. ISBN 978-0-89871-389-3 。 ^ RA Horn と CR Johnson . 行列解析のトピックス. Cambridge University Press, Cambridge, 1991. 第3章 ^ X. Zhan. 行列不等式. Springer-Verlag, ベルリン, ハイデルベルク, 2002. p.28 ^ R. バティア. マトリックス分析. Springer-Verlag, New York, 1997. Prop. III.5.1 ^ IC Gohberg と MG Krein 著『線形非自己随伴作用素の理論入門』アメリカ数学会、プロビデンス、ロードアイランド州、1969年。ロシア語からの翻訳はA. Feinsteinによる。『Translations of Mathematical Monographs』第18巻。 
