Integral transform in mathematics
ラドン変換。 ( x , y )-領域上の fを ( α , s )-領域上の Rf に 写像する 数学 において 、 ラドン変換 とは、 平面上で定義された 関数 f を、平面内の（2次元）直線空間上で定義された関数 Rfに変換する 積分変換であり、特定の直線におけるその値は、その直線上の 関数の線積分に等しくなります。この変換は1917年に ヨハン・ラドン によって導入され 、 彼は逆変換の公式も提供しました。ラドンはさらに 、平面上で積分が行われる 3次元での変換の公式も含めました（直線上での積分は X線変換 として知られています）。これは後に高次元 ユークリッド空間に一般化され、より広く 積分幾何学 の文脈で用いられました 。 ラドン変換の 複雑な類似物は ペンローズ変換 として知られています。ラドン変換は 、物体の断面スキャンに関連する投影データから画像を作成する トモグラフィーに広く適用できます。
説明 下の画像に示す2つの正方形の 指示関数 のラドン変換。明るい領域は関数値が大きいことを示します。黒はゼロを示します。 元の関数は、白い領域では1、暗い領域では0です。 関数が 未知の密度を表す場合、ラドン変換は断層撮影スキャンの出力として得られた投影データを表します。ラドン変換の逆変換は、投影データから元の密度を再構成するために使用でき、したがって、 反復再構成 としても知られる 断層撮影再構成 の数学的基盤を形成します。 f {\displaystyle f}
中心から外れた点光源のラドン変換は正弦波であるため、ラドン変換データはしばしばサイノグラム と呼ばれます 。したがって、多数の小さな物体のラドン変換は、 異なる振幅と位相を持つ
多数のぼやけた 正弦波としてグラフィカルに表示されます
ラドン変換は、 コンピュータ 断層撮影 （CATスキャン）、 バーコード スキャナー、 ウイルス や タンパク質複合体 などの 高分子集合体 の 電子顕微鏡検査 、 反射地震学、双曲型 偏微分方程式 の解法に役立ちます
形状を貫く水平方向の投影は、蓄積された信号（中央のバー）を生成します。右側のサイノグラムは、形状が回転するにつれて、このような投影を多数収集することで生成されます。ここでは、どの物体が信号のどの部分を生成しているかを強調するために色が使用されています。直線的な特徴が投影方向と一致すると、より強い信号が生成されることに注目してください。 異なる角度からの観測値を用いたラドン変換による再構成の例。投影データに適用された反転により、スライス画像が再構成されます。 [2]
定義 を3つの正則性条件を満たす関数とします。 [ f ( x ) = f ( x , y ) {\displaystyle f({\textbf {x}})=f(x,y)}
f ( x ) {\displaystyle f({\textbf {x}})} は連続である。 平面全体に広がる 二重積分は収束する。 ∬ | f ( x ) | x 2 + y 2 d x d y {\displaystyle \iint {\dfrac {\vert f({\textbf {x}})\vert }{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\,dx\,dy} 平面上の 任意の点について、次の式が成り立つ ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} lim r → ∞ ∫ 0 2 π f ( x + r cos φ , y + r sin φ ) d φ = 0. {\displaystyle \lim _{r\to \infty }\int _{0}^{2\pi }f(x+r\cos \varphi ,y+r\sin \varphi )\,d\varphi =0.} ラドン変換は 、直線空間上で、 各直線に沿った 線積分 によって定義される関数です。具体的には、 弧長に関する任意 の直線の媒介変数化は 常に次のように表すことができます。 ここで、は 原点からの直線 の距離であり、は直線 への法線ベクトルが-軸 となす角度です 。したがって、これらの量は-次元ユークリッド空間 内のすべての直線の空間上の座標と見なすことができ 、ラドン変換はこれらの座標において次のように表すことができます。 より一般的には、 -次元 ユークリッド空間 において、正則性条件を満たす関数のラドン変換は、-次元ユークリッド空間 内 のすべての 超平面 の空間上の 関数です 。これは次のように定義されます。 R f {\displaystyle Rf} L ⊂ R 2 {\displaystyle L\subset \mathbb {R} ^{2}} R f ( L ) = ∫ L f ( x ) | d x | . {\displaystyle Rf(L)=\int _{L}f(\mathbf {x} )\vert d\mathbf {x} \vert .} L {\displaystyle L} z {\displaystyle z} ( x ( z ) , y ( z ) ) = ( ( z sin α + s cos α ) , ( − z cos α + s sin α ) ) {\displaystyle (x(z),y(z))={\Big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\Big )}\,} s {\displaystyle s} L {\displaystyle L} α {\displaystyle \alpha } L {\displaystyle L} X {\displaystyle X} ( α , s ) {\displaystyle (\alpha ,s)} R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} R f ( α , s ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ( z ) , y ( z ) ) d z = ∫ − ∞ ∞ f ( ( z sin α + s cos α ) , ( − z cos α + s sin α ) ) d z . {\displaystyle {\begin{aligned}Rf(\alpha ,s)&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x(z),y(z))\,dz\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f{\big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\big )}\,dz.\end{aligned}}} n {\displaystyle n} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} f {\displaystyle f} R f {\displaystyle Rf} Σ n {\displaystyle \Sigma _{n}} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
R f ( ξ ) = ∫ ξ f ( x ) d σ ( x ) , ∀ ξ ∈ Σ n {\displaystyle Rf(\xi )=\int _{\xi }f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ),\quad \forall \xi \in \Sigma _{n}} ここで、積分は自然超曲面 測度 に関して行われます （次元の場合 の項 を一般化 ）。 の任意の元は 方程式 の解の軌跡として特徴付けられることに注目してください。 ここで、は 単位ベクトル 、 です 。したがって、 次元ラドン変換は、 を介して 上の関数として書き直すことができます 。 の 次元アフィン部分空間 上で積分することで、ラドン変換をさらに一般化することもできます 。X 線変換は この構成の最も広く使用されている特殊なケースであり、直線上で積分することで得られます。 d σ {\displaystyle d\sigma } | d x | {\displaystyle \vert d\mathbf {x} \vert } 2 {\displaystyle 2} Σ n {\displaystyle \Sigma _{n}} x ⋅ α = s {\displaystyle \mathbf {x} \cdot \alpha =s} α ∈ S n − 1 {\displaystyle \alpha \in S^{n-1}} s ∈ R {\displaystyle s\in \mathbb {R} } n {\displaystyle n} S n − 1 × R {\displaystyle S^{n-1}\times \mathbb {R} } R f ( α , s ) = ∫ x ⋅ α = s f ( x ) d σ ( x ) . {\displaystyle Rf(\alpha ,s)=\int _{\mathbf {x} \cdot \alpha =s}f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ).} k {\displaystyle k} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
2つのフーリエ変換を用いた2次元ラドン変換の計算 ラドン変換は フーリエ変換 と密接に関連しています。ここで、 一変数 フーリエ変換を次のように定義します。 - ベクトル の関数に対して 、一変数フーリエ変換は次のようになります。 便宜上、 と表記します 。 フーリエスライス定理は 次のように述べます。 ここで f ^ ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − 2 π i x ω d x . {\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\omega }\,dx.} 2 {\displaystyle 2} x = ( x , y ) {\displaystyle \mathbf {x} =(x,y)} f ^ ( w ) = ∬ R 2 f ( x ) e − 2 π i x ⋅ w d x d y . {\displaystyle {\hat {f}}(\mathbf {w} )=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}f(\mathbf {x} )e^{-2\pi i\mathbf {x} \cdot \mathbf {w} }\,dx\,dy.} R α [ f ] ( s ) = R [ f ] ( α , s ) {\displaystyle {\mathcal {R}}_{\alpha }[f](s)={\mathcal {R}}[f](\alpha ,s)} R α [ f ] ^ ( σ ) = f ^ ( σ n ( α ) ) {\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}_{\alpha }[f]}}(\sigma )={\hat {f}}(\sigma \mathbf {n} (\alpha ))} n ( α ) = ( cos α , sin α ) . {\displaystyle \mathbf {n} (\alpha )=(\cos \alpha ,\sin \alpha ).}
したがって、傾斜角 における直線に沿った初期関数の2次元フーリエ変換は、その関数の ラドン変換（角度 で取得 ）の1変数フーリエ変換です。この事実は、ラドン変換とその逆変換の両方を計算するために使用できます。結果は n 次元に一般化できます。 α {\displaystyle \alpha } α {\displaystyle \alpha } f ^ ( r α ) = ∫ R R f ( α , s ) e − 2 π i s r d s . {\displaystyle {\hat {f}}(r\alpha )=\int _{\mathbb {R} }{\mathcal {R}}f(\alpha ,s)e^{-2\pi isr}\,ds.}
双対ラドン変換は、ラドン変換の一種の 随伴関数 です。空間 上の 関数 gから始めて、双対ラドン変換は R n 上の 関数で、次 のように定義されます。 ここでの積分は、点 に接するすべての超平面の集合上で行われ 、 測度は 点 の周りの回転に対して不変な 集合 上の 唯一の 確率測度です Σ n {\displaystyle \Sigma _{n}} R ∗ g {\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g} R ∗ g ( x ) = ∫ x ∈ ξ g ( ξ ) d μ ( ξ ) . {\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(\mathbf {x} )=\int _{\mathbf {x} \in \xi }g(\xi )\,d\mu (\xi ).} x ∈ R n {\displaystyle {\textbf {x}}\in \mathbb {R} ^{n}} d μ {\displaystyle d\mu } { ξ | x ∈ ξ } {\displaystyle \{\xi |\mathbf {x} \in \xi \}} x {\displaystyle \mathbf {x} }
具体的には、2次元ラドン変換の場合、双対変換は次のように与えられます。 画像処理の文脈では、双対変換は一般に 逆投影 と呼ばれます。これは、平面の各直線上で定義された関数を取り、それを直線上に「スミア」または投影して画像を生成するためです。 R ∗ g ( x ) = 1 2 π ∫ α = 0 2 π g ( α , n ( α ) ⋅ x ) d α . {\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(\mathbf {x} )={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha =0}^{2\pi }g(\alpha ,\mathbf {n} (\alpha )\cdot \mathbf {x} )\,d\alpha .}
絡み合い特性 で定義される ラプラシアン を と表すとします 。 これ は自然な回転不変な2階 微分演算子 です。 では 、「ラジアル」2階微分 も回転不変です。ラドン変換とその双対は、これらの2つの微分演算子の 絡み合い演算子 であり、次の意味で次のようになります。 波動方程式 の解を 多次元空間で解析する際に、この絡み合いの性質からラックスとフィリップスの並進表現が得られます。 [6]画像化 [7] と数値解析 [8] では 、次元分割法として、多次元問題を1次元問題に縮約するためにこれが利用されます。 Δ {\displaystyle \Delta } R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} Δ = ∂ 2 ∂ x 1 2 + ⋯ + ∂ 2 ∂ x n 2 {\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}} Σ n {\displaystyle \Sigma _{n}} L f ( α , s ) ≡ ∂ 2 ∂ s 2 f ( α , s ) {\displaystyle Lf(\alpha ,s)\equiv {\frac {\partial ^{2}}{\partial s^{2}}}f(\alpha ,s)} R ( Δ f ) = L ( R f ) , R ∗ ( L g ) = Δ ( R ∗ g ) . {\displaystyle {\mathcal {R}}(\Delta f)=L({\mathcal {R}}f),\quad {\mathcal {R}}^{*}(Lg)=\Delta ({\mathcal {R}}^{*}g).}
再構成アプローチ 再構成 のプロセスは、 投影データから 画像（または前のセクションの関数）を生成します。 再構成は 逆問題 です 。 f {\displaystyle f}
2次元の場合、 ラドン変換から復元するために最も一般的に使用される解析的公式は、 フィルタ逆投影公式 または ラドン逆変換公式 [9] です。 ここで 、はとなる 。 [9] 畳み込みカーネルは、 いくつかの文献ではランプフィルタと呼ばれています。 f {\displaystyle f} f ( x ) = ∫ 0 π ( R f ( ⋅ , θ ) ∗ h ) ( ⟨ x , n θ ⟩ ) d θ {\displaystyle f(\mathbf {x} )=\int _{0}^{\pi }({\mathcal {R}}f(\cdot ,\theta )*h)(\left\langle \mathbf {x} ,\mathbf {n} _{\theta }\right\rangle )\,d\theta } h {\displaystyle h} h ^ ( k ) = | k | {\displaystyle {\hat {h}}(k)=|k|} h {\displaystyle h}
不良設定性 直感的に、 フィルタ逆投影 公式では、微分（ ）との類推により、 フィルタは微分に似た演算を実行することがわかります。大まかに言えば、フィルタはオブジェクトを より 特異にします。ラドン逆変換の不適切性の定量的な記述は次のとおりです。 ここで 、 は以前に定義されたラドン変換の随伴関数です。したがって 、の場合、次式が成り立ちます。したがって、 複素指数関数は、 固有値 を持つ の固有関数です 。したがって、 の特異値は です 。これらの特異値は になる傾向があるため 、 は有界ではありません。 [9] ( d d x f ^ ) ( k ) = i k f ^ ( k ) {\textstyle \left({\widehat {{\frac {d}{dx}}f}}\right)\!(k)=ik{\widehat {f}}(k)} R ∗ R [ g ] ^ ( k ) = 1 ‖ k ‖ g ^ ( k ) {\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}[g]}}(\mathbf {k} )={\frac {1}{\|\mathbf {k} \|}}{\hat {g}}(\mathbf {k} )} R ∗ {\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}} g ( x ) = e i ⟨ k 0 , x ⟩ {\displaystyle g(\mathbf {x} )=e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }} R ∗ R [ g ] ( x ) = 1 ‖ k 0 ‖ e i ⟨ k 0 , x ⟩ {\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}[g](\mathbf {x} )={\frac {1}{\|\mathbf {k_{0}} \|}}e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }} e i ⟨ k 0 , x ⟩ {\displaystyle e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }} R ∗ R {\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}} 1 ‖ k 0 ‖ {\textstyle {\frac {1}{\|\mathbf {k} _{0}\|}}} R {\displaystyle {\mathcal {R}}} 1 ‖ k ‖ {\textstyle {\frac {1}{\sqrt {\|\mathbf {k} \|}}}} 0 {\displaystyle 0} R − 1 {\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}}
反復再構成法 フィルタ逆投影 法と比較して 、反復再構成は計算時間が長く、実用性が制限されます。しかし、ラドン逆投影法は不適切であるため、 不連続性やノイズが存在する場合、 フィルタ逆投影法は実行不可能となる可能性があります。反復再構成法（ 例えば、 反復スパース漸近最小分散法 [10] ）は、再構成結果の金属アーチファクトの低減、ノイズの低減、線量の低減を実現できるため、世界中で多くの研究の関心を集めています。
ラドン変換とその双対のための、明示的で計算効率の高い逆変換式が利用可能です次元 におけるラドン変換は、 次式で逆変換できます。 ここで 、ラプラシアンのべき乗は、必要に応じて フーリエ変換 によって 擬似微分演算子 として定義されます 。 計算上、ラプラシアンのべき乗は、双対変換と交換されて 次式になります。 ここで は、 s 変数に関する ヒルベルト変換 です。2 次元では、この演算子は 画像処理でランプ フィルタとして使用されます。 フーリエのスライス定理と積分のための変数変換から、コンパクトにサポートされた 2 変数の連続関数に対して次式が直接証明できます。 したがって、画像処理のコンテキストでは、 ランプ フィルタ (変数) を適用してから逆投影することで、 'サイノグラム' データから元の画像を復元できます 。フィルタリング ステップは効率的に実行でき (たとえば、 デジタル信号処理 技術を使用)、逆投影ステップは画像のピクセル内の値の累積にすぎないため、非常に効率的で広く使用されているアルゴリズムになります。 n {\displaystyle n} c n f = ( − Δ ) ( n − 1 ) / 2 R ∗ R f {\displaystyle c_{n}f=(-\Delta )^{(n-1)/2}R^{*}Rf\,} c n = ( 4 π ) ( n − 1 ) / 2 Γ ( n / 2 ) Γ ( 1 / 2 ) {\displaystyle c_{n}=(4\pi )^{(n-1)/2}{\frac {\Gamma (n/2)}{\Gamma (1/2)}}} ( − Δ ) ( n − 1 ) / 2 {\displaystyle (-\Delta )^{(n-1)/2}} [ F ( − Δ ) ( n − 1 ) / 2 φ ] ( ξ ) = | 2 π ξ | n − 1 ( F φ ) ( ξ ) . {\displaystyle \left[{\mathcal {F}}(-\Delta )^{(n-1)/2}\varphi \right](\xi )=|2\pi \xi |^{n-1}({\mathcal {F}}\varphi )(\xi ).} R ∗ {\displaystyle R^{*}} c n f = { R ∗ d n − 1 d s n − 1 R f n odd R ∗ H s d n − 1 d s n − 1 R f n even {\displaystyle c_{n}f={\begin{cases}R^{*}{\frac {d^{n-1}}{ds^{n-1}}}Rf&n{\text{ odd}}\\R^{*}{\mathcal {H}}_{s}{\frac {d^{n-1}}{ds^{n-1}}}Rf&n{\text{ even}}\end{cases}}} H s {\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}} H s d d s {\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}{\frac {d}{ds}}} f {\displaystyle f} f = 1 2 R ∗ H s d d s R f . {\displaystyle f={\frac {1}{2}}R^{*}{\mathcal {H}}_{s}{\frac {d}{ds}}Rf.} f {\displaystyle f} R f {\displaystyle Rf} s {\displaystyle s}
後者の方法で得られる逆変換式は、明示的には とおりです。双対変換も同様の式で逆変換できます。 f ( x ) = { − ı 2 π ( 2 π ) − n ( − 1 ) n / 2 ∫ S n − 1 ∂ n − 1 2 ∂ s n − 1 R f ( α , α ⋅ x ) d α n odd ( 2 π ) − n ( − 1 ) n / 2 ∬ R × S n − 1 ∂ n − 1 q ∂ s n − 1 R f ( α , α ⋅ x + q ) d α d q n even {\displaystyle f(x)={\begin{cases}\displaystyle -\imath 2\pi (2\pi )^{-n}(-1)^{n/2}\int _{S^{n-1}}{\frac {\partial ^{n-1}}{2\partial s^{n-1}}}Rf(\alpha ,\alpha \cdot x)\,d\alpha &n{\text{ odd}}\\\displaystyle (2\pi )^{-n}(-1)^{n/2}\iint _{\mathbb {R} \times S^{n-1}}{\frac {\partial ^{n-1}}{q\partial s^{n-1}}}Rf(\alpha ,\alpha \cdot x+q)\,d\alpha \,dq&n{\text{ even}}\\\end{cases}}} c n g = ( − L ) ( n − 1 ) / 2 R ( R ∗ g ) . {\displaystyle c_{n}g=(-L)^{(n-1)/2}R(R^{*}g).\,}
代数幾何学 では 、ラドン変換（ ブリリンスキー・ラドン変換 とも呼ばれる）は次のように構築されます。
と書きます
P d ← p 1 H → p 2 P ∨ , d {\displaystyle \mathbf {P} ^{d}\,{\stackrel {p_{1}}{\gets }}\,H\,{\stackrel {p_{2}}{\to }}\,\mathbf {P} ^{\vee ,d}} 普遍超平面 の場合 、つまり、 Hは( x , h )の ペアで構成され、 xは d 次元 射影空間 内の点 、 hは 双対射影空間 内の点 （言い換えれば、 xは( d +1)次元 アフィン空間 内の原点を通る直線であり 、 h はその空間内の超平面）であり、 x は h に含まれる P d {\displaystyle \mathbf {P} ^{d}}
すると、ブリリンスキー・ラドン変換は、 エタール層 の適切な 導来圏 間の 関手となる。
Rad := R p 2 , ∗ p 1 ∗ : D ( P d ) → D ( P ∨ , d ) . {\displaystyle \operatorname {Rad} :=Rp_{2,*}p_{1}^{*}:D(\mathbf {P} ^{d})\to D(\mathbf {P} ^{\vee ,d}).} この変換に関する主要定理は、この変換によって、射影空間とその双対射影空間上の 倒錯層 の圏が 、定数層まで 同値になることである。 [14]
参照
注釈 ^ Odložilík, Michal (2023-08-31). COMPASSトカマクにおける高速可視カメラを用いたデタッチメント・トモグラフィー・インバージョン研究 （学士論文）. チェコ工科大学プラハ校. hdl :10467/111617. ^ Lax, PD; Philips, RS (1964). 「散乱理論」. Bull. Amer. Math. Soc . 70 (1): 130–142 . doi : 10.1090/s0002-9904-1964-11051- x ^ Bonneel, N.; Rabin, J.; Peyre, G.; Pfister, H. (2015). 「スライス法とラドン・ワッサーシュタイン法による測定重心」. Journal of Mathematical Imaging and Vision . 51 (1): 22– 25. Bibcode :2015JMIV...51...22B. doi :10.1007/s10851-014-0506-3. S2CID 1907942. ^ Rim, D. (2018). 「ラドン変換を用いた双曲型偏微分方程式の次元分割」 SIAM J. Sci. Comput . 40 (6): A4184 – A4207 . arXiv : 1705.03609 . Bibcode :2018SJSC...40A4184R. doi :10.1137/17m1135633. S2CID 115193737. ^ abc Candès 2021b ^ Abeida, Habti; Zhang, Qilin; Li, Jian; Merabtine, Nadjim (2013). 「反復スパース漸近最小分散に基づくアレイ処理アプローチ」 (PDF) . IEEE Transactions on Signal Processing . 61 (4). IEEE: 933–944 . arXiv : 1802.03070 . Bibcode : 2013ITSP...61..933A. doi : 10.1109/tsp.2012.2231676. ISSN 1053-587X. S2CID 16276001. ^ Kiehl & Weissauer (2001, Ch. IV, Cor. 2.4)
参考文献 Kiehl, Reinhardt ; Weissauer, Rainer (2001), Weil予想、逆層、および進フーリエ変換 、Springer、 doi :10.1007/978-3-662-04576-3, ISBN 3-540-41457-6 , MR 1855066 ラドン、ヨハン (1917)、「Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten」、 ライプツィヒ王立ザクセン科学アカデミー数学・物理学部会報 ( 69)、ライプツィヒ: Teubner: 262–277 翻訳 ： Radon, J.（1986年12月）「特定の多様体に沿った積分値からの関数の決定について」、 IEEE Transactions on Medical Imaging 、 5 (4)、Parks訳、PC: 170–176 、 doi :10.1109/TMI.1986.4307775、 PMID 18244009、 S2CID 26553287 。 Roerdink, JBTM (2001) [1994], 「トモグラフィー」, Encyclopedia of Mathematics , EMS Press 。 Helgason, Sigurdur (1984)、 「群と幾何学的解析：積分幾何学、不変微分作用素、球面関数」 、Academic Press、 ISBN 0-12-338301-3 。 カンデス、エマニュエル（2021年2月9日a）「応用フーリエ解析と現代信号処理の要素 – 講義9」 （PDF） カンデス、エマニュエル（2021年2月11日b）「応用フーリエ解析と現代信号処理の要素 – 講義10」 （PDF） ナイグレン、アンダース・J（1997）「フィルタ逆投影」 SPECTデータの断層画像再構成 ヴァン・ギンケル、M、ヘンドリックス、CL・ルエンゴ、ヴァン・フリート、LJ（2004）「ラドン変換とハフ変換の簡単な紹介とそれらの関係」 （PDF） 。 2016年7月29日時点のオリジナルから アーカイブ （PDF）
参考文献
外部リンク 
={\mathcal {R}}[f](\alpha,s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e508d936f625d50108fe35e3bd5efb92a7c0dcc8)
![{\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}_{\alpha}[f]}}(\sigma)={\hat {f}}(\sigma \mathbf {n} (\alpha))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edfc2efb58787175cd3494b406d8aa539f4d7d4f)
![{\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}[g]}}(\mathbf {k} )={\frac {1}{\|\mathbf {k} \|}}{\hat {g}}(\mathbf {k} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/936ad63fe45ddbdf73adc230bb3b5d5817d2360a)
={\frac {1}{\|\mathbf {k_{0}} \|}}e^{i\left\langle \mathbf {k} _{0},\mathbf {x} \right\rangle }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0886b62f7a0446d0c86e371469573a84d1c3c579)
=|2\pi \xi |^{n-1}({\mathcal {F}}\varphi )(\xi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/670032983a575e02a33ad6443044050036b9bcd6)
