湾曲

波状関数上の2点間の弧の長さと直線距離の比

振動曲線の湾曲度の計算。

ルス・アルディデンの急峻な山道のジグザグ道

キューバのグアモ・エンバルカデロを蛇行するカウト川は、下り勾配において最短経路を辿っていない。そのため、その蛇行度指数は1より大きい。

同じ斜面にある、曲がり具合が異なる 2 つのスキーコース

少なくとも1つの変曲点を持つ連続微分可能曲線の湾曲度、湾曲指数、または湾曲係数は、曲線の両端点間のユークリッド距離（直線）と曲線長（曲線に沿った長さ）の比です。この無次元量は、曲線の「実際の経路長」を「最短経路長」で割った値とも言い換えることができます。値の範囲は1（直線の場合）から無限大（閉ループの場合。閉ループの場合、実際の経路は無限長ですが、最短経路長は0です^[1]）。

解釈

曲線は両端間で連続的（跳躍なし）でなければなりません。曲線が連続的に微分可能（角点なし）な場合、曲線の曲線曲線の曲線曲線の曲線曲線上の複数の線分によって、両端間の距離を評価することもできます（2次の曲線曲線）。

湾曲度の計算は 3 次元空間 (例:小腸の中心軸) で有効ですが、多くの場合は平面で実行されます (選択したプランで曲線の直交投影が可能。水平面では「標準的な」湾曲度、垂直面では縦方向プロファイルの湾曲度)。

湾曲度の分類（強い／弱いなど）は、多くの場合、曲線の地図作成上のスケール（詳細は海岸線のパラドックスを参照）と、曲線を流れる物体の速度（河川、雪崩、自動車、自転車、ボブスレー、スキーヤー、高速列車など）によって決まります。同じ曲線でも、高速列車の場合は湾曲度が非常に高いとみなされる一方、河川の場合は低いとみなされることがあります。しかしながら、河川の湾曲部が数カ所連続している場合や、山道の細道に非常に強い湾曲が見られる場合もあります。

注目すべき価値

曲線の曲率S :

• 同一平面上に位置する2つの反転した連続する半円は です。これは円の半径に依存しません。 ${\displaystyle S={\tfrac {\pi }{2}}\approx 1.5708...}$
• 正弦関数（半周期の整数n倍）は、その周期における正弦曲線の弧長を計算することで計算できる。 ${\displaystyle S=\textstyle {\tfrac {1}{n\pi }}\int _{0}^{n\pi }{\sqrt {1+(\cos x)^{2}}}dx\approx 1.216...}$

270°の角度の例

同じ平面にある相似の反対側の円弧ジョイントで、連続的に微分可能です。

中心角		湾曲
学位	ラジアン	ちょうど	小数点
30°	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}}}$	1.0115
60°	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	1.0472
90°	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}}$	1.1107
120°	${\displaystyle {\frac {2\cdot \pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {2\cdot \pi }{3{\sqrt {3}}}}}$	1.2092
150°	${\displaystyle {\frac {5\cdot \pi }{6}}}$	${\displaystyle {\frac {5\cdot \pi }{3({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})}}}$	1.3552
180°	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	1.5708
210°	${\displaystyle {\frac {7\cdot \pi }{6}}}$	${\displaystyle {\frac {7\cdot \pi }{3({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})}}}$	1.8972
240°	${\displaystyle {\frac {4\cdot \pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {4\cdot \pi }{3{\sqrt {3}}}}}$	2.4184
270°	${\displaystyle {\frac {3\cdot \pi }{2}}}$	${\displaystyle {\frac {3\cdot \pi }{2{\sqrt {2}}}}}$	3.3322
300°	${\displaystyle {\frac {5\cdot \pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {5\cdot \pi }{3}}}$	5.2360
330°	${\displaystyle {\frac {11\cdot \pi }{6}}}$	${\displaystyle {\frac {11\cdot \pi }{3({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}}}$	11.1267

河川

河川の研究では、湾曲度指数は上記の一般的な形式と似ていますが、同一ではなく、次のように表されます。

${\displaystyle {\text{SI}}={\frac {\text{channel length}}{\text{downvalley length}}}}$

一般的な形状との相違は、谷底の流路が完全に直線ではないことに起因します。したがって、屈曲度指数は、最大流下勾配の方向によって定義される流路からの逸脱として説明できます。このため、斜面をまっすぐに流れる岩盤河川の屈曲度指数は1であり、蛇行する河川の屈曲度指数は1より大きい値となります。^[2]

また、線上を流れる水流が物理的に両端の間の距離を移動できない場合を区別することも可能です。一部の水力学的研究では、このことから、傾斜角が変化しても、水平直線投影に沿って岩盤上を流れる急流に湾曲度値 1 を割り当てることになります。

河川の場合、従来の湾曲度クラス (SI) は次のとおりです。

• SI <1.05: ほぼ直線
• 1.05 ≤ SI <1.25: 巻線
• 1.25 ≤ SI <1.50: ねじれ
• 1.50 ≤ SI: 蛇行

河川の形状は自己組織化システムによって決まり、その平均湾曲度（河川の長さではなく、源流から河口までの距離で測定）はπになるという主張があるが^[3]、その後の研究ではこの主張は裏付けられず、平均値は2未満であることがわかった^[4]。

参照

• 曲率
• オックスボウ湖

参考文献

1. Leopold, Luna B.、Wolman, MG、およびMiller, JP、1964、「Fluvial Processes in Geomorphology」、サンフランシスコ、WH Freeman and Co.、522ページ。
2. ミューラー、ジェリー (1968). 「水理学的および地形学的湾曲度指標入門1」アメリカ地理学者協会紀要. 58 (2): 371– 385. doi :10.1111/j.1467-8306.1968.tb00650.x.
3. Stølum, Hans-Henrik (1996)、「自己組織化プロセスとしての河川の蛇行」、Science、271 (5256): 1710– 1713、Bibcode :1996Sci...271.1710S、doi :10.1126/science.271.5256.1710、S2CID  19219185。
4. グライム、ジェームズ（2015年3月14日）「曲がりくねった物語：円周率と川の真実」アレックス・ベロスのナンバーランドの冒険、ガーディアン。

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