正弦と余弦

Fundamental trigonometric functions

正弦と余弦
一般情報
一般定義	${\displaystyle {\begin{aligned}&\sin(\theta )={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {hypotenuse}}}\\[8pt]&\cos(\theta )={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {hypotenuse}}}\\[8pt]\end{aligned}}}$
応用分野	三角法、フーリエ級数など

数学において、正弦と余弦は角度の三角関数です。鋭角の正弦と余弦は直角三角形の文脈で定義されます。指定された角度において、正弦はその角度の反対側の辺の長さと三角形の最長辺（斜辺）の長さの比であり、余弦は隣接する辺の長さと斜辺の長さの比です。角度の場合、正弦関数と余弦関数はそれぞれおよびと表されます。 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \sin(\theta )}$ ${\displaystyle \cos(\theta )}$

正弦と余弦の定義は、単位円内の特定の線分の長さに基づいて、任意の実数値に拡張されています。より現代的な定義では、正弦と余弦を無限級数、または特定の微分方程式の解として表現し、任意の正負の値、さらには複素数に拡張する ことができます

正弦関数と余弦関数は、音波や光波、調和振動子の位置と速度、太陽光の強度と昼の長さ、年間の平均気温の変動などの周期現象をモデル化するために一般的に使用されます。これらは、グプタ朝時代のインド天文学で使用されていたjyā関数とkoṭti-jyā関数に由来することができます。

基本的な説明

直角三角形の定義

角度αの場合、正弦関数は対辺の長さと斜辺の長さの比を与えます。

鋭角の正弦と余弦を定義するには、測定角度を含む直角三角形から始めます。添付の​​図では、直角三角形の角度が目的の角度です。三角形の3辺は次のように命名されます。^[1] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle ABC}$

• 対辺は目的の角度の反対側の辺です。この場合はです ${\displaystyle a}$
• 斜辺は直角の反対側の辺です。この場合は です。斜辺は常に直角三角形の最も長い辺です ${\displaystyle h}$
• 隣接辺は残りの辺です。この場合は です。これは、関心のある角度と直角の両方の辺を形成し、両方の角度に隣接しています。 ${\displaystyle b}$

このような三角形を選ぶと、角度の正弦は対辺の長さを斜辺の長さで割ったものに等しく、角度の余弦は隣接辺の長さを斜辺の長さで割ったものに等しくなります。^[1] $${\displaystyle \sin(\alpha )={\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}},\qquad \cos(\alpha )={\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}.}$$

角度の他の三角関数も同様に定義できます。例えば、正接は対辺と隣接辺の比、または正弦関数と余弦関数の比です。正弦の逆数は余割であり、斜辺の長さと対辺の長さの比を与えます。同様に、余弦の逆数は割であり、斜辺の長さと隣接辺の長さの比を与えます。余接関数は隣接辺と対辺の比であり、正接関数の逆数です。これらの関数は次のように定式化できます。^[1] $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\theta )&={\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}={\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}},\\\cot(\theta )&={\frac {1}{\tan(\theta )}}={\frac {\text{adjacent}}{\text{opposite}}},\\\csc(\theta )&={\frac {1}{\sin(\theta )}}={\frac {\text{hypotenuse}}{\text{opposite}}},\\\sec(\theta )&={\frac {1}{\cos(\theta )}}={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {adjacent}}}.\end{aligned}}}$$

特殊な角度の測定

前述のように、と の値は、角度 を含む直角三角形の選択に依存するように見えます。しかし、そのような三角形はすべて相似 であるため、それぞれの比は同じです。例えば、45-45-90 の直角三角形の各辺は 1 単位であり、その斜辺は です。したがって、です。^[2]次の表は、 から までの範囲で、正弦と余弦の両方について、各入力の特殊値を示しています。この表の入力は、度、ラジアンなど、さまざまな単位系を提供します。これら5つ以外の角度は、電卓を使用して取得できます。^{[3] [4]} ${\displaystyle \sin(\alpha )}$ ${\displaystyle \cos(\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\textstyle \sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ ${\textstyle 0<\alpha <{\frac {\pi }{2}}}$

角度、x				sin( x )		cos( x )
度	ラジアン	グラジアン	回転	正確	小数	正確	小数
0°	0	${\displaystyle 0^{g}}$	0	0	0	1	1
30°	${\displaystyle {\frac {1}{6}}\pi }$	${\displaystyle 33{\frac {1}{3}}^{g}}$	${\displaystyle {\frac {1}{12}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	0.5	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	0.866
45°	${\displaystyle {\frac {1}{4}}\pi }$	${\displaystyle 50^{g}}$	${\displaystyle {\frac {1}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	0.707	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	0.707
60°	${\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi }$	${\displaystyle 66{\frac {2}{3}}^{g}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	0.866	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	0.5
90°	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi }$	${\displaystyle 100^{g}}$	${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$	1	1	0	0

法則

正弦の法則と余弦の法則の図解

正弦定理は、2つの角度と1つの辺がわかっている場合、三角形の未知の辺の長さを計算するのに役立ちます。^[5]辺が、、、で、それらの辺と反対の角度が、、、、である三角形が与えられている場合、法則は次のように述べます。これは、以下の最初の3つの式の等式に相当します。ここで、は三角形の外接半径です。 ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$ $${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{a}}={\frac {\sin \beta }{b}}={\frac {\sin \gamma }{c}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R,}$$ ${\displaystyle R}$

余弦定理は、他の2つの辺と角度がわかっている場合、未知の辺の長さを計算するのに役立ちます。^[5]法則は次のように述べます 。の場合、つまり から の場合、結果として得られる式はピタゴラスの定理になります。^[6] $${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )=c^{2}}$$ ${\displaystyle \gamma =\pi /2}$ ${\displaystyle \cos(\gamma )=0}$

ベクトルの定義

外積と内積は、ユークリッドベクトル空間における2つのベクトルの演算です。正弦関数と余弦関数は、外積と内積を用いて定義できます。とがベクトルで、がとの間の角度である場合、正弦関数と余弦関数は次のように定義できます。^{[7] [8]} ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta )&={\frac {|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |}{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |}},\\\cos(\theta )&={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |}}.\end{aligned}}}$$

解析的記述

単位円の定義

正弦関数と余弦関数は、より一般的な方法で、単位円（原点を中心とする半径1の円）を用いて定義することもできます。単位円は、直交座標系におけるの方程式として定式化されます。原点を通る直線が単位円と交差し、 -軸の正の半分と角度を成すとします。この交点の-座標と-座標はそれぞれ-と-に等しくなります。つまり、^[9] ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \cos(\theta )}$ ${\displaystyle \sin(\theta )}$ $${\displaystyle \sin(\theta )=y,\qquad \cos(\theta )=x.}$$

この定義は、単位円の斜辺の長さが常に1であるため、直角三角形の正弦と余弦の定義と一致しています。数学的に言えば、角度の正弦は三角形の反対側の辺、つまり単に-座標に等しくなります。余弦関数についても同様の議論が成り立ち、単位円を用いた新しい定義においても、角度の余弦が - 座標であることを示すことができます。^{[10] [11]} ${\textstyle 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle y}$ ${\textstyle 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}}$

関数のグラフとその基本的な性質

単位円（緑）上の点のy座標（赤い点）から角度θで正弦関数（赤）をグラフ化する様子を示すアニメーション。余弦（青）はx座標です

単位円の定義を使用すると、正弦関数と余弦関数のグラフを描くことができるという利点があります。これは、入力に応じて、円周上の点を反時計回りに回転させることによって行うことができます。正弦関数では、入力が の場合、点は反時計回りに回転し、-軸上で正確に停止します。 の場合、点は円の中間点にあります。 の場合、点は原点に戻ります。この結果、正弦関数と余弦関数の両方の範囲は の間になります。^[12] ${\displaystyle \theta >0}$ ${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \theta =\pi }$ ${\displaystyle \theta =2\pi }$ ${\displaystyle -1\leq y\leq 1}$

角度を任意の実数領域に拡張すると、点は反時計回りに連続的に回転します。これはコサイン関数についても同様に行うことができますが、点は最初に-座標から回転します。言い換えれば、正弦関数と余弦関数はどちらも周期的であり、円周の円によって追加された角度は角度そのものです。数学的には、^[13] ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle \sin(\theta +2\pi )=\sin(\theta ),\qquad \cos(\theta +2\pi )=\cos(\theta ).}$$

関数はの場合奇関数と呼ばれ、 の場合偶関数と呼ばれます。正弦関数は奇関数ですが、余弦関数は偶関数です。^[14]正弦関数と余弦関数はどちらも類似しており、その差はだけずれています。この位相シフトは、cos⁡(θ)=sin⁡(θ+π/2) または sin⁡(θ)=cos⁡(θ−π/2) と表すことができます。これは、直角三角形の幾何学から生じる位相シフトではない、以下に続く余関数の恒等式とは異なります。^[15] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$ ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$ ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta )&=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right),\\\cos(\theta )&=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right).\end{aligned}}}$$

初期値x ₀  = −1を持つ不動点反復x _{n +1}  = cos( x _n )は、ドッティー数に収束します。

正弦関数の唯一の実不動点はゼロです。言い換えれば、正弦関数と恒等関数の唯一の交点は です。余弦関数の唯一の実不動点はドッティー数と呼ばれます。ドッティー数は方程式 の唯一の実根です。ドッティー数の小数展開は約 0.739085 です。^[16] ${\displaystyle \sin(0)=0}$ ${\displaystyle \cos(x)=x}$

連続性と微分

直交座標系を用いた単位円の象限と sin( x )の象限

正弦関数と余弦関数は無限に微分可能です。^[17]正弦関数の導関数は余弦関数で、余弦関数の導関数は負の正弦関数です。^[18]このプロセスを高次の導関数で続けると、同じ関数が繰り返されます。正弦関数の 4 次導関数は正弦関数そのものです。^{[17]これらの導関数は}1 次導関数テストに適用でき、これによれば関数の単調性は関数の 1 次導関数の不等式が 0 以上であるか以下であるかとして定義できます。^{[19]これは}2 次導関数テストにも適用でき、これによれば関数の凹面性は関数の 2 次導関数の不等式が 0 以上であるか以下であるかを適用することによって定義できます。^[20]次の表は、正弦関数と余弦関数の両方が、特定の区間において凹性と単調性を持つことを示しています。正の符号（）はグラフが増加（上向き）していることを示し、負の符号（）は減少（下向き）していることを示します。^[3]この情報は、4つの象限に分割された直交座標系で表すことができます。 $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x),\qquad {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x).}$$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle -}$

象限	角度		正弦			余弦
	度	ラジアン	符号	単調性	凸性	符号	単調性	凸性
第1象限、I	${\displaystyle 0^{\circ }<x<90^{\circ }}$	${\displaystyle 0<x<{\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle +}$	増加	凹型	${\displaystyle +}$	減少	凹型
第2象限、II	${\displaystyle 90^{\circ }<x<180^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}<x<\pi }$	${\displaystyle +}$	減少	凹型	${\displaystyle -}$	減少	凸型
第3象限、III	${\displaystyle 180^{\circ }<x<270^{\circ }}$	${\displaystyle \pi <x<{\frac {3\pi }{2}}}$	${\displaystyle -}$	減少	凸型	${\displaystyle -}$	増加	凸型
第4象限、IV	${\displaystyle 270^{\circ }<x<360^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}<x<2\pi }$	${\displaystyle -}$	増加	凸型	${\displaystyle +}$	増加	凹型

正弦関数と余弦関数はどちらも微分方程式を用いて定義できます。のペアは、初期条件がおよびである2次元微分方程式系の解です。上記の定義における単位円は、与えられた初期条件を持つ微分方程式の位相空間軌跡を定義するものと解釈できます。これは、初期条件とから始まる微分方程式系の位相空間軌跡として解釈できます。^[要出典] ${\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta )}$ ${\displaystyle (x(\theta ),y(\theta ))}$ ${\displaystyle y'(\theta )=x(\theta )}$ ${\displaystyle x'(\theta )=-y(\theta )}$ ${\displaystyle y(0)=0}$ ${\displaystyle x(0)=1}$ ${\displaystyle y'(\theta )=x(\theta )}$ ${\displaystyle x'(\theta )=-y(\theta )}$ ${\displaystyle y(0)=0}$ ${\displaystyle x(0)=1}$

積分と計測における使用法

曲線の下の面積は、ある限られた区間での積分を用いて求めることができます。その反微分は、以下の通りです。 ここで、は積分定数を表します。^[21]これらの反微分は、与えられた区間での正弦関数と余弦関数の両方の曲線の測定特性を計算するために適用できます。例えば、と間の正弦曲線の弧長は、ここで、は係数を持つ第二種不完全楕円積分です。これは初等関数では表せません。^[22]周期全体の場合、その弧長は、ここで、はガンマ関数、はレムニスケート定数です。^{[23] [24]} $${\displaystyle \int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+C\qquad \int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C,}$$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle \int _{0}^{t}\!{\sqrt {1+\cos ^{2}(x)}}\,dx={\sqrt {2}}\operatorname {E} \left(t,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right),}$$ ${\displaystyle \operatorname {E} (\varphi ,k)}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle L={\frac {4{\sqrt {2\pi ^{3}}}}{\Gamma (1/4)^{2}}}+{\frac {\Gamma (1/4)^{2}}{\sqrt {2\pi }}}={\frac {2\pi }{\varpi }}+2\varpi \approx 7.6404}$$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \varpi }$

逆関数

直交平面上にグラフ化されたarcsin( x )関数とarcsin( x )関数の通常の主値は

正弦の逆関数は逆正弦または逆正弦であり、「arcsin」、「asin」、または と表記されます。^[25]余弦の逆関数は逆余弦であり、「arccos」、「acos」、または と表記されます。^{[a]正弦と余弦は}単射ではないため、それらの逆関数は正確な逆関数ではなく、部分逆関数です。たとえば、だけでなく、 、 なども当てはまります。したがって、逆正弦関数は多値であり、 だけでなく、、 なども当てはまります。1つの値だけが必要な場合、関数はその主枝に制限される場合があります。この制限により、定義域内のそれぞれについて、式は主値と呼ばれる単一の値のみに評価されます。逆正弦の主値の標準範囲は からまで、逆余弦の標準範囲は からまでです。^[26] ${\displaystyle \sin ^{-1}}$ ${\displaystyle \cos ^{-1}}$ ${\displaystyle \sin(0)=0}$ ${\displaystyle \sin(\pi )=0}$ ${\displaystyle \sin(2\pi )=0}$ ${\displaystyle \arcsin(0)=0}$ ${\displaystyle \arcsin(0)=\pi }$ ${\displaystyle \arcsin(0)=2\pi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \arcsin(x)}$ ${\textstyle -{\frac {\pi }{2}}}$ ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \pi }$

正弦関数と余弦関数の逆関数は次のように定義されます。ここで、ある整数に対して、定義により、両方の関数は次の式を満たします。 $${\displaystyle \theta =\arcsin \left({\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}\right)=\arccos \left({\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}\right),}$$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(y)=x\iff &y=\arcsin(x)+2\pi k,{\text{ or }}\\&y=\pi -\arcsin(x)+2\pi k\\\cos(y)=x\iff &y=\arccos(x)+2\pi k,{\text{ or }}\\&y=-\arccos(x)+2\pi k\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \sin(\arcsin(x))=x\qquad \cos(\arccos(x))=x}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(\sin(\theta ))=\theta \quad &{\text{for}}\quad -{\frac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}\\\arccos(\cos(\theta ))=\theta \quad &{\text{for}}\quad 0\leq \theta \leq \pi \end{aligned}}}$$

その他の恒等式

ピタゴラスの定理によれば、直角三角形の2つの2乗した脚の和は、斜辺の2乗です。両辺の式を2乗した斜辺で割ると、ピタゴラスの三角定理が得られ、正弦の2乗と余弦の2乗の和は1になります。^{[27] [b]} $${\displaystyle \sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1.}$$

正弦と余弦は、以下の2倍角の公式を満たします。^[28] $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(2\theta )&=2\sin(\theta )\cos(\theta ),\\\cos(2\theta )&=\cos ^{2}(\theta )-\sin ^{2}(\theta )\\&=2\cos ^{2}(\theta )-1\\&=1-2\sin ^{2}(\theta )\end{aligned}}}$$

青が正弦関数、赤が正弦二乗関数です。x軸はラジアンです。

^余弦の二倍角の公式は、sin ^2乗とcos ²乗自体がシフトされ、スケールされた正弦波であることを意味します。具体的には、^[29]グラフは正弦関数と正弦二乗関数の両方を示しており、正弦関数は青、正弦二乗関数は赤で示されています。両方のグラフは同じ形状ですが、値の範囲と周期が異なります。正弦二乗関数は正の値のみを持ちますが、周期数は2倍です。^[要出典] $${\displaystyle \sin ^{2}(\theta )={\frac {1-\cos(2\theta )}{2}}\qquad \cos ^{2}(\theta )={\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}}$$

級数と多項式

このアニメーションは、テイラー級数の部分和に項をどんどん含めていくと、正弦曲線に近づく様子を示しています

正弦関数と余弦関数はどちらも、高階導関数を含むべき級数であるテイラー級数を用いて定義できます。§連続性と微分で述べたように、正弦の導関数は余弦であり、余弦の導関数は正弦の負数です。つまり、の連続した導関数は、、、、となり、これら4つの関数を繰り返し続けます。点0で評価された-次の導関数：ここで、上付き文字は繰り返し微分を表します。これは、における次のテイラー級数展開を意味します。テイラー級数の理論を用いて、すべての実数に対して次の恒等式が成り立つことを示すことができます。ここで、はラジアン単位の角度です。^[30]より一般的には、すべての複素数に対して：^[31]各項の導関数を取ると、余弦のテイラー級数が得られます：^{[30] [31]} ${\displaystyle \sin(x)}$ ${\displaystyle \cos(x)}$ ${\displaystyle -\sin(x)}$ ${\displaystyle -\cos(x)}$ ${\displaystyle \sin(x)}$ ${\displaystyle (4n+k)}$ $${\displaystyle \sin ^{(4n+k)}(0)={\begin{cases}0&{\text{when }}k=0\\1&{\text{when }}k=1\\0&{\text{when }}k=2\\-1&{\text{when }}k=3\end{cases}}}$$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x)&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(x)&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\end{aligned}}}$$

複数の角度を持つ正弦関数と余弦関数はどちらも、それらの線形結合として現れ、結果として多項式になります。このような多項式は三角多項式として知られています。三角多項式の幅広い応用は、補間や、フーリエ級数として知られる周期関数の拡張で得られます。とを任意の係数とすると、次数の三角多項式（と表記）は次のように定義されます。^{[32] [33]} ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle T(x)}$ $${\displaystyle T(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx).}$$

三角級数は、三角多項式と同様に、その無限反転と同様に定義できます。とを任意の係数とすると、三角級数は次のように定義できます。^[34]与えられた積分関数を持つフーリエ級数の場合、三角級数の係数は次のとおりです。^[35] ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle B_{n}}$ $${\displaystyle {\frac {1}{2}}A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\cos(nx)+B_{n}\sin(nx).}$$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(x)\cos(nx)\,dx,\\B_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(x)\sin(nx)\,dx.\end{aligned}}}$$

複素数の関係

複素指数関数の定義

正弦関数と余弦関数はどちらも、実数と虚数の両方からなる数の集合である複素数を介してさらに拡張できます。実数の場合、正弦関数と余弦関数の両方の定義は、次のように指数関数を用いて複素平面上で拡張できます。 ^[36] ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta )&={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}},\\\cos(\theta )&={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}},\end{aligned}}}$$

あるいは、両方の関数をオイラーの公式で定義することもできます。^[36] $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\theta }&=\cos(\theta )+i\sin(\theta ),\\e^{-i\theta }&=\cos(\theta )-i\sin(\theta ).\end{aligned}}}$$

複素平面上にプロットすると、実数値の関数は複素平面上で単位円を描きます。正弦関数と余弦関数はどちらも、次のように虚部と実部に簡略化できます。^[37] ${\displaystyle e^{ix}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle e^{i\theta }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=\operatorname {Im} (e^{i\theta }),\\\cos \theta &=\operatorname {Re} (e^{i\theta }).\end{aligned}}}$$

実数値との場合、ここで の場合、正弦関数と余弦関数はどちらも、実正弦関数、余弦関数、双曲線関数を用いて次のように表すことができます。^[38] ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin z&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y,\\\cos z&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y.\end{aligned}}}$$

極座標

${\displaystyle \cos(\theta )}$とは の実部と虚部です ${\displaystyle \sin(\theta )}$ ${\displaystyle e^{i\theta }}$

正弦と余弦は、複素数の実部と虚部を極座標 で結び付けるために使用されます。実部と虚部はそれぞれ とで、 は複素数の大きさと角度を表します。 ${\displaystyle (r,\theta )}$ $${\displaystyle z=r(\cos(\theta )+i\sin(\theta )),}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} (z)&=r\cos(\theta ),\\\operatorname {Im} (z)&=r\sin(\theta ),\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle z}$

任意の実数 について、極座標を用いたオイラーの公式は と表されます。 ${\displaystyle \theta }$ ${\textstyle z=re^{i\theta }}$

複素引数

複素平面におけるsin( z ) の領域色付け。明度は絶対値を示し、色相は複素引数を表します。

sin( z )のベクトル場レンダリング

正弦と余弦の級数定義を複素引数zに適用すると、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}\\&={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\\&={\frac {\sinh \left(iz\right)}{i}}\\&=-i\sinh \left(iz\right)\\\cos(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n}\\&={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\\&=\cosh(iz)\\\end{aligned}}}$

ここで、 sinh と cosh は双曲線正弦と双曲線余弦です。これらは整関数です。

複素正弦関数と複素余弦関数を、引数の実部と虚部で表すことも便利な場合があります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x+iy)&=\sin(x)\cos(iy)+\cos(x)\sin(iy)\\&=\sin(x)\cosh(y)+i\cos(x)\sinh(y)\\\cos(x+iy)&=\cos(x)\cos(iy)-\sin(x)\sin(iy)\\&=\cos(x)\cosh(y)-i\sin(x)\sinh(y)\\\end{aligned}}}$

複素正弦の部分分数展開と積展開

複素解析における部分分数展開法を用いると、無限級数が収束し、 に等しいことがわかります。同様に、 $${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{z-n}}={\frac {1}{z}}-2z\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}-z^{2}}}}$$ ${\textstyle {\frac {\pi }{\sin(\pi z)}}}$ $${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}(\pi z)}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(z-n)^{2}}}.}$$

積展開法を用いると、 $${\displaystyle \sin(\pi z)=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right).}$$

複素正弦の使用法

sin( z )はガンマ関数の関数方程式に見られます。

${\displaystyle \Gamma (s)\Gamma (1-s)={\pi \over \sin(\pi s)},}$

これはリーマンゼータ関数の関数方程式に見られます

${\displaystyle \zeta (s)=2(2\pi )^{s-1}\Gamma (1-s)\sin \left({\frac {\pi }{2}}s\right)\zeta (1-s).}$

正則関数であるsinzは、ラプラス方程式の2次元解です。

${\displaystyle \Delta u(x_{1},x_{2})=0.}$

複素正弦関数は、振り子の水準曲線とも関連しています。^{[どのように？ ] [39] [より良い出典が必要]}

複素グラフ

複素平面における正弦関数

実部	虚部	大きさ

複素平面における逆正弦関数

実部	虚部	大きさ

背景

語源

正弦（ sine）という言葉は、間接的にサンスクリット語の「jyā」（弓弦）または、より具体的にはその同義語である「jīvá」（どちらも古代ギリシャ語の 「弦、和音」から採用）に由来しています。これは、円弧とそれに対応する弦、そして弓と弦の視覚的な類似性によるものです（jyā、koti-jyā、utkrama-jyāを参照。 正弦と弦は単位直径の円において密接に関連しています。プトレマイオスの定理を参照）。これはアラビア語では「jība」と翻字されましたが、アラビア語では意味をなさず、jb（جب）と表記されました。アラビア語は短母音なしで表記されるため、「jb」は「懐」、「ポケット」、「ひだ」を意味する同音異義語の「jayb」 （جيب）と解釈されました^{[40] [41]} 12世紀にクレモナのジェラルドがアラビア語のアル・バタニとアル・フワーリズミーの文献を中世ラテン語に翻訳した際、彼はラテン語の同義語であるsinus（これも「湾」または「ひだ」を意味し、より具体的には「胸の上に垂れ下がるトーガのひだ」を意味する）を使用した。 ^{[42] [43] [44]}ジェラルドはおそらくこの翻訳を用いた最初の学者ではない。ロバート・オブ・チェスターが彼に先んじていたようで、さらに古い使用の証拠がある。^{[45] [46]}英語のsineはトーマス・フェイルの1593年の著書『時計学』で導入された。^[47]

コサインという言葉は、ラテン語のcomplementi sinus （補角の正弦）をエドマンド・グンターの『Canon triangulorum 』（1620年）でcosinusと略したことに由来し、そこにはコタンジェンスの同様の定義も含まれています。^[48]

歴史

1840年代のオスマントルコの四分儀。角度の正弦と正弦を調べるための軸が付いています。

三角法の初期の研究は古代にまで遡ることができますが、今日使用されている三角関数は中世に開発されました。弦関数は、ニカイアのヒッパルコス（紀元前180～125年）とローマ帝国エジプトのプトレマイオス（紀元90～165年）によって発見されました。^[49]

正弦関数と余弦関数は、サンスクリット語からアラビア語、そしてアラビア語からラテン語への翻訳を経て、グプタ朝時代（アーリヤバーティーヤとスーリヤ・シッダーンタ）のインド天文学で使用されていたjyā関数とkoṭti-jyā関数と密接に関連しています。^{[42] [50]}

現在使用されている6つの三角関数はすべて、9世紀までにイスラム数学で知られており、三角形を解くのに使用される正弦定理も同様でした。^[51]アル・フワーリズミー（780年頃～850年）は、正弦、余弦、正接の表を作成しました。^{[52] [53]}ムハンマド・イブン・ジャービル・アル・ハッラーニー・アル・バッターニー（853年～929年）は、正割と余割の逆関数を発見し、1度から90度までの各度数に対する最初の余割表を作成しました。^[53]

17世紀初頭、フランスの数学者アルベール・ジラールは、 sin、cos、tanという略語を初めて使用して出版しました。これらはオイラーによってさらに普及しました（下記参照）。コペルニクスの弟子であるゲオルク・ヨアヒム・レティクスの『三角関数の概説』は、おそらくヨーロッパで初めて、円ではなく直角三角形を用いて三角関数を直接定義し、6つの三角関数すべての表を示したものです。この作品は、レティクスの弟子であるヴァレンティン・オトによって1596年に完成されました

1682年に発表された論文で、ライプニッツはsin x がxの代数関数ではないことを証明しました。^[54]ロジャー・コーツは著書『Harmonia Mensurarum 』（1722年）で正弦の微分を計算しました。^[55]レオンハルト・オイラーの『Introductionio in analysin infinitorum』（1748年）は、ヨーロッパにおける三角関数の解析的扱いを確立する上で大きな役割を果たし、三角関数を無限級数として定義し、「オイラーの公式」を提示したほか、ほぼ現代的な略語であるsin、cos、tang、cot、 sec 、 cosec も提示しました。^[42]

ソフトウェア実装

正弦と余弦を計算するための標準的なアルゴリズムはありません。信頼性の高い浮動小数点計算の仕様として最も広く使用されている標準規格であるIEEE 754は、正弦などの三角関数の計算には対応していません。その理由は、特に大きな入力に対して、指定された精度で正弦と余弦を計算するための効率的なアルゴリズムが知られていないためです。^[56]

正弦を計算するアルゴリズムは、速度、精度、移植性、または受け入れられる入力値の範囲などの制約とバランスが取れている場合があります。これは、特に非常に大きな入力などの特殊な状況では、アルゴリズムごとに異なる結果につながる可能性がありますsin(1022)

特に3Dグラフィックスで使用される一般的なプログラミング最適化は、正弦値の表（例えば1度につき1つの値）を事前に計算し、中間の値については最も近い事前計算値を選択するか、最も近い2つの値の間を線形補間して近似値を求めることです。これにより、結果をリアルタイムで計算するのではなく、表から参照することができます。最新のCPUアーキテクチャでは、この方法には利点がない可能性があります。[要出典]

CORDIC科学計算用電卓で一般的に使用されています。

正弦関数と余弦関数は、他の三角関数とともに、プログラミング言語やプラットフォーム間で広く利用可能です。コンピューティングでは、通常、sinと略されますcos。

80387以降の Intel x87 FPUなど、一部のCPUアーキテクチャには正弦関数の組み込み命令があります

プログラミング言語では、sinおよびはcos通常、組み込み関数であるか、言語の標準数学ライブラリ内にあります。たとえば、C標準ライブラリはmath.h内に正弦関数（、、）を定義しています。それぞれのパラメータは浮動小数点値で、角度をラジアンで指定します。各関数は、受け入れるデータ型と同じデータ型を返します。他の多くの三角関数もmath.hで定義されており、例えば余弦、逆正弦、双曲線正弦（sinh）などがあります。同様に、Pythonは組み込みモジュール内でおよびを定義しています。複素正弦関数と余弦関数もモジュール内で使用できます。例えば、 CPythonの数学関数はCライブラリを呼び出し、倍精度浮動小数点形式を使用します。sin(double)sinf(float)sinl(long double)math.sin(x)math.cos(x)mathcmathcmath.sin(z) math

ターンベースの実装

一部のソフトウェアライブラリは、半回転単位の入力角度を使用して正弦と余弦の実装を提供しています。半回転とは、180度またはラジアンの角度です。角度を回転または半回転で表現すると、精度と効率の両面で利点があります。^{[57] [58]}これらの関数は、MATLAB、^[57] OpenCL、^[59] R、^[58] Julia、^[60] CUDA、^[61] ARMでは および と呼ばれます。^[62]たとえば、は と評価されます。ここで、 xは半回転で表現されるため、関数への最終的な入力πxは、 sinによってラジアンで解釈できます ${\displaystyle \pi }$sinpicospi sinpi(x) ${\displaystyle \sin(\pi x),}$

精度の利点は、1回転、半回転、1/4回転などの主要な角度を、2進浮動小数点または固定小数点でロスレスに完全に表現できることに由来します。対照的に、、、を2進浮動小数点または2進スケーリングされた固定小数点で表現すると、無理数は有限個の2進桁で表現できないため、常に精度が低下します ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$

ターンは、1周期を法とする計算においても、精度と効率の両面で利点があります。1ターンを法とする計算、または2半ターンを法とする計算は、浮動小数点数と固定小数点数の両方でロスレスかつ効率的に実行できます。例えば、2進小数点スケールの固定小数点値に対して1を法とする計算、または2を法とする計算は、ビットシフトまたはビット単位のAND演算のみで実行できます。一方、法の計算では、表現に不正確さが生じます。 ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$

角度センサーを使用するアプリケーションでは、センサーは通常、回転または半回転と直接互換性のある形式で角度測定値を提供します。たとえば、角度センサーは1回転で0から4096までカウントする場合があります。^[63]半回転を角度の単位として使用する場合、センサーによって提供される値は、2進小数点の右側に11ビットを持つ固定小数点データ型に直接かつロスレスにマッピングされます。対照的に、ラジアンを角度の保存単位として使用する場合、生のセンサー整数に近似値を乗算することによる不正確さとコストが発生します。 ${\textstyle {\frac {\pi }{2048}}}$

参照

• アーリヤバータの正弦表
• バースカラ1世の正弦近似式
• 離散正弦変換
• ディクソンの楕円関数
• オイラーの公式
• 一般化三角法
• 双曲線関数
• レムニスケート楕円関数
• 正弦の法則
• 周期関数の一覧
• 三角関数の恒等式一覧
• マダバ級数
• マダバの正弦表
• 光学正弦定理
• 極正弦― 頂点角への一般化
• 三角関数の恒等式の証明
• シンク関数
• 正弦変換と余弦変換
• 正弦積分
• 正弦象限
• 正弦波
• 正弦ゴードン方程式
• 正弦波モデル
• SOH-CAH-TOA
• 三角関数
• 三角積分

参考文献

脚注

1. およびにおける上付き文字 -1 は、べき乗ではなく、関数の逆関数を表します。 ${\displaystyle \sin ^{-1}}$ ${\displaystyle \cos ^{-1}}$
2. ここで、 は2乗正弦関数を意味します。 ${\displaystyle \sin ^{2}(x)}$ ${\displaystyle \sin(x)\cdot \sin(x)}$

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46. 様々な文献によると、 正弦波の最初の使用は
    • プラトン・ティブルティヌスによる1116年のアル・バッターニの天文学の翻訳によるものとされている
    • クレモナのジェラルドによるアル・フワーリズミー代数の翻訳
    • チェスターのロバートによる1145年のアル・フワーリズミー表の翻訳
    Merlet (2004) を参照。ジェラルドに由来する初期の語源については、Maor (1998) 第3章を参照。Katz (2008) 210ページを参照。
47. Faleの本では、「sine」、「signe」、「sign」の綴りが交互に使用されている。
    Fale, Thomas (1593). Horologiographia. The Art of Dialling: Teaching, an Easie and Perfect Way to make all Kindes of Dials … London: F. Kingston. p. 11など。
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外部リンク

• ウィキメディア・コモンズで「正弦関数」に関連するメディア

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