正弦波

正弦波（サインウェーブ）、正弦波（サインカーブ）、または正弦曲線（記号：∿）は、波形（形状）が三角関数の正弦関数である周期波です。力学では、時間の経過に伴う直線運動として単振動に相当し、回転として等速円運動に相当します。正弦波は物理学でよく見られ、風波、音波、単色放射などの光波などがあります。工学、信号処理、数学では、フーリエ解析によって一般関数を様々な周波数、相対位相、大きさの正弦波の和に分解します。

同じ周波数（ただし位相は任意）の任意の2つの正弦波を線形結合すると、同じ周波数の別の正弦波が生成されます。この特性は周期波の中では他に類を見ません。逆に、ある位相をゼロ基準として選択すると、任意の位相の正弦波は、それぞれ正弦成分と余弦成分を持つ、位相がゼロと1/4周期の2つの正弦波の線形結合として表すことができます。

音声例

正弦波

220 Hzの正弦波を5秒間再生します。これは、f = 220回/秒の正弦関数で表される音波です。

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正弦波は倍音のない単一の周波数を表し、音響的には純音とみなされます。異なる周波数の正弦波を加えると、異なる波形になります。基本波に加えて高次の倍音が存在すると音色に変化が生じ、これが同じ音程を異なる楽器で演奏しても音が異なって聞こえる理由です。

正弦波形式

任意の位相と振幅を持つ正弦波は正弦波と呼ばれ、一般的な形式は次のようになります。^[1]ここで： $y(t)=A\sin(\omega t+\varphi )=A\sin(2\pi ft+\varphi )$

$A$ 振幅は、関数のゼロからのピーク偏差です。
$t$ は実数の独立変数で、通常は秒単位で時間を表します。
$\omega$ 角周波数は、関数の引数の変化率（ラジアン/秒単位）です。
$f$ 常用周波数は、1秒ごとに発生する振動（サイクル）の数です。
$\varphi$ 位相は、そのサイクルのどの時点で振動がt = 0 にあるかを（ラジアン単位で）指定します。
- がゼロでない場合、波形全体が秒数だけ時間的に後方にシフトしているように見えます。負の値は遅延を表し、正の値は前進を表します。 $\varphi$ ${\tfrac {\varphi }{\omega }}$
- 位相に（1サイクル）加算または減算すると、同等の波になります。 $2\pi$

位置と時間の両方の関数として

減衰のないバネ-質量系が平衡点の周りを時間とともに振動する場合の変位は正弦波です。

位置と時間の両方に存在する正弦波には

波が伝播する次元上の位置を表す空間変数。 $x$
波数（または角波数）。これは、角周波数と線速度（伝播速度）の比例関係を表します。 $k$ $\omega$ $v$
- 波数は角周波数と次の式で関連しています。ここで、λは波長です。 ${\textstyle k{=}{\frac {\omega }{v}}{=}{\frac {2\pi f}{v}}{=}{\frac {2\pi }{\lambda }}}$ $\lambda$

進行方向に応じて、次の形を取ることができます。

$y(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\varphi )$ 波が右に移動している場合は、または
$y(x,t)=A\sin(kx+\omega t+\varphi )$ 波が左に移動している場合。

正弦波は分布線形システムにおいて形を変えずに伝播するため、^{[定義が必要] 、}波の伝播を解析するためによく使用されます。

定在波

同じ振幅と周波数を持つ2つの波が反対方向に伝わると、定在波パターンが形成されます。

撥弦の場合、重なり合う波は弦の固定端点からの反射波です。弦の共振周波数は、弦の唯一の可能な定在波であり、弦の長さの2倍の波長（基本周波数に対応）とその整数分の1（高調波に対応）の波長でのみ発生します。

複数の空間次元

前の式は、単一の線に沿った時間における位置での波の変位を示しています。これは、たとえば、電線に沿った波の値と考えることができます。 $y$ $x$ $t$

2次元または3次元の空間では、位置と波数をベクトル、それらの積を内積として解釈すると、同じ式が進行平面波を表します。池に石を落とした後の水の波の高さなど、より複雑な波の場合は、より複雑な式が必要です。 $x$ $k$

正弦平面波

物理学において、正弦平面波は平面波の特殊なケースです。平面波とは、時間と固定面からの距離の正弦関数として値が変化する場です。また、単色平面波とも呼ばれ、一定の周波数を持ちます（単色放射の場合など）。

フーリエ解析

フランスの数学者ジョセフ・フーリエは、正弦波を単純な構成要素として加算することで、方形波を含むあらゆる周期波形を近似できることを発見しました。これらのフーリエ級数は、信号処理や時系列の統計解析で頻繁に使用されます。その後、フーリエ変換はフーリエ級数を拡張して一般関数を扱えるようにし、フーリエ解析の分野を生み出しました。

微分と積分

微分

任意の正弦波を時間に関して微分することは、その振幅に角周波数を掛け、それを4分の1周期進めることと見なすことができます

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}[A\sin(\omega t+\varphi )]&=A\omega \cos(\omega t+\varphi )\\&=A\omega \sin(\omega t+\varphi +{\tfrac {\pi }{2}})\,.\end{aligned}}$

微分器は複素周波数平面の原点に零点を持ちます。微分器にはカットオフ周波数や平坦な通過帯域はありませんが、周波数応答のゲインは周波数10倍あたり+20dBの割合で増加します（ルートパワーの場合）。これは1次ハイパスフィルタ^の阻止帯域と同じ正の傾きです。n次^ハイパスフィルタは、フィルタのカットオフ周波数よりも大幅に低い周波数帯域を持つ信号のn次時間微分を近似的に適用します。

積分

波を時間に関して積分することは、その振幅を角周波数で割り、1/4周期遅らせることと見なすことができます。

${\begin{aligned}\int A\sin(\omega t+\varphi )dt&=-{\frac {A}{\omega }}\cos(\omega t+\varphi )+C\\&=-{\frac {A}{\omega }}\sin(\omega t+\varphi +{\tfrac {\pi }{2}})+C\\&={\frac {A}{\omega }}\sin(\omega t+\varphi -{\tfrac {\pi }{2}})+C\,.\end{aligned}}$

積分範囲が正弦波の周期の整数倍である場合、積分定数はゼロになります $C$

積分器は複素周波数平面の原点に極を持ちます。積分器にはカットオフ周波数や平坦な通過帯域はありませんが、周波数応答のゲインは周波数の10乗あたり-20dBの割合で低下します（ルートパワーの場合）。これは1次ローパスフィルタの阻止帯域と同じ負の傾きです。n次ローパス^フィルタは^、フィルタのカットオフ周波数よりも大幅に高い周波数帯域を持つ信号の n^{回目の積分を近似的に実行します。}

参考文献

^ Smith, Julius Orion. "Sinusoids". ccrma.stanford.edu . 2024年1月5日閲覧。

外部リンク

"Sine Wave". Mathematical Mysteries . 2021年11月17日閲覧。2022年9月30日閲覧。

[1] Smith, Julius Orion. "Sinusoids". ccrma.stanford.edu . 2024年1月5日閲覧。

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