nスケルトン

数学、特に代数位相幾何学において、位相空間 $X$ の $n$ スケルトンは、単体複体（またはCW 複体）として表される、 $m$ $\leq$ $n$ $次元のX$ の単体（または $X$ のセル）の和集合である部分空間 $X$ $n$ $を指す。$ 言い換えれば、複体の帰納的定義が与えられた場合、 $n$ スケルトンは $n$ 番目のステップで停止することによって得られる。

$これらの部分空間はn$ とともに増加する。0-スケルトンは離散空間であり、1-スケルトンは位相グラフである。空間のスケルトンは、閉塞理論、濾過によるスペクトル列の構築、そして一般的には帰納的議論において用いられる。これらは、 $Xが無限次元の場合、つまり$ $n$ $\to \inftyのときに$ $X$ $n が$ 定数にならないという意味で特に重要である。

幾何学では

幾何学では、n次元多面体Pのk次元スケルトン（関数的にはskel _k ( P )と表される）は、k次元までのすべてのi次元多面体要素から構成される。^[1]

例えば：

スケルトン₀ (立方体) = 8 頂点

スケルトン₁（立方体） = 8頂点、12辺

スケルトン₂ (立方体) = 8 頂点、12 辺、6 正方形面

1 スケルトンは、多面体の頂点-辺グラフとも呼ばれます。

単体集合の場合

上記の単体複体の骨格の定義は、単体集合の骨格の概念の特殊な場合です。簡単に言えば、単体集合は、集合の集合と、それらの間の面写像およびいくつかの方程式を満たす退化写像によって記述できます。n 骨格の考え方は、まずの集合を捨て、次にの集合を「可能な限り最小の」単体集合に完成させることです。これにより、結果として得られる単体集合には、次数の退化していない単体が含まれなくなります。 $K_{*}$ $K_{i},\ i\geq 0$ $sk_{n}(K_{*})$ $K_{i}$ $i>n$ $K_{i}$ $i\leq n$ $i>n$

より正確には、制限関数

i_{*}:\Delta ^{op}Sets\rightarrow \Delta _{\leq n}^{op}Sets

は左随伴関数を持ち、と表記される。^[2]（表記は層の像関数の表記と同等である。）ある単体集合のnスケルトンは次のように定義される。 $i^{*}$ $i^{*},i_{*}$ $K_{*}$

sk_{n}(K):=i^{*}i_{*}K.

コスケルトン

さらに、右随伴関数を持つ。n-コスケルトンは次のように定義される。 $i_{*}$ $i^{!}$

cosk_{n}(K):=i^{!}i_{*}K.

例えば、 Kの0-スケルトンはによって定義される定数単体集合である。0-コスケルトンはチェク神経によって与えられる。 $K_{0}$

\dots \rightarrow K_{0}\times K_{0}\rightarrow K_{0}.

(境界射影と退化射影は、それぞれさまざまな射影と対角線埋め込みによって与えられます。)

上記の構成は、集合ではなくより一般的なカテゴリにも適用できます。ただし、カテゴリがファイバー積を持つ必要があります。コスケルトンは、ホモトピー代数と代数幾何学における超被覆の概念を定義するために必要です。^[3]

参考文献

^ ピーター・マクマレン、エゴン・シュルテ、『Abstract Regular Polytopes』、ケンブリッジ大学出版局、2002年。ISBN 0-521-81496-0（29ページ）
^ Goerss, PG; Jardine, JF (1999),単純ホモトピー理論, Progress in Mathematics, vol. 174, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-6064-1、セクションIV.3.2
^ アルティン、マイケル；マズール、バリー（1969）、エタールホモトピー、数学講義ノート、第100号、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク

外部リンク

ワイスタイン、エリック・W.「スケルトン」。MathWorld。

[1] ピーター・マクマレン、エゴン・シュルテ、『Abstract Regular Polytopes』、ケンブリッジ大学出版局、2002年。ISBN 0-521-81496-0（29ページ）

[2] Goerss, PG; Jardine, JF (1999),単純ホモトピー理論, Progress in Mathematics, vol. 174, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-6064-1、セクションIV.3.2

[3] アルティン、マイケル；マズール、バリー（1969）、エタールホモトピー、数学講義ノート、第100号、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク